TEORIA , EJERCICIOS RESUELTOS Y PROPUESTOS

1. R

2. ¿Qué figuras tienen
la forma de círculo y
circunferencia?

3. Es el conjunto de todos los puntos que se encuentran en un mismo plano y equidistan
de un mismo punto fijo; el cual representa al centro de la circunferencia
P
QT
S
R
R
R
O: Centro
OP=OQ=OT=OS=…:Radio
CIRCUNFERENCIA
Actividad

4. ACTIVIDAD

5. ELEMENTOS DE UNA CIRCUNFERENCIA
A B
M
N
Recta
tangente
Recta
secante
Flecha o
sagita
Diámetro
AB( )
Centro
T
Punto de tangencia
Q
P
Radio
Arco BQ
Cuerda PQ
interactúa

6. PROPIEDADES BÁSICAS DE LA CIRCUNFERENCIA
Todo radio trazado a un punto de tangencia resulta perpendicular a
la recta tangente que determina dicho punto de tangencia
Recta Tangente
Radio
1.-Recta Tangente
ACTIVIDAD

7. 02.- Radio o diámetro perpendicular a una cuerda la
biseca (divide en dos segmentos congruentes).
ON : radio
DN : Diámetro
EF : Cuerda
ACTIVIDAD

8. P
Q
M
N
R
MQPMPQR =⇒⊥
Actividad

9. 03.-Cuerdas paralelas determinan arcos congruentes
entre las paralelas.
A B
C D
 
mBDmACCD//AB:Si =⇒

10. 04.- A cuerdas congruentes en una misma circunferencia
les corresponden arcos congruentes.
A
B
C
D
Cuerdas
congruentes
Arcos congruentes
Las cuerdas
equidistan del
centro
mCDmABCDAB:Si =⇒=

12. POSICIONES RELATIVAS DE DOS CIRCUNFERENCIAS
01.- Circunferencias concéntricas tienen un mismo centro
T punto de tangencia
ET=TF

13. R
r
Distancia entre
los centros (d)
02.- CIRCUNFERENCIAS EXTERIORES.- No tienen punto en común.
d > R + rd > R + r
R r

14. d = R + rd = R + r
03.- CIRCUNFERENCIAS TANGENTES EXTERIORES.- Tienen Un
punto común que es la de tangencia.
r
R
R r
Punto de tangencia
Distancia entre
los centros (d)

15. d
R
d = R - rd = R - r
04.- CIRCUNFERENCIAS TANGENTES INTERIORES.- Tienen un
punto en común que es la de tangencia.
d: Distancia entre los centros
R
r
Punto de
tangencia

16. 05.-CIRCUNFERENCIAS
SECANTES
Tienen dos puntos comunes

17. 5.1.- CIRCUNFERENCIAS SECANTES.- Tienen dos puntos comunes
que son las intersecciones.
R r
( R – r ) < d < ( R + r )( R – r ) < d < ( R + r )
Distancia entre
los centros (d)

18. 5.2.- CIRCUNFERENCIAS ORTOGONALES.- Los radios
son perpendiculares en el punto de intersección.
d2
= R2
+ r2d2
= R2
+ r2
Distancia entre
los centros (d)
r
R

19. 06.- CIRCUNFERENCIAS INTERIORES.- No tienen puntos comunes.
R
r
d
d < R - rd < R - r d: Distancia entre los centros

20. 1.- Desde un punto exterior a una circunferencia se puede
trazar dos rayos tangentes que determinan dos
segmentos congruentes.
PROPIEDADES DE LAS TANGENTES
AP = PBAP = PB
A
B
P
R
R
α
α
ACTIVIDAD

21. 2.- TANGENTES COMUNES EXTERIORES.- Son congruentes
AB = CDAB = CD
A
B
C
D
R
R
r
r

22. 3.- TANGENTES COMUNES INTERIORES.- Son congruentes.
AB = CDAB = CD
A
B
C
DR
R
r
r

23. TEOREMA DE PONCELET.- En todo triángulo rectángulo, la suma
de longitudes de catetos es igual a la longitud de la hipotenusa
mas el doble del inradio.
a + b = c + 2ra + b = c + 2r a + b = 2 ( R + r )a + b = 2 ( R + r )
a
b
c
r
R R
Inradio
Circunradio

24. TEOREMA DE PITOT.- En todo cuadrilátero circunscrito a una
circunferencia, se cumple que la suma de longitudes de los lados
opuestos son iguales.
a + c = b + da + c = b + d
d
a
b
c
Cuadrilátero circunscrito

26. α
1.- MEDIDA DEL ÁNGULO CENTRAL.- Es igual a la
medida del arco que se opone.
A
B
C
r
r
α = mABα = mAB
ACTIVIDAD

27. β
A
C
B
D
2.- MEDIDA DEL ÁNGULO INTERIOR.- Es igual a
la semisuma de las medidas de los arcos
opuestos
2
mCDmAB +
=β

28. θ
A
B
C
3.- MEDIDA DEL ÁNGULO INSCRITO.- Es la mitad de la medida
del arco opuesto.
2
mAB
=θ
ACTIVIDAD

29. δ
4.- MEDIDA DEL ÁNGULO SEMI-INSRITO.- Es igual al medida
del arco opuesto.
A
B
C
2
mAB
=δ

30. ε
A
BC
2
mABC
=ε
1.- MEDIDA DEL ÁNGULO EX-INSCRITO.- Es igual a la mitad de
la medida del arco ABC.

32. α
A
B
C O
6.-ÁNGULOS EXTERIORES.- Son tres casos:
a.- Medida del ángulo formado por dos rectas tangentes.- Es
igual a la semidiferencia de las medidas de los arcos
opuestos.
α + mAB = 180°α + mAB = 180°
2
mAB-mACB
=α

33. θ
A
B
C
O
c.- Medida del ángulo formado por una recta tangente y otra
secante.- Es igual a la semidiferencia de las medidas de los
arcos opuestos.
2
mBC-mAB
=θ

34. β
A
B
C
O
D
b.- Ángulo formado por dos rectas secantes.- Es igual a la
semidiferencia de la medida de los arcos opuestos.
2
mCD-mAB
=β