Teoría de los números reales

Parte I

Teoría

1

© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002.

Capítulo 1

Números reales

En las siguientes secciones se introducirá el conjunto de los números reales
de forma axiomática, en el sentido de que sus propiedades se deducirán de un
cierto número de proposiciones tomadas como axiomas (hechos que se supone
que cumple este conjunto). De estos axiomas se seguirá que el conjunto de los
números reales tiene una estructura de cuerpo ordenado completo.
Se puede demostrar por simple construcción la existencia de un modelo que
sea un cuerpo ordenado completo. Puede definirse a los números reales a partir
del conjunto de los números racionales; existen dos procedimientos clásicos para
hacer esto: uno es el método de las ”cortaduras” de Dedekind que se analiza
en el libro de Rudin. El otro es el método de las ”sucesiones de Cauchy” de
Cantor que se analiza en el libro de Hamilton y Landin. También es posible
construir un modelo a partir del conjunto de los números naturales, aunque es
más satisfactorio construir primero el conjunto de los números naturales a partir
de nociones primitivas de la teoría de conjuntos, después construir el conjunto
de los números enteros, luego el de los racionales y por último el de los números
reales.
De las observaciones ya hechas es claro que hay varias maneras de construir
un modelo de cuerpo ordenado completo. De este modo no se puede afirmar que
hay un cuerpo ordenado completo único. No obstante, de los modelos obtenidos
por los métodos de construcción sugeridos anteriormente se dice que son iso-
morfos, esto significa que entre cualquier par de modelos se puede establecer
una correspondencia biyectiva compatible con la suma, la multiplicación y la
relación de orden. Además, con base en la teoría de conjuntos elemental, se
puede establecer un razonamiento por el que se demuestra que cualquier par
de cuerpos ordenados completos son isomorfos en el sentido descrito anterior-
mente. Aunque esto no lo desarrollaremos aquí por tratarse de un problema
más de Lógica que de Análisis, para nuestros propósitos esta unicidad (o falta
de ella) no es tan importante, ya que se puede elegir cualquier cuerpo ordenado
completo en particular como modelo para el conjunto de los números reales.

1.1. Propiedades algebraicas
En el conjunto de los números reales R hay dos operaciones internas, deno-
tadas por + y · que se denominan adición y multiplicación, respectivamente.

3


4 CAPÍTULO 1. NÚMEROS REALES

Estas operaciones satisfacen las siguientes propiedades conocidas como axiomas
de cuerpo:

1. Propiedad conmutativa de la adición: para todo a, b ∈ R se cumple
a + b = b + a.
2. Propiedad asociativa de la adición: para todo a, b, c ∈ R se cumple
(a + b) + c = a + (b + c).
3. Existencia de elemento neutro de la adición (o cero): existe en R
el número 0 tal que 0 + a = a + 0 = a, para todo a ∈ R.
4. Existencia de elemento simétrico para la adición (o elemento
negativo): para cada número a en R existe un número −a en R tal que
a + (−a) = (−a) + a = 0.
5. Propiedad conmutativa de la multiplicación: para todo a, b ∈ R se
cumple a · b = b · a.
6. Propiedad asociativa de la multiplicación: para todo a, b, c ∈ R se
cumple a · (b · c) = (a · b) · c.
7. Existencia de elemento neutro de la multiplicación (o unidad):
existe en R el número 1 tal que 1 6= 0 y 1 · a = a · 1 = a, para todo a ∈ R.
8. Existencia de elemento simétrico para la multiplicación (o ele-
mento recíproco): para cada número a 6= 0 en R existe un número 1/a
en R tal que a · (1/a) = (1/a) · a = 1.
9. Propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la adi-
ción: para todo a, b, c ∈ R se cumple a · (b + c) = (a · b) + (a · c) y
(b + c) · a = (b · a) + (c · a).

Se supone que se conoce las consecuencias elementales de estos axiomas por
la teoría general de cuerpos. Sin embargo, a continuación se muestra a modo de
ejemplo algunas propiedades algebraicas de los números reales.

Teorema 1 Si a es un número real cualesquiera, entonces

1. a·0=0
2. (−1) · a = −a
3. −(−a) = a
4. (−1) · (−1) = 1

Demostración: (1) a + a · 0 = a · 1 + a · 0 = a · (1 + 0) = a · 1 = a. Por tanto,
de la unicidad del elemento 0, se sigue a · 0 = 0.
(2) a + (−1) · a = 1 · a + (−1) · a = (1 + (−1)) · a = 0 · a = a · 0 = 0. Por
tanto, de la unicidad del elemento negativo, se sigue (−1) · a = −a.
(3) De (−a) + a = 0 se sigue a = −(−a), por la misma razón de antes.
(4) De (2), tomando a = −1, se tiene (−1) · (−1) = −(−1) = 1, por (3).

Teorema 2 Sean a, b, c tres números reales cualesquiera, se cumple:


1.1. PROPIEDADES ALGEBRAICAS 5

1. Si a 6= 0, entonces 1/a 6= 0 y 1/(1/a) = a
2. Si a · b = a · c y a 6= 0, entonces b = c
3. Si a · b = 0, entonces a = 0 o b = 0

Demostración: (1) Si a 6= 0, existe 1/a. Si fuera 1/a = 0, entonces 1 =
a · (1/a) = a · 0 = 0, lo cual es contradictorio. Por tanto, 1/a 6= 0 y, en
consecuencia, existe 1/(1/a). Además, puesto que (1/a) · a = 1, por la unicidad
del elemento recíproco, se tiene 1/(1/a) = a.
(2) Multiplicando por 1/a ambos miembros de la igualdad, se tiene (1/a) ·
(a · b) = (1/a) · (a · c). Por la propiedad asociativa, tenemos ((1/a) · a) · b =
((1/a) · a) · c, de donde se deduce 1 · b = 1 · c, o sea b = c.
(3) Basta suponer que a 6= 0 y deducir b = 0, porque de lo contrario, a = 0
y acabamos. Supongamos pues que a 6= 0, de la igualdad a · b = a · 0 = 0 y (2)
se sigue b = 0.

Observación 1 Hacemos las siguientes observaciones importantes:

1. A partir de la adición se define la operación de sustracción por

a − b = a + (−b)

para todo a, b ∈ R. De manera similar, a partir de la multiplicación se
define la división por
a 1
=a·
b b
para todo a, b ∈ R y b 6= 0.
2. Por lo general, se omite el uso del punto para denotar la multiplicación y
se escribirá ab en lugar de a · b. Se escribirá a2 en lugar de aa, a3 para
(a2 )a, y en general, para n ∈ N se define

an+1 = (an )a

Por convenio se tiene a0 = 1 y a1 = a para todo a ∈ R. Por inducción se
demuestra que si a ∈ R, entonces

am+n = am an

para todo m, n ∈ N. Si a 6= 0, se utiliza la notación a−1 para 1/a, y si
n ∈ N , se escribirá a−n en lugar de (1/a)n .
3. Se considera al conjunto de los números naturales como un subconjunto
de R al identificar n ∈ N con la suma iterada n veces de la unidad. Del
mismo modo, se identifica 0 ∈ Z con el cero de R, y a la suma iterada n
veces de −1 la identificamos con el número entero −n. Por consiguiente, se
considera también al conjunto de los números enteros como un subconjunto
de R.
4. A los elementos de R que pueden escribirse en la forma m/n, con m, n ∈
Z y n 6= 0, se les llama números racionales. El conjunto de todos los
números racionales en R se denota por la notación usual Q. Se puede
demostrar que Q satisface los axiomas de cuerpo mencionados más arriba.



5. A los elementos de R que no están en Q se les llama números irra-
cionales.

Teorema 3 No existe un número racional r tal que r2 = 2.
Demostración: Supongamos, por el contrario, que p y q son enteros tales que
p
( )2 = 2
q
p
Se puede suponer además que p y q son positivos y que la fracción q es irre-
ducible. De la igualdad anterior se deduce

p2 = 2q 2

que signiﬁca que p2 es par. Entonces p es par, porque si fuera impar sería de
la forma p = 2n + 1, con n ∈ N, y entonces p2 = (2n + 1)2 = 4n2 + 4n + 1 =
2(2n2 + 2n) + 1, esto es impar, que es una contradicción. Por consiguiente, q es
impar ya que no puede tener ningún factor común con p, por hipótesis.
Por otra parte, como p es par, entonces p = 2m para algún m ∈ N, y por
tanto
4m2 = 2q 2
de donde 2m2 = q 2 . Por lo tanto, q 2 es par, y por el razonamiento del párrafo
anterior se sigue que q es par.
En consecuencia, hemos llegado a una contradicción ya que habíamos de-
ducido que q era impar. Por consiguiente, no existen tales p y q y, como conse-
cuencia, no existe un número racional r tal que r2 = 2.
√ √ √
Ejemplo 1 Demostrar que 2 + 3 + 5 es irracional.
Solución: Se hará la √ √ √ por el método de reducción al absurdo.
demostración
Esto es, supondremos que 2+ 3+ 5 es racional y llegaremos a una contradic-
√ √ √ √ √ √
ción. Supongamos que 2 + 3 + 5 = p, p ∈ Q. De aquí, 2 + 3 = p − 5
y, elevando al cuadrado ambos miembros de la igualdad, obtenemos
√ √ √
5 + 2 2 3 = p2 + 5 − 2p 5
√ √ √ p2
2 3+p 5 =
2
Elevando de nuevo al cuadrado, se obtiene
√ √ √ p4
6 + 5p2 + 2p 2 3 5 =
4
De aquí
p4
√ √ √ 4 − 5p2 − 6
2 3 5=
2p
Si p es racional, (p4 /2−5p√ √
2
√ −6)/2p es también racional y, por tanto, de la última
igualdad se deduce que 2 3 5 es racional. Sean m, n ∈ N, con mcd(m, n) = 1,
tales que
√ √ √ m
2 3 5=
n
Entonces, elevando al cuadrado ambos miembros de la igualdad, se obtiene

30n2 = m2


1.2. PROPIEDADES DE ORDEN 7

De donde se deduce que m2 es par y, en consecuencia, m es par. Escribimos
m = 2k, k ∈ N. Entonces tenemos

15n2 = 2k 2

De donde se deduce que n2 debe ser par y, en consecuencia, n es par. Por
consiguiente, m y n son pares, lo que contradice el hecho de que m y n sean
primos entre si.

1.2. Propiedades de orden
La siguiente proposición sobre el conjunto de los números reales se la conoce
como los axiomas de orden: existe un subconjunto no vacío P de R, llamado
el conjunto de los números reales positivos, que satisface las siguientes
propiedades:

1. a, b ∈ P =⇒ a + b ∈ P
2. a, b ∈ P =⇒ ab ∈ P
3. Si a ∈ P , entonces una sola de las siguientes afirmaciones es verdadera

a∈P a=0 −a∈P

Observación 2 Las dos primeras propiedades aseguran la compatibilidad del
orden con las operaciones de adición y multiplicación, respectivamente. La ter-
cera condición se la conoce como propiedad de tricotomía, ya que divide al
conjunto de los números reales en tres partes disjuntas.

Definición 1 Si a ∈ P se dice que a es un número real positivo (o estric-
tamente positivo) y se escribe a > 0. Si a ∈ P ∪ {0}, se dice que a es un
número real no negativo y se escribe a ≥ 0. Si −a ∈ P , se dice que a es
un número real negativo (o estrictamente negativo) y se escribe a < 0.
Si −a ∈ P ∪ {0}, se dice que a es un número real no positivo y se escribe
a ≤ 0.

Definición 2 Dados dos números reales cualesquiera a y b

1. Si a − b ∈ P , entonces se dice que a es estrictamente mayor que b y
escribimos a > b o b < a
2. Si a − b ∈ P ∪ {0}, entonces se dice que a es mayor o igual que b y
escribimos a ≥ b o b ≤ a

Teorema 4 Dados tres números reales cualesquiera a, b y c, se cumplen las
siguientes propiedades:

1. Propiedad transitiva: si a > b y b > c, entonces a > c
2. Propiedad de tricotomía (o de ordenación total): una sola de las siguientes
afirmaciones es verdadera:

a>b a=b a<b

3. Propiedad antisimétrica: si a ≥ b y b ≥ a, entonces a = b

Demostración: (1.) Si a − b ∈ P y b − c ∈ P , entonces por los axiomas de
orden, se sigue (a − b) + (b − c) = a − c ∈ P . Por tanto, a > c.
(2.) Por la propiedad de tricotomía de los axiomas de orden, sólo es ver-
dadera una de las siguientes afirmaciones: a − b ∈ P , a − b = 0, −(a − b) =
b − a ∈ P . Por tanto, tenemos lo que queríamos probar.
(3.) Si fuera a 6= b, por (2) se sigue que, o a > b o bien b > a. En cualquiera
de los dos casos, una de las hipótesis se contradice. Por lo tanto, se debe tener
que a = b.

Teorema 5 Se verifican los hechos siguientes:

1. Si a ∈ R y a 6= 0, entonces a2 > 0
2. 1>0
3. Si n ∈ N, entonces n > 0

Demostración: (1.) Por la propiedad de tricotomía de los axiomas de orden,
si a 6= 0, entonces a ∈ P o bien −a ∈ P . Si a ∈ P , entonces por los axiomas
de orden, se tiene a2 = aa ∈ P . Del mismo modo, si −a ∈ P , entonces por los
exiomas de orden y propiedades de cálculo algebraico se tiene

(−a)(−a) = [(−1)a] [(−1)a] = [(−1)(−1)] a2 = a2 ∈ P

(2.) Puesto que 1 6= 0 y 12 = 1, de (1) se sigue 1 > 0
(3.) La prueba se hace por inducción. La afirmación para n = 1 es verdadera
por (2). Si se supone que la afirmación es verdadera para n = k, entonces k ∈ P .
Puesto que 1 ∈ P , se sigue de los axiomas de orden que k + 1 ∈ P . Por tanto,
la afirmación es verdadera para todos los números naturales.

Teorema 6 Dados cuatro números reales cualesquiera a, b, c y d, se cumplen
las siguientes propiedades:

1. Si a > b, entonces a + c > b + c
2. Si a > b y c > d, entonces a + c > b + d
3. Si a > b y c > 0, entonces a · c > b · c
4. Si a > b y c < 0, entonces a · c 0, entonces a >0
1
6. Si a < 0, entonces a <0

Demostración: (1.) Puesto que (a+c)−(b+c) = a−b ∈ P , se tiene a+c > b+c.
(2.) Si a − b ∈ P y c − d ∈ P , entonces por los axiomas de orden, se tiene
(a + c) − (b + d) = (a − b) + (c − d) ∈ P . Por tanto, a + c > b + d.
(3.) Si a − b ∈ P y c ∈ P , entonces por los axiomas de orden, se tiene
a · c − b · c = (a − b) · c ∈ P . Por tanto, a · c > b · c.
(4.) Del mismo modo que antes, si a − b ∈ P y −c ∈ P , entonces b · c − a · c =
(a − b) · (−c) ∈ P . Por tanto, a · c < b · c.

1.2. PROPIEDADES DE ORDEN 9

(5.) Si a > 0, por la propiedad de tricotomía se sigue a 6= 0. De aquí se tiene
1 1 1
a 6= 0. Si fuera a < 0, por (4) se tendría a · a = 1 < 0, que contradice el hecho
1
de que 1 > 0. Por lo tanto, se tiene a > 0 ya que las otras dos posibilidades se
han excluido.
1
(6.) Del mismo modo que antes, si a < 0, entonces la posibilidad a > 0 lleva
1
de nuevo a la contradicción 1 = a · a < 0.

Observación 3 Hemos visto que para todo n ∈ N se tiene n > 0 y, por tanto,
1
n > 0, es decir, se deduce que el inverso de cualquier número natural es positivo.
Por consiguiente, los números racionales de la forma m = m · n , donde m y n
n
1

son números naturales, son también positivos.

Teorema 7 Dados dos números reales cualesquiera a y b, si a < b, entonces

1
a< (a + b) 0 y, por tanto, 1
2 > 0. De (3) del teorema anterior, se sigue
que
1 1 1
a = (2a) < (a + b) < (2b) = b
2 2 2

Corolario 1 Si b ∈ R y b > 0, entonces 0 < 1 b < b.
2
Demostración: Basta tomar a = 0 en el teorema anterior.

Observación 4 Este último resultado signiﬁca que no puede existir un número
real positivo mínimo.

Teorema 8 Si a ∈ R es tal que 0 ≤ a < para todo número real positivo ,
entonces a = 0.
Demostración: Supongamos por el contrario que a > 0. Entonces, por el coro-
lario anterior, se sigue que
1
0< a<a
2
Ahora bien, si se toma = 1 a, entonces se tiene
2

0< <a

Por lo tanto, es falso que a < para todo número real positivo. En consecuencia,
a = 0.

Observación 5 Este resultado signiﬁca que para demostrar que un número real
a ≥ 0 es igual a 0, basta probar que el número a es menor que cualquier número
real positivo.

Teorema 9 Dados dos números reales cualesquiera a y b, tales que

a− 0, entonces a ≤ b.
Demostración: Supongamos por el contrario que b < a. Entonces a − b > 0 y
por el último corolario, se tiene

1
0< (a − b) < a − b
2

Si se toma = 1 (a − b) > 0, entonces
2

0< <a−b

de donde se obtiene
b<a−
lo cual contradice la hipótesis.

Teorema 10 Si a · b > 0, entonces sólo una de las siguientes aﬁrmaciones es
verdadera:

1. a>0y b>0

2. a<0y b<0

Demostración: (1) Si a · b > 0, entonces a 6= 0 y b 6= 0. Por la propiedad de
1
tricotomía, a > 0 o bien a < 0. Si a > 0, entonces a > 0. De aquí se tiene

1 1
b = 1 · b = ( · a) · b = · (a · b) > 0
a a
1
(2) De forma análoga, si a < 0, entonces a < 0. De donde

1 1
b = 1 · b = ( · a) · b = · (a · b) < 0
a a

Corolario 2 Si a · b < 0, entonces sólo una de las siguientes aﬁrmaciones es
verdadera:

1. a<0y b>0

2. a>0y b<0

Demostración: Si a · b < 0, entonces −(a · b) = (−a) · b = a · (−b) > 0. Por el
teorema anterior se sigue que −a > 0 y b > 0 o bien a > 0 y −b > 0, y de aquí
se tiene lo que queríamos probar.

Ejemplo 2 Examínese con detalle los siguientes ejemplos:

1.3. DESIGUALDADES 11

1. Determinar el conjunto A = {x ∈ R : 5x + 2 ≤ 3}.
Solución:
1
x ∈ A ⇐⇒ 5x + 2 ≤ 3 ⇐⇒ 5x ≤ 1 ⇐⇒ x ≤
5
Por lo tanto, se tiene
½ ¾
1
A= x∈R:x≤
5

© ª
2. Determinar el conjunto B = x ∈ R : x2 + x > 2 .
Solución: La desigualdad se reescribe como sigue

x ∈ B ⇐⇒ x2 + x − 2 > 0 ⇐⇒ (x − 1)(x + 2) > 0

Por lo tanto, se tienen dos casos posibles: (1) x − 1 > 0 y x + 2 > 0 o bien
(2) x − 1 < 0 y x + 2 < 0. En el primer caso, se tienen las desigualdades
x > 1 y x > −2, que se satisfacen si y sólo si x > 1. En el caso (2), se
tienen las desigualdades x < 1 y x < −2 que se satisfacen si y sólo si
x < −2. En consecuencia, se tiene

B = {x ∈ R : x > 1} ∪ {x ∈ R : x < −2}

n o
2x+1
3. Determinar el conjunto C = x ∈ R : x+2 <1 .
Solución:
2x + 1 x−1
x ∈ C ⇐⇒ − 1 < 0 ⇐⇒ <0
x+2 x+2
Por lo tanto, se tienen dos casos (1) x − 1 < 0 y x + 2 > 0 o bien (2)
x − 1 > 0 y x + 2 < 0. En el caso (1) se tienen las desigualdades x < 1
y x > −2, que se satisfacen si y sólo si −2 < x < 1. En el caso (2)
se tienen las desigualdades x > 1 y x < −2, que nunca se satisfacen
simultáneamente. En consecuencia, se tiene

C = {x ∈ R : −2 < x < 1}

1.3. Desigualdades
A continuación se establecen algunas desigualdades importantes que con
frecuencia se usan en el desarrollo del análisis real.

Teorema 11 Sean a ≥ 0 y b ≥ 0, entonces se tienen
√ √
1. a < b ⇐⇒ a2 < b2 ⇐⇒ a < b
√ √
2. a ≤ b ⇐⇒ a2 ≤ b2 ⇐⇒ a ≤ b

Demostración: (1) Distinguimos dos casos: (a) a = 0 y b > 0 y (b) a > 0 y
b > 0.
(a) Para la primera implicación, se tiene b > 0 y por tanto, b2 > 0. Recíp-
rocamente, si b2 = b · b > 0 entonces se tiene claramente b > 0, ya que por
hipótesis b es no negativo. √
√ Para la segunda implicación, si b > 0, entonces b > 0. Puesto que b =
( b)2 , por la primera implicación, se tiene
√ √
0 < ( b)2 = b ⇐⇒ 0 0 y b > 0, se sigue que b + a > 0.
Puesto que b − a > 0 y b2 − a2 = (b + a) · (b − a), tenemos que b2 − a2 > 0.
Recíprocamente, si b2 − a2 = (b + a) · (b − a) > 0, se deduce b − a > 0, ya que
por hipótesis b + a ≥ 0. √ √
Para la segunda implicación, si a > 0 y b > 0, entonces a > 0 y b > 0.
√ 2 √ 2
Puesto que a = ( a) y b = ( b) , por la primera implicación, se tiene
√ √ √ √
a = ( a)2 < ( b)2 = b ⇐⇒ a 0 (c) a > 0
y b > 0. En el primer caso, las implicaciones son evidentes. En los otros dos
casos simplemente hay que repetir los razonamientos anteriores.
Observación 6 En la prueba, se ha supuesto la existencia de las raíces cuadradas
de números reales no negativos.
Teorema 12 Si a ≥ 0 y b ≥ 0, se cumple la desigualdad de la medias
aritmética y geométrica
√ 1
ab ≤ (a + b)
2
La igualdad ocurre si y sólo si a = b. √ √ √ √
Demostración: Si a > 0, b > 0 y a 6= b, entonces a > 0, b > 0 y a 6= b.
√ √ √ √ 2
Además, al ser a− b 6= 0, se tiene ( a− b) > 0. Al desarrollar el cuadrado
se obtiene √ √ √
( a − b)2 = a − 2 ab + b > 0
de donde se sigue que
√ 1
ab < (a + b)
2
Por lo tanto, hemos probado la desigualdad estricta cuando a = b. Si a =
6
b, entonces ambos miembros de la desigualdad son iguales. Con esto hemos
demostrado que la desigualdad es válida para a > 0 y b > 0.
Por otro lado, supongamos que a > 0, b > 0 y que
√ 1
ab = (a + b)
2
Entonces, al elevar al cuadrado ambos miembros de la igualdad y multiplicarlos
por 4, se obtiene
4ab = (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
de donde se deduce
a2 − 2ab + b2 = (a − b)2 = 0
De aquí, se sigue a = b. Por lo tanto, la igualdad signiﬁca que a = b.

1.3. DESIGUALDADES 13

Observación 7 La desigualdad de las medias aritmética y geométrica se gen-
eraliza para los números reales positivos a1 , a2 , ..., an como sigue
a1 + a2 + · · · + an
(a1 a2 · · · an )1/n ≤
n
donde la igualdad ocurre si y sólo si a1 = a2 = · · · = an . Es posible demostrar
este enunciado más general usando la inducción matemática, pero la demostración
es un tanto intrincada. Una demostración más elegante usa las propiedades de
la función exponencial.

Teorema 13 Si x > −1, entonces se cumple la desigualdad de Bernouilli

(1 + x)n ≥ 1 + nx

para todo n ∈ N.
Demostración: La demostración se hace por inducción. El caso n = 1 produce
la igualdad, de donde la aﬁrmación es verdadera en este caso. Ahora, suponemos
la validez de la desigualdad para un entero positivo k, y se debe probar su validez
para k + 1. La hipótesis de inducción

(1 + x)k ≥ 1 + kx

y el hecho de que x + 1 > 0, indican que

(1 + x)k+1 = (1 + x)k (1 + x)
≥ (1 + kx)(1 + x) = 1 + (k + 1)x + kx2
≥ 1 + (k + 1)x

Por tanto, se deduce la desigualdad para k + 1. En consecuencia, la desigualdad
es válida para todo n ∈ N .

Teorema 14 Si n ∈ N y a1 , ..., an , b1 , ..., bn son números reales, entonces se
cumple la desigualdad de Cauchy

(a1 b1 + · · · + an bn )2 ≤ (a2 + · · · + a2 )(b2 + · · · + b2 )
1 n 1 n

Además, si no todas las bi son iguales a cero, entonces la igualdad ocurre si y
sólo si existe un número s ∈ R tal que a1 = sb1 , ..., an = sbn .
Demostración: Para demostrar esto se deﬁne la función F : R → R por

F (x) = (a1 − xb1 )2 + · · · + (an − xbn )2

para x ∈ R. Podemos asegurar que para todo x ∈ R, se tiene F (x) ≥ 0, ya
que se trata de una suma de números reales al cuadrado. Al desarrollar estos
cuadrados, se obtiene una expresión de la forma

F (x) = A − 2Bx + Cx2 ≥ 0

donde se ha hecho

A = a2 + · · · + a2
1 n
B = a1 b1 + · · · + an bn
C = b2 + · · · + b2
1 n



Puesto que la función cuadrática es no negativa para todo x ∈ R, no puede tener
dos raíces reales distintas. Por lo tanto, su discriminante
∆ = 4B 2 − 4AC = 4(B 2 − AC)
debe satisfacer ∆ ≤ 0. En consecuencia, se debe tener
B 2 ≤ AC
que es precisamente la desigualdad de Cauchy.
Si bi = 0 para todo i = 1, ..., n, entonces ocurre la igualdad, cualesquiera
que sean los ai . Supongamos ahora que no todas los bi son iguales a cero. Es
inmediato comprobar que si ai = sbi , para un cierto s ∈ R y i = 1, ..., n, entonces
ambos miembros de la desigualdad son iguales a s2 (b2 +· · ·+b2 )2 . Por otra parte,
1 n
si se cumple la igualdad, entonces ∆ = 0, por lo que existe una única raíz real s
de la ecuación cuadrática F (x) = 0. Pero esto signiﬁca que F (s) = 0, es decir,
(a1 − sb1 )2 + · · · + (an − sbn )2 = 0
lo que sólo es posible si
a1 − sb1 = 0
.
.
.
an − sbn = 0
de donde se inﬁere que ai = sbi para todo i = 1, ..., n.
Teorema 15 Si n ∈ N y a1 , ..., an , b1 , ..., bn son números reales, entonces se
cumple la desigualdad triangular
¡ ¢1/2
(a1 + b1 )2 + · · · + (an + bn )2 ≤ (a2 + · · · + a2 )1/2 + (b2 + · · · + b2 )1/2
1 n 1 n

Además, si no todas las bi son iguales a cero, entonces la igualdad ocurre si y
sólo si existe un número real s tal que a1 = sb1 , ..., an = sbn .
Demostración: Puesto que
(ai + bi )2 = a2 + 2ai bi + b2
i i

para i = 1, ..., n. De la desigualdad de Cauchy, se deduce que
(a1 + b1 )2 + · · · + (an + bn )2 = A + 2B + C
√
≤ A + 2 AC + C
√ √
= ( A + C)2
siendo
A = a2 + · · · + a2
1 n
B = a1 b1 + · · · + an bn
C = b2 + · · · + b2
1 n

De aquí, por una de las equivalencias del apartado 1(b), se deduce que
¡ ¢1/2 √ √
(a1 + b1 )2 + · · · + (an + bn )2 ≤ A+ C
que es la desigualdad triangular. √
Si ocurre la igualdad, entonces se debe tener B = AC, por lo que la igual-
dad se cumple en la desigualdad de Cauchy.


1.4. VALOR ABSOLUTO 15

1.4. Valor absoluto
Definición 3 Si a ∈ R, el valor absoluto de a, denotado por |a|, está definido
por 
 a si a > 0
|a| = 0 si a = 0

−a si a < 0

Observación 8 La propiedad de tricotomía asegura que si a ∈ R y a 6= 0 ,
entonces uno de los números a y −a es positivo. El valor absoluto de a 6= 0 se
define como el número que sea positivo de los dos. El valor absoluto de 0 es 0
por definición.

Teorema 16 Se cumplen las siguientes propiedades:

1. |a| = 0 ⇐⇒ a = 0

2. |−a| = |a|

3. |ab| = |a| |b|

4. Si c ≥ 0, entonces |a| ≤ c si y sólo si −c ≤ a ≤ c

5. − |a| ≤ a ≤ |a|

para todo a, b ∈ R

Demostración: (1.) Si a = 0, entonces |a| = 0. Si a 6= 0, entonces −a 6= 0 y
|a| 6= 0. Por tanto, si |a| = 0, entonces a = 0.
(2.) Si a = 0, entonces |−0| = 0 = |0|. Si a > 0, entonces −a < 0, de manera
que |a| = a y |−a| = −(−a) = a. Si a < 0, entonces −a > 0, de modo que
|a| = −a y |−a| = −a.
(3.) Si a = 0 o b = 0, entonces |ab| como |a| |b| son iguales a cero. Si a > 0 y
b > 0, entonces ab > 0, de donde |ab| = ab = |a| |b|. Si a > 0 y b < 0, entonces
ab < 0, de donde |ab| − ab = a(−b) = |a| |b|. Los otros dos casos se tratan del
mismo modo.
(4.) Supongamos que |a| ≤ c. Entonces se tiene tanto a ≤ c como −a ≤ c, o
sea a ≥ −c. Recíprocamente, si −c ≤ a ≤ c, entonces se tiene tanto a ≤ c como
−a ≤ c. Por tanto, |a| ≤ c.
(5.) Se hace c = |a| y se aplica (4.).

Teorema 17 Para cualesquiera números reales a y b, se cumple la desigual-
dad triangular
|a + b| ≤ |a| + |b|
Demostración: Por el apartado (5.) del teorema anterior, se tiene − |a| ≤ a ≤
|a| y − |b| ≤ b ≤ |b|. Entonces, sumando miembro a miembro, se tiene

−(|a| + |b|) ≤ a + b ≤ |a| + |b|

de donde se deduce la desigualdad triangular.

Corolario 3 Para cualesquiera números reales a y b, se cumple:

1. ||a| − |b|| ≤ |a − b|
2. |a − b| ≤ |a + b|

Demostración: (1.) Se escribe a = a−b+b y se aplica la desigualdad triangular
para obtener
|a| = |(a − b) + b| ≤ |a − b| + |b|
De aquí se obtiene
|a| − |b| ≤ |a − b|
De manera similar, escribimos b = b − a + a y aplicamos la desigualdad trian-
gular, y obtenemos
|b| = |(b − a) + a| ≤ |b − a| + |a|
De aquí, tenemos
− |a − b| = − |b − a| ≤ |a| − |b|
Combinando las dos desigualdades obtenidas, se obtiene la desigualdad pedida.
(2.) Se sustituye b por −b en la desigualdad triangular para obtener

|a − b| ≤ |a| + |−b| = |a| + |b|

Observación 9 Mediante inducción se generaliza la desigualdad triangular para
cualquier número ﬁnito de números reales. Así, para cualesquiera números reales
a1 , a2 , ..., an , se tiene

|a1 + a2 + · · · + an | ≤ |a1 | + |a2 | + · · · + |an |

Ejemplo 3 Examinar con detalle los siguientes ejemplos:

1. Determinar el conjunto A = {x ∈ R : |2x + 3| < 6}.
Solución: Se tiene que

x ∈ A ⇐⇒ |2x + 3| < 6 ⇐⇒ −6 < 2x + 3 < 6

Esta última se satisface si y sólo si −9 < 2x < 3. Dividiendo por 2, se
tiene −9/2 < x < 3/2. Por tanto, A = {x ∈ R : −9/2 < x < 3/2}.
2. Determinar el conjunto B = {x ∈ R : |x − 1| < |x|}.
Solución: Un procedimiento es considerar los casos para los que los sím-
bolos de valor absoluto se pueden omitir. Estos casos son: (a) x < 0, (b)
0 ≤ x < 1, y (c) x ≥ 1. Obsérvese que 1 y 0 son los valores de x en los que
se anulan x − 1 y x, respectivamente, y en consecuencia, donde cambian
de signo.
(a) En este caso, la desigualdad se convierte en −(x − 1) < −x, que es
equivalente a 1 < 0. Puesto que esta aﬁrmación es falsa, ningún valor de
x considerado en este caso satisface la desigualdad.
(b) En este caso, la desigualdad se convierte en −(x − 1) < x, que es
equivalente a x > 1/2. Por tanto, los valores de x que satisfacen 1/2 <
x < 1 cumplen la desigualdad en cuestión.

1.4. VALOR ABSOLUTO 17

(c) En este caso, la desigualdad se convierte en x − 1 < x, que es equiva-
lente a −1 < 0. Puesto que esta aﬁrmación es verdadera, todos los valores
de x considerados en este caso satisfacen la desigualdad.
Combinando los tres casos, se concluye que B = {x ∈ R : x > 1/2}.
Otro procedimiento para determinar B se basa en el hecho de que a < b es
equivalente a a2 < b2 , cuando a ≥ 0 y b ≥ 0. De este modo, |x − 1| < |x| es
equivalente a |x − 1|2 < |x|2 . Puesto que |a|2 = a2 , para cualquier número
real a, se puede desarrollar el cuadrado para obtener

x2 − 2x + 1 < x2

De aquí se tiene
1
x>
2
Por tanto, B = {x ∈ R : x > 1/2}.

3. Dada la función f deﬁnida por

2x2 − 3x + 1
f (x) =
2x − 1

para 2 ≤ x ≤ 3. Determinar una constante M tal que |f (x)| ≤ M , para
todo x que satisface 2 ≤ x ≤ 3.
Solución: Se tiene ¯ 2 ¯
¯ 2x − 3x + 1 ¯
¯ ¯
¯ 2x − 1 ¯ ≤ M

equivalente a
¯ 2 ¯
¯2x − 3x + 1¯
≤M
|2x − 1|
De la desigualdad triangular y del hecho de que |x| ≤ 3, se obtiene
¯ 2 ¯
¯2x − 3x + 1¯ ≤ 2 |x|2 + 3 |x| + 1 ≤ 2 · 32 + 3 · 3 + 1 = 28

Asimismo,

|2x − 1| ≥ |2 |x| − 1| ≥ 2 |x| − 1 ≥ 2 · 2 − 1 = 3

porque |x| ≥ 2. De este modo, tenemos
¯ 2 ¯
¯2x − 3x + 1¯ 28
≤
|2x − 1| 3

Por tanto, se puede tomar M = 28/3. Obsérvese que se ha encontrado una
de tales constantes: es claro que cualquier M > 28/3 también cumplirá
|f (x)| ≤ M . También es posible que 28/3 no sea el menor valor posible de
M.

1.5. La recta real
Una interpretación geométrica y familiar del conjunto de los números reales
es la recta real. En esta representación el valor absoluto |a| de un número real
a se considera como la distancia de a al origen 0. En general, la distancia entre
dos números reales a y b es |a − b|.

Distancia entre a = −2 y b = 3

Deﬁnición 4 Sea a ∈ R y un número real > 0. Se llama entorno de centro
a y radio al conjunto

E (a) = {x ∈ R : |x − a| < }

Observación 10 Obsérvese que la aﬁrmación x ∈ E (a) es equivalente a una
cualquiera de las siguientes proposiciones

− <x−a<

a− <x<a+

Teorema 18 Sea a ∈ R. Si x ∈ E (a) para todo > 0, entonces x = a.
Demostración: Si x es tal que 0 ≤ |x − a| < para todo > 0, entonces
|x − a| = 0. Por tanto, x = a.

Ejemplo 4 Examina los ejemplos siguientes:

1. Sea A = {x ∈ R : 0 < x < 1}. Si a ∈ A, entonces se toma como el menor
de los dos números 1 − a y a. De este modo, E (a) ⊆ A. Por tanto, cada
elemento de A tiene un entorno que está contenido en A.

2. Sea B = {x ∈ R : 0 ≤ x ≤ 1}. Entonces, para cualquier > 0 el entorno
E (0) contiene puntos que no están en B y, en consecuencia, E (0) no
está contenido en B. Por ejemplo, el número x = − /2 está en E (0) pero
no en B.

1.6. LA PROPIEDAD DE COMPLETITUD 19

1.6. La propiedad de completitud
Los axiomas de cuerpo ordenado no son suficientes para caracterizar a los
números reales, porque los números racionales también satisfacen estos axiomas.
Sin embargo, hay números que deberían estar ahí, pero no están; por ejemplo, no
hay ningún número racional que cumpla la ecuación x2 = 2. Necesitamos pues
otra condición que nos asegure la presencia de estos números en el conjunto de
los números reales. Esta condición se conoce como la propiedad de completitud
de los números reales.
Por la propiedad de densidad de los números racionales sabemos que entre
dos números racionales existen infinitos números racionales, por tanto al visu-
alizar el conjunto Q, representando cada uno de sus elementos por un punto,
parecerá como si tuviéramos una recta. Sin embargo, la realidad es que Q no
forma un ”todo continuo”, ya √ como hemos dicho hay números, llamados
que
irracionales, como por ejemplo 2, que reclaman su punto en la recta (huecos).

Los números racionales representados por puntos en un recta.
Por tanto, es evidente que este conjunto carece de números que están todo lo
cercanos que queramos a un número racional, lo que muestra el concepto de
”incompletitud” de Q. En cambio, al representar el conjunto de los números
reales R, formado por la unión del conjunto de los números racionales y del
conjunto de los números irracionales, sí que estamos ante un ”continuo” y cuya
visualización da lugar a lo que llamamos habitualmente recta real

La recta real

Hay varias formas de introducir la propiedad de completitud. Una de ellas,
consiste en introducirla a través de la propiedad del supremo que se toma como
otro axioma de los números reales. Otra, es introducirla a través de la propiedad
de la sucesión monotona. Este otro método, más cercano a nuestra intuición,
√
consiste en construir los números reales, como 2 = 1,414213..., en forma de
límite de una sucesión que lo aproxima.
Aquí introduciremos la completitud de R por la propiedad del supremo,
tomándola como axioma. Una descripción del otro método puede encontrarse
en Marsden y Hoffman.

Definición 5 Sea S un subconjunto de R. Se dice que un número real u es una
cota superior (resp. inferior) de S si para todo s ∈ S se cumple s ≤ u (resp.
u ≤ s).

Observación 11 Hacemos las siguientes constataciones importantes:

1. Un número real v no es una cota superior (resp. inferior) de S si y sólo
si existe algún s0 ∈ S tal que v ≤ s0 (resp. s0 ≤ v)


2. Cualquier número real es una cota superior (resp. inferior) del conjunto
vacío ∅.
3. Un conjunto de números reales puede no tener una cota superior (resp.
inferior). Por ejemplo, el mismo R no tiene cotas superiores ni inferiores.
Sin embargo, si un conjunto de números reales tiene una cota superior
(resp. inferior) tendrá una infinidad de ellas porque si u es una cota supe-
rior (resp. inferior), entonces cualquier número real v tal que u < v (resp.
v < u) también es una cota superior (resp. inferior).

Definición 6 Sea S un subconjunto de R. Se dice que S está acotado supe-
riormente (resp. inferiormente) si tiene una cota superior (resp. inferior).
Se dice que S está acotado si tiene tanto cota superior como inferior.

Definición 7 Sea S un subconjunto de R. Si S está acotado superiormente
(resp. inferiormente), entonces se dice que una cota superior (resp. inferior) u
es un supremo o una mínima cota superior (resp. ínfimo o una máxima
cota inferior) de S, si ningún número menor (resp. mayor) que u es cota
superior (inferior) de S.

Observación 12 Otro modo de definir estos números es: un número real u es
un supremo (resp. ínfimo) de un subconjunto S de R si satisface las siguientes
condiciones:

1. para todo s ∈ S se tiene s ≤ u (resp. u ≤ s)
2. Si s ≤ v (resp. v ≤ s) para todo s ∈ S, entonces u ≤ v (resp. v ≤ u)

De hecho, la condición (1) establece que u es una cota superior (resp. infe-
rior) de S y (2), que u es menor (resp. mayor) que cualquier otra cota superior
(resp. inferior) de S.

Lema 1 Un número real u es el supremo (resp. ínfimo) de un subconjunto S
no vacío de R si y sólo si verifica las siguientes condiciones:

1. No existen números s ∈ S tales que u ≤ s (resp. s ≤ u)
2. Si v < u (resp. u < v), entonces existe un número s0 ∈ S tal que v < s0
(resp. s0 < v)

Demostración: Supongamos que u satisface (1) y (2). La condición (1) implica
que u es una cota superior de S. Si v es cualquier número con v < u, entonces
la condición (2) prueba que v no puede ser cota superior de S. Por lo tanto, u
es un supremo de S.
Recíprocamente, sea u un supremo de S. Dado que u es una cota superior
de S, la condición (1) se satisface trivialmente. Si v < u, entonces v no es cota
superior de S. Por lo tanto, existe algún s0 ∈ S tal que v ≤ s0 .
Del mismo modo se hace la prueba para el caso de que u es un ínfimo de S.

Observación 13 Es claro que sólo puede haber un supremo (ínfimo) para un
subconjunto dado S de R. En efecto, si u1 y u2 son supremos (ínfimos) de S,
entonces ambos son cotas superiores (inferiores) de S. Como u1 es supremo

(ínfimo) de S y u2 es cota superior (inferior) de S, se debe tener u2 ≤ u1
(u1 ≤ u2 ). Siguiendo el mismo razonamiento se prueba que u1 ≤ u2 (u2 ≤ u1 ).
Por consiguiente, en cualquier caso se tiene u1 = u2 .
Cuando estos números existan se denotarán por

sup S y inf S

Es claro que si u es una cota superior arbitraria de S, entonces

sup S ≤ u

Asimismo, si u es una cota inferior arbitraria de S, entonces

u ≤ inf S

Esto quiere decir que sup S (inf S) es la menor (mayor) de las cotas superiores
(inferiores) de S.

sup S y inf S

Lema 2 Una cota superior (resp. inferior) u de un subconjunto no vacío S de
R es el supremo (resp. ínfimo) de S si y sólo si para cada > 0 existe s ∈ S
tal que u − < s (u + > s ).
Demostración: Supongamos que u es una cota superior de S y que satisface
la condición del enunciado. Si v 0 y
entonces existe s ∈ S tal que v = u − < s . Por lo tanto, v no es una cota
superior de S. Puesto que v es un número arbitrario menor que u, se sigue que
u = sup S.
Recíprocamente, supongamos que u = sup S y sea > 0. Puesto que u− < u,
entonces u − no es cota superior de S. Por lo tanto, existe algún s ∈ S tal
que u − < s .
Mediante un razonamiento análogo se prueba el otro caso.

u = sup S

Observación 14 Es muy importante entender que el supremo (ínfimo) de un
conjunto puede ser elemento o no del conjunto en consideración.

Definición 8 Sea S un subconjunto de R. Se dice que un elemento u ∈ S es
el elemento máximo (resp. elemento mínimo) de S si se cumple s ≤ u (resp.
u ≤ s) para todo s ∈ S.
Observación 15 Si u = sup S y además se cumple que u ∈ S, entonces u es
el máximo de S. Análogamente, si u = inf S y se cumple u ∈ S, entonces u es
el mínimo de S.
Ejemplo 5 Examina con detalle los siguientes ejemplos:
1. Si S1 es un subconjunto no vacío de números reales que tiene un número
finito de elementos, entonces es fácil probar que S1 tiene máximo y mín-
imo. Esto resulta evidente si S1 tiene un solo elemento, y para cualquier
número finito de elementos se demuestra por inducción respecto al número
de elementos de S.
2. El conjunto S2 = {x ∈ R : 0 ≤ x ≤ 1} tiene evidentemente a 1 y a 0 como
cotas superior e inferior respectivamente. Además, 1 es el supremo y 0
es el ínfimo de S2 . Por ejemplo, se prueba que 1 es el supremo de la
siguiente manera: si v < 1, existe un elemento s ∈ S2 tal que v < s <
1. En consecuencia, v no es una cota superior de S2 y, puesto que v
es un número arbitrario menor que 1, se sigue que sup S2 = 1. Con un
razonamiento similar se prueba que inf S2 = 0. Obsérvese que tanto sup S2
como inf S2 están contenidos en S2 . En tal caso podemos afirmar que 1 y
0 son respectivamente el máximo y el mínimo de S2 .
3. Es evidente que 1 y 0 son respectivamente cota superior e inferior del
conjunto S3 = {x ∈ R : 0 < x < 1}. Aplicando el mismo razonamiento de
antes se ve que sup S3 = 1 y inf S3 = 0. En este caso, el conjunto no
contiene a estos dos elementos. Por consiguiente, S3 no tiene máximo ni
mínimo.
4. El conjunto vacío no tiene supremo ni ínfimo porque cualquier número
real es cota superior e inferior de dicho conjunto.
Axioma 1 (Propiedad del supremo) Todo conjunto no vacío de números
reales y acotado superiormente tiene supremo en R.
Observación 16 Constatamos los siguientes hechos importantes:
1. Con todos los supuestos que se han hecho hasta ahora sobre el conjun-
to R, con los cuales R es un cuerpo ordenado, no es posible demostrar
que cualquier subconjunto no vacío que esté acotado superiormente tiene
supremo en R. Esta propiedad que suele denominarse de completitud de R
es la hipótesis final acerca de R. De este modo, se dice que R es un cuerpo
ordenado completo.
2. La propiedad análoga del ínfimo se puede deducir del axioma del supre-
mo. Supongamos que S es un subconjunto no vacío de R que está acotado
inferiormente. Entonces el conjunto S = {−s : s ∈ S} está acotado su-
periormente y por el axioma del supremo tiene supremo. Sea u = sup S,
entonces es fácil probar que −u es el ínfimo de S. De este modo tenemos:
todo conjunto de números reales no vacío y acotado inferiormente tiene
ínfimo en R.

Teorema 19 (Propiedad arquimediana) Si x ∈ R, entonces existe un número
natural nx tal que x < nx .
Demostración: Si la conclusión es falsa, entonces x es una cota superior de
N. Por el axioma del supremo, el conjunto no vacío N tiene supremo u ∈ R.
Puesto que u − 1 < u, por el lema 2 se sigue que existe m ∈ N tal que u − 1 < m.
Pero entonces u < m + 1 y puesto que m + 1 ∈ N, esto contradice la hipótesis
de que u es cota superior de N.

Corolario 4 Dados dos números reales positivos y y z, entonces:

1. Existe n ∈ N tal que z < ny
1
2. Existe n ∈ N tal que n <y

3. Existe n ∈ N tal que n − 1 ≤ z < n
z
Demostración: (1) Puesto que x = y > 0, por la propiedad arquimediana
z
existe n ∈ N tal que y < n y, por tanto, z < ny.
1
(2) Si hacemos z = 1 en (1) se tiene 1 < ny, lo cual implica que n < y.
(3) La propiedad arquimediana asegura que el conjunto {m ∈ N : z < m} de
N es no vacío. Sea n el mínimo de este conjunto, que existe por la propiedad
del buen orden de N. Entonces n − 1 no pertenece a este conjunto y por tanto
se tiene n − 1 ≤ z < n.


1. La propiedad arquimediana es una consecuencia importante del axioma
del supremo. Esta propiedad asegura que el subconjunto N de los números
naturales no está acotado superiormente en R. Debido a la familiaridad
en representar los números sobre la recta real, esto parece un hecho obvio.
Sin embargo, resulta signiﬁcativo que esta propiedad no se pueda deducir
sin el axioma del supremo.

2. El apartado (2) del corolario anterior muestra que dado cualquier número
1 1
real z > 0 hay un número racional de la forma n con 0 < n < z. Por
lo tanto, no existe ningún número real mínimo estrictamente positivo, o
1
bien, existen números racionales arbitrariamente pequeños de la forma n .

3. La propiedad arquimediana también se satisface en Q.
√
Teorema 20 (Existencia de 2) Existe un número real positivo x tal que
x2 = 2. © ª
Demostración: Sea S = s ∈ R : 0 ≤ s, s2 < 2 . Puesto que 1 ∈ S, el conjunto
es no vacío. Asimismo, S está acotado superiormente por 2, ya que de no ser
así existiría un elemento t ∈ S tal que 2 < t por lo que se tendría entonces que
4 < t2 , lo que es una contradicción. Por el axioma del supremo se tiene que S
tiene supremo en R. Sea x = sup S. Es claro que x > 1. Probaremos que x2 = 2,
descartando las otras dos posibilidades: x2 < 2 y x2 > 2.
Supongamos que x2 < 2. Evidentemente se cumple
1 1
≤
n2 n

de donde µ ¶2
1 2x 1 1
x+ = x2 + + 2 ≤ x2 + (2x + 1)
n n n n
Por tanto, si se puede elegir n de manera que
1
x2 + (2x + 1) < 2
n
es decir
1
(2x + 1) < 2 − x2
n
entonces µ ¶2
1
x+ <2
n
lo que signiﬁca que
1
∈S
x+
n
Ahora bien, por hipótesis sabemos que 2 − x2 > 0 y 2x + 1 > 0, de donde

2 − x2
>0
2x + 1
Por tanto, por la propiedad arquimediana, existe n ∈ N tal que

1 2 − x2
<
n 2x + 1
Para este valor de n se tiene como hemos visto, que
1
x+ ∈S
n
lo cual contradice el hecho de que x es cota superior de S. Por lo tanto no es
posible que x2 < 2.
Supongamos ahora que x2 > 2. Obsérvese que
µ ¶2
1 2x 1 2x
x− = x2 − + 2 > x2 −
m m m m
Por tanto, si se puede elegir m de manera que
2x
x2 − >2
m
es decir
2x
< x2 − 2
m
entonces µ ¶2
1
x− >2
m
Por hipótesis se tiene que x2 − 2 > 0 y x > 0, de donde

x2 − 2
>0
2x

Por tanto, por la propiedad arquimediana, existe m ∈ N tal que

1 x2 − 2
<
m 2x
Para este valor de m se tiene como hemos visto, que
µ ¶2
1
x− >2
m

Ahora bien, si s ∈ S, entonces
µ ¶2
2 1
s <2< x−
m

de donde se sigue por teorema 11 que

1
s<x−
m
lo que signiﬁca que el número
1
x−
m
es una cota superior de S, pero es contradictorio con el hecho de que x = sup S.
Por consiguiente, no se puede tener x2 > 2.
A la vista de ambos resultados se debe tener x2 = 2.


1. Este último resultado pone de relieve la importancia del axioma del supre-
mo al asegurar la existencia de un número real positivo x tal que x2 = 2.
Ya se demostró en el teorema 3 que dicho x no puede ser un número
racional, por tanto, se ha demostrado también la existencia de al menos
un número irracional.

2. El conjunto de los números racionales Q no cumpleª propiedad del supre-
© la
mo. Por ejemplo, el conjunto A = x ∈ Q : x2 < 2 no posee supremo en
Q. El último teorema prueba este hecho.

3. Haciendo ligeras modiﬁcaciones en el razonamiento usado en la demostración
del teorema anterior, puede probarse que si a > 0, entonces existe un
número b > 0 único tal que b2 = a. A este número se le llama raíz cuadrada
√
positiva de a y se denota por b = a o bien por b = a1/2 . Un razonamiento
similar pero un tanto más complicado en el que interviene la fórmula del
binomio hace posible establecer la existencia de la raíz n− ésima positiva
√
única de a, denotada por n a o bien por a1/n , para cada n ∈ N.

Corolario 5 Sea x > 0 un número irracional y sea z > 0. Entonces existe un
número natural n tal que el número irracional x/n satisface
x
0< <z
n

Demostración: Dado que x > 0 y z > 0, se sigue que x/z > 0. Por la propiedad
arquimediana, existe un número natural n tal que
x
0< <n
z
Por lo tanto, se tiene
x
0< <z
n
y es fácil probar que x/n es irracional.

Observación 19 En el corolario anterior hemos probado que existen números
irracionales inﬁnitamente pequeños de la forma x/n, siendo x un número irra-
cional dado y n cualquier número natural.

Teorema 21 (Propiedad de densidad de los números racionales) Si x e
y son números reales con x < y, entonces existe un número racional q tal que
x < q < y.
Demostración: Sin ninguna pérdida de generalidad podemos suponer que x >
0, ¿por qué? porque si no es así, debe ser x = 0 o bien x < 0. En el primer
caso, se tiene 0 < y y el teorema resulta del corolario 4. Si x < 0, entonces
puede ocurrir que uno sólo de los siguientes casos: (1) y = 0, (2) y > 0 y (3)
y < 0. En (1), se tiene −x > 0 y el teorema resulta del mismo corolario. En (2),
se tiene x < 0 y y > 0. Por tanto, el número racional 0 cumple la condición
del teorema. Finalmente, en (3) se tiene x < y < 0, o sea 0 < −y < −x, y
se procederá como el caso supuesto que a continuación exponemos. Puesto que
y − x > 0, por el corolario 4, existe n ∈ N tal que

1
<y−x
n
de donde
ny − nx > 1
Por ser x > 0, entonces nx > 0. Por el corolario 4, existe m ∈ N tal que

m − 1 ≤ nx < m

Este valor de m satisface también m < ny, ya que m ≤ nx + 1 < ny. Por tanto,
se tiene
nx < m < ny
de donde q = m/n es un número racional que satisface

x<q<y

Corolario 6 (Propiedad de densidad de los números irracionales) Si x
e y son dos números reales con x < y, entonces existe un número irracional z
tal que
x<z<y

1.7. INTERVALOS 27
√ √
Demostración: Aplicando el teorema anterior a los números x/ 2 y y/ 2, se
obtiene un número racional q 6= 0 tal que
x y
√ <q< √
2 2
√
De aquí, tomando z = q 2, se tiene

x<z<y
√
Finalmente, es fácil probar que q 2 es irracional.

Observación 20 A partir de los dos resultados anteriores podemos afirmar que
el conjunto de los números racionales es ”denso” en R, en el sentido de que es
posible hallar un número racional (de hecho, un número indefinido de ellos)
entre dos números reales diferentes (teorema 21), y se tiene la misma propiedad
de densidad para el conjunto de los números irracionales (corolario 6).

1.7. Intervalos
Definición 9 Si a, b ∈ R y a ≤ b, se llama

1. Intervalo abierto de extremos a y b al subconjunto siguiente:

]a, b[ = {x ∈ R : a < x < b}

2. Intervalo cerrado de extremos a y b al subconjunto siguiente:

[a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}

3. Intervalo semiabierto por la derecha de extremos a y b al subconjunto
siguiente:
[a, b[ = {x ∈ R : a ≤ x < b}

4. Intervalo semiabierto por la izquierda de extremos a y b al subcon-
junto siguiente:
]a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b}

5. Semirrectas abiertas de extremo a a los subconjuntos siguientes:

]a, +∞[ = {x ∈ R : x > a}
]−∞, a[ = {x ∈ R : x < a}

6. Semirrectas cerradas de extremo a a los subconjuntos siguientes:

[a, +∞[ = {x ∈ R : x ≥ a}
]−∞, a] = {x ∈ R : x ≤ a}

Observación 21 Hacemos las siguientes anotaciones:


1. Es frecuente pensar en el conjunto completo R como un intervalo infinito.
En este caso se escribe
]−∞, +∞[ = R

2. Cada uno de los intervalos del (1) al (4) tiene una longitud definida por
b − a. Obsérvese que si a = b, el intervalo abierto correspondiente es el
conjunto vacío
]a, a[ = ∅
y el intervalo cerrado correspondiente es el conjunto de un solo elemento

[a, a] = {a}

3. Se observará que los intervalos (1) al (4) son conjuntos acotados. Las
semirrectas (5) y (6) son conjuntos no acotados. En la denotación de las
semirrectas se han usado los símbolos −∞ y +∞. Estos símbolos deberán
considerarse solamente como acuerdos de notación; no son elementos de
R.
4. Se llama intervalo unitario al intervalo cerrado [0, 1].

Definición 10 Se dice que una sucesión de intervalos I1 , I2 , ..., In , ... es una
sucesión de intervalos encajados si se cumple la siguiente cadena de inclusiones

I1 ⊇ I2 ⊇ · · · ⊇ In ⊇ In+1 ⊇ · · ·

Ejemplo 6 Si · ¸
1
In = 0,
n
entonces se cumple
In ⊇ In+1
para cada n, por lo que los intervalos están encajados. En este caso, el número
0 pertenece a todo In y además se cumple
∞

In = {0}
n=1


1.7. INTERVALOS 29

En efecto, de la propiedad arquimediana se sigue que para cualquier x > 0 existe
m ∈ N tal que
1
0< <x
m
de donde
x ∈ Im
/

Por lo tanto,
∞

x∈
/ In
n=1

Observación 22 Es importante entender que, en general, una sucesión de in-
tervalos encajados no necesariamente tiene un punto común. Por ejemplo, si
¸ ·
1
In = 0,
n

entonces esta sucesión es de intervalos encajados, pero los intervalos no tienen
ningún punto en común. En efecto, para cualquier x > 0 existe m ∈ N tal que

1
<x
m
lo cual quiere decir que
x ∈ Im
/

Por lo tanto
∞

x∈
/ In
n=1

Teorema 22 (Propiedad de los intervalos encajados) Si In = [an , bn ], n ∈
N, es una sucesión de intervalos cerrados encajados no vacíos, entonces existe
ξ ∈ R tal que ξ ∈ In para todo n ∈ N.
Demostración: Puesto que los intervalos están encajados, se tiene In ⊆ I1
para todo n ∈ N, por lo que an ≤ b1 para todo n ∈ N. Por tanto, el conjunto
no vacío {an : n ∈ N} está acotado superiormente y, por el axioma del supremo,
existe su supremo. Sea ξ = sup {an : n ∈ N}. Evidentemente, an ≤ ξ para todo
n ∈ N. Se tiene además que ξ ≤ bn para todo n ∈ N, ya que de no ser así,
existiría algún m ∈ N tal que bm < ξ. Dado que ξ = sup {an : n ∈ N}, debe
existir ap tal que bm < ap . Sea q el mayor de los números naturales m y p.
Puesto que

a1 ≤ a2 ≤ · · · ≤ an ≤ · · ·
b1 ≥ b2 ≥ · · · ≥ bn ≥ · · ·

se deduce que bq ≤ bm < ap ≤ aq . Pero esto implica que bq < aq , lo cual no
es posible ya que Iq = [aq , bq ] es un intervalo cerrado no vacío. Por lo tanto,
ξ ≤ bn para todo n ∈ N. Como an ≤ ξ ≤ bn para todo n ∈ N, de aquí se sigue
ξ ∈ In = [an , bn ] para todo n ∈ N.

Observación 23 En las mismas hipótesis del teorema anterior, se demuestra
que puede haber más de un elemento común. De hecho, si se supone que η =
inf {bn : n ∈ N}, entonces se tiene
∞

[ξ, η] = In
n=1

Teorema 23 Si In = [an , bn ], n ∈ N, es una sucesión de intervalos cerrados
encajados no vacíos tales que las longitudes bn − an de In cumplen

inf {bn − an : n ∈ N} = 0

entonces existe un único número real ξ perteneciente a todos los intervalos de
la sucesión.
Demostración: Puesto que los intervalos están encajados, se tiene In ⊆ I1
para todo n ∈ N, por lo que a1 ≤ bn para todo n ∈ N. Por tanto, el conjunto
{bn : n ∈ N} está acotado inferiormente y, en consecuencia, existe su ínfimo.
Sea η = inf {bn : n ∈ N}. Evidentemente, η ≤ bn para todo n ∈ N. Mediante
un razonamiento similar al de la demostración del teorema 22, se prueba que
an ≤ η para todo n ∈ N. Por consiguientem se tiene an ≤ ξ ≤ η ≤ bn . De hecho,
como hemos observado antes, se puede demostrar que x ∈ In para todo n ∈ N si
y sólo si ξ ≤ x ≤ η. Ahora bien, si tenemos inf {bn − an : n ∈ N} = 0, entonces
para cualquier > 0 existe m ∈ N tal que 0 ≤ η − ξ ≤ bm − am < . Puesto que
esto se cumple para cualquier > 0, por el teorema 8 se deduce que η − ξ = 0.
Por lo tanto, se concluye que η = ξ es el único elemento que pertenece a In para
todo n ∈ N.

1.8. Conjuntos infinitos
Definición 11 Si n ∈ N, se dice que un conjujnto S tiene n elementos si existe
una aplicación biyectiva del subconjunto {1, 2, ..., n} de N en S. Se dice que S
es finito si es vacío, o bien tiene n elementos, para un cierto n ∈ N. Se dice que
un conjunto es infinito si no es finito.

Teorema 24 Un conjunto S1 tiene n elementos si y sólo si existe una aplicación
biyectiva de S1 en un conjunto S2 que tiene n elementos.
Demostración: Si S1 tiene n elementos, por definición S1 es biyectable con
el conjunto {1, 2, ..., n} que tiene n elementos. Por tanto, es suficiente tomar
S2 = {1, 2, ..., n}. Recíprocamente, sea ϕ : S1 → S2 la aplicación biyectiva.
Como S2 tiene n elementos, por definición existe una aplicación biyectiva ψ
de {1, 2, ..., n} en S2 . Entonces la aplicación ϕ−1 ◦ ψ de {1, 2, ..., n} en S1 es
biyectiva y, en consecuencia, S1 tiene n elementos.

Corolario 7 Un conjunto S1 es finito si y sólo si existe una biyección de S1 en
un conjunto S2 que es finito.
Demostración: La prueba es análoga a la realizada en la demostración ante-
rior, sabiendo que un conjunto no vacío es finito si tiene n elementos.

Teorema 25 1. Sean m, n ∈ N tales que m ≤ n. Entonces existe una apli-
cación inyectiva del conjunto {1, 2, ..., m} en el conjunto {1, 2, ..., n}.

1.8. CONJUNTOS INFINITOS 31

2. Sean m, n ∈ N tales que m > n. Entonces no existe una inyección de
{1, 2, ..., m} en {1, 2, ..., n}.
Demostración: (1) Definimos la aplicación ϕ : {1, 2, ..., m} → {1, 2, ..., n} por
ϕ(k) = k para 1 ≤ k ≤ m. Es obvio que ϕ es inyectiva.
(2) La demostración se hace por inducción. Para n = 1, cualquier aplicación
ϕ : {1, 2, ..., m} → {1}, con m > 1, cumple ϕ(1) = · · · = ϕ(m) = 1, lo que
nos asegura que ϕ no es inyectiva. Supongamos ahora que para k > 1 ninguna
aplicación de {1, 2, ..., m} en {1, 2, ..., k}, con m > k, no es inyectiva. Se probará
que tampoco ninguna aplicación ψ de {1, 2, ..., m} en {1, 2, ..., k + 1}, con m >
k + 1, es inyectiva. En efecto, si ψ({1, 2, ..., m}) está contenido en {1, 2, ..., k},
entonces por la hipótesis de inducción ψ no es una inyección en {1, 2, ..., k} y, por
tanto, no es una inyección en {1, 2, ..., k, k + 1}. En consecuencia, suponemos
que ψ({1, 2, ..., m}) no está contenido en {1, 2, ..., k}. Si más de un elemento de
{1, 2, ..., m} se corresponde con k + 1, entonces ψ no es inyectiva. Por tanto,
debemos suponer que sólo un cierto p ∈ N se corresponde con k + 1. Definimos
ahora la aplicación ψ 1 : {1, 2, ..., m − 1} → {1, 2, ..., k} por
½
ψ(q) si 1 ≤ q < p
ψ 1 (q) =
ψ(q − 1) si p ≤ q ≤ m − 1
que, por hipótesis de inducción, no es inyectiva. Por consiguiente, ψ no es in-
yectiva.
Teorema 26 1. Si m ∈ N, entonces existe una aplicación inyectiva de {1, 2, ..., m}
en N.
2. Si m ∈ N, entonces no existe una aplicación inyectiva de N en {1, 2, ..., m}.
Demostración: La prueba es análoga a la demostración del teorema anterior.

Corolario 8 El conjunto de los números naturales N es un conjunto infinito.
Demostración: Si N fuera finito, entonces existiría un m ∈ N y una aplicación
biyectiva de {1, ..., m} en N. Pero esto significa que la aplicación inversa de N
en {1, ..., m} es inyectiva, lo que no es posible por el teorema anterior.
Teorema 27 Un subconjunto T de un conjunto finito S es finito.
Demostración: Se puede suponer que T es no vacío, porque si fuera vacío sería
finito. La demostración se hace por inducción sobre el número de elementos del
conjunto S. Si S tiene un elemento, entonces es evidente que el único subcon-
junto no vacío T de S debe coincidir con S, y, por tanto, es un conjunto finito.
Supongamos ahora que todo subconjunto no vacío de un conjunto de k elementos
es finito. Si ahora S tiene k + 1 elementos, entonces existe una biyección ϕ de
Nk+1 en S. Si T es un subconjunto no vacío de S y ϕ(k + 1) ∈ T , entonces se
/
puede considerar que T es un subconjunto del conjunto S1 = S − {ϕ(k + 1)}, el
cual tiene k elementos. Por tanto, por hipótesis de inducción, T es finito. Sin
embargo, si ϕ(k + 1) ∈ T , entonces el conjunto T1 = T − {ϕ(k + 1)} es un sub-
conjunto de S1 , el cual tiene k elementos. Por consiguiente, T1 es un conjunto
finito, y en consecuencia, T = T1 ∪ {ϕ(k + 1)} también es un conjunto finito.
Teorema 28 Si S es un conjunto infinito y S ⊆ U , entonces U es un conjunto
infinito.
Demostración: Si U fuera finito, entonces por el teorema anterior se seguiría
que S es un conjunto finito, lo cual contradice la hipótesis.

Ejemplo 7 Sea f : N → N una aplicación inyectiva. Demostrar que el conjunto

A = {n ∈ N : f (n) ≥ n}

es infinito.
Solución: Supongamos que A fuera finito. Entonces existen

n0 = m´x{f (n)}
a
n∈A
n1 = m´x{n}
a
n∈A

por el principio del buen orden de los números naturales. Además, por definición
de A, se tiene n0 ≥ n1 . Puesto que por hipótesis f es inyectiva, se tiene

{1, 2, ..., n0 } ⊆ {f (1), f (2), ..., f (n0 )}

Sea n ∈ {1, 2, ..., n0 }, entonces se cumple una de las siguientes posibilidades:
n ∈ A o n ∈ A. Si n ∈ A, entonces n ≤ f (n) ≤ n0 . Si n ∈ A, entonces
/ /
f (n) < n ≤ n0 . En cualquier caso, se deduce

{f (1), f (2), ..., f (n0 )} ⊆ {1, 2, ..., n0 }

Por tanto,
{f (1), f (2), ..., f (n0 )} = {1, 2, ..., n0 }
Finalmente, se cumple
n0 + 1 > n0 ≥ n1
y por tanto, n0 + 1 ∈ A. De aquí, se deduce
/

f (n0 + 1) < n0 + 1

de donde
f (n0 + 1) ≤ n0
lo que es una contradicción por el hecho de que {f (1), f (2), ..., f (n0 )} = {1, 2, ..., n0 }
y f inyectiva.

1.9. Conjuntos numerables
Definición 12 Se dice que un conjunto S es infinito numerable si existe una
aplicación biyectiva de N en S. Se dice que un conjunto S es numerable si es
finito o bien infinito numerable. Se dice que un conjunto S es no numerable
si no es finito ni infinito numerable.

Ejemplo 8 Examínense los siguientes ejemplos con detalle.

1. El conjunto de los números naturales pares P = {2n : n ∈ N} es infinito
numerable, ya que la aplicación ϕ : N → P definida por ϕ(n) = 2n, n ∈ N,
es biyectiva. De manera similar, el conjunto de los números naturales
impares I = {2n − 1 : n ∈ N} es infinito numerable.

1.9. CONJUNTOS NUMERABLES 33

2. El conjunto de los números enteros Z es infinito numerable. Para verlo,
consideremos la disposición siguiente de los conjuntos Z y N:
0, 1, −1, 2, −2, 3, −3, ...
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...
La correspondencia entre estas dos listas se establece mediante la siguiente
aplicación: ½ n
2 si n es par
f (n) =
− n−1 si n es impar
2
que es biyectiva.
3. Utilizando el mismo razonamiento anterior, puede demostrarse ensegui-
da que la unión disjunta de dos conjuntos infinito numerables es infinito
numerable. Uno de los dos conjuntos se enumera mediante los números
naturales pares y el otro, mediante los impares.
Teorema 29 Un conjunto S1 es infinito numerable (resp. numerable) si y sólo
si existe una biyección de S1 en un conjunto S2 que es infinito numerable (resp.
numerable).
Demostración: Si S1 es infinito numerable, existe una biyección de N en S1 ,
y N es un conjunto infinito numerable. Recíprocamente, sea ϕ : S1 → S2 la
biyección. Puesto que S2 es infinito numerable existe una biyección ψ de N en
S2 . Entonces, ϕ−1 ◦ ψ es una aplicación biyectiva de N en S1 .
De manera análoga se procede para el caso de conjuntos numerables.
Teorema 30 Si un conjunto S es numerable y T ⊆ S, entonces T es numerable.
Demostración: Si S es finito, por el teorema 27, T es finito. Si T es finito,
entonces se ha terminado la prueba. De este modo, podemos suponer que S es
infinito numerable y T ⊆ S es infinito. Sea f una biyección de N en S y sea
U = {n ∈ N : f (n) ∈ T } = f −1 (T ). Puesto que T no es vacío, se sigue que U
es no vacío. Podemos ahora aplicar la propiedad de buena ordenación de N para
obtener el elemento mínimo u1 de U . Entonces se hace que u2 sea el elemento
mínimo de U − {u1 }, que debe ser no vacío, porque T es infinito. Procediendo
de este modo, obtenemos u1 , u2 , ..., uk de U . Hacemos que uk+1 sea el elemento
mínimo de U −{u1 , u2 , ..., uk }, que debe ser también no vacío por la misma razón
de antes. Por construcción, tenemos 1 ≤ u1 < u2 < · · · < uk < uk+1 < · · · ,
de donde se deduce por inducción que r ≤ ur para todo r ∈ N. Ahora se define
la aplicación g : N → N por g(r) = ur , para cada r ∈ N. Del hecho de que
uk+1 ∈ {u1 , u2 , ..., uk }, se deduce que g es inyectiva. Por lo tanto, la aplicación
/
f ◦ g es inyectiva de N en S. Puesto que los valores que toma esta aplicación
están contenidos en T ⊆ S, podemos considerarla como una inyección de N
en T . Puesto que f es exhaustiva, para todo t ∈ T ⊆ S se tiene f (nt ) = t
para un cierto nt ∈ U ⊆ N. Sin embargo, como r ≤ ur = g(r) para r ∈ N,
se tiene nt = g(mt ) para un cierto mt ∈ N y mt ≤ nt . Por consiguiente,
t = f (nt ) = f (g(mt )) = (f ◦ g)(mt ), con lo cual se demuestra que f ◦ g es una
aplicación exhaustiva de N en T . Por consiguiente, f ◦ g es biyectiva y T es
infinito numerable.
Observación 24 El teorema anterior muestra que los conjuntos infinito nu-
merables representan la "menor infinidad"posible, en el sentido de que un con-
junto que es numerable puede ser un subconjunto de uno numerable.


Teorema 31 1. El conjunto S es numerable si y sólo si existe una inyección
de S en N.
2. El conjunto S es numerable si y sólo si existe una aplicación exhaustiva
de N sobre S.
Demostración: Como una biyección es una aplicación inyectiva y exhaustiva,
la condición de que S es numerable lleva consigo las condiciones enunciadas.
Por tanto, es necesario demostrar que cada una de las condiciones dadas implica
que S sea numerable.
1. Sea f : S → N una aplicación inyectiva. Entonces f es una biyección de
S en f (S) ⊆ N. Ahora bien, por el teorema 30, f (S) es numerable. De
aquí, por el teorema 29, S es numerable.
2. Sea g : N → S una aplicación exhaustiva. Definimos la aplicación g1 :
S → N de la siguiente manera: para cada s ∈ S, g1 (s) es el elemento
mínimo del conjunto {n ∈ N : g(n) = s} que es no vacío, ya que g es
exhaustiva Sean s, t ∈ S y s 6= t, entonces los subconjuntos {n ∈ N :
g(n) = s} y {n ∈ N : g(n) = t} de N son disjuntos. Por el buen orden de
N, se sigue que g1 (s) 6= g1 (t). Por consiguiente, g1 es inyectiva y, por (1),
se concluye que S es numerable.

Observación 25 La parte (2) del teorema anterior nos muestra como un con-
junto numerable es un conjunto S cuyos elementos se pueden presentar como
los valores de una sucesión
S = {x1 , x2 , ..., xn , ...}
en donde se permiten las repeticiones. En consecuencia, ya no es tan indispens-
able que la aplicación sea inyectiva.
Teorema 32 El conjunto de los números racionales Q es numerable.
Demostración: Se demostrará que el conjunto Q+ de los números racionales
positivos es infinito numerable. Entonces, como Q = Q+ ∪ {0} ∪ Q− , donde Q−
es el conjunto de los números racionales negativos, se seguirá que Q es infinito
numerable, del mismo modo que Z en el ejemplo 8.
Se muestra el conjunto F de todas las fracciones m/n, con m, n ∈ N de
acuerdo con la siguiente ordenación: la n− ésima fila se compone de todas las
fracciones con n en el denominador

La aplicación de N en F se define según lo indican las flechas. Se tiene entonces
½ ¾
1 1 2 1 2 3
F = , , , , , , ...
1 2 1 3 2 1


1.9. CONJUNTOS NUMERABLES 35

Por lo tanto, el conjunto F es infinito numerable. Cada número racional está
representado por muchos elementos diferentes de F ; por ejemplo, 1 = 1/1 =
2/2 = · · · . Para cada r ∈ Q+ se puede elegir como representante la fracción
con el menor denominador y, por tanto, es posible considerar Q+ como un
subconjunto de F . De este modo, por el teorema 30, Q+ es infinito numerable.

Teorema 33 El conjunto [0, 1] = {x ∈ R : 0 ≤ x ≤ 1} no es numerable.
Demostración: Se supone que se sabe que todo número real x tal que 0 ≤ x ≤ 1
tiene una representación decimal de la forma x = 0.a1 a2 a3 · · · , en donde cada
ak es un dígito entre 0 y 9. Se debe tener presente que ciertos números reales
tienen dos representaciones de esta forma; por ejemplo, el número racional 1/10
puede representarse de dos maneras
0,1000 · · · y 0,0999 · · ·
Dado que Q cumple la propiedad arquimediana, hay una infinidad de números
racionales en dicho intervalo. Por tanto, el conjunto [0, 1] no puede ser finito.
Ahora se probará que no es infinito numerable. Supongamos que hay una enu-
meración x1 , x2 , ... de todos los números reales en [0, 1]. Expresemos cada xk en
forma decimal:
x1 = 0.a11 a12 a13 · · ·
x2 = 0.a21 a22 a23 · · ·
.
.
.
xn = 0.an1 an2 an3 · · ·
.
.
.
Sea ahora b1 un dígito distinto de 0, a11 y 9, b2 un dígito distinto de 0, a22 y
9, b3 un dígito distinto de 0, a33 y 9, etc. Consideremos el número real x cuya
representación decimal es
x = 0.b1 b2 b3 · · ·
que claramente satisface 0 ≤ x ≤ 1. El número x no es uno de los números con
dos representaciones decimales, ya que bn 6= 0 y bn 6= 9. Además, x 6= xn para
cualquier n ∈ N, porque x y xn tienen dígitos diferentes en la n− ésima cifra
decimal. Por lo tanto, cualquier lista de números reales en este intervalo omitirá
al menos un número real que pertenece a este intervalo. En consecuencia, este
intervalo no es un conjunto numerable.
Corolario 9 1. El conjunto de los números reales R no es numerable.
2. Un intervalo (no vacío) de R no es numerable.
Demostración:
1. Es evidente a partir del teorema 33, pues si fuera numerable, por el teorema
30, cualquier subconjunto sería numerable y esto es contradictorio con el
hecho de que [0, 1] es no numerable
2. Un cambio de escala mediante la aplicación f (x) = a + (b − a)x pone el
intervalo [0, 1] en correspondencia biyectiva con el intervalo [a, b]. Por el
teorema 33, el intervalo [a, b] no es numerable.



Observación 26 Hacemos las siguientes consideraciones importantes:

1. Del hecho de que R es no numerable y de que Q es numerable se sigue que
el conjunto de los números irracionales R − Q es no numerable. En efecto,
puesto que la unión de dos conjuntos disjuntos numerables es numerable,
si R − Q fuera numerable se deduciría que R sería numerable, lo cual es
contradictorio con el corolario anterior.
2. Un conjunto finito no puede ser biyectable a uno de sus subconjuntos pro-
pios. Sin embargo, esto es posible para conjuntos infinitos (según se mues-
tra en el ejemplo 8, en el que N es un subconjunto propio de Z). Se con-
sidera el siguiente resultado como un axioma de la teoría de conjuntos:
todo conjunto infinito tiene un subconjunto infinito numerable. De este
resultado se sigue que un conjunto es infinito si es biyectable a uno de sus
subconjuntos propios. De este modo, podemos sustituir la definición 11 por
la que acabamos de encunciar.


Capítulo 2

Sucesiones de números
reales

2.1. Definición
Definición 13 Una sucesión de números reales es una aplicación f : N →
R. Dicho de otro modo, una sucesión en R asigna a cada número natural un
número real determinado de manera única. Los números reales así obtenidos se
llaman los elementos, valores o términos de la sucesión. Es habitual denotar
por xn , en lugar de f (n), al número real asignado a n por la sucesión. De este
modo, la sucesión se denotará por
X = (xn : n ∈ N)
o simplemente X = (xn ).
Observación 27 Hacemos las siguientes anotaciones:
1. No hay que confundir la sucesión (xn : n ∈ N), cuyos elementos tienen un
orden, y el conjunto {xn : n ∈ N} de los valores de esta sucesión, los cuales
no se consideran ordenados. Por ejemplo, la sucesión ((−1)n : n ∈ N)
viene dada por enumeración como sigue
(−1, 1, −1, 1, ...)
mientras que el conjunto {(−1)n : n ∈ N} de los valores de la sucesión es
igual al siguiente conjunto
{−1, 1}
2. Al definir una sucesión es costumbre enumerar en orden los términos de
la misma, deteniéndose cuando la regla de formación parece evidente. Así,
la sucesión de los números naturales pares se puede escribir como sigue
(2, 4, 6, 8, ...)
Del mismo modo escribimos por ejemplo la sucesión de los inversos de los
cubos de los números naturales
1 1 1 1
( 3 , 3 , 3 , 3 , ...)
2 4 6 8

37


38 CAPÍTULO 2. SUCESIONES DE NÚMEROS REALES

3. Otro método más satisfactorio para definir una sucesión consiste en dar
una fórmula para el término general de la sucesión. De esta manera, las
sucesiones del apartado anterior se escriben como sigue

(2n : n ∈ N)
1
( 3 : m ∈ N)
m

4. Finalmente, también podemos encontrar las sucesiones definidas recursi-
vamente. Esto es así cuando se especifica el valor de x1 y una fórmula
para obtener xn+1 a partir de x1 , x2 , ..., xn . De esta manera, la sucesión
de los números naturales pares se puede definir por

x1 := 2 xn+1 := xn + 2 (n ≥ 1)

o también por
x1 := 2 xn+1 := xn + x1 (n ≥ 1)

Ejemplo 9 Examina detenidamente los siguientes ejemplos:

1. Si a ∈ R, la sucesión (a, a, a, ...), cuyos términos son iguales a a, se llama
sucesión constante a. Por tanto, la sucesión constante 0 es la sucesión
(0, 0, 0, ...), cuyos términos son iguales a 0.
2. La sucesión de los cuadrados de los números naturales es la sucesión
(12 , 22 , 32 , ...) = (n2 : n ∈ N).
3. La sucesión cuyo término general viene dado por la fórmula
n
xn =
n+1
es la sucesión
1 2 3 4
( , , , , ...)
2 3 4 5
4. La sucesión de Fibonacci es la sucesión (fn ) definida recursivamente como
sigue:
f1 = 1 f2 = 1 fn+1 = fn−1 + fn (n ≥ 2)
Los diez primeros términos de esta sucesión son

(1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ...)

2.2. Operaciones con sucesiones
Definición 14 Si X = (xn ) y Y = (yn ) son dos sucesiones de números reales
cualesquiera, entonces su suma se define como la sucesión

X + Y = (xn + yn : n ∈ N)

su diferencia se define como la sucesión

X − Y = (xn − yn : n ∈ N)


2.2. OPERACIONES CON SUCESIONES 39

y su producto como la sucesión

XY = (xn · yn : n ∈ N)

Si a ∈ R, se define el producto de (xn ) por a como la sucesión

aX = (a · xn : n ∈ N)

Por último, si Z = (zn ) es una sucesión de números reales con zn 6= 0 para todo
n ∈ N, entonces se define el cociente de X y Z como la sucesión

X xn
=( : n ∈ N)
Z zn

Ejemplo 10 Dadas las sucesiones

X = (1, 3, 5, 7, ...) = (2n − 1 : n ∈ N)
1 1 1 1
Y = (1, , , , ...) = ( : n ∈ N)
2 3 4 n
entonces tenemos:

1. La suma X + Y , es la sucesión

7 16 29 2n2 − n + 1
(2, , , , ...) = ( : n ∈ N)
2 3 4 n

2. La diferencia X − Y , es la sucesión

5 14 27 2n2 − n − 1
(0, , , , ...) = ( : n ∈ N)
2 3 4 n

3. El producto XY , es la sucesión

3 5 7 2n − 1
(1, , , , ...) = ( : n ∈ N)
2 3 4 n

4. El producto 2X, es la sucesión

(2, 6, 10, 14, ...) = (4n − 2 : n ∈ N )

X
5. El cociente Y , es la sucesión

(1, 6, 15, 28, ...) = (2n2 − n : n ∈ N)

Si Z denota la sucesión cuyo término general es zn = 1 + (−1)n , es decir,
la sucesión
(0, 2, 0, 2, ...)
entonces están definidas las sucesiones X +Z, X −Z y XZ, pero no está definida
la sucesión X porque algunos de los términos de Z son iguales a 0.
Z


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