1. CURSO DE CALCULO DIFERENCIAL 100410
TRABAJO COLABORATIVO 1
Presentado por:
OSCAR FERNANDO CUENCA RAMOS Código:
Presentado a:
OSCAR DIONISIO CARRILLO RIVEROS
FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS E INGENIERÍA
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA
UNAD
BOGOTÁ
SEPTIEMBRE DE 2014
2. 2
INTRODUCCIÓN
En este trabajo se desarrollan un total de diez planteamientos, en los cuales se
despliegan por parte del equipo el conocimiento, destrezas adquiridas durante la
práctica de los ejercicios propuestos en cada una de las lecciones que componen
esta primera unidad. Y de esta manera mediante una autoevaluación conocer
debilidades y fortalezas en el desarrollo de las termas de análisis de sucesiones y
progresiones.
4. 4
Hallar el termino general de las siguientes progresiones, manifieste si son
aritméticas o geométricas.
3. 𝐶0 = {0;
1
4
;
1
2
;
3
4
; … … …. . } = 𝐶0 = {
0
4
;
1
4
;
2
4
;
3
4
; … … …. . }
𝑎1 = 0
𝑎 𝑛 =?
𝑎 𝑛 = {0 𝑎11;
1
4 𝑎2
;
1
2 𝑎3
;
3
4 𝑎4
……; 𝑎 𝑛}
Vemos que cada término se diferencia en
1
4
, que es una condición para una
sucesión aritmética y
1
4
es la diferencia común constante para cada término,
entonces de la forma 𝑎 𝑛+1 − 𝑎 𝑛 = 𝑑
𝑎 𝑛+1 − 𝑎 𝑛 = 𝑑 ⇒⇒
1
4
− 0 =
1
4
⇒⇒ 𝑑 =
1
4
Sabemos que la forma general para la sucesión aritmética es:
𝑎 𝑛 = 𝑎1 + ( 𝑛 − 1) 𝑑 ⇒ 𝑎 𝑛 = 0 + ( 𝑛 − 1)
1
4
⇒ 𝑛 (
1
4
) −
1
4
𝑎 𝑛 =
𝑛
4
−
1
4
, termino general de la sucesión.
4. 𝐶0 = {1; −
1
2
;
1
4
; −
1
8
;
1
16
… . . } = 𝐶0 = {
1
20 ;−
1
21 ;
1
22 ; −
1
23 ;
1
24 … . . }
Podemos decir que se trata de una sucesión geométrica con 𝑎 = 1 y 𝑟 =
1
2
. El
término general es: 𝑎 𝑛 = 1 (
1
2
)
𝑛−1
𝑎1 = 1(
1
2
)
1−1
= 1
𝑎2 = 1 (
1
2
)
2−1
=
1
2
𝑎3 = 1 (
1
2
)
3−1
=
1
4
… … …𝑎 𝑛 = 1 (
1
2
)
𝑛−1
5. 5
5. 𝐶0 = {2;
2√3
3
;
2
3
; −
2√3
9
; … …. . }=𝑐0 = {2,
2√3
3
;
2
3
;
2√3
9
}
𝑐1 = 2
𝑐2 = 𝑐1 .(
√3
3
)
1
𝑐3 = 𝑐1 .(
√3
3
)
1
. (
√3
3
) = 𝑐1 .(
√3
3
)
2
𝑐4 = 𝑐1 .(
√3
3
)
2
. (
√3
3
) = 𝑐1 .(
√3
3
)
3
𝑐 𝑛 = 𝑐1 .(
√3
3
)
𝑛−1
Remplazando tenemos el termino general𝑐 𝑛 = 2 (
√3
3
)
𝑛−1
.Progresión Geométrica
con razón r = (
√3
3
).
Utilizando los conceptos y fórmulas de las sucesiones y progresiones Hallar:
6. Cuál es la suma de los números múltiplos de 9 menores o iguales a 2304.
Cuantos términos hay?
𝑆1 = 9
𝑆 𝑛 = 2304
𝐶0 = {9;18;27;36………}, 2304 es múltiplo de 9, cada múltiplo esta cada 9
números, entonces
2304
9
= 256, que serían los términos.
𝑆2 − 𝑆1 = 18 − 9 = 9
𝑆3 − 𝑆2 = 27− 9 = 9
𝑑 = 9
𝑛 =
𝑆 𝑛
𝑑
𝑛 =
2304
9
𝑛 = 256
256 términos.
6. 6
La suma de los términos la podemos determinar:
𝑆 𝑛 =
𝑛
2
[2𝑎 + ( 𝑛 − 1) 𝑑]
𝑆 𝑛 =
256
2
[2(9) + (256− 1)9]
𝑆 𝑛 = 128[18+ 2295]
𝑆 𝑛 = 296064
La suma de todos los términos es 296064.
7. La suma de los números pares de cuatro cifras. ¿Cuántos términos hay?
𝑎1 = 1000
𝑎 𝑛 = {1000 𝑎11;10022𝑎2
;1004 𝑎3
;……… ; 9998 𝑎 𝑛
}
Vemos que cada término se diferencia en 2, que es una condición para una
sucesión aritmética y dos es la diferencia común constante para cada término,
entonces:
𝑎 𝑛+1 − 𝑎 𝑛 = 𝑑 ⇒⇒ 1002 − 1000 = 2 ⇒⇒ 𝑑 = 2
Sabemos que la forma general para la sucesión aritmética es:
𝑎 𝑛 = 𝑎1 + ( 𝑛 − 1) 𝑑 ⟹ 𝑎 𝑛 = 1000 + ( 𝑛 − 1)2 ⟹ 2𝑛 + 998
𝑎 𝑛 = 2𝑛 + 998, forma general de la sucesión.
Para conocer el término 𝑎 𝑛, o la cantidad de términos.
𝑎 𝑛 = 2𝑛 + 998, sustituimos 9998 = 2𝑛 + 998 ⇒⇒ 2𝑛 = 9000 ⇒⇒ 𝑛 = 4500
De la fórmula para la suma de los primeros 𝑛 términos de una sucesión decimos:
𝑆 𝑛 = 𝑛 (
𝑎1 + 𝑎 𝑛
2
) ⇒ 𝑆4500 = 4500(
1000 + 9998
2
) = 4500(5499)
𝑆4500 = 24.745.500
Rta// de 𝑆4500 = 24.745.500 tenemos 𝑛 = 4500 términos.
7. 7
8. En la progresión aritmética el tercer término es 24 y el décimo término es 66.
Hallar el primer término y la diferencia común de la progresión.
U3 = 24
U10 = 66
U1 = ?
d = ?
𝑈 𝑛 = 𝑈1 + ( 𝑛 − 1) 𝑑 𝑈10 = 𝑈1 + ( 𝑛 − 1) 𝑑
𝑈3 = 𝑈1 + (3 − 1) 𝑑 66 = 𝑈1 + (10 − 1) 𝑑
24 = 𝑈1 + (2) 𝑑 66 = 𝑈1 + (9) 𝑑
𝐴) − 𝑈1 = 2𝑑 − 24 𝐵) 𝑈1 = −9𝑑 + 66
(−𝑈1 = 2𝑑 − 24)9 (𝑈1 = −9𝑑 + 66)2
2𝑈1 = −18𝑑 + 132
−9𝑈1 = 18𝑑 − 216
−7𝑈1 = −84 𝑈1 = 12 Primer término.
Reemplazando,
𝑈1 = −9𝑑 + 66 ⇒ 12 = −9𝑑 + 66 ⇒ 9𝑑 = 66 − 12 ⇒ 𝑑 =
54
9
𝑑 = 6 Es la diferencia común
9. El caracol gigante africano (GAS en inglés) fue encontrado por primera vez en
el sur de Florida en la década de los 60. La erradicación de esta plaga llevo 10
años y costo un millón de dólares. Se reproduce rápidamente y produce alrededor
de 1.200 huevos en un solo año. Si no se le controla si de cada huevo resulta un
caracol, sabiendo que en una granja del meta se encontraron inicialmente 5.000
caracoles.
¿Cuántos caracoles gigantes existirían dentro de 10 años? No olvide usar los
conceptos y fórmulas de las sucesiones y progresiones.
Sabemos que la forma general para la sucesión aritmética es:
𝑎 𝑛 = 𝑎1 + ( 𝑛 − 1) 𝑑
8. 8
𝑎1 = 5000
𝑛 = 10
𝑑 = 1200
𝑎 𝑛 = 5000 + ( 𝑛 − 1)1200 ⇒ 𝑎 𝑛 = 5000 + 1200𝑛 − 1200 ⇒ 𝑎 𝑛 = 1200𝑛 + 3800
𝑎 𝑛 = 1200(10)+ 3800 ⇒ 𝑎 𝑛 = 15800
De la fórmula para la suma de los primeros 𝑛 términos de una sucesión decimos:
𝑆 𝑛 = 𝑛 (
𝑎1 + 𝑎 𝑛
2
) ⇒ 𝑆10 = 10 (
5000 + 15800
2
) = 10(10400)
𝑆10 = 104800
10. En la granja de la UNAD en Acacias se quiere saber cuál es el ingreso por la
venta de un lote de 1.850 cerdos, cuyo peso promedio es de 20 kg, los cuales
tendrán un tiempo de engorde de 120 días. Durante los primeros 30 días los
animales aumentarán de peso en promedio 1 kg por día y en los otros 90 días su
aumento será de 450 g por día.
El precio del kg de cerdo en pie es de $2.950.
Hallamos el peso final durante los primeros 30 días:
𝑈1 = 20𝐾𝑔
𝑑 = 1𝐾𝑔
𝑛 = 30𝑑𝑖𝑎𝑠
Remplazamos en
𝑈 𝑛 = 𝑈1 + ( 𝑛 − 1) 𝑑 ⇒ 𝑈 𝑛 = 20 + ( 𝑛 − 1)1 ⇒ 𝑈 𝑛 = 20 + 𝑛 − 1
𝑈 𝑛 = 50 − 1 ⇒ 𝑈 𝑛 = 49𝐾𝑔 Peso final en los primeros 30 días.
Ahora hallamos el segundo periodo:
𝑑 = 0.45𝐾𝑔
𝑛 = 120𝑑𝑖𝑎𝑠
𝑎 = 30 𝑑𝑖𝑎𝑠
9. 9
𝑈 𝑎 = 49𝐾𝑔
Peso de cada cerdo en para el primer periodo
𝑈 𝑛 = 𝑈 𝑎 + ( 𝑛 − 𝑎) 𝑑 ⇒ 𝑈 𝑛 = 49 + ( 𝑛 − 30)0.45
𝑈 𝑛 = 49 + 54 − 13.5 ⇒ 𝑈 𝑛 = 89.5
⇒ 𝑈 𝑛𝑓 = 89.5𝐾𝑔 Peso final de cada cerdo a los 120 días.
𝑃𝑐 = 𝑈 𝑛𝑓 ∗ 2950
𝑃𝑐 = 89.5 ∗ 2950 ⇒ 𝑃 𝐶 = 264025 Precio de cada cerdo en pie.
𝑃𝑡𝑙 = 𝑃𝑐 ∗ 1850 ⇒ 𝑃𝑡𝑙 = 264025∗ 1850 ⇒ 𝑃𝑡𝑙 = 488446250 Precio total.
10. 10
CONCLUSIONES
Se profundiza conocimientos adquiridos, destrezas por parte del grupo de
estudiantes a fin de lograr un apropiado manejo de concepto en el desarrollo de
Análisis de Sucesiones y progresiones.
Así de esta manera y con los conceptos generales de sucesiones, sucesiones
monótonas, acotadas, convergentes, limites de las mismas y sucesiones
divergentes, y mediante el uso de ellos entender el uso de estas herramientas en
la vida real.
Se reconocen estrategias por parte del estudiante, que llevan al reconocimiento,
conocimiento, profundización y finalmente trasferir lo aprendido creando una
sinergia dentro del grupo, lograda mediante el debate de cada uno de los temas
tratados.
11. 11
REFERENCIAS
Stewart, J., Redlin, L., Watson, S., (2012). Precálculo, matemática para el cálculo.
México D.F. Pág. 783.
Stewart, J., Redlin, L., Watson, S., (2012). Precálculo, matemática para el cálculo.
México D.F. Pág. 794 - 800.
TAREASPLUS (23/09/2014) Que es una Sucesión Matemática.
[Vídeo] Recuperado de: http://aula.tareasplus.com/Roberto-Cuartas/Series-y-
Sucesiones/Que-es-una-Sucesion-Matematica
TAREASPLUS (23/09/2014) Sucesiones Monótonas y Acotadas.
[Vídeo] Recuperado de: http://aula.tareasplus.com/Roberto-Cuartas/Series-y-
Sucesiones/Sucesiones-monotonas-y-acotadas
TAREASPLUS (23/09/2014) Que es una Progresión Geométrica.
[Vídeo] Recuperado de: http://aula.tareasplus.com/Roberto-Cuartas/Series-y-
Sucesiones/Que-es-una-Progresion-Geometrica
