Distribución Uniforme en el Plano s, determinación de su esperanza y la varianza. Distribución Exponencial en el Plano s, determinación de su esperanza y la varianza. Distribución Erlang en el Plano s, determinación de su esperanza y la varianza. Las propiedades utilizadas para determinar las transformadas de Laplace y su inversa se adjuntan en una tabla.

1. Transformadas de Laplace de
Algunas Distribuciones
Relevantes
Oscar Reyes H.
16/10/2001

2. Contenidos
• Distribución Uniforme en el Plano s, determinación de su
esperanza y la varianza.
• Distribución Exponencial en el Plano s, determinación de
su esperanza y la varianza.
• Distribución Erlang en el Plano s, determinación de su
esperanza y la varianza.
• Las propiedades utilizadas para determinar las
transformadas de Laplace y su inversa se adjuntan en una
tabla.

3. Distribución Uniforme
• La función de densidad de probabilidad de la distribución
Uniforme:
• Para llevar fx(x) al plano de Laplace es conveniente
escribirla de la siguiente forma:






>
≥≤≤−
=
abetoc
babxaab
xfx
.0
0,)/(1
)(





<
>
=−
−⋅
−
−−⋅
−
=
ct
ct
ctu
donde
btu
ab
atu
ab
xfx
0
1
)(
)(
1
)(
1
)(

4. Distribución Uniforme
• Luego aplicando la transformada a fx(x) tenemos:
(4)
)}(
1
)(
1
{))(()( btu
ab
atu
ab
LxfLsF x −⋅
−
−−⋅
−
==
)}({
1
)}({
1
)( btuL
ab
atuL
ab
sF −⋅
−
−−⋅
−
=
)})({)}({(
1
)( btuLatuL
ab
sF −−−⋅
−
=
)(
11
)( bsas
ee
sab
sF −−
−⋅⋅
−
=

5. Distribución Uniforme, Cálculo de la Esperanza
• Para calcular la transformada de E[x] ocuparemos la
propiedad de evaluación de integrales (n°3 de la tabla
adjunta).
, E[t]=valor esperadodttfttE t )(][ ∫
∞
∞−
=
∫ −
=
b
a
dt
ab
t
tE )(
∫⋅
−
=
b
a
tdt
ab
tE
1
)(
dtdx
atxsea
=
−=
∫
−=
+⋅
−
=
abX
dxax
ab
xE
0
)(
1
)(
, pero para aplicar la propiedad n°3 descrita en la tabla adjunta
es conveniente hacer el siguiente cambio de variable:

6. Distribución Uniforme, Cálculo de la Esperanza
Aplicando la transformada de Laplace a la expresión
anterior tenemos:
})((
1
{)}({
0
dxax
ab
LxEL
X
∫ +⋅
−
=
})({
1
)(
0
dxaxL
ab
sE
X
∫ +⋅
−
=
)
1
(
1
)( 23
s
a
sab
sE +⋅
−
=
Por las propiedades n° 3 y n°6 de la tabla adjunta se llega a :

7. Distribución Uniforme, Cálculo de la Esperanza
Aplicando la transformada inversa a la expresión anterior:
}{}
1
{
1
2
1
3
1
s
a
L
s
L
ab
E −−
+⋅
−
=
)
2
(
1
)()
2
(
1
)(
2
a
X
X
ab
Xa
X
ab
tE +⋅
−
=⋅+⋅
−
=
2
)(
ab
tE
+
=
)}
1
(
1
{)}({ 23
11
s
a
sab
LsEL +⋅
−
= −−
Pero recordemos que X=b-a
)
2
()(
1
a
ab
ab
ab
E +
−
⋅−⋅
−
=

8. Distribución Uniforme, Cálculo de la Varianza
Para calcular la transformada de Var[x] ocuparemos la
propiedad de evaluación de integrales (n°3 de la tabla).
Por definición:
2222
))(()(])[(][][ dxxfxdxxfxxExExVar xx ∫∫
∞
∞−
∞
∞−
−=−=
dttfttE t )(][ 22
∫
∞
∞−
=
Por lo tanto solo es necesario obtener el valor de E[x2
]
y luego restarle el valor de E[x]2
∫ −
=
b
a
dt
ab
t
tE
2
2
)(

9. Distribución Uniforme, Cálculo de la Varianza
Pero par aplicar el teorema n° 3 de la tabla es conveniente
hacer el siguiente cambio de variable:
por lo tanto ahora tenemos:
dtdx
atxsea
=
−=
∫
−=
−
+
=
abX
dx
ab
ax
xE
0
2
2 )(
)(
∫
−=
++⋅
−
=
abX
dxaxax
ab
xE
0
222
)2(
1
)(

10. Distribución Uniforme, Cálculo de la Varianza
Aplicando Laplace a la expresión anterior se llega a:
)
21
(
1
)(
2
34
s
a
s
a
sab
sF ++⋅
−
=
∫ ++⋅
−
=
X
dxaxaxL
ab
xEL
0
222
})2({
1
)}({
)}{}{2})({(
1
)}({
0 0
2
0
22
∫ ∫∫ +⋅+⋅
−
=
X XX
dxLadxxLadxxL
ab
xEL
Aplicando la transformada inversa a la expresión anterior:
)}
21
(
1
{)}({
2
34
11
s
a
s
a
sab
LsFL ++⋅
−
= −−

11. Distribución Uniforme, Cálculo de la Varianza
Desarrollando se llega a:
)
2
2
3
(
1
)( 2
23
2
Xa
aXX
ab
xE ++⋅
−
=
}){}
2
{}
1
{(
1
)}({
2
1
3
1
4
11
s
a
L
s
a
L
s
L
ab
sFL −−−−
++⋅
−
=
Pero recordemos que X=b-a
)
3
)(
()(
2
2
ab
ab
xE +
−
=
)
3
(
1
)( 2
2
2
aaX
X
X
ab
xE ++⋅⋅
−
=
3
)(
22
2 aabb
xE
++
=

12. Distribución Uniforme, Cálculo de la Varianza
Recordemos que deseamos encontrar:
)(
3
1
)( 222
aabbxE ++=
22
])[(][][ xExExVar −=
Y tenemos que:
2
)(
ab
xE
+
=
Finalmente tenemos:
)2(
4
1
)(
3
1
)( 2222
babaaabbxVar ++−++=
)363444(
12
1
)( 2222
babaaabbxVar ++−++=
12
)(
)2(
12
1
)(
2
22 ab
aabbxVar
−
=+−=

13. Distribución Exponencial
La función de densidad de probabilidad de la distribución
Exponencial:
Aplicando la propiedad que dice:




 ≤
=
−
.0
0
)(
etoc
xae
xf
ax
x
λ
λ
+
=⇒⋅= −
S
A
sHeAth t
)()(
sa
a
sF
+
=)(
Tenemos que para fx(x) la transformada es:

14. Distribución Exponencial, Cálculo de la Esperanza
Para calcular la transformada de E[x] ocuparemos la
propiedad de evaluación de integrales entre los límites cero
a infinito (ver bibliografía pág. 27).
Por definición la esperanza es:
Por lo tanto:
dttfttE t )(][ ∫
∞
∞−
=
dtetatE at−
∞
⋅= ∫0
exp ][
También sabemos que:
2
0
1
][
s
dtetsF st
=⋅= −
∞
∫

15. Distribución Exponencial, Cálculo de la Esperanza
Luego si hacemos s = a tenemos:
2
0
1
a
dtet at
=⋅ −
∞
∫
Por lo tanto:
)
1
(][ 2exp
a
atE ⋅=
a
tE
1
][exp =

16. Distribución Exponencial, Cálculo de la Varianza
Tenemos que por definición:
2222
))(()(])[(][][ dttftdttfttEtEtVar tt ∫∫
∞
∞−
∞
∞−
−=−=
dtetatE at−
∞
∫=
0
22
][
Por lo tanto solo es necesario obtener el valor de E[t2
]
y luego restarle el valor de E[t] ya calculado elevado al cuadrado.
También sabemos que:
3
0
2 2
][
s
dtetsF st
=⋅= −
∞
∫

17. Distribución Exponencial, Cálculo de la Varianza
Luego si hacemos s = a tenemos:
3
0
2 2
a
dtet at
=⋅ −
∞
∫
Por lo tanto:
)
2
(][ 3
2
exp
a
atE ⋅=
Finalmente tenemos que:
22
])[(][][ xExExVar −=
22
12
][
aa
xVar −=
2
1
][
a
xVar =

18. Distribución Erlang
La función de densidad de probabilidad de la distribución
Erlang:
Aplicando la Transformada de Laplace:







≥>≤
−=
−−
.
1,0,0
)!1()(
0
1
etoc
nx
n
ex
xf
xnn
x
λ
λ
λ
}
)!1(
{)(
1
−
=
−−
n
ex
LsF
xnn λ
λ
}
)!1(
{)(
1
−
=
−−
n
ex
LsF
xn
n
λ
λ

19. Distribución Erlang
Aplicando las propiedades n°8 se llega a :
n
n
s
sF
)(
1
)(
λλ +
=

20. Distribución Erlang, Cálculo de la Esperanza
Para calcular la transformada de E[x] ocuparemos la
propiedad de evaluación de integrales entre los límites cero
a infinito (ver bibliografía).
Por definición la esperanza es:
Por lo tanto:
dttfttE t )(][ ∫
∞
∞−
=
También sabemos que:
dt
n
et
ttE
tnn
erlang ∫
∞ −−
−
⋅=
0
1
)!1(
][
λ
λ
1
0
1
)!1(
}
)!1(
{ +
∞ −−
=
−
=
− ∫ n
sxnn
s
n
dx
n
ex
n
x
L

21. Distribución Erlang, Cálculo de la Esperanza
Luego si hacemos s = λ tenemos:
Por lo tanto:
)(][ 1exp
λ
λ +
= n
n n
tE
λ
λ
1
0
1
)!1( +
∞ −−
=
−∫ n
xn
n
dx
n
ex
)(][exp
λ
n
tE =

22. Distribución Erlang, Cálculo de la Varianza
Tenemos que por definición:
2222
))(()(])[(][][ dttftdttfttEtEtVar tt ∫∫
∞
∞−
∞
∞−
−=−=
Por lo tanto solo es necesario obtener el valor de E[t2
]
y luego restarle el valor de E[t] ya calculado elevado al cuadrado.
También sabemos que:
dt
n
et
ttE
tnn
erlang ∫
∞ −−
−
⋅=
0
1
22
)!1(
][
λ
λ
2
0
11
)1(
)!1(
}
)!1(
{ +
∞ −−+
+
=
−
=
− ∫ n
sxnn
s
nn
dx
n
ex
n
x
L

23. Distribución Erlang, Cálculo de la Varianza
Luego si hacemos s = λ tenemos:
Por lo tanto:
λλ
λ nn
n nnnn
tE
)1(
)
)1(
][ 2
2
exp
+
=
+
⋅= +
Finalmente tenemos que:
22
])[(][][ xExExVar −=
2
2
2
)1(
][
λλ
nnn
xVar −
+
=
2
][
λ
n
xVar =
λ
λ
2
0
1
)1(
)!1( +
∞ −−
+
=
−∫ n
xn
nn
dx
n
ex

24. Tabla de transformadas de Laplace y Propiedades

25. Bibliografía
Teoría Y Problemas de
Transformadas de Laplace
Murray R. Spiegel
Editorial McGraw-Hill 1970