Dokumen tersebut membahas tentang sistem bilangan dan operasi matematika pada sistem bilangan biner. Secara singkat, dibahas tentang konversi antar sistem bilangan desimal, biner, oktal dan heksadesimal serta operasi dasar seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian pada sistem bilangan biner beserta penggunaan komplemen untuk mempermudah operasi pengurangan.

1. Kuliah 1 : Sistem Bilangan
1

2. Pendahuluan





Komputer digital -> sistem yang memproses informasi
diskrit
Elemen diskrit -> biner (0/1)
Input yang bukan bilangan biner diubah terlebih dahulu
ke dalam bilangan biner.
Sistem bilangan : base atau radix (r)
Macam sistem bilangan :





Desimal : r=10
Biner : r=2
Oktal : r=8
Heksadesimal r=16
dsb
2

3. Sistem-Sistem Bilangan
 Sistem-Sistem
Bilangan secara matematis:
Bilangan : Dr = d n −1d n − 2  d1d 0 , d −1  d − n
Nilai :
Dr = ∑i = − n d i × r i
n −1
 Contoh-2:
 desimal:
5185.6810 = 5x103 + 1x102 + 8x101 + 5x100 + 6 x 10-1 + 8 x 10-2
= 5x1000 + 1x100 + 8x10 + 5 x 1 + 6x.1 + 8x.01
 biner
(radiks=2, digit={0, 1})
100112 = 1 × 16 + 0 × 8 + 0 × 4 + 1 × 2 + 1 × 1 = 1910
|
|
MSB
LSB
3
101.0012 = 1x4 + 0x2 + 1x1 + 0x.5 + 0x.25 + 1x.125 = 5.12510

4. Sistem-Sistem Bilangan Umum
Sistem
Radiks
Desimal
r=10
{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
Biner
r=2
{0,1}
Oktal
r= 8
{0,1,2,3,4,5,6,7}
Heksadesimal
r=16
{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A, B, C, D, E, F}
2
4
Desimal
0
1
Heksa 0 1
Biner 0000 0001
Oktal
0
1
3
2
3
Himpunan/elemen Digit
5
4
25510
111111112
6
5
Contoh
7
6
8
7
3778
9
8
FF16
10 11 12 13 14 15
9
A
B
C
D
E
F
0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111
2
3
4
5
6
7
10 11 12 13 14 15 16 17
4

5. 1.1 Konversi Bilangan
5

6. Radiks-r ke desimal
 Ekspansikan
dgn menggunakan definisi berikut
Dr = ∑ i = − n d i × r
n −1
 Contoh-2:
 1101.1012 =
i
1×23 + 1×22 + 1×20 + 1×2-1 + 1×2-3
= 8 + 4 + 1 + 0.5 + 0.125 = 13.62510
 572.68 =
8
5×82 + 7×81 + 2×80 + 6×8-1
= 320 + 56 + 16 + 0.75 = 392.7510
6

7. Radiks-r ke desimal (lanj.)
 2A.816 =
2×161 + 10×160 + 8×16-1
16
= 32 + 10 + 0.5 = 42.510
 132.34 =
1×42 + 3×41 + 2×40 + 3×4-1
= 16 + 12 + 2 + 0.75 = 30.7510
 341.245 =
5
3×52 + 4×51 + 1×50 + 2×5-1 + 4×5-2
= 75 + 20 + 1 + 0.4 + 0.16 = 96.5610
7

8. Desimal ke biner
 Untuk
bilangan desimal bulat
 Gunakan
pembagian dgn 2 secara suksesif sampai
sisanya = 0.
 Sisa-sisa pembagian membentuk jawaban, yaitu
sisa yang pertama akan menjadi least significant bit
(LSB) dan sisa yang terakhir menjadi most
significant bit (MSB).
8

9. Desimal ke biner (lanj.)
 Contoh:
Konversi 17910 ke biner:
179 / 2 = 89 sisa 1 (LSB)
/ 2 = 44 sisa 1
/ 2 = 22 sisa 0
/ 2 = 11 sisa 0
/ 2 = 5 sisa 1
/ 2 = 2 sisa 1
/ 2 = 1 sisa 0
/ 2 = 0 sisa 1
(MSB)
⇒ 17910 = 101100112
9

10. Desimal ke biner (lanj.)
 Untuk
bilangan desimal di belakang koma
 kalikan
dengan 2 secara berulang sampai fraksi hasil
perkalian = 0 (atau sampai jumlah penempatan biner
yang diharapkan).
 Digit
kesleuruhan hasil perkalian memrupakan
jawaban, dengan yang pertama  MSB, dan yang
terakhir LSB.
10

11. Desimal ke biner (lanj.)

Contoh: Konversi 0.312510 ke biner
Digit hasil
.3125 × 2
=
0.625
0
.625 × 2
=
1.25
1
.25 × 2
=
0.50
0
.5 × 2
=
1.0
1
(MSB)
(LSB)
⇒ 0.312510 = .01012
11

12. Desimal ke Oktal

Untuk bilangan bulat
 Gunakan pembagian dgn 8 secara suksesif sampai
sisanya = 0.
 Sisa-sisa pembagian membentuk jawaban, yaitu sisa
yang pertama akan menjadi LSB dan sisa yang
terakhir menjadi MSB.

Untuk bilangan desimal di belakang koma :
 kalikan dengan 8 secara berulang sampai fraksi hasil
perkalian = 0 (atau sampai jumlah penempatan biner
yang diharapkan).
 Digit keseluruhan hasil perkalian merupakan jawaban,
dengan yang pertama  MSB, dan yang terakhir
LSB.
12

13. Desimal ke Oktal (lanj.)
Contoh : Konversi 153.513 ke oktal sampai 8 angka di belakang
koma
 Untuk bilangan desimal bulat 153
153 / 8 = 19 sisa 1 (LSB)
/ 8 = 2 sisa 3
/ 8 = 0 sisa 2 (MSB)
⇒ 15310 = 2318

Untuk bilangan desimal dibelakang koma 0.513
0.513 x 8 = 4.104
0.104 x 8 = 0.832
0.832 x 8 = 6.656
0.656 x 8 = 5.248
0.248 x 8 = 1.984
0.984 x 8 = 7.872
4
0
6
5
1
7
(MSB)
(LSB)
⇒ 0.51310 = .4065178
Sehingga 153.51310 = 231.4065178
13

14. Biner ke Oktal/Heksadesimal
 Base/radix
oktal = 8 = 23
 Base/radix heksadesimal =16 = 2 4
 Konversi dari biner ke oktal maupun ke
heksadesimal dilakukan dengan cara
mengelompokkan bilangan biner tiap 3
digit (oktal) atau 4 digit (heksadesimal)
dimulai dari tanda koma ke kiri dan ke
kanan.
14

15. Biner ke Oktal/Heksadesimal
 Contoh
 (10
:
110 001 101 011 . 111 100 000 110) 2 =
(2 6
(
1
5
3
.
7
4
0
6 )8
10 1100 0110 1011 . 1111 0000 0110) 2 =
( 2
C
6
B
.
F
0
6 )16
15

16. Oktal/Heksadesimal ke Biner
 Setiap
digit oktal dikonversi ke 3 digit biner
yang ekivalen.
 Setiap digit heksadesimal dikonversi ke 4
digit biner yang ekivalen.
 Contoh :
 (673.124)8
 (306.D)16
= ( 110 111 011 . 001 010 100 )2
= ( 0011 0000 0110 . 1101 )2
16

17. 1.2 Operasi Matematika
Biner
Penjumlahan
Pengurangan
Perkalian
Pembagian
17

18. Penjumlahan aritmatika Biner
 Mirip
spt penjumlahan bil. Desimal, dua
bil. biner dijumlahkan melalui
penambahan setiap pasangan bit-bit
bersamaan dengan propagasi carry.
 Contoh:
Cout dr bit ke-5
= Cin dr bit ke-6
18

19. Pengurangan aritmatika Biner
 Dua
bil. Biner dikurangkan melalui
pengurangan setiap pasangan bit-bit berikut
suatu borrowing, jika diperlukan.
 Contoh:
19

20. Perkalian Biner
 Contoh:
11
X 13
-------33
11
______
143
11 x 13 = ?
1011
multiplicand (4 bits)
X 1101
multiplier (4 bits)
------------------1011
0000
1011
1011
--------------------10001111
Hasil kali (8 bits)
20

21. Pembagian Biner
 Contoh
: 15 : 3 = ?
15 = 1111
3 = 11
11
11 1111
11
0011
11 00
21

22. Pembagian Biner
 Contoh
: 33 : 11 = ?
33 = 100001
11 = 1011
1011
011
100001
0000
10000
1011 1011
1011 0000
22

23. Latihan konversi bilangan
1. Konversi desimal ke biner, oktal, heksa
a. 1231
b. 673.23
2. Konversi biner ke desimal, oktal, heksa
a. 101110
b. 1110101.11
3. Konversi oktal ke biner
a. 623
b. 715
4. Konversi heksa ke biner
a. 15F
b. A7
23

24. Latihan op. aritmatika biner
Lakukan operasi aritmatika biner :
 80 : 20 = ?
 13 x 7 = ?
 46 + 27 = ?
 89 – 24 = ?
24

25. 1.3 Komplemen
25

26.  Komplemen
digunakan untuk menyederhanakan
operasi pengurangan atau untuk manipulasi
logika.
 Ada 2 macam :
 r’s
komplemen
 (r-1)’s komplemen
 Contoh
:
 r=10
(desimal) : 10’s dan 9’s komplemen
 r=2 (biner) : 2’s dan 1’s komplemen
 dst
26

27. r’s komplemen
⇒ r’s = ( rn – N)
⇒




N : bilangan
r : basis bil.
n : jumlah digit N
10’s komplemen dari 546700
= 1000000 – 546700 = 453300
10’s komplemen dari 012398
= 1000000 – 012398 = 987602
2’s komplemen dari 1011000
= 10000000 – 1011000 = 0101000
2’s komplemen dari 0101101
= 10000000 – 0101101 = 1010011
27

28. (r-1)’s komplemen
⇒ (r-1)’s = rn - rm – N
⇒ N : bilangan r : basis bil. n : jumlah digit integer N
m : jumlah digit pecahan N




9’s komplemen dari 546700
= 106 - 100 – 546700 = 453299
9’s komplemen dari 0.3267
= 100 - 104 – 0.3267 = 0.6732
1’s komplemen dari 1011000
= 27 – 20 – 1011000 = 0100111
1’s komplemen dari 0101101
= 27 - 20 – 0101101 = 1010010
28

29. Rumusan :
r’s complement = (r-1)’s complement +1
(r-1)’s complement = r’s complement - 1
29

30. 1.4 Operasi Aritmatika
Menggunakan Komplemen
30

31. Pengurangan dengan
2’s Komplemen
 Pengurangan
2 n-digit bilangan M-N pada basis
r dapat dilakukan sbb :
 Tambahkan
M dengan r’s komplemen dari N
M + ( rn – N ) = M - N + r n
 Jika M>=N, hasil penjumlahan menghasilkan carry
(sisa), yang kemudian dibuang dengan cara
mengurangi dengan rn.
hasil akhir = M - N
 Jika M<N, hasil penjumlahan tidak menghasilkan
carry
hasil = rn – ( N – M )
hasil akhir diperoleh dari r’s komplemen dari hasil
hasil akhir = - r’s komplemen (hasil)
31

32. Contoh (1)
Menggunakan 10’s komplemen, lakukan
pengurangan 72532 – 3250.
M=
10’s komplemen N =
Jumlah =
Buang carry 105 =
Hasil =
72532
96750 +
169282
100000 –
69282
32

33. Contoh (2)
Menggunakan 10’s komplemen, lakukan
pengurangan 3250 - 72532.
M=
10’s komplemen N =
Jumlah =
03250
27468 +
30718
Hasil = -(10’s komplemen 30718) = -69282
33

34. Contoh (3)
Menggunakan 2’s komplemen, lakukan
pengurangan 1010100 – 1000011
M=
1010100
2’s komplemen N =
0111101 +
Jumlah = 10010001
Buang carry 27 = 10000000 0010001
34

35. Contoh (4)
Menggunakan 2’s komplemen, lakukan
pengurangan 1000011 – 1010100
M
2’s komplemen N
Jumlah
= 1000011
= 0101100 +
= 1101111
Hasil = - (2’s komplemen 1101111) = -0010001
35

36. Pengurangan dengan
1’s Komplemen
 Pengurangan
2 n-digit bilangan M-N pada basis
r dapat dilakukan sbb :
 Tambahkan
M dengan r’s komplemen dari N
M + ( r n – r m – N ) = M - N + r n - rm
 Jika M>=N, hasil penjumlahan menghasilkan carry
(sisa), yang kemudian dibuang dengan cara
menambahkan carry ke hasil penjumlahan
 Jika M<N, hasil penjumlahan tidak menghasilkan
carry. Hasil akhir diperoleh dari (r-1)’s komplemen
dari hasil.
hasil akhir = - (r-1)’s komplemen (hasil)
36

37. Contoh (1)
X – Y = 1010100 – 1000011
X
1’s komplemen N
Jumlah
Tambahkan carry
=
1010100
=
0111100 +
= 10010000
=
1 +
0010001
37

38. Contoh (2)
X – Y = 1000011 – 1010100
M
1’s komplemen N
Jumlah
= 1000011
= 0101011 +
= 1101110
Hasil = - (1’s komplemen 1101110) = -0010001
38

39. 1.5 Kode Biner
39

40. Kode Desimal
 Kode
biner untuk bilangan desimal
minimum terdiri dari 4 digit.
 Ada 5 macam kode desimal :
 BCD
(Binary Code Decimal) atau 8421
 Excess-3, diperoleh dari BCD + (11) 2
 84-2-1
 2421
 Biquinary
atau 5043210
40

41. Tabel Kode Desimal
Desimal
BCD
(8421)
Excess-3
84-2-1
2421
Biquinary
504321
0
0000
0011
0000
0000
0100001
1
0001
0100
0111
0001
0100010
2
0010
0101
0110
0010
0100100
3
0011
0110
0101
0011
0101000
4
0100
0111
0100
0100
0110000
5
0101
1000
1011
1011
1000001
6
0110
1001
1010
1100
1000010
7
0111
1010
1001
1101
1000100
8
1000
1011
1000
1110
1001000
9
1001
1100
1111
1111
1010000
41

42. Konversi Desimal ke Kode Biner
 Setiap
digit bilangan desimal di konversi
ke n-digit kode desimal.
 Contoh : Bilangan desimal 639
 BCD
 Excess-3
 84-2-1
 2421
 Biquinary
: 0110 0011 1001
: 1001 0110 1100
: 1010 0101 1111
: 1100 0011 1111
: 1000010 0101000 1010000
42

43. Komplemen
 9’s
komplemen dari suatu bilangan desimal
diperoleh mengubah 1 jadi 0 dan 0 jadi 1,
kecuali BCD.
 Contoh :
 395
dengan 2421 = 0011 1111 1011
9’s komplemen dari 395 = 1100 0000 0100 =
604
 123 dengan BCD = 0001 0010 0011
9’s komplemen dari 123 = 1110 1101 1100 = xxx
43

44. Kode Pendeteksian Error
 Pengiriman
data melalui media kabel
ataupun yang lain kadang menimbulkan
error.
 Error terjadi ketika data yang diterima
tidak sesuai dengan data yang dikirim
atau perubahan 0 jadi 1 atau sebaliknya.
 Pendeteksian error dapat dilakukan
dengan menambahkan satu bit (parity bit)
pada akhir data.
44

45. Parity Bit
 Merupakan
ekstra bit yang disisipkan
pada pesan untuk menjadikan total 1’s
yang dikirim genap atau ganjil.
 Macam
 Odd
Parity (parity ganjil)
 Even Parity (parity genap)
45

46. Odd Parity
Even Parity
Message
P
Message
P
0000
1
0000
0
0001
0
0001
1
0010
0
0010
1
0011
1
0011
0
0100
0
0100
1
0101
1
0101
0
0110
1
0110
0
0111
0
0111
1
1000
0
1000
1
1001
1
1001
0
1010
1
1010
0
1011
0
1011
1
1100
1
1100
0
1101
0
1101
1
1110
0
1110
1
1111
1
1111
46
0

47.  Keunggulan
gray
code daripada
bilangan biner bahwa
hanya satu bit yang
berubah untuk ke
bilangan selanjutnya
Gray Code
0
0000
1
Gray Code
Desimal
0001
2
0011
3
0010
4
0110
5
0111
6
0101
7
0100
8
1100
9
1101
10
1111
11
1110
12
1010
13
1011
14
1001
15
47
1000

48. Kode ASCII
 ASCII
(American Standard Code fir
Information Interchange)
 Terdiri dari 128 karakter, yaitu :
 26
huruf besar (A sampai Z)
 26 huruf kecil (a sampai z)
 10 numerik (1 sampai 9)
 32 karakter spesial , spt %, * dan $
 34 karakter nonprinting
48

49. b7b6b5
b4b3b2b1
000
001
010
011
100
101
110
111
0000
NUL
DLE
SP
0
@
P
`
p
0001
SOH
DC1
!
1
A
Q
a
q
0010
STX
DC2
“
2
B
R
b
r
0011
ETX
DC3
#
3
C
S
c
s
0100
EOT
DC4
$
4
D
T
d
t
0101
ENQ
NAK
%
5
E
U
e
u
0110
ACK
SYN
&
6
F
V
f
v
0111
BEL
ETB
‘
7
G
W
g
w
1000
BS
CAN
(
8
H
X
h
x
1001
HT
EM
)
9
I
Y
i
y
1010
LF
SUB
*
:
J
Z
j
z
1011
VT
ESC
+
;
K
[
k
{
1100
FF
FS
,
<
L
l
|
1101
CR
GS
-
=
M
m
}
]49

50. Contoh
 Huruf
‘A’ memiliki kode ASCII 1000001
(kolom 100, baris 0001)
 Karakter ‘{‘ memiliki kode ASCII 1111011
 Dsb.
50

51. Latihan
1. Lakukan proses pengurangan dengan
dan tanpa komplemen (ubah dulu ke
biner) :
482 – 256 = ?
2. Lakukan pengurangan 2 bilangan
dengan menggunakan komplemen
(ubah dulu ke biner)
324 – 742 = ?
51