Vektor adalah besaran yang mempunyai besar dan arah, seperti perpindahan, kecepatan, gaya, dan percepatan. Skalar adalah besaran yang mempunyai besar tetapi tanpa arah, seperti massa, panjang, waktu, suhu, dan sebarang bilangan riil

1. Vektor dan Skalar
A. Perbedaan Vektor dan Skalar
Vektor adalah suatu besaran yang memiliki besar (nilai) sekaligus arah.
Contohnya perpindahan, kecepatan, gaya dan percepatan
Vektor digambarkan oleh sebuah anak panah, seperti dibawah ini :
pada gambar di atas, anak panah OP menyatakan arah vektor sedangkan
panjang anak panah menyatakan besarnya vektor. Ujung pangkal O disebut
titik asal, dan ujung kepala P disebut titik terminal.
Suatu vector dapat dituliskan dengan notasi huruf kecil yang di cetak
yang dicetak tebal, misalnya:
a, b, c, . . .,p, q, r, . . ., u, v, w, . . ., dan seterusnya
Selain itu vector juga biasa di tuliskan dengan menggunakan notasi huruf
kecil yang dibubuhi tanda panah diatas huruf itu, misalnya:
𝑎⃗,𝑏⃗⃗, 𝑐⃗, . . . , 𝑝⃗,𝑞⃗, 𝑟⃗, . . . , 𝑢⃗⃗,𝑣⃗, 𝑤⃗⃗⃗, . . . , dan seterusnya
Sedangkan scalar adalah suatu besaran hanya mempunyai besar (nilai)
tetapi tidak mempunyai arah. Contohnya seperti massa, panjang, waktu, suhu,
dan sembarang bilangan ril.
B. Kesamaan Dua Vektor
Kesamaan dua vector didefinisikan sebagai berikut:
Misalkan diketahui vektor 𝑎⃗ dan vector 𝑏⃗⃗.
Vektor𝑎⃗ dikatakan sama atau ekuivalen dengan vektor 𝑏⃗⃗, jika dan hanya jika:
1. Panjang vector 𝑎⃗ sama dengan panjang vektor𝑏⃗⃗, dan
2. Arah vector 𝑎⃗ sama dengan arah vector 𝑏⃗⃗
O
P

2. Berikut ini adalah contoh kesamaan dua vektor
𝑢⃗⃗ = 𝑣⃗
𝑎⃗ = 𝑏⃗⃗, tetapi 𝑎⃗ ≠ 𝑐⃗ 𝑑𝑎𝑛 𝑏⃗⃗ ≠ 𝑐⃗
C. Hukum-hukum Aljabar Vektor
Jika 𝑢⃗⃗ dan 𝑣⃗ adalah vektor-vektor dan m dan n adalah skalar maka :
1. 𝑢⃗⃗ + 𝑣⃗ = 𝑣⃗ + 𝑢⃗⃗
2. 𝑢⃗⃗ + (𝑣⃗ + 𝑤⃗⃗⃗) = (𝑢⃗⃗ + 𝑣⃗) + 𝑤⃗⃗⃗
3. 𝑚𝑢⃗⃗ = 𝑢⃗⃗𝑚
4. 𝑚(𝑛𝑢⃗⃗) = (𝑚𝑛)𝑢⃗⃗
5. ( 𝑚 + 𝑛) 𝑢⃗⃗ = 𝑚𝑢⃗⃗ + 𝑚𝑣⃗
6. 𝑚(𝑢⃗⃗ + 𝑣⃗) = (𝑚𝑣⃗ + 𝑛𝑢⃗⃗)
Pembuktian :
Pada 𝑹 𝟐
1. 𝑢⃗⃗ + 𝑣⃗ = 𝑣⃗ + 𝑢⃗⃗
Misalnya vektor 𝑢⃗⃗= (`𝑎1, 𝑎2) dan 𝑣⃗ = (𝑏1, 𝑏2), maka :
𝑢⃗⃗ + 𝑣⃗ = (𝑎1
, 𝑎2) +(`𝑏1, 𝑏2 )
= (`𝑎1 + 𝑏1) , (`𝑎2 + 𝑏2)
= (`𝑏1 + 𝑎1) , (`𝑏2 + 𝑎2)
𝑎⃗
𝑏⃗⃗
𝑢⃗⃗ 𝑣⃗
𝑐⃗

3. = (𝑏1, 𝑏2) + (𝑎1, 𝑎2)
= 𝑣⃗ + 𝑢⃗⃗
2. 𝑢⃗⃗ + (𝑣⃗ + 𝑤⃗⃗⃗) = (𝑢⃗⃗ + 𝑣⃗) + 𝑤⃗⃗⃗
Misalnya vektor 𝑢⃗⃗= (`𝑎1, 𝑎2), 𝑣⃗ = (`𝑏1, 𝑏2) dan 𝑤⃗⃗⃗ = (𝑐1, 𝑐2) maka :
𝑢⃗⃗ + (𝑣⃗ + 𝑤⃗⃗⃗) = (𝑎1
, 𝑎2) + [(`𝑏1, 𝑏2 ) + (𝑐1, 𝑐2)]
= (𝑎1, 𝑎2 ) , [(`𝑏1 + 𝑐1) ,(𝑏2 + 𝑐2)
= 𝑎1 + (𝑏1 + 𝑐1), 𝑎2 + (𝑏2 + 𝑐2)
= (𝑎1 + 𝑏1) + 𝑐1, (𝑎2 + 𝑏2) + 𝑐2)
= [(𝑎1 + 𝑎2), (𝑏1 + 𝑏2)] + (𝑐1, 𝑐2)
= [(𝑎1, 𝑎2), (𝑏1, 𝑏2 )] + (𝑐1, 𝑐2)
= (𝑢⃗⃗ + 𝑣⃗) + 𝑤⃗⃗⃗
3. 𝑚𝑢⃗⃗ = 𝑢⃗⃗𝑚
Misalnya vektor 𝑢⃗⃗= (`𝑎1, 𝑎2) maka :
𝑚𝑢⃗⃗ = 𝑚( 𝑎1, 𝑎2)
= 𝑚𝑎1, 𝑚𝑎2
= 𝑎1 𝑚, 𝑎2 𝑚
= (𝑎1, 𝑎2)𝑚
= 𝑢⃗⃗𝑚
4. m (n𝑢⃗⃗) = (mn) 𝑢⃗⃗
Misalnya vektor 𝑢⃗⃗ = (`𝑎1, 𝑎2), maka :
m (n𝑢⃗⃗) = m [(`𝑛 (𝑎1, 𝑎2)]
= m [𝑛𝑎1, 𝑛𝑎2]
= 𝑚𝑛𝑎1, 𝑚𝑛𝑎2
= mn (𝑎1, 𝑎2)
= (mn) 𝑢⃗⃗
5. (m + n) 𝑢⃗⃗ = m𝑢⃗⃗ + n𝑢⃗⃗
Misalnya vektor 𝑢⃗⃗ = (`𝑎1, 𝑎2), maka :
(m + n) 𝑢⃗⃗ = (m + n) (`𝑎1, 𝑎2)
= (m + n) 𝑎1, (m + n) 𝑎2
= (m 𝑎1+ n𝑎1) , (m𝑎2 + n𝑎2)
= (m 𝑎1, m𝑎2) + (n𝑎1, n𝑎2)
= m (𝑎1, 𝑎2) + n(𝑎1, 𝑎2)
= m 𝑢⃗⃗ + n𝑢⃗⃗

4. 6. m (𝑢⃗⃗ + 𝑤⃗⃗⃗ ) = m𝑢⃗⃗+ m𝑤⃗⃗⃗
Misalnya vektor 𝑢⃗⃗ = (`𝑎1, 𝑎2) dan 𝑤⃗⃗⃗ = (𝑏1, 𝑏2), maka :
m (𝑢⃗⃗ + 𝑤⃗⃗⃗ ) = m [(𝑎1, 𝑎2) +(`𝑏1, 𝑏2)]
= m [(`𝑎1 + 𝑏1) , (`𝑎2 + 𝑏2)]
= m (`𝑎1 + 𝑏1) , m(`𝑎2 + 𝑏2)
= (𝑚𝑎1 + 𝑚𝑏1) , (`𝑚𝑎2 + 𝑚𝑏2 )
= (𝑚𝑎1, 𝑚𝑎2) + (𝑚𝑏1, 𝑚𝑏2)
= 𝑚(𝑎1, 𝑎2) + 𝑚(𝑏1, 𝑏2)
= m𝑢⃗⃗+ m𝑤⃗⃗⃗
Pada 𝑹 𝟑
1. 𝑢⃗⃗ + 𝑣⃗ = 𝑣⃗ + 𝑢⃗⃗
Misalnya vektor 𝑢⃗⃗= (`𝑎1, 𝑎2, 𝑎3) dan 𝑣⃗ = (𝑏1, 𝑏2, 𝑏3), maka :
𝑢⃗⃗ + 𝑣⃗ = (𝑎1
, 𝑎2, 𝑎3) + (𝑏1, 𝑏2 , 𝑏3)
= (`𝑎1 + 𝑏1) , (`𝑎2 + 𝑏2 ), (𝑎3 + 𝑏3)
= (`𝑏1 + 𝑎1) , (`𝑏2 + 𝑎2), (𝑏3 + 𝑎3)
= (𝑏1, 𝑏2, 𝑏3) + (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3)
= 𝑣⃗ + 𝑢⃗⃗
2. 𝑢⃗⃗ + (𝑣⃗ + 𝑤⃗⃗⃗) = (𝑢⃗⃗ + 𝑣⃗) + 𝑤⃗⃗⃗
Misalnya vektor 𝑢⃗⃗= (`𝑎1, 𝑎2, 𝑎3), 𝑣⃗ = (𝑏1, 𝑏2, 𝑏3), dan 𝑤⃗⃗⃗ = (𝑐1, 𝑐2, 𝑐3),
maka :
𝑢⃗⃗ + ( 𝑣⃗ + 𝑤⃗⃗⃗) = (𝑎1
, 𝑎2, 𝑎3)+ [(𝑏1, 𝑏2, 𝑏3) + (𝑐1, 𝑐2, 𝑐3)
= (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3) + [(`𝑏1 + 𝑐1) ,( 𝑏2 + 𝑐2), ( 𝑏3 + 𝑐3)
= 𝑎1 + (𝑏1 + 𝑐1), 𝑎2 + (𝑏2 + 𝑐2), 𝑎3 + (𝑏3 + 𝑐3 )
= (𝑎1 + 𝑏1) + 𝑐1, (𝑎2 + 𝑏2) + 𝑐2, (𝑎3 + 𝑏3) + 𝑐3
= [(𝑎1 + 𝑎2), (𝑏1 + 𝑏2),(𝑎3 + 𝑏3)] + (𝑐1, 𝑐2, 𝑐3)
= [(𝑎1, 𝑎2, 𝑎3),( 𝑏1, 𝑏2, 𝑏3 )0 + ( 𝑐1, 𝑐2, 𝑐3)
= (𝑢⃗⃗ + 𝑣⃗) + 𝑤⃗⃗⃗

5. 3. 𝑚𝑢⃗⃗ = 𝑢⃗⃗𝑚
Misalnya vektor 𝑢⃗⃗= (`𝑎1, 𝑎2, 𝑎3), maka :
𝑚𝑢⃗⃗ = 𝑚(`𝑎1, 𝑎2, 𝑎3),
= 𝑚𝑎1, 𝑚𝑎2, 𝑚𝑎23
= 𝑎1 𝑚, 𝑎2 𝑚, 𝑎3 𝑚
= (`𝑎1, 𝑎2, 𝑎3)𝑚
= 𝑢⃗⃗𝑚
4. m (n𝑢⃗⃗) = (mn) 𝑢⃗⃗
Misalnya vektor 𝑢⃗⃗ = (`𝑎1, 𝑎2, 𝑎3)maka :
m (n𝑢⃗⃗) = m [m (`𝑎1, 𝑎2, 𝑎3)]
= m [𝑛𝑎1, 𝑛𝑎2, 𝑛𝑎3]
= 𝑚𝑛𝑎1, 𝑚𝑛𝑎2, 𝑚𝑛𝑎3
= mn (`𝑎1, 𝑎2 , 𝑎3 )
= (mn) 𝑢⃗⃗
5. (m + n) 𝑢⃗⃗ = m𝑢⃗⃗ + n𝑢⃗⃗
Misalnya vektor 𝑢⃗⃗ = (`𝑎1, 𝑎2, 𝑎3)maka :
(m + n) 𝑢⃗⃗ = (m + n) ((`𝑎1, 𝑎2, 𝑎3)
= (m + n) 𝑎1, (m + n) 𝑎2, (m + n) 𝑎3
= (m 𝑎1+ n𝑎1) , (m𝑎2 + n𝑎2) , (m𝑎3 + n𝑎3)
= (m 𝑎1, m𝑎2, m𝑎3 ) + (n𝑎1, n𝑎2, n𝑎3)
= m (`𝑎1, 𝑎2, 𝑎3)+ n(`𝑎1, 𝑎2, 𝑎3)
= m 𝑢⃗⃗ + n𝑢⃗⃗
6. m (𝑢⃗⃗ + 𝑤⃗⃗⃗ ) = m𝑢⃗⃗+ m𝑤⃗⃗⃗
Misalnya vektor 𝑢⃗⃗= (`𝑎1, 𝑎2, 𝑎3) dan 𝑣⃗ = (𝑏1, 𝑏2, 𝑏3), maka :
m (𝑢⃗⃗ + 𝑤⃗⃗⃗ ) = m [(`𝑎1, 𝑎2, 𝑎3) +(𝑏1, 𝑏2 , 𝑏3)]
= m [(`𝑎1 + 𝑏1) , (`𝑎2 + 𝑏2), (𝑎3 + 𝑏3)]
= m (`𝑎1 + 𝑏1) , m(`𝑎2 + 𝑏2), m(𝑎3 + 𝑏3)]
= (𝑚𝑎1 + 𝑚𝑏1) , (`𝑚𝑎2 + 𝑚𝑏2 ), (𝑚𝑎3 + 𝑚𝑏3 )
= (𝑚𝑎1, 𝑚𝑎2, (𝑚𝑎3) + (𝑚𝑏1, 𝑚𝑏2 , (𝑚𝑏3)

6. = 𝑚(`𝑎1, 𝑎2, 𝑎3) + 𝑚(𝑏1, 𝑏2, 𝑏3)
= m𝑢⃗⃗+ m𝑤⃗⃗⃗
D. Vektor Satuan dari Suatu Vektor yang Ditentukan
Vektor Satuan adalah sebuah vektor yang besarnya 1 (satu). Jika A adalah
sebuah vektor yang besarnya A ≠ 0 maka
𝐴
𝐴
adalah sebuah vektor satuan yang
arahnya sama dengan A. Vektor satuan merupakan vektor yang panjangnya
satu satuan.
Misalkan 𝑎⃗ adalah sebarang vektor dalam bidang yang bukan merupakan
vektor nol, dinyatakan dalam bentuk 𝑎⃗ = ( 𝑥
𝑦
). vektor satuan dari vektor
𝑎⃗dilambangkan dengan 𝑒̂ (dibaca: e topi).
Misalkan vektor 𝑎⃗= ( 𝑥
𝑦
)
Vektor satuan dari 𝑎⃗ ditentukan dengan rumus:
𝑒̂ =
𝑎⃗⃗
| 𝑎⃗⃗|
=
𝑎⃗⃗
√𝑥2 + 𝑦2
=
1
√𝑥2 + 𝑦2
( 𝑥
𝑦
)
Contoh :
Hitunglah besar (panjang) vektor dan vektor satuan dari vektor A = (3
4
)`
Solusi
Diketahui : A = (3
4
)`
Ditanya : | 𝐴| ?
Vektor Satuan (A) ?
Panjang Vektor, | 𝐴| = √ 𝑎2 + 𝑏2 = √32 + 42 = √25 = 5
Vektor Satuan, A =
1
√𝑎2 + 𝑏2 ( 𝑎
𝑏
) =
1
5
(3
4
) = (
3
5⁄
4
5⁄
)
E. Persamaan Vektor Garis Lurus
Sebuah garis lurus akan tertentu bila diketahui dua titik pada

7. Misalkan titik P ( x1, y1, z1 ) dan R ( x2, y2, z2 ), maka
OP=[x1, y1, z1], OR =[x2, y2, z2 ] dan PR = [ x2-x1, y2-y1, z2-z1 ]
Untuk sembarang titik Q(x,y,z) pada garis g berlaku PQ= PR
Jelas bahwa : OQ = OP + PQ
[ 𝑥, 𝑦, 𝑧] = [ 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1] + l[ 𝑥2 − 𝑥1, 𝑦2 − 𝑦1, 𝑧2 − 𝑧1]
Adalah persamaan vektoris garis lurus melalui titik P ( x1, y1, z1 ) dan R ( x2,
y2, z2 )
Jadi bila garis lurus melalui titik P ( x1, y1, z1 ) dan mempunyai
vektor arah a = [a,b,c], maka persamaannya adalah :
[ 𝑥, 𝑦, 𝑧] = [ 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1] + l[a,b, c] ……….(**)
Dari persamaan (**) diperoleh 3 persamaan, yaitu :
x = x1 + l a
y = y1 + l b ………(***)
z = z1 + l c
yang disebut persamaan parameter garis lurus.
Kemudian bila a  0, b  0, c  0, l kita eliminasikan dari
persamaan (***), diperoleh :
l = = =
yang disebut persamaan linier garis lurus
F. Perbedaan Medan Vektor dan Medan Skalar
Medan Skalar, jika pada tiap-tiap titik(x,y,z) dari suatu daerah R dalam ruang
dikaitkan sebuah bilangan atau skalar ∅ (x,y,z) maka ∅ disebut fungsi skalar
dari kedudukan atau fungsi titik skalar (skalar point function) dan kita
mengatakan bahwa sebuah medan skalar ∅ telah didefinisikan dalam R.
Contoh-contoh : 1. temperatur pada setiap titik di dalam atau diatas permukaan
bumi pada suatu saat tertentu mendefinisikan sebuah medan skalar.
2. ∅(x,y,z)=x3y-z2 mendefinisikan sebuah medan skalar
a
xx )( 1
b
yy )( 1
c
zz )( 1

8. Sebuah medan skalar yang tak bergantung pada waktu disebut medan skalar
stasioner atau keadaan tunak.
Medan Vektor, jika tiap-tiap titik(x,y,z) dari suatu daerah R dalam ruang
dikaitkan sebuah vektor V(x,y,z), maka V disebut fungsi vektor dari kedudukan
atau fungsi titik vektor(vektor point function) dan kita dapat mengatakan
bahwa sebuah medan vektor V telah didefinisikan ke dalam R.
Contoh-contoh :
1. Jika kecepatan pada setiap titik (x,y,z) dalam sebuah fluida yang sedang
bergerak diketahui pada suatu saat tertentu, maka sebuah medan vektor
terdefinisikan.
2. V(x,y,z)= xy2i-2yz3j+x2zk mendefinisikan sebuah medan vektor
Sebuah medan vektor yang tak bergantung pada waktu disebut medan vektor
stasioner atau keadaan tunak(steady state).