Corso di potenziamento di matematica nel Liceo scientifico. Partecipanti: i ragazzi delle classi quinte e l'ins. Grazia Cotroni

1. L’INFINITO Docente: Grazia Cotroni

2. I NUMERI NATURALI
Quanti sono i numeri naturali?
Infiniti.
E i numeri pari?
Infiniti.
E i numeri dispari?
Infiniti.
E i numeri quadrati?
Infiniti.
E i numeri triangolari?
infiniti

3. QUESTI INFINITI SONO
UGUALI?
La classe si divide in due. C’è chi pensa che sono uguali e altri no.
Ma come facciamo a capire chi ha ragione?
Primo problema: come definiamo un insieme infinito?
DEFINIZIONE:
Un insieme è infinito se può essere messo in corrispondenza
biunivoca con un suo sottoinsieme proprio.

4. L’INFINITO DEI NUMERI
NATURALI
Con la definizione data, l’insieme dei numeri naturali è un insieme
infinito? Proviamo a vedere.
Un suo sottoinsieme sono i numeri pari. Dobbiamo trovare una
corrispondenza biunivoca tra i numeri pari e tutti i numeri naturali.
Come possiamo fare?
Corrispondenza biunivoca:
Ad ogni numero naturale associo il suo doppio
Quindi l’ennesimo numero n avrà come immagine 2n.
È una corrispondenza biunivoca?

5. VERIFICHIAMO
Verifico l’iniettività. Supponiamo che sia 2𝑛1 = 2𝑛2 semplifico i due
e ottengo che 𝑛1 = 𝑛2
Verifico la suriettività.
Devo vedere se per ogni numero pari riesco a tornare indietro, cioè se
riesco ad arrivare al numero naturale suo corrispondente.
Se parto da un numero pari qualsiasi ad esempio 2𝑛, mi basta
dividere per 2 e ottengo 𝑛, il suo corrispondente. Quindi la
corrispondenza è biunivoca

6. E I NUMERI DISPARI?
Allo stesso modo si può dimostrare che esiste una corrispondenza
biunivoca tra i numeri naturali e i numeri dispari, ponendo questa
corrispondenza:
𝑛 → 2𝑛 + 1

7. E I NUMERI QUADRATI?
Scriviamoli prima
1 4 9 16 25 36 49 64 ….
Quanti sono? Infiniti. Ma è lo stesso infinito dei numeri naturali?
Ci sono tanti numeri che non ci sono più! Tra 49 e 64, ce ne sono
tanti che non prendo più.
Eppure se io considero la seguente corrispondenza
𝑛 → 𝑛2
Vedo che essa è biunivoca.
N.B. Ricordo che sono nei numeri naturali positivi.

8. L’INFINITO NUMERABILE
Possiamo chiamare questo tipo di infinito INFINITO NUMERABILE
Perché posso mettere in fila i numeri e sapere chi è il primo, chi il
secondo, chi l’ennesimo.

9. E I NUMERI RAZIONALI?
Quali sono i numeri razionali?
Sono quelli esprimibili con le frazioni, cioè
𝑚
𝑛
con m, n ∈ 𝑁 𝑖𝑛𝑠𝑖𝑒𝑚𝑒 𝑑𝑒𝑖 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑖 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙𝑖 .
Domanda:
Qual è il numero naturale successivo di 4? 5
E di 7? 8.
…
Nei razionali vi pongo la stessa domanda:
qual è il numero razionale successivo ad
1
3
?

10. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Tra i numeri naturali tra un numero e il successivo c’è un buco.
Se prendo
1
2
qual è il successivo?
Non lo sappiamo!
Ogni volta che pensiamo di aver preso il successivo, posso costruirne uno che
sta ancora in mezzo.
Come? Facendo la media, cioè se cerco un numero tra
1
3
e
1
2
Facendo la media otterrò
1
2
+
1
3
2
=
5
12
.
Quindi ricapitolando:
Nei numeri naturali tra un numero e il suo successivo c’è un buco, invece tra
due numeri razionali ne trovo sempre un numero infinito all’interno.

11. L’INFINITO DEI NUMERI
NATURALI E DEI NUMERI
RAZIONALI È UGUALE?
Ce ne sono infiniti di più di numeri rispetto ai numeri razionali?
Ma proviamo a vedere se troviamo una corrispondenza biunivoca tra questi
due insiemi.
Scriviamo i numeri razionali così:
1
1
1
2
1
3
1
4
1
5
1
6
1
7
1
8
1
9
…..
2
1
2
2
2
3
2
4
2
5
2
6
2
7
2
8
2
9
…..
3
1
3
2
3
3
3
4
3
5
3
6
3
7
3
8
3
9
…..
……………………………………………
𝑛
1
𝑛
2
𝑛
3
𝑛
4
𝑛
5
𝑛
6
𝑛
7
𝑛
8
𝑛
9
…..

12. CERCHIAMO UNA
CORRISPONDENZA
BIUNIVOCA
1
1
1
2
1
3
1
4
1
5
1
6
1
7
1
8
1
9
…..
2
1
2
2
2
3
2
4
2
5
2
6
2
7
2
8
2
9
…..
3
1
3
2
3
3
3
4
3
5
3
6
3
7
3
8
3
9
…..
……………………………………………
𝑛
1
𝑛
2
𝑛
3
𝑛
4
𝑛
5
𝑛
6
𝑛
7
𝑛
8
𝑛
9
…..
Posso andare in orizzontale e contarli tutti? E in
verticale? E in diagonale?
Se vado in orizzontale quando riuscirò a passare
all’altra riga? Come faccio a scriverlo?
La stessa cosa accade se vado in verticale oppure
in diagonale.
Però forse il problema nasce se vado solo in
orizzontale o solo in verticale o solo in diagonale.
NASCE L’IDEA DI ANDARE A «ZIG ZAG»

13. LA CORRISPONDENZA
BIUNIVOCA CHE CERCAVAMO
1
1
1
2
1
3
1
4
1
5
1
6
1
7
1
8
1
9
…..
2
1
2
2
2
3
2
4
2
5
2
6
2
7
2
8
2
9
…..
3
1
3
2
3
3
3
4
3
5
3
6
3
7
3
8
3
9
…..
……………………………………………
𝑛
1
𝑛
2
𝑛
3
𝑛
4
𝑛
5
𝑛
6
𝑛
7
𝑛
8
𝑛
9
…..
ABBIAMO TROVATO LA
CORRISPONDENZA BIUNIVOCA, QUINDI I
NUMERI NATURALI SONO INFINITI E
DELLE STESSO INFINITO DEI NUMERI
RAZIONALI

14. DIAMO UN NOME
ALL’INFINITO DEI NUMERI
NATURALI
Chiameremo l’infinito dei numeri naturali Aleph 0
(si legge alef zero)

15. E I NUMERI REALI?
Iniziamo con il capire chi sono i numeri reali.
Sono quei numeri che hanno infinite cifre dopo la virgola senza che
esse si ripetano allo stesso modo, cioè non si ripetono con la stessa
sequenza.
Possiamo dire qual è il successivo di un numero reale?
No! Anche dei numeri reali non sappiamo il successivo.
Ma in questo caso come facciamo a trovare questa corrispondenza
biunivoca?

16. SUPPONIAMO DI TROVARLA
Innanzitutto possiamo considerare invece che tutto l’insieme R dei
numeri reali, l‘intervallo [0,1]; se questo intervallo non è numerabile a
maggior ragione non potrà esserlo tutto R.
La dimostrazione procede per assurdo:
Supponiamo per assurdo che l'intervallo [0,1] sia numerabile.
questo significa che gli elementi di [0,1] possono essere posti in
corrispondenza biunivoca con i numeri naturali dando luogo a una
successione di numeri reali {r1, r2, r3, ...} che esaurisce tutti i numeri
reali compresi tra 0 e 1.
Possiamo rappresentare ciascun numero della successione in forma
decimale e visualizzare la successione di numeri reali in questo
modo:

17. r1 = 0, 5 1 0 5 1 1 0 ...
r2 = 0, 4 1 3 2 0 4 3 ...
r3 = 0, 8 2 4 5 0 2 6 ...
r4 = 0, 2 3 3 0 1 2 6 ...
r5 = 0, 4 1 0 7 2 4 6 ...
r6 = 0, 9 9 3 7 8 3 8 ...
r7 = 0, 0 1 0 5 1 3 5 ...
………………………...
In realtà ci sono numeri che hanno più di una
rappresentazione decimale: quelli che
terminano con una sequenza infinita di 9 o di
0 ne hanno due, in tal caso conveniamo di
prendere la rappresentazione che termina
con 0.
Ora concentriamo la nostra attenzione sulle
cifre lungo la diagonale della matrice, cioè
sulla successione il cui k-esimo elemento è
la k-esima cifra decimale di rk, come mostra
la figura:
r1 = 0, 5 1 0 5 1 1 0 ...
r2 = 0, 4 1 3 2 0 4 3 ...
r3 = 0, 8 2 4 5 0 2 6 ...
r4 = 0, 2 3 3 0 1 2 6 ...
r5 = 0, 4 1 0 7 2 4 6 ...
r6 = 0, 9 9 3 7 8 3 8 ...
r7 = 0, 0 1 0 5 1 3 5 ...
………………………...

18. Questa successione di cifre sulla diagonale, vista come un'espansione decimale, definisce un
numero reale 0,423783... . Ora consideriamo un nuovo numero reale x che abbia invece tutte le
cifre differenti dalla sequenza sulla diagonale, un modo per definire un numero così è il seguente:
x è il numero reale compreso tra 0 e 1 tale che
se sulla diagonale c’è il numero k scelgo un numero diverso da k ma compreso tra 2
e 8.
All'inizio dell'argomento avevamo supposto che la nostra lista {r1, r2, r3, ... } enumerasse tutti i
numeri reali compresi tra 0 e 1, quindi dovremmo avere rn = x per qualche n e poiché x non ha dei
9 tra le cifre decimali la sua rappresentazione è unica. Tale unica rappresentazione dovrà quindi
essere quella presente nella riga n-esima della tabella. A questo punto emerge una
contraddizione: sia a la n-esima cifra decimale di rn = x.
Per come è definito x la cifra a sulla diagonale non può essere uguale, ma diversa dalla cifra della
diagonale di partenza.
Questo significa aver trovato un numero a non contenuto nell’ordinamento. E questo va contro
l’ipotesi che esisteva un ordinamento di tutti i numeri reali nell’intervallo [0,1].
Quindi i numeri reali appartengono ad un infinito più grande.
Chiameremo questo infinito, INFINITO DEL CONTINUO

19. LA RETTA E I NUMERI REALI
Esiste una corrispondenza biunivoca tra i numeri reali e la retta, tanto
che spesso diciamo «la retta reale».
P.s. questa corrispondenza biunivoca ancora nessuno l’ha mai
dimostrata! Ma la diamo per buona.

20. CONFRONTIAMO DUE
SEGMENTI
Più punti in AB o in CD?

21. CERCHIAMO UNA
CORRISPONDENZA
BIUNIVOCA…
Se consideriamo un punto E esterno ai
due segmenti e tracciamo la retta
passante per E e per un punto P di AB
troviamo sempre uno ed un solo punto.
Questa è una corrispondenza biunivoca.
Quindi i punti all’interno di due segmenti
diversi hanno lo stesso numero infinito

22. PIÙ PUNTI IN UN SEGMENTO
O IN UNA SEMIRETTA?
Cerchiamo una corrispondenza biunivoca dal segmento AB alla seritta
di origine C. Qualcuno ha delle idee?

23. UN’IDEA
Poniamo il segmento in modo
perpendicolare alla semiretta, consideriamo
un punto esterno ad entrambi e tracciamo
le semirette passanti per O e per un punto
del segmento AB. Viene individuato così un
unico punto Q sulla semiretta.

24. PIÙ PUNTI IN UNA
SEMICIRCONFERENZA O IN UNA
RETTA?
Un semicirconferenza aperta (senza i punti estremi)
può essere messa in corrispondenza biunivoca con
una retta. Ad ogni punto P della semicirconferenza
corrisponde un punto P’ e viceversa ad ogni punto
P’ della retta corrisponde un punto della
semicirconferenza.

25. PIÙ PUNTI IN UN SEGMENTO
O IN UNA RETTA
File geogebra

26. CORRISPONDENZA
BIUNIVOCA TRA
CIRCONFERENZA E RETTA
File di geogebra

27. PIÙ PUNTI IN UN QUADRATO
O NEL SUO LATO?
Si tratta di costruire una
corrispondenza biunivoca tra i
punti del quadrato e i punti di
un suo lato. In un sistema di
riferimento cartesiano sia Q un
quadrato di vertici (0,0); (0,1);
(1,1), (1,0).

28. Un punto P del quadrato avrà coordinate (x, y), dove x e y sono numeri reali
compresi tra 0 e 1 e possono essere scritti in forma decimale:
x = 0,a1, a2, a3, a4, a5, a6,... y = 0,b1, b2, b3, b4, b5, b6,...
dove ai e bi sono cifre comprese tra 0 e 9 (ad esempio 0,539236...).
Alla coppia ordinata (x, y), che identifica univocamente il punto P, si può far
corrispondere il numero reale compreso tra 0 e 1, c = 0,a1, b1, a2, b2, a3, b3,...
che identifica univocamente un punto del lato del quadrato. Viceversa ad un
qualunque punto del lato AB cui corrisponde univocamente il numero decimale
c = 0,c1, c2, c3, c4, c5, c6,... si può far corrispondere la coppia ordinata formata
da x = 0,c1, c3, c5,... e y = 0, c2,c4,c6,... che individua un punto del quadrato.
La corrispondenza biunivoca tra punti del quadrato e punti di un suo lato è così
costruita e l’affermazione iniziale è pertanto dimostrata.

29. Abbiamo appena dimostrato che i punti del piano (e dello spazio)
sono “tanti quanti” sono i punti di una retta.
A proposito di quest’ultimo teorema lo stesso Cantor, in una lettera a
Dedekind del 1877, afferma:
“Lo vedo ma non ci credo !”

30. GIUSEPPE PEANO (1858-
1932)
Nel 1890 il matematico Giuseppe Peano pubblicò un articolo dal titolo
"Sur une courbe qui remplit toute une aire plaine" in cui presentava
una curva che aveva la strana proprietà di riempire tutto un quadrato.
Questo fatto lasciò molto perplessi poiché, per definizione, una curva
è un ente geometrico ad una sola dimensione, mentre il quadrato ha
due dimensioni. Eppure, la curva di Peano passa per tutti i punti del
quadrato.
Questa curva è
detta curva di Peano
ed è un frattale

31. Video youtube sull’albergo di Hilbert

32. NOTA BENE: LE PAROLE
ILLIMITATO E INFINITO IN
MATEMATICA
Dovete fare attenzione alle parole «insieme illimitato» e «insieme
infinito» perché indicano due concetti diversi.
Noi sappiamo che la retta è illimitata, infatti quando vi poniamo un
punto possiamo orientarla e dire che ad esempio a destra si va verso
l’infinito e a sinistra si va verso meno infinito. Inoltre sappiamo che la
retta ha un numero infinito di punti. Quindi questo termine se
guardiamo solo l’esempio della retta potrebbe trarre in inganno.
Infatti esistono anche insiemi limitati ma con infiniti punti. L’esempio
classico è il segmento. Esso è infatti limitato è ha un numero infinito
di punti.

33. ALTRE COSE STRANE…
Esiste secondo voi una figura che ha area finita ma perimetro infinito?
Oppure una figura che ha perimetro infinito e area uguale a zero?
I frattali rispondono a queste domande.

34. ESISTE SECONDO VOI UNA FIGURA
CHE HA AREA FINITA MA PERIMETRO
INFINITO?
L’area del fiocco di neve è limitata in una circonferenza

35. ESISTE UNA FIGURA CHE HA
PERIMETRO INFINITO E AREA
UGUALE A ZERO?
Triangolo si Sierpinsky