1. UNIVERSIDAD ESTATAL DE BOLIVAR
FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS, GESTION
EMPRESARIAL E INFORMATICA
ESCUELA DE SISTEMAS
ARQUITECTURA DE HARDWARE
Cap. 2 ALGEBRA BOOLEANA Y
COMPUERTAS LOGICAS
Ing. Roberto Rodríguez
Octubre 2012
2. Algebra Booleana y compuertas logicas
Temario :
• Introducción
•Electrónica Digital
• Algebra de Boole o Booleana.
• Símbolos y funciones lógicas.
•Operaciones con compuertas lógicas
•Leyes del algebra Booleana y circuitos lógicos.
•Teoremas de Morgan
•Mapas de Karnaugh
3. INTRODUCCIÓN
Después de haber estudiado los sistemas numéricos y las operaciones
básicas que entre ellos se pueden realizar, ahora iniciaremos el estudio
del funcionamiento de los circuitos que forman a los sistemas
electrónicos digitales, que operan mediante el uso de dos valores
binarios , 0 y 1.
Estas operaciones se sustentan en las leyes y reglas de la lógica
matemática, por lo cual se les conoce como funciones lógicas.
Las funciones lógicas que desarrollan los circuitos electrónicos digitales
pueden describirse con base en los postulados del algebra
convencional aplicados a operaciones que manejan únicamente el
valor 1 para la presencia de un voltaje y el valor 0 para la ausencia de
este.
De igual manera estos valores pueden interpretarse como verdadero-
falso , encendido – apagado, esta relación es conocida como lógica
4. ELECTRONICA DIGITAL
TIPOS DE SEÑALES
Una señal es la variación de una magnitud que permite transmitir
información. Las señales pueden ser de dos tipos,analogicas y digitales
Señales Analógicas.- pueden adquirir infinitos valores entre dos extremos
cualesquiera. La variación de la señal forma una grafica continua,
como se muestra en la figura 1
Figura 1.- señal analógica
5. ELECTRONICA DIGITAL
Señales Digitales.- pueden adquirir únicamente valores concretos, es
decir no varían a lo largo de un periodo de tiempo, por ejemplo el
estado de un foco solo puede tener dos valores encendido 1 y apagado
0, a cada valor de una señal digital se llama bit y es la unidad mínima
de información, la figura 2 muestra una grafica digital con dos valores
discretos.
Figura 2.- Señal digital
6. REPRESENTACION DE LAS SEÑALES DIGITALES
Las señales digitales pueden representarse de dos maneras distintas:
Cronogramas y tablas de verdad
CRONOGRAMAS.- son diagramas señal-tiempo, expliquemos con un
ejemplo 1: circuito con pulsador y foco figura 3 y cronograma figura 4
P sin pulsar (0) Foco B OFF (0)
P pulsado (1) Foco B ON (1)
Figura3.- circuito eléctrico Figura4.- Cronograma
7. REPRESENTACION DE LAS SEÑALES DIGITALES
Ejemplo2:circuito con pulsador y dos focos figura 5 y cronograma figura6
P sin pulsar (0) Foco1 (B1) ON (1) Foco2 (B2) ON (1)
P pulsado (1) Foco1 (B1) ON (1) Foco2(B2) OFF (0)
Figura5.- circuito eléctrico Figura6.- Cronograma
8. TABLA DE VERDAD
En este tipo de representación no se utiliza el tiempo. Es una tabla en la
que se presentan las señales de entrada así como las señales de salida
que corresponden a cada estado.
Realicemos la tabla de verdad para el ejemplo 1 y 2, en las tablas 1 y 2 se
muestra las tablas de verdad de estos dos ejemplos
Tabla 1.- Tabla de verdad ejemplo 1 Tabla2.-Tabla de verdad ejemplo
2
9. El área de la matemática que describe simbólicamente las
funciones lógicas referidas es el algebra Booleana
Donde solamente, tanto las variables como el resultado de
las funciones pueden devolver 0 y 1.
George Boole (1815-1864)
Matematico Ingles
Una función booleana toma una o varias F(A) es 1 si A es 0
variables de entrada y da por resultado F(A) es 0 si A es 1
un valor que depende solo de una de Que funcion es?
ellas.
http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Mathematicians/Boole.html
10. SIMBOLOS Y FUNCIONES LOGICAS
El algebra Booleana utiliza tres símbolos conectivos que representan las posibles
relaciones lógicas entre variables:
El signo o símbolo (=), El signo de suma (+) y El signo de multiplicación (x).
Además de un signo de negación, que es una raya horizontal que se traza por encima de
una variable, o grupo de variables para indicar una operación de negación lógica.
Esta algebra es básica para el análisis y diseño de los circuitos electrónicos digitales,
estos circuitos son sistemas físicos reales que utilizan componentes electrónicos que
realizan grandes cantidades de operaciones lógicas a muy altas velocidades
mediante la aplicación de pequeños voltajes que se interpretan como 1(+V) y 0 para
la ausencia de voltaje (0V).
El resultado a la salida de una función lógica dependen tanto del valor que tengan las
variables a la entrada, como de las operaciones que se realicen con estas variables.
El conjunto de las posibles combinaciones de sus entradas y sus resultados se expresan
atraves de una tabla de verdad
11. FUNCIÓN DE IGUALDAD (A=B)
Es la función que representa la igualdad entre los valores de dos o mas
variables. Utiliza el signo igual (=), que indican una situación de
igualdad entre las cantidades o variables que se encuentran del lado
izquierdo y las del lado derecho del signo
12. FUNCIÓN DE NEGACIÓN LOGICA
(NOT)
El signo de negación logica es una linea horizontal que al escribirlo por
encima de una variable invierte el valor logico de esta variable .
La operación logica que realiza se denomina función de negación o
función NOT
13. FUNCIÓN DE DISYUNCIÓN (OR)
Es la operación lógica entre dos o mas variables que llevan entre si el
conectivo +
14. FUNCIÓN DE CONJUNCIÓN (AND)
Es la operación lógica entre dos o mas variables que llevan entre si el
.
conectivo ( )
15. COMBINACIONES ENTRE FUNCIONES BASICAS
FUNCIÓN SUMA (NOR)
Esta función es la combinación entre la función OR y la función NOT por
lo tanto estamos negando la salida de la función OR.
16. COMBINACIONES ENTRE FUNCIONES BASICAS
FUNCIÓN SUMA (NAND)
Esta función es la combinación entre la función AND y la función NOT
por lo tanto estamos negando la salida de la función AND.
17. OPERACIONES CON COMPUERTAS LOGICAS
En electrónica digital se da el nombre de compuerta lógica, a un circuito
lógico cuya salida es el resultado de procesar una o mas variables que
recibe a la entrada, mediante la aplicación de operaciones lógicas dadas
por algún criterio.
Circuito lógico.- es un conjunto de elementos que realizan operaciones
lógicas relacionando cantidades, que pueden ser de valor constante o
variable, para proporcionar finalmente un resultado.
Un circuito lógico puede describirse completamente a través de las tres
operaciones básicas OR,AND y NOT, utilizando para esto compuertas
lógicas como se vera en el siguiente ejemplo.
18. EEJMPLO 1
Para las variables A,B y C dadas en el circuito lógico de la figura 1 obtén
la expresión para la salida S y su tabla de verdad.
figura 1.- circuito lógico para el ejemplo 1
19. EEJMPLO 2
Implementar con compuertas lógicas básicas (AND,OR,NOT) la siguiente
función y obtén su tabla de verdad
20. LEYES DELALGEBRA BOOLEANA
De manera semejante al algebra convencional, en el algebra Booleana
existen leyes y propiedades, así como diversos teoremas cuya aplicación
facilita el análisis de expresiones booleanas o bien de circuitos lógicos.
LEY CONMUTATIVA
Esta ley establece que en una función sea OR o AND, el orden de las
variables no altera el resultado.
A+B=B+A A.B=B.A
LEY ASOCIATIVA
Esta ley establece que el orden en que se agrupen o asocien las variables que
intervienen en una función sea OR o AND no altera el resultado.
(A+B) +C = A+(B+C) (A.B).C = A.(B.C)
LEY DISTRIBUTIVA
En algebra booleana, esta ley tiene el mismo efecto que en el algebra
convencional, esto es:
A.(B+C) = A.B + A.C
21. REGLAS BASICAS DEL ALGEBRA BOOLEANA
estas reglas se aplican en expresiones con una sola variable y se describen
en la siguiente tabla:
Se tiene tres reglas adicionales que se demuestran a partir de la aplicación de las
leyes y de las reglas básicas del algebra booleana :
10.- A+AB=A
11.-
12.- (A+B)(A+C)=A+BC
22. Teoremas de DeMorgan
Ademas de las leyes y reglas expuestas, existen dos teoremas de gran
importancia en laaplicación del algebra booleana; el primero se refiere a que la
negación de la conjunción es equivalente a la disyunción de las negaciones y su
expresión es :
Este teorema se interpreta diciendo que el complemento de un producto es igual
a la suma de los complementos.
El segundo teorema establece que la negación de la disyunción es equivalente a
laconjunción de las negaciones; o tambien que el complemento de una suma es
igual al producto de los complementos, su expresión es:
23. SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES LOGICAS O
BOOLEANAS
Existen varios métodos para simplificar funciones lógicas, veremos los
siguientes:
1.- Por manipulación algebraica
Se simplifica sustituyendo las operaciones usando las reglas, leyes y teoremas
descritos anteriormente, lógicamente solo se aplicaran aquellos que se puedan
aplicar.
Ejemplo:
dada la expresión C.(D+E)+D(D+E), reducirla a su expresión mínima.
Solución:
Paso 1 al aplicar la ley distributiva queda la expresión: C.D+C.E+D.D+D.E
Paso 2 al aplicar la regla D.D=D queda la expresión: C.D+C.E+D+D.E
Paso 3 al aplicar la ley distributiva en el primer y tercer termino
24. CONTINUACION DEL EJEMPLO
Paso 4 al aplicar la regla C+1=1 queda D.1+CE+DE
Paso 5 al aplicar la regla D.1=D queda la expresión: D+C.E+D.E
Paso 6 al aplicar la ley distributiva al primero y tercer termino queda la
expresión: D.(1+E)+C.E
Paso 7 al aplicar la regla 1+E=1 queda la expresión D.1+CE
Paso 8 finalmente se aplica la regla D.1=D para llegar a la expresión simplificada
D+CE
Resultado:
C.(D+E)+D.(D+E)=D+C.E
El resultado obtenido para este ejemplo se puede verificar elborando la tabla de
verdad para ambas expresiones la original y la simplificada, se debe llegar al
mismo resultado para cada combinación de posibles valores de las variables de
entrada .
25. SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES LOGICAS O
BOOLEANAS
2.- TABLAS DE KARNAUGH
Es un sistema muy utilizado para simplificar funciones lógicas complejas, sobre
todo con varias variables (hasta 5 o 6). Como bases fundamentales se deben
establecer:
-existen 2 elevado a la n celdas en el mapa, donde n es el numero de variables
- en cada celda solo puede cambiar un bit (dato) respecto de la anterior.
- las agrupaciones se pueden realizar de múltiples modos pero únicamente en
grupos de : 1,2,4,8,etc.
