Principio de Ánalise

1
Princ´ıpio de Análise
Exerc´ıcios de Matemática
David Armando Zavaleta Villanueva
Durante a elabora¸cão deste trabalho
o autor recebeu aux´ılio financeiro da FAPERN.

Prefácio
Estas notas foram escritas durante os dois anos de experiência lecionando a disciplina
análise para o curso de bacharelado em matemárica no departamento de Matemática da UFRN.
A publica¸cão desta apostila foi financiada totalmente pela FAPERN.
1

Sumário
1 Introdu¸cão 5
2 Preliminares 6
2.1 Elementos da Teoria de Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1.1 Defini¸cões Principais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1.2 Opera¸cões sobre Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1.3 Produto Cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.4 Conjuntos Finitos e Infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.5 Conjuntos Enumerávies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Fun¸cões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3 Números Reais 14
3.1 Números Naturais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.2 Números Inteiros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.3 Números Racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.3.1 Supremo e Ínfimo de um Conjunto em Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.4 Números Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.4.1 Números irracionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.4.2 Propriedade Arquimediana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.4.3 Valor Absoluto de um Número Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.4.4 Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.4.5 R não é Enumerável . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4 Sequências e Séries Numéricas 28
4.1 Progressão Aritmética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.2 Progressão Geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.3 Defini¸cão de Sequências Numéricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.4 Sequências Monótonas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.5 Limite de uma Sequência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.6 Opera¸cões com Sequências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.7 Existência do Limite de uma Sequência Monótona Limitada . . . . . . . . . . . 36
4.8 O número e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.9 Critério de Cauchy para a Existência do Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.10 Teorema de Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.11 Séries Numéricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.11.1 Defini¸cões Básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.11.2 Opera¸cões com Séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2

4.11.3 Séries com Termos Positivos. Critérios de Convergência . . . . . . . . . . 40
4.12 Séries Alternadas. Teorema de Leibnitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5 Fun¸cões e suas Propriedades 46
5.1 Conceitos Básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.1.1 Fun¸cão Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.1.2 Fun¸cão Composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.1.3 Algumas Fun¸cões Elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.2 Fun¸cão Par e Fun¸cão Ímpar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.3 Fun¸cão Limitada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.3.1 Propriedades das Fun¸cões Limitadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.4 Fun¸cões Monótonas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.5 Máximos e M´ınimos de uma Fun¸cão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.6 Fun¸cões Periódicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.7 Fun¸cões Convexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.7.1 Propriedades das Fun¸cões Convexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
6 Gráficos de Fun¸cões 79
6.1 Propriedades e Gráfico das Fun¸cões Elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6.2 Métodos Simples para Construir os gráficos das fun¸cões . . . . . . . . . . . . . . 89
6.3 Transforma¸cão do Gráfico da Fun¸cão y = f(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.4 Gráfico de Fun¸cões mais Complexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
7 Topologia na Reta 111
7.1 Conjuntos Abertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
7.2 Conjuntos Fechados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
7.2.1 Pontos de Acumula¸cão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
7.3 Conjuntos Compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
8 Limite de uma Fun¸cão. Continuidade de uma Fun¸cão 118
8.1 Limite de uma Fun¸cão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
8.2 Propriedades dos Limites das Fun¸cões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
8.3 Limites Infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
8.4 Limites no Infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
8.5 Fun¸cões Cont´ınuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
8.6 Principais Teoremas sobre Fun¸cões Cont´ınuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
8.7 propriedades das Fun¸cões Cont´ınuas num Intervalo . . . . . . . . . . . . . . . . 131
9 Derivada e suas aplica¸cões 133
9.1 Defini¸cão da Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
9.2 Principais Regras para Calcular a Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
9.3 Interpreta¸cão Geométrica da Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
9.4 Derivada das Fun¸cões Compostas e Inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
9.5 Tabela das Derivadas e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
9.6 Análise das Fun¸cões e Constru¸cão de Gráficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
9.6.1 Constru¸cão de Gráficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
9.7 Formas Indeterminadas
0
0
,
∞
∞
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
3

9.8 Aplica¸cões da Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
10 Integral e suas Aplica¸cões 163
10.1 Defini¸cão da Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
10.1.1 Somas de Darboux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
10.2 Rela¸cão entre a Integral Definida e a Integral Indefinida . . . . . . . . . . . . . . 167
10.2.1 Propriedades da Integral Indefinida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
10.2.2 Tabela das Integrais Elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
10.2.3 Regra de Integra¸cão por Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
10.2.4 Regra de Mudan¸ca de Variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
10.3 Propriedades da Integral Definida das Fun¸cões Cont´ınuas . . . . . . . . . . . . . 172
10.3.1 Teorema do Valor Médio para Integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
10.3.2 O Teorema Fundamental do Cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
10.3.3 Regra de Mudan¸ca de Variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
10.3.4 Regra de Integra¸cão por Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
10.4 Aplica¸cões da Integral definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
10.4.1 Cálculo de Áreas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
10.4.2 Comprimento de Arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
10.4.3 Cálculo de Volumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
Referências Bibliográficas 180
4

Cap´ıtulo 1
Introdu¸cão
Este livro será um verdadeiro ajudante para resolver alguns problemas de análise. Ele foi
escrito fundamentado na experiência do ensino da disciplina de análise do curso de bacharelado
em matemática da UFRN.
No come¸co de cada cap´ıtulo damos as defini¸cões necessárias e uma breve teoria. O material
teórico ilustra-se com um grande número de exemplos e problemas de diferentes dificuldades.
No poss´ıvel, os tipos de problema e metódos de sua solu¸cão são sistematizados. Em Cada final
de cap´ıtulo propoem-se exerc´ıcios que podem ser resolvidos usando os métodos apresentados
anteriormente.
5

Cap´ıtulo 2
Preliminares
2.1 Elementos da Teoria de Conjuntos
2.1.1 Defini¸cões Principais
A defini¸cão de conjunto desempenha um papel importante na matemática. A idéia de
conjunto é intuitiva e tão amplia que resulta dif´ıcil dar uma defini¸cão exata, motivo pela qual,
é comum associar a palavra ”conjunto” com expresões como cole¸cão, classe, sistema,etc.
Designemos os conjuntos com letras maiúsculas: A, B, C, . . . e seus elementos com letras
minúsculas:a, b, c, . . .. Dizer que o elemento a pertence ao conjunto A, denotamos por a ∈ A,
se o elemento a não pertence ao conjunto A, denotamos por a /∈ A.
Defini¸cão 2.1.1 Dizemos que um conjunto A é subconjunto de B ou A é parte de B quando
todos os elementos que pertencem a A, também pertencem a B(não esta excluido o caso A = B).
A nota¸cão que usamos para dizer que A é subconjunto de B é A ⊂ B. Dizemos que dois
conjuntos A e B são iguais se;
A = B ⇐⇒ A ⊂ B e B ⊂ A
É muito conveniente introduzir um conjunto que não possua nenhum elemento, que denotaremos
por ∅. Assim por exemplo o conjunto, cujos elementos x ∈ R satisfazem 1 + x2
= 0 é um um
conjunto vazio, pois não existe nenhum número real que satisfaza a equa¸cão 1 + x2
= 0.
O conjunto vazio ∅ é um subconjunto de qualquer conjunto.
2.1.2 Opera¸cões sobre Conjuntos
Admitamos a existência de um a um conjunto universo U, isto é, o conjunto que contenha
todos os conjuntos arbitrários com os quais desejamos trabalhar.
1. Reunião de Conjuntos
Sejam A e B dois conjuntos arbitrários; chama-se reunião de A e B, A ∪ B ao conjunto
formado pelos elementos que pertencem pelo menos a um dos conjuntos A ou B. Em
nota¸cão matemática podemos escrever a reunião de A e B como sendo o conjunto
A ∪ B = {x ∈ U; x ∈ A ou x ∈ B}.
6

A B
A U B
Analogamente podemos definir a reunião de qualquer número (finito ou infinito) de con-
juntos; se Aα, α ∈ I, onde I = 1, 2, 3, . . . são conjuntos arbitrários, então ∪α∈IAα é a
cole¸cão de elementos, cada um dos quais pertence ao menos a um dos conjuntos Aα.
2. Interse¸cão de Conjuntos
Sejam A e B dois conjuntos arbitrários; chama-se interse¸cão de A e B, A∩B ao conjunto
formado pelos elementos que pertencem tanto ao conjunto A como ao conjunto B. Em
nota¸cão matemática podemos escrever a interse¸cão de A e B como sendo o conjunto
A ∩ B = {x ∈ U; x ∈ A e x ∈ B}.
Analogamente podemos definir a interse¸cão de qualquer número (finito ou infinito) de
conjuntos; se Aα, α ∈ I, onde I = 1, 2, 3, . . . são conjuntos arbitrários, então ∩α∈IAα
é a cole¸cão de elementos, cada um dos quais pertence aos conjuntos Aα. Uma no¸cão
importante na interse¸cão de conjuntos é a defini¸cão de conjuntos disjuntos: Diz-se que
dois conjuntos A e B são conjuntos disjuntos quando sua interse¸cão é vazia, ou de outra
forma A ∩ B = ∅.
Evidentemente, podemos estender esta defini¸cão para uma fam´ılia de conjuntos disjuntos:
Uma fam´ılia de conjuntos Aα é dita de conjuntos disjuntos se ∩α∈IAα = ∅.
3. Diferen¸ca de dois Conjuntos
Sejam A e B dois conjuntos arbitrários; chama-se diferen¸ca de A e B, AB ao conjunto
formado pelos elementos que pertencem ao conjunto A mas não pertencem ao conjunto B.
Em nota¸cão matemática podemos escrever a diferen¸ca de A e B como sendo o conjunto
AB = {x ∈ U; x ∈ A e x /∈ B}.
É conveniente introduzir também a chamada diferen¸ca simétrica de dois conjuntos. Sejam
A e B dois conjuntos arbitrários; chama-se diferen¸ca simétrica de A e B, A B ao conjunto
7

A B
Figura 2.1: A ∩ B
A B
Figura 2.2: AB
8

formado pelo união das diferen¸cas AB e BA. Em nota¸cão matemática podemos escrever
a diferen¸ca simétrica de A e B como sendo o conjunto
A B = (AB) ∪ (BA).
A B
Figura 2.3: A B
4. Complementar de um Conjunto
Seja A um conjunto arbitrário. O complementar de A, A é o conjunto diferen¸ca UA.
No caso do complementar entre dois conjuntos, definimos da seguinte forma; Sejam A e
B dois conjuntos tais que A ⊂ B; chama-se conjunto complementar de A em B, CAB
definido por
BA = CAB.
Na teoria dos conjuntos e suas aplica¸cões desempenha uma ferramenta muito importante
o chamado Pr´ıncipio de Dualidade ou Leis de De Morgan que se baseiam nas seguintes
afirma¸cões:
• O complementar da reunião é igual a interse¸cão dos complementares
α
Aα =
α
(Aα) .
• O complementar da interse¸cão é igual a união dos complementares
α
Aα =
α
(Aα) .
9

2.1.3 Produto Cartesiano
Pelo conceito de igualdade de conjuntos, a ordem em que os elementos de um conjunto são
enumerados não é muito importante, por exemplo os conjuntos {2, 5, 7} e {5, 7, 2} são iguais.
Entretanto há alguns casos em matemática em que a ordem dos elementos é importante. Um
desses conceitos é o denominado par ordenado.
Defini¸cão 2.1.2 Dados dois elementos a e b. O par ordenado (a, b) é definido quando fica
determinado que a será o primeiro elemento e b o segundo elemento.
Por exemplo em Geometria Anal´ıtica o par ordenado (2, 5) indica que 2 é a primeira coordenada
e 5 a segunda coordenada, e é diferente do par ordenado (5, 2).
Dois pares ordenados (a, b) e (c, d) são iguais quando;
(a, b) = (c, d) ⇐⇒ a = c e b = d.
Defini¸cão 2.1.3 Sejam A e B dois conjuntos. O produto cartesiano dos conjuntos A e B é o
conjunto A × B definido como
A × B = {(a, b); a ∈ A e b ∈ B}.
Exemplo 2.1 Consideremos os conjuntos A = {2, 5, 8} e B = {3, 9}. Teremos então;
A × B = {(2, 3), (2, 9), 5, 3), (5, 9), (8, 3), (8, 9)}.
2.1.4 Conjuntos Finitos e Infinitos
Quando consideramos diferentes conjuntos, podemos determinar seus elementos ou indicar
a propriedade que satisfazem seus elementos, assim, em alguns casos podemos indicar o número
de elementos que compoem o conjunto. Por exemplo, o conjunto dos alunos da disciplina de
análise da UFRN, o conjunto dos sortudos da loteria federal, o conjunto dos campeões mundias
de futebol, etc. Todos estes exemplos são conjuntos finitos.
Podemos comparar entre si dois conjuntos finitos da seguinte forma; contamos os elementos
do primeiro conjunto e o comparamos com os elementos do segundo conjunto. No caso de ser
igual o número de elementos dos dois conjuntos, podemos estabelecer uma correspondência
biun´ıvoca, isto é, estabelecer uma correspondência que asigne a cada elemento de um conjunto
um elemento e somente um elemento do outro ou visceversa. Por exemplo, para verificar se o
número de ciclistas e o número de bicicletas é igual, podemos sem contar o número de ciclistas
e bicicletas sentar cada ciclista em uma bicicleta determinada. Se todos os ciclistas estão
sentados em sua respectiva bicicleta e não há bicicleta sobrando, então estabelecemos uma
correspondência biun´ıvoca entre estes dois conjuntos, e isto significa que eles têm o mesmo
número de elementos.
Dizemos que um conjunto é infinito quando nunca paramos de contar seus elementos ou
quando ele não é finito. Assim, dado um conjunto finito arbitrário A, dizemos que B é infinito
se não existe uma correspondência biun´ıvoca entre A e B. Exemplos de conjuntos infinitos
podem ser o conjunto de retas no plano, o conjunto de polinômios com coeficientes racionáis, o
conjunto de pontos entre a linha AB, etc.
Proposi¸cão 2.1.1 Todo subconjunto de um conjunto finito é finito.
10

Prova: Sejam A o conjunto finito e B um subconjunto qualquer de A, B ⊂ A.
Suponhamos A = ∅, caso contrário, ∅ ⊂ B, pois o conjunto vazio é subconjunto de qualquer
conjunto. Mas como B ⊂ A ou A ⊂ ∅, segue que B = ∅ e B é finito.
Como A é finito, podemos contar seus elementos, isto é, podemos estabelecer uma corre-
spondência biun´ıvoca com o conjunto {1, 2, . . . , n}, e como B ⊂ A, existe uma correspondência
biun´ıvoca entre o conjunto B e o conjunto {l1, l2, . . . , lk}, onde k = 1, 2, . . . , n. Assim, B é
finito.
2.1.5 Conjuntos Enumerávies
Seja N o conjunto dos números naturais. É fácil de ver, que se o conjunto A é finito, então
é enumerável, pois podemos escrever A como A = {a1, a2, . . . , an}. Em geral, dizemos que
um conjunto é enumerável se existe uma correspondência biun´ıvoca entre ele e o conjunto dos
números naturais. Em otras palavras, um conjunto enumerável é um conjunto cujos elementos
podemos escrever como uma sequência, a1, a2, . . . , an, . . ..
Enunciemos algumas propriedades gerais dos conjuntos enumeráveis.
Proposi¸cão 2.1.2 Todo subconjunto de um conjunto enumerável é finito ou enumerável.
Prova: Sejam A um conjunto enumerável e B um subconjunto qualquer de A. Podemos
escrever A como A = {a1, a2, . . . , an, . . .}. E seja B = {an1 , an2 , an3 , . . .}. Se o máximo dos nk
é um número finito, dizemos que o conjunto B é finito e portanto enumerável. Caso contrário,
dizemos que B é enumerável.
Proposi¸cão 2.1.3 A união de qualquer fam´ılia de conjuntos enumeráveis é enumerável.
Prova: Seja Aα, α = 1, 2, 3, . . . , uma fam´ılia de conjuntos enumeráveis disjuntos dois a dois,
pois, caso contrário podemos considerar os conjuntos A1, A2A1, A3(A2 ∪ A1), . . . cuja união é
igual á α Aα. Como os Aα são enumeráveis, então podemos escrever;
A1 = {a11, a12, . . . , a1n, . . .}
A2 = {a21, a22, . . . , a2n, . . .}
A3 = {a31, a32, . . . , a3n, . . .}
...
An = {an1, an2, . . . , ann, . . .}
...
Agora passemos a enumerar todos os elementos da união α Aα em ”diagonais” da seguinte
forma; Tomemos o primeiro elemento a11, o segundo elemento a12, o terceiro elemento a21, o
quarto elemento a31, etc., seguindo o sentido das setas que indicam o seguinte gráfico;
Desta forma, cada elemento de cada conjunto estará em correspondência com um número
natural determinado, assim fica estabelecido uma correspondência viun´ıvoca entre α Aα e o
conjunto dos números naturais. Para uma maior vizualiza¸cão, podemos escrever α Aα, como
α
Aα = {a11, a12, a21, a31, a22, a13, . . .}
.
11

a a
a a
a a a
a a
aa
a
a
a
a
a
aa
a a
11 12 13 14
a
a
a
a
a
15
21 22 23 24 25
31 32 33 34 35
41 42 43 44 45
51 52 53 54 55
2.2 Fun¸cões
No análise, o conceito de fun¸cão é introduzido da seguinte maneira: Sejam A e B dois
conjuntos arbitrários. Diz-se que no conjunto A está definida uma fun¸cão f com valores em B
se a cada elemento x ∈ A corresponde um, e somente um elemento y ∈ B.
A nota¸cão que usaremos para denotar que f é uma fun¸cão de A em B é a seguinte;
f : A → B
x → f(x)
a nota¸cão x → f(x) é para indicar que f faz corresponder o elemento x ao elemento f(x).
Defini¸cão 2.2.1 O conjunto A chama-se dom´ınio da fun¸cão e o conjunto B chama-se con-
tradom´ınio da fun¸cão e os definiremos como
Df = {x ∈ A; f(x) = y para algúm y ∈ B}
e
Im(f) = {y ∈ B; ∃x ∈ A tal que f(x) = y}
respectivamente.
Defini¸cão 2.2.2 Uma fun¸cão f : A → B chama-se injetiva se verificamos o seguinte: dados
x, y ∈ A, f(x) = f(y) segue que x = y.
Defini¸cão 2.2.3 Uma fun¸cão f : A → B chama-se sobrejetiva se verificamos que Im(f) = B,
ou em outras palavras, para todo y ∈ B existe pelo menos um x ∈ A, tal que f(x) = y.
É conveniente fazer o seguinte esclarecimento. Diz-se que f é uma fun¸cão do conjunto A ”sobre”
o conjunto B se f(A) = B; no caso geral, quando f(A) ⊂ B, dizemos que f é uma fun¸cão de
A ”em” B.
Defini¸cão 2.2.4 Uma fun¸cão f : A → B chama-se bijetiva quando é simultaneamente injetiva
e sobrejetiva.
12

No cap´ıtulo 5 faremos um estudo mais profundo sobre fun¸cões. A pequena introdu¸cão feita
acima será útil para mostrar algumas propriedades dos números naturais, inteiros, racionais e
reais.
13

Cap´ıtulo 3
Números Reais
3.1 Números Naturais
Nesta se¸cão estabeleceremos a defini¸cão de número natural. Suponhamos a existência de um
conjunto não vazio N, chamado de números naturais, para o qual valem os seguintes axiomas
de Peano:
1. 1 é um número natural
2. Cada número natural n possui um único sucessor, que denotaremos por n , n = n + 1.
3. O número natural 1 não é sucessor de nenhum outro número natural, 1 = n .
4. Se n e s são números naturais tais que n = s , então n = s.
5. Princ´ıpio de Indu¸cão Seja A(n) uma afirma¸cão sobre n ∈ N, que cumpra as
seguintes condi¸cões:
• A(1) é verdadeira, isto é, a afirma¸cão vale quando n = 1
• Se A(k) é verdadeira, então A(k+1) é verdadeira, isto é, supondo que a afirma¸cão vale
para n = k arbitrário, então é poss´ıvel provar qua a afirma¸cão vale para n = k + 1.
Nestas condi¸cões a afirma¸cão A(n) é verdadeira para qualquer n ∈ N.
Observa¸cão 3.1.1 Para todo n ∈ N, n ≥ 1.
Definem-se em N duas opera¸cões: Adi¸cão (+) e Multiplica¸cão (·). Estas duas opera¸cões satis-
fazem as seguintes propriedades:
• Comutatividade: Sejam n, m ∈ N, então
n + m = m + n, e n · m = m · n.
14

• Associatividade: Sejam n, m, s ∈ N, então
n + (m + s) = (n + m) + s, e n(m · s) = (n · m)s.
• Lei do corte: Sejam n, m, s ∈ N, se
n + s = m + s, então n = s, n · s = m · s, então n = m.
• Distributibidade: Sejam n, m, s ∈ N, então
n · (m + s) = n · m + n · s.
Usemos o pr´ıncipio de indu¸cão para mostrar a veracidade de algumas fórmulas que
aparecem no conjunto dos números naturais N.
Exemplo 3.1 Verifique a seguinte fórmula
1
1 × 2
+
1
2 × 3
+
1
3 × 4
+ . . . +
1
n × (n + 1)
=
n
n + 1
, ∀n ∈ N.
Prova: Escrevamos os termos
1
n × (n + 1)
da seguinte forma:
1
1 × 2
= 1 −
1
2
,
1
2 × 3
=
1
2
−
1
3
,
1
3 × 4
=
1
3
−
1
4
, . . . ,
n
n × (n + 1)
=
1
n
−
1
n + 1
.
Então,
1
1 × 2
+
1
2 × 3
+
1
3 × 4
+ . . . +
1
n × (n + 1)
=
= 1 −
1
2
+
1
2
−
1
3
+
1
3
−
1
4
+ . . . +
1
n
−
1
n + 1
= 1 −
1
n + 1
=
n
n + 1
.
Usemos indu¸cão para provar a fórmula acima. Seja P(n) a afirma¸cão
1
1 × 2
+
1
2 × 3
+
1
3 × 4
+ . . . +
1
n × (n + 1)
=
n
n + 1
, ∀n ∈ N.
• A proposi¸cão vale para n = 1, isto é, P(1) é verdadeira,
1
1 × 2
=
1
1 + 1
.
• Suponhamos que a afirma¸cão P(k) é verdadeira, e mostremos que P(k + 1) é verdadeiro.
De fato,
1
1 × 2
+
1
2 × 3
+
1
3 × 4
+ . . . +
1
k × (k + 1)
+
1
(k + 1) × (k + 2)
=
=
k
k + 1
+
1
(k + 1) × (k + 2)
=
(k + 1)2
(k + 1) × (k + 2)
=
k + 1
k + 2
.
15

• Logo P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.
Exemplo 3.2 Seja P(n) a seguinte afirma¸cão,
n3
− n é múltiplo de três, ∀n ∈ N.
Prova: Apliquemos de novo o método de indu¸cão.
• A proposi¸cão vale para n = 1, isto é, P(1) é verdadeira, 13
− 1 = 0 é múltiplo de 3.
De fato,
(k + 1)3
− (k + 1) = k3
+ 3k2
+ 3k + 1 − k − 1
= k3
+ 3k2
+ 2k
= k3
+ 3k2
− k + 3k
= k3
− k + 3(k2
+ k),
como k3
− k é multiplo de três e 3(k2
+ k) também, então a soma de dois múltiplos de
três também é múltiplo de três.
1 + 2 + 3 + . . . + n =
n(n + 1)
2
∀n ∈ N.
Prova: Por indu¸cão, temos
• A proposi¸cão vale para n = 1, isto é, P(1) é verdadeira, 1 =
1(1 + 1)
2
De fato,
1 + 2 + 3 + . . . + k + (k + 1) =
k(k + 1)
2
+ (k + 1)
=
k(k + 1) + 2(k + 1)
2
=
(k + 1)[k + 2]
2
=
(k + 1)[(k + 1) + 1]
2
.
2n
> n2
, ∀n ≥ 5.
Prova: Por indu¸cão, temos
16

• A proposi¸cão vale para n = 5, isto é, P(5) é verdadeira, 25
= 32 > 52
= 25.
• Suponhamos que a afirma¸cão P(k) é verdadeira, e mostremos que P(k + 1) é verdadeiro,
isto é, 2k+1
> (k + 1)2
. De fato, escrevendo 2k+1
= 2 × 2k
> 2k2
, basta provar que
2k2
≥ (k + 1)2
.
Assim,
2k2
≥ (k + 1)2
= k2
+ 2k + 1 ⇐⇒ k2
≥ 2k + 1 ⇐⇒
⇐⇒ k2
− 2k + 1 ≥ 2 ⇐⇒ (k − 1)2
≥ 2
que vale para k ≥ 5.
Teorema 3.1.1 N é fechado com rela¸cão a adi¸cão.
Prova: dizer que N é fechado com rela¸cão a adi¸cão, significa que ∀n, m ∈ N, n + m ∈ N.
Consideremos o seguinte conjunto,
M = {n ∈ N; n + m ∈ N, ∀m ∈ N}.
Usemos o pr´ıncipio de indu¸cão para mostrar o teorema.
De fato, observamos que 1 ∈ N, pois m + 1 ∈ N desde que m ∈ N.
Suponhamos que n ∈ N. Então mostremos que para m ∈ N, temos n + m ∈ N.
(n + 1) + m = 1 + (n + m) = (n + m) + 1 ∈ N,
assim, n + 1 ∈ M e isto mostra que M = N.
Teorema 3.1.2 N é fechado com rela¸cão a multiplica¸cão.
Prova: Consideremos o seguinte conjunto,
M = {n ∈ N; nm ∈ N, ∀m ∈ N}.
Usemos o pr´ıncipio de indu¸cão para mostrar o teorema.
De fato, observamos que 1 ∈ N, pois 1m = m ∈ N desde que m ∈ N.
Suponhamos que n ∈ N e fixemos m ∈ N. Então mostremos que nm ∈ N.
(n + 1)m = mn + m,
como n ∈ M, nm ∈ N e pela fechadura da adi¸cão em N, temos que nm + 1 ∈ N, assim,
n + 1 ∈ M e isto mostra que M = N.
Definimos no conjunto N a rela¸cão < da seguinte forma: Dados dois números naturais
n, m, a desigualdade n < m significa que existe s ∈ N tal que n + s = m. Dizemos neste caso
que n é menor que m. Quando escrevemos n ≤ m significa que n < m ou n = m. Esta rela¸cão
de ”ordem” têm as seguintes propriedades:
17

1. Tricotomia: Dados n, m ∈ N, vale uma e somente uma, das seguintes afirma¸cões:
n = m, ou n < m, ou m < n.
2. Monotonicidade: Dados n, m, s ∈ N e n < m, então
n + s < m + s e sn < sm.
3. Transitividade: Dados n, m, s ∈ N e n < m, m < s, então n < s.
A rela¸cão de ordem também possui uma propriedade muito importante, chamada princ´ıpio
da boa ordena¸cão,
Propriedade da boa ordena¸cão. Todo subconjunto não vazio de N possui um menor
elemento, isto significa que se M ⊂ N é um conjunto, existe mo ∈ M tal que mo ≤ m para todo
m ∈ M.
O sistema dos números naturais apresenta uma deficiência natural: dada uma equa¸cão da
forma m + x = n com n, m ∈ N, esta equa¸cão não sempre possui uma solu¸cão em N. Por
exemplo a equa¸cão 4 + x = 9 tem como solu¸cão x = 5 ∈ N, mas, a equa¸cão 6 + x = 4 não tem
solu¸cão no conjunto dos números naturais.
3.2 Números Inteiros
Nem sempre equa¸cões da forma n + x = m possuem solu¸cão em N dados n, m ∈ N. Esta
dificuldade pode ser ”resolvida” se ampliarmos o conjunto dos naturais N para um conjunto
maior onde possamos resolver equa¸cões do tipo acima. Assim, podemos construir o conjunto
dos números inteiros Z como o conjunto que contém o conjunto dos números naturais, e no
qual estão definidas as opera¸cões de adi¸cão e multiplica¸cão herdadas de N. Além disto:
• Z possui um elemento neutro chamado zero, que denotaremos por 0, com a seguinte
propriedade, n + 0 = 0 + n = n, ∀n ∈ Z.
• Toda equa¸cão da forma n + x = m admite uma única solu¸cão em Z, para quaisquer
n, m ∈ Z.
Como antes, o elemento 1 ∈ N é o elemento neutro com rela¸cão a multiplica¸cão em Z, isto
é, dado m ∈ Z, 1m = m1 = m.
Assim podemos entender o conjunto dos inteiros como sendo Z = N ∪ {0} ∪ (−N), ou seja,
Z = N − N = {n − m; n, m ∈ N} = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}.
Proposi¸cão 3.2.1 O conjunto dos números inteiros Z é enumerável.
Prova: Basta estabelecer uma correspondência entre todos os números inteiros e todos os
números naturais. Por exemplo, o seguinte esquema estabelece essa correspondência;
0 −1 1 −2 2 . . .
1 2 3 −4 5 . . .
18

Em geral, podemos escrever explicitamente essa correspondência como uma fun¸cão f : Z → N
bijetora da seguinte forma;
f(n) =
2n + 1, se n ≥ 0,
2|n|, se n < 0.
O sistema dos números inteiros apresenta uma deficiência óbvia; dada uma equa¸cão da
forma mx = n com n, m ∈ Z, não sempre possui uma solu¸cão em Z. Por exemplo a equa¸cão
3x = 9 tem como solu¸cão x = 3 ∈ Z, mas, a equa¸cão 6x = 4 não tem solu¸cão no conjunto dos
números inteiros.
3.3 Números Racionais
Como vimos na se¸cão anterior, nem sempre equa¸cões da forma nx = m possuem solu¸cão em
Z dados n, m ∈ Z. Esta dificuldade pode ser ”suprida” se ampliarmos o conjunto dos inteiros
Z para um conjunto maior onde possamos resolver equa¸cões do tipo acima. Assim, podemos
construir o conjunto dos números racionais Q como o conjunto que contém o conjunto dos
números inteiros, isto é,
Q = {
m
n
; m, n ∈ Z, n = 0}.
Uma fra¸cão da forma m/1 pode ser identificada com o inteiro m. Esta identifica¸cão, permite
dizer que Q contém Z como um subconjunto próprio, isto é,
N ⊂ Z ⊂ Q.
Definimos as opera¸cões de adi¸cão, multiplica¸cão e igualdade em Q da seguinte forma:
• Adi¸cão:
m
n
+
s
t
=
ms + nt
nt
, n = 0, t = 0.
• multiplica¸cão:
m
n
·
s
t
=
ms
nt
, n = 0, t = 0.
• Igualdade:
m
n
=
s
t
⇐⇒ mt = ns, n = 0, t = 0.
Além de satisfazer as propriedades associativa, comutativa e existência dos elementos neutros
(0 para a adi¸cão e 1 para a multiplica¸cão), Q satisfaz as propriedades de existência do elemento
inverso aditivo e do inverso multiplicativo, isto é, se p ∈ Q, então −p ∈ Q, e 1/p ∈ Q com,
p + (−p) = 0, p(1/p) = 1.
Podemos definir um subconjunto Q+ em Q como sendo,
Q+ = {
m
n
; mn ∈ N},
isto é o subconjunto dos racionais positivos. Este conjunto possui as seguintes propriedades:
1. Q+ é fechado com rela¸cão as opera¸cões de adi¸cão e multiplica¸cão em Q, isto é,
p, q ∈ Q+, então p + q, pq ∈ Q+.
19

2. Dado p ∈ Q, temos que uma das afirma¸cões a seguir é verdadeira:
ou p = 0 ou p ∈ Q+ ou − p ∈ Q+.
A rela¸cão de ordem < introduzida em Q : p < q se q − p ∈ Q+, generaliza a rela¸cão de
ordem introduzida em Z que por sua vez generalizou a rela¸cão de ordem introduzida em N.
Teorema 3.3.1 O conjunto Q é fechado com rela¸cão as opera¸cões de adi¸cão e multiplica¸cão.
Q, munido das opera¸cões de adi¸cão e multiplica¸cão e satisfazendo
os axiomas da rela¸cão de ordem constitui um corpo ordenado.
A seguir mostremos três propriedades importantes de Q.
Proposi¸cão 3.3.1 Se p e q são números racionais, tais que p < q, então podemos encontrar
infinitos números racionais entr e p e q.
Prova Sendo p < q, podemos escolher um número racional r =
q − p
n
, onde n ∈ N. Os
números racionais
p + r, p + 2r, . . . , p + (n − 1)r
estão entre p e q, e como n é um número natural qualquer, segue a afirma¸cão. Em particular
se n = 2, temos
p <
p + q
2
< q.
Proposi¸cão 3.3.2 (Propriedae Arquimediana de Q) Se p e q são dois números racionais
positivos, existe um inteiro positivo n tal que np > q.
Prova: Sejam p =
m
r
e q =
s
t
Suponhamos que m, r, s, t sejam maiores ou iguais a 1, pois p
e q são positivos. Segue, então que mt ≥ 1 ou 2mt ≥ 2 > 1. Multiplicando esta desigualdade
por rs, temos, 2mtrs > rs. Reescrevendo esta desigualdade por (2rs)p > q, e considerando
n = 2rs, obtemos np > q.
Proposi¸cão 3.3.3 O conjunto dos números racionais Q é enumerável.
Prova: Seja α =
p
q
, q > 0 um número racional arbitrário. Para evitar números repetidos
digamos que α seja irredut´ıvel. Chamaremos de altura do número racional α a soma |p|+q. Da
defini¸cão de altura, observamos que o número de fra¸cões de altura dada é finita. Por exemplo
a altura 3 têm 4 fra¸cões:
2
1
,
1
2
,
−2
1
,
−1
2
. Agora podemos organizar todos os números racionais
segundo sua altura, isto é, primeiro os números de altura 1, depois os números de altura 2, etc.
Desta forma cada número racional possui seu número, e isto significa que está estabelecida uma
correspondência biun´ıvoca entre N e o conjunto dos números racionais Q.
20

3.3.1 Supremo e Ínfimo de um Conjunto em Q
Para mostrar algumas deficiências algébricas do conjunto Q dos números racionais, intro-
duziremos algumas defini¸cões.
Defini¸cão 3.3.1 Um subconjunto E de Q é dito limitado se existe um número positivo M tal
que −M < x < M para todo x ∈ E.
Se para qualquer número positivo M, existe xo ∈ E tal que xo > M, então dizemos que o
conjunto E é ilimitado.
Defini¸cão 3.3.2 Um subconjunto E de Q é dito limitado superiormente se existe um número
M tal que x ≤ M para todo x ∈ E.
Um número M nas condi¸cões da defini¸cão anterior chama-se cota superior. É claro que números
maiores que M também são cotas superiores para E.
Defini¸cão 3.3.3 Um subconjunto E de Q é dito limitado inferiormente se existe um número
K tal que x ≥ K para todo x ∈ E.
Um número K nas condi¸cões da defini¸cão anterior chama-se cota inferior. É claro que números
menores que K também são cotas inferiores para E.
É evidente que um conjunto limitado E ⊂ Q é simultaneamente limitado inferiormente e
superiormente.
Defini¸cão 3.3.4 Diz-se que α ∈ Q é um elemento m´ınimo(máximo) de E ⊂ Q se é uma cota
inferior(superior) e além disso α ∈ E.
Defini¸cão 3.3.5 Diz-se que o número β ∈ Q é o supremo de um conjunto limitado superior-
mente E ⊂ Q se é a menor das cotas superiores e além disso esse m´ınimo existe. Em outras
palavras, β = sup E satisfaz,
1. β é uma cota superior para E, e
2. Se σ é outra cota superior para E, então β ≤ σ.
Esta segunda condi¸cão pode ser substituida por;
(a) Se dado ε > 0 arbitrário, então existe x ∈ E tal que β − < x.
É de verifica¸cão imediata de que o supremo de um conjunto limitado superiormente, quando
existe é único, isto é,
Proposi¸cão 3.3.4 Se um conjunto E ⊂ Q é limtado superiormente e possui supremo, ele é
único.
Prova: Sejam β1 e β2 dois supremos de E. Para qualquer ε > 0 obtem-se de 2(a) que
β1 − ε < x para algum x ∈ E. E por defini¸cão de supremo, x ≤ β2, então β1 − ε < β2, isto
é, β1 < β2 + ε. Isto significa que β1 ≤ β2. De maneira análoga, trocando β1 e β2, obtemos
β2 ≤ β1. Portanto β1 = β2.
Analogamente define-se ´ınfimo de um subconjunto limitado inferiormente de Q.
21

Defini¸cão 3.3.6 Diz-se que o número α ∈ Q é o ´ınfimo de um conjunto limitado inferiormente
E ⊂ Q se é a maior das cotas inferiores e além disso esse máximo existe. Em outras palavras,
α = inf E satisfaz,
1. α é uma cota inferior para E, e
2. Se σ é outra cota inferior para E, então α ≥ σ.
Esta segunda condi¸cão pode ser substituida por;
(a) Se dado ε > 0 arbitrário, então existe x ∈ E tal que β + > x.
É de verifica¸cão imediata de que o ´ınfimomo de um conjunto limitado inferiormente, quando
existe é único, isto é,
Proposi¸cão 3.3.5 Se um conjunto E ⊂ Q é limtado inferiormente e possui ´ınfimo, ele é único.
Uma deficiência grande do corpo dos racionais é dada pela seguinte afirma¸cão,
Proposi¸cão 3.3.6 Não existe um número racional cujo quadrado seja igual a 2.
Prova: Seja r =
p
q
∈ Q, onde p e q são primos entre si, isto é MDC(p, q) = 1. Suponhamos que
p
q
2
= 2, então p2
= 2q2
. Como todo número racional multiplicado por 2 é par, resulta que p2
é par, logo p é par e podemos escrever p = 2k, k ∈ Z. Portanto, de p2
= (2k)2
= 2 · 2k2
= 2q2
,
segue que 2k2
= q2
. Daqui concluimos que q é par. Absurdo, pois p e q são números primos.
Portanto não existe r ∈ Q tal que r2
= 2
O seguinte exemplo também explicita uma outra deficiência dos numéros racionais. Trata-se
de um conjunto E ⊂ Q que é limitado superiormente mas não possui supremo e de um conjunto
F ⊂ Q que é limitado inferiormente mas não possui ´ınfimo [1].
Exemplo 3.5
E = {x ∈ Q; x > 0 e x2
< 2}
E = {y ∈ Q; y > 0 e y2
> 2}
3.4 Números Reais
Já vimos na se¸cão anterior duas deficiências do corpo dos racionais: não existe um racional
cujo quadrado seja igual a 2 e existem conjuntos limitados superiormente que não possuem
supremo e conjuntos limitados inferiormente que não possuem ´ınfimo.
Vamos supor a existência de um corpo ordenado que contenha propriamente Q, chamado
de corpo dos números reais R, para o qual vale o seguinte resultado, conhecido como cortes de
Dedekind [2].
Teorema 3.4.1 Se o conjunto R dos números reais é dividido em dois conjuntos não vazios
disjuntos, isto é,
R = A ∪ B, A ∩ B = ∅
tais que, todo a ∈ A é menor que qualquer b ∈ B, então ou existe um número c que é o maior
entre os números pertencentes a A e B não tem menor elemento, ou existe um número c que
é o menor entre todos os números prtencentes a B, e A não tem maior elemento.
22

Uma forma equivalente de expresar o teorema anterior é a afirma¸cão seguinte;
Teorema 3.4.2 Todo subconjunto E ⊂ R limitado superiormente(inferiormente) pelo número
M(m), possui supremo(´ınfimo).
Um corpo ordenado para o qual vale o teorema anterior, chama-se corpo ordenado completo.
Assim R é um corpo ordenado completo.
3.4.1 Números irracionais
Defini¸cão 3.4.1 Um número chama-se irracional se não é racional.
A nota¸cão que usamos para denotar os irracionais é RQ. Como Q e RQ são disjuntos, temos
que R = Q ∪ RQ. Na se¸cão anterior vimos que
√
2 é um número irracional. Existem infinitos
números irracionais, entre eles os mais famosos, o número π e o número neperiano e, etc.
Teorema 3.4.3 Se p é um número primo positivo, então
√
p é irracional.
Prova: Vamos supor que
√
p não seja irrational. Então
√
p =
m
n
com MDC(m, n) = 1.
Elevando ao quadrado, temos p =
m
n
2
, ou seja n2
p = m2
. Como m e n são primos entre
si, segue que p m2
(p divide m2
) e portanto p m, ou seja m = pl. Substituindo m na igualdade
acima, temos n2
p = p2
l2
e simplificando obtemos n2
= pl2
. Isto significa que p n2
, portanto p n.
Segue portanto que p é um fator comum dos números m e n. Absurdo, pois MDC(m, n) = 1.
E isto mostra que
√
p é irracional.
3.4.2 Propriedade Arquimediana
A Propriedade Arquimediana apresentada nos números racionais também vale para o corpo
dos reais.
Teorema 3.4.4 Sejam a, b ∈ R com a > 0, então existe um n ∈ N tal que na > b.
Prova: Vamos supor que an > b é falsa para algum n ∈ N, isto é, na ≤ b para todo n ∈ N.
Consideremos o seguinte conjunto E,
E = {na; n ∈ N}.
É óbvio que este conjunto é limitado superiormente, pela complete¸ca de R existe o supremo de
E, digamos α = sup E, ou seja na ≤ α para todo n ∈ N.
Pelo fato de N ser infinito, temos n ∈ N, segue que (n + 1) ∈ N, e portanto,
(n + 1)a ≤ α segue na ≤ α − a ∀n ∈ N.
Mas, α − a < α também é uma cota superior para E, ou que contradiz o fato que na ≤ b para
todo n ∈ N.
Agora estabeleceremos duas propriedades importantes do R: Q e RQ os conjuntos dos
racionais e irracionais respectivamente são conjuntos densos em R.
23

Proposi¸cão 3.4.1 (Densidade dos Racionais em R) Sejam a e b dois números reais arbitrários
com a < b, então existe um s ∈ Q tal que a < s < b.
Prova:
Proposi¸cão 3.4.2 (Densidade dos Irracionais em R) Sejam a e b dois números reais ar-
bitrários com a < b, então existe um ξ ∈ RQ tal que a < ξ < b.
Prova: Sejam a e b os números reais arbitrários com a < b. Então a −
√
3 < b −
√
3.
Observamos que a −
√
3 e b −
√
3 são reais, então pela proposi¸cão anterior, existe um s ∈ Q tal
que
a −
√
3 < s < b −
√
3, ou a < s +
√
3 < b.
Escrevendo ξ = s +
√
3, temos a < ξ < b.
3.4.3 Valor Absoluto de um Número Real
A rela¸cão de ordem definida em Q e estandida para R permite definir o valor absoluto ou
módulo de um número x ∈ R, como sendo,
|x| =
x, se x ≥ 0
x, se x < 0
Em outras palavras, |x| = max{x, −x}.
Exemplo 3.6 Se x = 12, |x| = 12;
Se x = −7, |x| = | − 7| = −(−7) = 7.
Uma consequência imediata da defini¸cão de módulo de um número é a seguinte afirma¸cão
Lema 3.4.1 para qualquer número real x, vale a seguinte rela¸cão:
−|x| ≤ x ≤ |x|.
Prova: Analizemos dois casos;
1. Suponha que x ≥ 0. Então x = |x| ≥ 0 e −|x| ≤ 0, e portanto
−|x| ≤ x ≤ |x|.
2. Suponha que x < 0. Então |x| ≥ 0 e x < |x|. Como |x| = −x ou −|x| = x, segue que;
−|x| ≤ x ≤ |x|.
Mais geralmente, podemos observar que a desigualdade
|x| < ε
é equivalente as duas desigualdades
−ε < x < ε, x, ε ∈ R.
Portanto a desigualdade
|x − y| < ε
é equivalente as duas desigualdades
y − ε < x < y + ε, x, y, ε ∈ R.
O valor absoluto de um número real satisfaz as seguintes propriedades:
24

Teorema 3.4.5 Para números reais arbitrários x, y, temos
1. |x| ≥ 0, para todo x, e |x| = 0 ⇐⇒ x = 0.
2. |xy| = |x||y| e
x
y
=
|x|
|y|
se y = 0.
3. |x + y| ≤ |x| + |y| (desigualdade triangular).
4. ||x| − |y|| ≤ |x − y|.
Prova:
1. Se x ≥ 0 então |x| = x, se x < 0, então |x| = −x > 0. Em ambos casos |x| ≥ 0.
Se x = 0, |x| = x = 0 por defini¸cão. Se x = 0, então x < 0 ou x > 0. Se x < 0, então
|x| = −x > 0, se x > 0, |x| = x > 0. Nestes dois casos temos |x| = 0.
2. Se um dos x ou y for nulo a igualdade na multiplica¸cão é óbvia. Suponhamos que x, y = 0.
Analizemos três casos:
(a) x > 0 e y > 0; então |x| = x e |y| = y, logo
|xy| = xy = |x||y|.
(b) x > 0 e y < 0; então |x| = x e |y| = −y, logo
|xy| = x(−y) = |x||y|.
(c) x < 0 e y < 0; então |x| = −x e |y| = −y, logo
|xy| = (−x)(−y) = |x||y|.
Para mostrar que
x
y
=
|x|
|y|
, escrevamos
x
y
= z, então x = y · z. Usando o resultado
anterior, temos
|x| = |yz| = |y||z|, donde |z| =
|x|
|y|
ou
x
y
=
|x|
|y|
.
3. Como
−|x| ≤ x ≤ |x|,
também teremos
−|y| ≤ y ≤ |y|,
então
−(|x| + |y|) ≤ x + y ≤ |x| + |y|.
Usando a forma equivalente destas desigualdades, obtemos
|x + y| ≤ |x| + |y|.
25

4. Escrevamos |x| da seguinte forma;
|x| = |x − y + y| ≤ |x − y| + |y| pela desigualdade triangular.
Assim
|x| − |y| ≤ |x − y|.
De forma similar, obtemos
|y| − |x| ≤ |x − y|, ou − (|x| − |y|) ≤ |x − y|.
Por defini¸cão, ||x| − |y|| é um dos números |x| − |y| ou −(|x| − |y|), em ambos casos
||x| − |y|| ≤ |x − y|.
3.4.4 Intervalos
Vamos a definir agora uma classe de subconjuntos de R, chamados de intervalos limitados.
Dados c, d ∈ R com c < d
(c, d) = {x ∈ R; c < x < d} [c, d) = {x ∈ R; c ≤ x < d}
(c, d] = {x ∈ R; c < x ≤ d} [c, d] = {x ∈ R; c ≤ x ≤ d}
Introduziremos os simbolos +∞ e −∞ para indicar mais infinito e menos infinito respecti-
vamente. Assim o proprio R é considerado como um intervalo da forma (−∞, +∞).
Defini¸cão 3.4.2 Chamamos de extensão de R ao conjunto R∗
formado por R, +∞ e −∞.
Em R∗
temos as seguintes opera¸cões:
1. se x ∈ R, temos
x + (+∞) = +∞ x + (−∞) = −∞,
x + −(+∞) = −∞ x − (−∞) = +∞.
2. Se x > 0,
x · (+∞) = +∞, x · (−∞) = −∞.
3. Se x < 0,
x · (+∞) = −∞, x · (−∞) = +∞.
4.
(+∞) + (+∞) = (+∞) · (+∞) = (−∞) · (−∞) = +∞.
(−∞) + (−∞) = (+∞) · (−∞) = −∞.
Agora estamos em condi¸cões de definir intervalos infinitos:
(−∞, c) = {x ∈ R; x < c} (−∞, c] = {x ∈ R; x ≤ c}
(c, +∞) = {x ∈ R; x > c} [c, +∞) = {x ∈ R; x ≥ c}
26

3.4.5 R não é Enumerável
Já foi mostrado que Q é enumerável, mas no entanto o corpo R não é enumerável.
Teorema 3.4.6 O conjunto dos números reais não é enumerável.
Prova: É suficiente mostrar que o intervalo aberto (0, 1) ⊂ R não é enumerável. Suponhamos
que exista uma enumera¸cão(lista) de todos os números reais α, pertencentes ao intervalo (0, 1),
ou seja;
(0, 1) = {α1, α2, . . . , αn, . . .},



α1 = 0, a11a12a13 . . . a1n . . . ,
α2 = 0, a21a22a23 . . . a2n . . . ,
α3 = 0, a31a32a33 . . . a3n . . . ,
... =
...
αn = 0, an1an2an3 . . . ann . . . ,
... =
...
onde os aik é a k−ésima cifra decimal do número αi. Vamos mostrar que existe ao menos um
elemento β ∈ (0, 1) da forma,
β = 0, b1b2b3 . . . bn . . .
que não pertence a lista acima. De fato, o número β é construido da seguinte maneira: b1
é um algorismo diferente de a11; b2 é diferente de a22, etc., em geral bn é diferente de ann.
Assim a fra¸cão β é diferente do número α1, pois os diferem ao menos no primeiro termo de sua
representa¸cão decimal, também difere de α2 no segundo termo de sua representa¸cão decimal,
etc., etc. Em geral, como bn = ann, para todo n, a fra¸cão β = αi. Daqui segue que nenhuma
lista de números reais pode enumerar (0, 1). Como um subconjunto de R o intervalo (0, 1) não
é enumerável, segue que R não é enumerável.
Corolário 3.4.1 O conjunto dos números irracionais RQ não é enumerável.
Prova: Já sabemos que podemos escrever R como aunião disjunta:
R = Q ∪ RQ.
Q é enumerável e R não é enumerável, portanto, RQ não é enumerável.
27

Cap´ıtulo 4
Sequências e Séries Numéricas
4.1 Progressão Aritmética
Defini¸cão 4.1.1 Chamamos de progresão aritmética a sequência de números {an}, n ∈ N,
onde cada termo, come¸cando do segundo é igual ao anterior somado por uma constante única
d, isto é,
an+1 = an + d, n ∈ N.
O número d chama-se razão da progresão aritmética, a1-primeiro termo e an-termo geral.
Assim por exemplo, a sequencia
2, 7, 12, 17, 22, . . .
onde o primeiro termo é 2, e a razão é 5.
Para qualquer n ≥ 2 temos
an+1 − an = d,
an − an−1 = d.
desta forma
an+1 − an = an − an−1
ou
an =
an−1 + an+1
2
,
isto é, cada termo da progresão aritmética come¸cando do segundo termo é igual a média ar-
itmética do termo anterior e termo posterior.
Exemplo 4.1 Mostre que a sequência {an} com termo geral an = 2n − 7 é uma progresão
aritmética.
Solu¸cão Para n ≥ 2 temos
an = 2n − 7, an−1 = 2(n − 1) − 7 = 2n − 9, an+1 = 2n + 5.
Portanto
an = 2n − 7 =
(2n − 5) + (2n − 9)
2
=
an−1 + an+1
2
,
o que demonstra a afirma¸cão.
28

Para a progressão aritmética {an} com razão d tem lugar a seguinte fórmula:
an = ak + d(n − k), 1 ≤ k ≤ n − 1,
onde n e k são números naturales. Trocando k por n − k e por n + k, obtemos
an = an−k + kd,
an = an+k − kd.
Daqui encontramos
an =
an−k + an+k
2
1 ≤ k ≤ n − 1.
Além disso, para qualquer progressão aritmética {an} tem lugar a seguinte igualdade
am + an = ak + al.
se m + n = k + l.
Exemplo 4.2 Para a progressão aritmética {an} com a1 = 7 e d = 4, obtemos as seguintes
fórmulas;
1. an = 7 + (n − 1) · 4 = 4n + 3;
2. a10 =
a5 + a15
2
, pois a5 = a10−5 e a15 = a10+15;
3. a7 + a8 = a5 + a10.
Em geral, podemos escrever o termo geral de uma progressão aritmética da seguinte maneira:
an = nd + (a1 − d).
Exemplo 4.3 A soma do segundo e terceiro termos da progressão aritmética {an} é igual a
16, o produto do primeiro e quinto termos é igual a 64. Encontre o primeiro termo e a razão
desta progressão.
Solu¸cão: Por hipótese, temos a2 + a4 = 16 e a1a5 = 64; então obtemos o seguinte sistema
a1 + 2d = 8
a1(a1 + 4d) = 64.
Encontrando da primeira equa¸cão do sistema, 2d e substituindo na segunda equa¸cão, obtemos
a2
1 − 16a1 + 64 = 0,
ou
(a1 − 8)2
= 0.
Desta forma, a1 = 8; portanto, 2d = 8 − a1 = 0, isto é d = 0.
Exemplo 4.4 Os números 5 e 38 são o primeiro e decimo segundo termos respectivamente de
uma progressão aritmética {an}. Encontre an para n = 2, 3, · · · , 11.
29

Solu¸cão: Como
d =
a12 − a1
12 − 1
=
38 − 5
11
= 3,
então os correspondentes termos são
8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32, 35.
A soma Sn = a1 + a2 + · · · an dos primeiros n-termos de uma progressão aritmética {an} é
dada pela fórmula
Sn =
a1 + an
2
n.
Exemplo 4.5 Num jardim que possui a forma de um triângulo equilátero queremos saber se
é possivel plantar 105 árvores, de tal forma que na primeira série colocamos um árvore, na
segunda série colocamos dois árvores, na terceira 3 árvores, e assim adiante e na n−ésima
série colocamos n árvores.
Solu¸cão: Observamos, que se existe tal valor para n, para o qual vale vale a igualdade
1 + 2 + · · · n = 104, então tal jardim é poss´ıvel. Basta resolver a seguinte equa¸cão
n(n + 1)
2
= 105.
Encontramos daqui n = 14.
4.2 Progressão Geométrica
Defini¸cão 4.2.1 Chamamos de progresão geométrica a sequência de números {bn}, n ∈ N,
onde cada termo, come¸cando do segundo é igual ao anterior multiplicado por uma constante
única q = 0, isto é,
bn+1 = anq, n ∈ N.
O número q chama-se razão da progresão geométrica, b1-primeiro termo e bn-termo geral.
Assim, por exemplo a sequência
1, 3, 9, 27, 81, · · ·
onde cada termo, come¸cando pelo segundo, obtem-se do anterior multiplicando por 3 é uma
progressão geométrica, de razão q = 3 e b1 = 1.
Para uma progressão geométrica {bn} com razão q para n ≥ 2 temos
bn
bn−1
=
bn+1
bn
= q,
isto é
b2
n = bn−1bn+1.
Por exemplo, para a progressão geométrica
1, 3, 9, 27, 81, 243, · · · , 3n−1
, · · ·
temos as seguintes igualdades
32
= 1 · 9; 92
= 3 · 27; 272
= 9 · 81; 2432
= 81 · · · 729; 32n
= 3n−1
· 3n+1
.
30

Exemplo 4.6 Suponha que os números a, b, c são os termos consecutivos de uma progressão
geométrica. Mostre que
a2
b2
c2 1
a3
+
1
b3
+
1
c3
= a3
+ b3
+ c3
.
Solu¸cão: Como a, b, c são os termos consecutivos de uma progressão geométrica, então b2
= ac.
portanto
a2
b2
c2 1
a3
+
1
b3
+
1
c3
=
b2
c2
a
+
a2
c2
b
+
a2
b2
c
=
acc2
a
+
b4
b
+
a2
ac
c
=
= a3
+ b3
+ c3
.
Para qualquer progressão geométrica {bn} é válida a seguinte igualdade
bmbn = bkbl se m + n = k + l.
Exemplo 4.7 Todos os termos da progressão geométrica {bn} são positivos. se b10 = 2 e
b18 = 3. Encontre b16 e b3b27.
Solu¸cão: Como 10 + 18 = 14 + 14, então b2
14 = b10b18 = 6; portanto, b14 =
√
6. Também,
como 14 + 18 = 16 + 16, então b2
16 = b14b18 = 3
√
6, isto é, b16 = 3
√
6. Porfim, de 14 + 16 =
30 = 3 + 27, segue que,
b3b27 = b14b16 =
√
6 3
√
6 = 3 2
√
6.
A soma Sn = b1 + b2 + b3 + · · · + bn dos primeiros n termos de uma progressão geométrica
{bn} de razão q = 0 é dado pela fórmula
Sn = b1
1 − qn
1 − q
,
se q = 1 , então Sn = nb1.
Por exemplo
1. 1 + 2 + 4 + · · · + 2n−1
=
1 − 2n
1 − 2
= 2n
− 1;
2.
1
53
+
1
54
+ · · · +
1
5n−1
=
1
53
1 − (1
5
)n−3
1 − 1
5
=
1
100
1 −
1
5n−3
.
Exemplo 4.8 Calcular a seguinte soma
Sn = 1 + 2a + 3a2
+ 4a3
+ · · · + nan−1
, a = 0.
Solu¸cão: Multiplicando Sn por a, temos
aSn = a + 2a2
+ 3a3
+ 4a4
+ · · · + nan
,
então
aSn − Sn = nan
− (1 + a + a2
+ a3
+ · · · an−1
).
Como
1 + a + a2
+ a3
+ · · · an−1
) =
an
− 1
a − 1
,
obtemos
Sn =
nan
a − 1
−
an
− 1
(a − 1)2
.
31

Exemplo 4.9 Calcular a seguinte soma
S = 1 + 11 + 111 + · · · + 1111 · · · 111
1000 algor´ıtmos
.
Solu¸cão. O número 1111 · · · 111
n algor´ıtmos
para qualquer n natural podemos escrever na forma
1111 · · · 111
n algor´ıtmos
=
n algor´ıtmos
9999 · · · 999
9
=
10n
− 1
9
,
então
S =
10 − 1
9
+
102
− 1
9
+
103
− 1
9
+ · · · +
101000
− 1
9
=
=
1
9
(10 + 102
+ 103
+ · · · + 101000
− 1000) =
=
1
9
[
10(101000
− 1)
10 − 1
− 1000] =
1
9
(1111 · · · 110
1000 algor´ıtmos
−1000)
=
1
9
(1111 · · · 11
997 algor´ıtmos
0110).
4.3 Defini¸cão de Sequências Numéricas
Se a cada número natural n fazemo-os corresponder um número real an, então dizemos que
está definido uma sequência númerica
a1, a2, a3, · · · , an, · · ·
Os números a1, a2, · · · chamam-se termos da sequência, e an é o termo geral.
A sequência denota-se por {an}∞
n=1 ou {an}. Uma sequência pode ser definida com ajuda
da fórmula
an = f(n) n ∈ N,
onde f é alguma fun¸cão; neste caso esta fórmula chama-se fórmula do termo geral da sequência
{an}. Por exemplo
1. an =
√
n, n ∈ N;
2. an = n!, n ∈ N;
3. an =
n2
, se n = 2k
1/n, se n = 2k − 1,
k = 1, 2, · · ·
Para definir uma sequência podemos usar também uma rela¸cão de recorrência. Este método
consiste em definir um ou alguns primeiros termos da sequência, e logo escrever uma fórmula
que nos permita encontrar o termo geral an através dos primeiros termos. Por exemplo, se
32

1. a1 = 1, an+1 = an + 1 para n ≥ 1;
2. b1 = 1, b2 = 2, bn = 2bn−1 + bn−2 para n ≥ 3.
Então destas rela¸cões de recorrência, encontramos que,
a1 = 1, a2 = 2, a3 = 3, a4 = 4, a5 = 5, · · · ;
b1 = 1, b2 = 2, b3 = 5, b4 = 12, b5 = 29, · · ·
4.4 Sequências Monótonas
Defini¸cão 4.4.1 Uma sequência {an} chama-se crescente, se para qualquer número natural n
vale a desigualdade
an+1 > an, n ∈ N.
Exemplo 4.10 Mostre que a sequência {an} cujo termo geral an =
n − 1
n
é uma sequência
crescente.
Solu¸cão: Analizemos a diferen¸ca an+1 − an. Temos
an+1 − an =
(n + 1) − 1
n + 1
−
n − 1
n
=
n2
− n2
+ 1
n(n + 1)
=
1
n(n + 1)
> 0.
Desta forma, an+1 > an para todo n ∈ N.
Defini¸cão 4.4.2 Uma sequência {an} chama-se decrescente, se para qualquer número natural
n vale a desigualdade
an+1 < an, n ∈ N.
Exemplo 4.11 Mostre que a sequência {an} cujo termo geral é an = −(n+2) é uma sequência
decrescente.
Solu¸cão: Analizemos a rela¸cão
an+1
an
. Temos
an+1
an
=
−((n + 1) + 2)
−(n + 2)
=
−n − 2
−n − 1
=
n + 2
n + 1
= 1 +
1
n + 1
> 1.
Desta forma,
an+1
an
> 1. Como todos os termos da sequência são negativos, então obtemos
an+1 < an para todo n ∈ N.
Defini¸cão 4.4.3 Uma sequência {an} chama-se não-decrescente, se para qualquer número nat-
ural n vale a rela¸cão
an+1 ≥ an, n ∈ N.
Defini¸cão 4.4.4 Uma sequência {an} chama-se não-crescente, se para qualquer número nat-
ural n vale a rela¸cão
an+1 ≤ an, n ∈ N.
33

Em geral, estes tipos de sequências chamam-se monótonas.
A sequência {an} chama-se limitada superiormente, se existe um número real A tal que,
para qualquer número natural n vale a desigualdade xn ≤ A.
Exemplos de sequências limitadas superiormente são as seguintes sequências com termos
gerais,
an = −n3
, an = (−1)n
, an = sin4 πn
2
.
A sequência {an} chama-se limitada inferiormente, se existe um número real B tal que, para
qualquer número natural n vale a desigualdade xn ≥ B.
Exemplos de sequências limitadas inferiormente são as seguintes sequências com termos
gerais,
an = 2n
, an = (−1)n
, an =
−(n + 1)
n
.
Uma sequência {an} chama-se limitada, quando ela é limitada superior e inferiormente. Ou
equivalentemente, se existem números reais A e B tais que,
A ≤ an ≤ B, ∀n ∈ N.
Exemplo de sequência limitada é a sequência com termos geral an = 1/2n+2
. De fato, para
qualquer n natural verifica-se;
0 <
1
2n+2
< 1, isto é 0 < an < 1, ∀n ∈ N.
Exemplo 4.12 Mostremos que a sequência cujo termo geral an =
n − 2
n + 1
é limitada.
Prova: Como an =
n − 2
n + 1
=
n + 1 − 3
n + 1
= 1 −
3
n + 1
< 1, isto é, an < 1 para qualquer natural
n, então {an} é limitada superiormente.
Analizemos a diferen¸ca an − an−1. Temos;
an − an−1 =
n − 2
n + 1
−
n − 1
n + 2
=
−3
(n + 1)(n + 2)
< 0,
isto é, an < an−1, ∀n ∈ N. Por isso a1 = −1/2 é o menor termo desta sequência. Desta forma,
an ≥ −1/2, ∀n ∈ N, isto é, a sequência {an} é limitada inferiormente. Segue da defini¸cão
acima que, a sequência {
n − 2
n + 1
}n é limitada.
4.5 Limite de uma Sequência
O número a chamase limite da sequência {an}, se para qualquer número positivo(arbitrário)
, encontra-se um número no tal que, para todos os naturais n > no vale a desigualdade
|an − a| < ε.
Se a é o limite da sequência {an}, usamos a seguinte nota¸cão: lim
n→∞
an = a.
Se a sequência possui limite, dizemos que ela converge, caso contrário dizemos que ela diverge.
34

Como a desigualdade |an − a| < ε equivale a desigualdade −ε < an − a < ε, isto é,
a − ε < an < a + ε, então a afirma¸cão que a é limite da sequência {an}, equivale a dizer que
para qualquer ε > 0 , encontra-se no ∈ N, que depende de ε, tal que todos os termos come¸cando
com o ´ındice no +1 os termos ano+1, ano+2, · · · pertencem ao intervalo (a−ε, a+ε), e fora deste
intervalo encontram-se somente um número finito de termos da sequência (no máximo no).
Exemplo 4.13 Mostre que o número 1 é o limite da sequência {
n + 1
n
}, isto é,
lim
n→∞
=
n + 1
n
= 1
.
Solu¸cão. É necessário mostrar que para cada positivo, encontra-se um no tal que para todo
n > no segue
n + 1
n
− 1 < .
Como
n + 1
n
−1 =
1
n
=
1
n
. Então a desigualdade |
n + 1
n
−1| < é equivalente a desigualdade
1
n
< , isto é n >
1
. Se tomamos o número natural no maior que
1
, então para qualquer número
natural maior que este no, cumpre-se
n + 1
n
− 1 =
1
n
<
1
no
<
1
1/
< ,
e isto significa que lim
n→∞
n + 1
n
= 1.
Exemplo 4.14 Mostre que se |q| < 1, então
lim
n→∞
= qn
= 0.
Solu¸cão. Para mostrar que lim
n→∞
= qn
= 0, é necessário provar que para qualquer > 0, existe
um número natural no, tal que para todos os números naturais n > no vale a desigualdade
|qn
− 0| < .
Em caso de q = 0, nada temos a mostrar. Seja q = 0. Como 0 < |q| < 1, então 1/|q| > 1,
e portanto existe um número positivo α, tal que 1/|q| = 1 + α. Como α > 0, então usando a
desigualdade de Bernoulli, obtemos
1/|q|n
= (1/|q|)n
= (1 + α)n
≥ 1 + nα > nα.
Daqui |q|n
< 1
nα
para todo n natural. escolhamos no > 1
α
, onde α = 1
|q|
− 1. Então para cada
n > no temos
n >
1
α
ou
1
nα
< ,
e portanto
|qn
− 0| = |qn
| = |q|n
<
1
nα
< .
Exemplo 4.15 Mostre que a sequência an = (−1)n
não possui limite.
35

Solu¸cão. Mostremos isto por contradi¸cão. Suponhamos que a sequência {an} converge para
o número a. Então para qualquer positivo existe um número no = no( ) tal que, para cada
n > no vale a desigualdade |an − a| < . Em particular para = 1/2 existe n1 tal que para
qualquer n > n1 vale
|an − a| < 1/2.
Como 2n1 > n1 e 2n1 + 1 > n1, então para termos da sequência a2n1 e a2n1+1 cumpren-se as
desigualdades
|a2n1 − a| < 1/2, e |a2n1+1 − a| < 1/2.
Como a2n1 = (−1)2n1
= 1, e a2n1+1 = (−1)2n1+1
= −1, então temos
|1 − a| < 1/2, | − 1 − a| < 1/2,
de onde segue
2 ≡ |(1 − a) + (a + 1)| ≤ |1 − a| + |1 + a| < 1/2 + 1/2 = 1.
Assim, da suposi¸cão que a sequência {an}n converge obtemos que 2 < 1, absurdo.
4.6 Opera¸cões com Sequências
4.7 Existência do Limite de uma Sequência Monótona
Limitada
4.8 O número e
4.9 Critério de Cauchy para a Existência do Limite
4.10 Teorema de Weierstrass
4.11 Séries Numéricas
4.11.1 Defini¸cões Básicas
Consideremos a seguinte sequência numérica,
u1, u2, u3, . . . , un, . . . (4.1)
Desta sequência, obtenhamos outra sequência,
S1, S2, S3, . . . , Sn, . . .
onde,
S1 = u1,
S2 = u1 + u2,
S3 = u1 + u2 + u3,
. . . . . .
Sn = u1 + u2 + u3 + . . . + un.
36

Se existe o limite da soma parcial Sn, isto é,
S = lim
n→∞
Sn,
então dizemos que a série numérica
∞
n=1
un = u1 + u2 + u3 + . . . + un + . . . (4.2)
converge, e possui soma igual á
S = u1 + u2 + u3 + . . . + un + . . . .
Se Sn não tende a nenhum limite(ou tende para infinito), então dizemos que a série (4.2) diverge.
A expressão
∞
n=1
un é meramente formal, pois a adi¸cão ordinária de um número infinito de
termos não faz sentido.
Um exemplo simples de uma série númerica é a progresão geométrica:
∞
n=1
aqn−1
= a + aq + aq2
+ . . . + aqn−1
+ . . . (a = 0) (4.3)
Analizemos quatro poss´ıveis casos para os valores de q.
1. |q| < 1.
A soma parcial Sn é igual à;
Sn = a + aq + aq2
+ . . . + aqn−1
=
a − aqn
1 − q
=
a
1 − q
−
a
1 − q
qn
.
Já foi provado que se |q| < 1, então limn→∞ |qn
| = 0, por isso,
lim
n→∞
Sn = lim
n→∞
a
1 − q
−
a
1 − q
qn
=
a
1 − q
,
e a série (4.3) converge para
a
1 − q
se |q| < 1.
2. |q| > 1.
A soma parcial Sn como foi visto acima é igual à;
Sn = a + aq + aq2
+ . . . + aqn−1
=
a
1 − q
−
a
1 − q
qn
.
Já foi provado que se |q| > 1, então limn→∞ |qn
| = +∞, por isso,
lim
n→∞
Sn = lim
n→∞
a
1 − q
−
a
1 − q
qn
= ±∞,
e a série (4.3) diverge se |q| < 1.
37

3. q = 1.
Sn = a + a + a + . . . + a = na,
e portanto
lim
n→∞
Sn = lim
n→∞
na = ±∞.
E isto significa que a série (4.3) diverge.
4. q = −1.
Sn = a − a + a − . . . + (−1)n−1
a,
e portanto
lim
n→∞
Sn =
0 se n é par
a se n é ´ımpar.
Isto significa que a série (4.3) diverge, pois Sn tendo a dois limites diferentes.
4.11.2 Opera¸cões com Séries
As séries convergentes possuem algumas propriedades, que nos permitem operar com eles
como se fossem somas finitas.
1. Se a série
u1 + u2 + u3 + . . . + un + . . .
possui soma S, então a série
au1 + au2 + au3 + . . . + aun + . . . (4.4)
converge para aS. De fato, a soma parcial σn da série (4.4) é da seguinte forma
σn = au1 + au2 + au3 + . . . + aun = aSn,
e por isso,
lim
n→∞
σn = lim
n→∞
aSn = a lim
n→∞
Sn = aS.
2. Séries convergentes podem ser somadas ou subtraidas, isto é, se
u1 + u2 + u3 + . . . + un + . . . = S
v1 + v2 + v3 + . . . + vn + . . . = σ,
então a série
(u1 ± v1) + (u2 ± v2) + (u3 ± v3) + . . . + (un ± vn) + . . .
também converge, e a soma é igual a (S ± σ).
38

3. A propriedade da série ser convergente ou divergente não é alterado se adicionamos ou
tiramos um número finito de termos a série.
4. O termo geral un de qualquer série convergente tende para zero, isto é,
lim
n→∞
un = 0. (4.5)
De fato,
un = Sn − Sn−1,
e como a série converge, então
lim
n→∞
Sn = lim
n→∞
Sn−1 = S,
de onde,
lim
n→∞
un = lim
n→∞
Sn − lim
n→∞
Sn−1 = S − S = 0.
A condi¸cão (4.5) é necessária para a convergência da série, mas não é suficiente; pois pode
acontecer que o termo geral tenda para zero, mas a série divergir.
Exemplo 4.16 Consideremos a série Harmônica
∞
n=1
1
n
= 1 +
1
2
+
1
3
+ . . . +
1
n
+ . . . .
Solu¸cão: Aqui, temos
un =
1
n
→ 0, quando n → ∞.
Agrupemos os termos da série Harmônica em grupos de 1, 2, 4, 8, . . . termos:
1 +
1
2
+
1
3
+
1
4
+
1
5
+ . . . +
1
8
+
1
9
+ . . . +
1
16
+ . . . ,
desta forma no k−grupo temos 2k−1
termos. Se em cada grupo, trocamos todos os termos pelo
último termo(menor elemento do grupo), obtemos a série
1 +
1
2
+
1
4
· 2 +
1
8
· 4 +
1
16
· 8 + . . . = 1 +
1
2
+
1
2
+ . . . ,
cuja soma parcial Sn é igual a
Sn = [1 +
1
2
(n − 1)].
É óbvio que lim
n→∞
Sn = +∞.
Tomando um número grande de termos da série Harmônica, podemos obter um número grande
de grupos e a soma de estes termos será maior que [1 +
1
2
(n − 1)], e daqui podemos concluir
que a soma parcial Sn da séie Harmônica tende para o infinito, isto é, Sn → ∞.
39

4.11.3 Séries com Termos Positivos. Critérios de Convergência
Vamos estudar séries com termos positivos(não negativos):
u1, u2, u3, . . . , un, . . . ≥ 0.
Para esses tipos de séries, estabeleceremos critérios de convergência e divergência.
Teorema 4.11.1 (Teste de Compara¸cão) Consideremos duas séries
u1 + u2 + u3 + . . . + un + . . . =
∞
n=1
un (4.6)
v1 + v2 + v3 + . . . + vn + . . . =
∞
n=1
vn (4.7)
com termos positivos.
a) Se uk ≤ vk (k = 1, 2, . . .), a convergência da série (4.7) implica a convergência da série (4.6)
e a divergência da série (4.6) implica a divergência da série (4.7).
b) Se
lim
k→∞
uk
vk
= A > 0, (4.8)
então as séries (4.6) e (4.7) convergem ou divergem simultaneamente.
Prova: a) Denotemos por Sn e σn as somas parciais de (4.6) e (4.7) respectivamente. Por
hipótese, temos,
Sn ≤ σn.
Mas, a série (4.7) converge, e suponhamos que para a soma σ, então
σn ≤ σ, por isso Sn ≤ σ.
Como a sequência {Sn} é monótona crescente e limitada, concluimos que a série (4.6) converge.
Agora, suponhamos que a série (4.6) é divergente; então sua soma parcial Sn cresce infini-
tamente, e pela desigualdade
Sn ≤ σn,
segue que a soma parcial de (4.7) σn cresce infinitamente, e isto significa que a série (4.7)
diverge.
b) Suponhamos que cumpre-se (4.8), então para um número positivo ε < A, existe um no ∈ N,
tal que para todo k > no segue A − ε <
uk
vk
< A + ε, ou
vk(A − ε) < uk < (A + ε)vk. (4.9)
Se a série (4.7) é convergente, a série
∞
k+1
(A + ε)vk também é convergente e pela desigualdade
(4.9), a série
∞
k+1
uk também é convergente junto com a série (4.6).
Se a série (4.7) é divergente, então a série
∞
k+1
vk(A − ε) também é divergente, e pela de-
sigualdade (4.9), a série
∞
k+1
uk também é divergente junto com a série (4.6).
40

Exemplo 4.17 Analize a convergência da seguinte série
∞
n=1
1
n · 3n
=
1
1 · 31
+
1
2 · 32
+
1
3 · 33
+ . . . +
1
n · 3n
+ . . .
Observamos que o termo geral da série un =
1
n · 3n
<
1
3n
, já sabemos que a série geométrica,
cujo termo geral é
1
3n
, isto é,
∞
n=1
1
3n
=
1
31
+
1
32
+
1
33
+ . . . +
1
3n
+ . . .
converge, logo pelo critério acima, podemos concluir que a série
∞
n=1
1
n · 3n
também converge.
∞
n=2
ln n
n
=
ln 2
2
+
ln 3
3
+
ln 4
4
+ . . . +
ln n
n
+ . . .
O termo geral da série un =
ln n
n
>
1
n
. Já sabemos que a série Harmônica, cujo termo geral é
1
n
, diverge, portanto pela parte a) do critério de compara¸cão concluimos que a série
∞
n=2
ln n
n
também diverge.
Exemplo 4.19 A seguinte série
∞
n=1
1
2n − 1
= 1 +
1
3
+
1
5
+ . . . +
1
2n − 1
+ . . .
é divergente, pois
lim
n→∞
1
2n − 1
:
1
n
=
1
2
= 0,
e como já sabemos a série Harmônica cujo termo geral é
1
n
diverge.
Teorema 4.11.2 (Critério de Cauchy) Consideremos a série
u1 + u2 + u3 + . . . + un + . . . =
∞
n=1
un
a) Se
n
√
un ≤ q < 1 (n = 1, 2, 3, . . .) (4.10)
onde q não depende de n, então a série converge.
b) Se
lim
n→∞
n
√
un = q, (4.11)
então a série converge se q < 1 e diverge se q > 1. Se q = 1 o critério não é conclusivo.
41

Prova: a) a desigualdade (5.8) implica que un < qn
(n = 1, 2, . . .), e como a série
∞
n=1
qn
converge, segue que a série
∞
n=1
un também converge.
b) Pela propriedade (5.3) com q < 1 segue que
n
√
un < q + ε < 1 (n ≥ no)
para um no suficientemente grande, portanto
un < (q + ε)n
.
Como a série
∞
n=no
(q + ε)n
é convergente, segue que a série
∞
n=no
un é convergente ao igual que
a série
∞
n=1
un.
Se a desigualdade (5.3) vale para q > 1, segue que un > 1 para todo n > no, onde no ∈ N é um
número suficientemente grande. E isto implica que a série
∞
n=1
un diverge.
∞
n=1
n
3n + 1
n
=
1
4
1
+
2
7
2
+
3
10
3
+ . . . +
n
3n + 1
n
+ . . .
Aplicando o critério de Cauchy ao termo geral da série, temos
lim
n→∞
n
√
un = lim
n→∞
n n
3n + 1
n
= lim
n→∞
n
3n + 1
=
1
3
< 1.
Logo, podemos concluir que a série converge.
Teorema 4.11.3 (Critério de DÁlembert) Consideremos a série
u1 + u2 + u3 + . . . + un + . . . =
∞
n=1
un
a) Se
un+1
un
≤ q < 1 (n = 1, 2, 3, . . .) (4.12)
então a série
∞
n=1
un converge; se
un+1
un
≥ 1 (n = 1, 2, 3, . . .) (4.13)
então a série
∞
n=1
un diverge. b) Se
lim
n→∞
un+1
un
= q, (4.14)
então a série converge se q < 1 e diverge se q > 1. Se q = 1 o critério não é conclusivo.
42

Prova: a) De (4.12) segue que u2 ≤ u1q, u3 ≤ u2q, un ≤ un−1q, portanto
un = u1qn
, q < 1 (n = 1, 2, . . . .
Como a série
∞
n=1
u1qn
converge, segue que a série
∞
n=1
Da rela¸cão (4.13), segue que un ≥ u1 (n = 1, 2, . . .)e, a série u1 + u1 + u1 + . . . é divergente,
então a série
∞
n=1
un também é divergente.
b) Se a igualdade (4.14) cumpre-se e q < 1, então para um número positivo ε satisfazendo a
condi¸cão q + ε < 1, temos
un+1
un
< q + ε < 1 (n > no), no ∈ N suficientemente grande.
Como foi visto acima, a série
∞
n=no
un converge e por isso a série
∞
n=1
Se a igualdade (4.14) cumpre-se e q > 1, temos
un+1
un
> 1 (n > no), no ∈ N suficientemente grande.
Como foi visto acima (4.13), a série
∞
n=no
un diverge e por isso a série
∞
n=1
un também diverge.
∞
n=1
3n + 1
3n
=
4
3
+
7
32
+
10
33
+ . . . +
3n + 1
3n
+ . . .
Observamos que;
un =
3n + 1
3n
, un+1 =
3n + 4
3n+1
.
Aplicando o critério de DÁlembert, temos
lim
n→∞
un+1
un
= lim
n→∞
3n + 4
3n+1
3n + 1
3n
= lim
n→∞
3n
(3n + 4)
3n+1(3n + 1)
=
= lim
n→∞
3n + 4
3(3n + 1)
=
1
3
lim
n→∞
3n + 4
3n + 1
=
1
3
lim
n→∞
3 + 4
n
3 + 1
n
=
1
3
< 1.
Logo, podemos concluir que a série converge.
Teorema 4.11.4 (Critério Integral de Cauchy) Consideremos a série
u1 + u2 + u3 + . . . + un + . . . =
∞
n=1
un
43

com termos positivos, tais que
u1 ≥ u2 ≥ u3 ≥ . . . ≥ un ≥ . . .
Se existe uma fun¸cão f(x) cont´ınua e não crescente, tal que
f(1) = u1; f(2) = u2; f(3) = u3; . . . f(n) = un.
Então podemos afirmar que se a integral imprópria
∞
1
f(x)dx
converge, então, a série
∞
n=1
un também converge, mas se a integral diverge(ou é igual a infinito),
a série diverge.
Prova:
Exemplo 4.22 Estudar a convergência da p-série
∞
n=1
1
np
=
1
1p
+
1
2p
+
1
3p
+ . . . +
1
np
+ . . .
Seja f(n) =
1
np
, então f(x) =
1
xp
. Comparemos a p-série com a integral imprópria
∞
1
dx
xp
.
Então, temos
∞
1
dx
xp
= lim
A→∞
A
1
dx
xp
=



1
1 − p
x1−p
A
1
=
1
1 − p
(A1−p
− 1) para p = 1
ln x
A
1
= ln A para p = 1.
Tomando o limite quando A → ∞, obtemos
1. Se p > 1, a integral
∞
1
dx
xp
=
1
p − 1
converge, por isso a série converge.
2. Se p < 1, a integral
∞
1
dx
xp
= ∞ diverge, por isso a série diverge.
3. Se p = 1, a integral
∞
1
dx
x
= +∞ diverge,por isso a série diverge.
44

4.12 Séries Alternadas. Teorema de Leibnitz
Consideremos agora uma série onde os sinais dos seus termos são alternados isto é, positivos
e negativos. Tais séries são da forma
∞
n=1
(−1)n+1
un = u1 − u2 + u3 − . . . + (−1)n+1
un + . . .
com u1, u2, u3, . . . positivos.
Teorema 4.12.1 (Critério de Leibnitz) Consideremos a série alternada
∞
n=1
(−1)n+1
un = u1 − u2 + u3 − . . . + (−1)n+1
un + . . .
com termos positivos, tais que formam uma sequência decrescente, isto é
u1 ≥ u2 ≥ u3 ≥ . . . ≥ un ≥ . . .
e se
lim
n→∞
un = 0
Então podemos afirmar que a série alternada converge e sua soma não é maior que o primeiro
termo.
Prova: Analizemos primeiramente a soma parcial de um número par de termos, isto é,
S2n = u1 − u2 + u3 − u4 + . . . + u2n−1 − u2n.
Pela hipótese do teorema, os valores dos termos da série decrescem quando n cresce, então,
uk ≥ uk+1 e u2n+1 − u2n+2 ≥ 0,
e por isso
S2n+2 = S2n + u2n+1 − u2n+2 ≥ S2n,
isto é, a sequência S2n)n é crescente. De outro lado, temos
S2n = u1 − (u2 − u3) − (u4 − u5) + . . . − (u2n−2 − u2n−1) − u2n ≤ u1.
Desta forma temos que
0 ≤ S2m ≤ u1,
e isto significa que a a sequência (S2n)n é limitada. Como a a sequência (S2n)n é monótona
crescente e limitada , então ela é convergente, isto é,
lim
n→∞
S2n = S.
Além disto, temos
S2n+1 = S2n + u2n+1,
por isso,
lim
n→∞
S2n+1 = lim
n→∞
(S2n + u2n+1) = S,
pois por hipótese
lim
n→∞
un = 0.
45

Cap´ıtulo 5
Fun¸cões e suas Propriedades
5.1 Conceitos Básicos
Seja X um conjunto numérico. Suponhamos que seja dado uma lei f pela qual a cada
número x ∈ X fazemos corresponder com um único número y ∈ Y . Então dizemos que está
definida uma fun¸cão y = f(x) com dom´ınio de defini¸cão X.
O conjunto Y de todos os valores de y, que para cada um deles existe ao menos um x ∈ X
tal que y = f(x), chama-se Imagem da fun¸cão f. A nota¸cão que usaremos para denotar que f
é uma fun¸cão de X em Y é a seguinte;
f : X → Y
x → f(x)
a nota¸cão x → f(x) é para indicar que f faz corresponder o elemento x ao elemento f(x).
Defini¸cão 5.1.1 O conjunto X chama-se dom´ınio da fun¸cão e o conjunto Y chama-se con-
tradom´ınio da fun¸cão e os definiremos como
Df = {x ∈ X; f(x) = y para algúm y ∈ Y }
e
Im(f) = {y ∈ Y ; ∃x ∈ X tal que f(x) = y}
respectivamente.
Defini¸cão 5.1.2 O gráfico de uma fun¸cão f : X → Y é o subconjunto denotado por G(f) e
definido, como sendo
G(f) = {(x, y) ∈ X × Y ; y = f(x)} ⊂ X × Y.
46

X X
Y
Y
x
f(x)
(x,f(x))
G(f)
x
A figura a esquerda é o gráfico de uma fun¸cão f : X → Y , no entanto a figura da direita
não é o gráfico de uma fun¸cão f : X → Y .
Defini¸cão 5.1.3 Uma fun¸cão f : A → B chama-se injetiva se verificamos o seguinte: dados
x, y ∈ A, f(x) = f(y) segue que x = y, ou em outras palavras, se tivermos x1, x2 ∈ A, com
x1 = x2 implica
f(x1) = f(x2).
Claramente a fun¸cão I : A → A identidade é injetora e a fun¸cão constante é injetora se e
somente se A possuir apenas um elemento.
Defini¸cão 5.1.4 Uma fun¸cão f : A → B chama-se sobrejetiva se verificamos que Im(f) = B,
ou em outras palavras, para todo y ∈ B existe pelo menos um x ∈ A, tal que f(x) = y.
É conveniente fazer o seguinte esclarecimento. Diz-se que f é uma fun¸cão do conjunto A ”sobre”
o conjunto B se f(A) = B; no caso geral, quando f(A) ⊂ B, dizemos que f é uma fun¸cão de
A ”em” B.
Defini¸cão 5.1.5 Dada uma fun¸cão f : A → B e dado Y ⊂ f(A), o conjunto
f−1
(Y ) = {x; x ∈ A tal que f(x) ∈ Y }
é chamado de imagem inversa do conjunto Y pela f.
Assim, da defini¸cão segue que f−1
(Y ) ⊂ A.
Defini¸cão 5.1.6 Uma fun¸cão f : A → B chama-se bijetiva quando é simultaneamente injetiva
e sobrejetiva.
Se a fun¸cão esta dada mediante uma fórmula, então dizemos que ela está definida de forma
anal´ıtica. Por exemplo, cada uma das fun¸cões:
1. y = x3
, x ∈ [0, ∞)
47

2. y =
x
x2 + 3x
, x ∈ R
3. y =
x, se x ≤ 0,
x2
− 2x, se x > 0.
Exemplo 5.1 Encontre o dom´ınio de existência da fun¸cão f(x) =
1
√
1 − x2
.
Solu¸cão: O dom´ınio da fun¸cão dada consiste de todos os pontos x para os quais a expresão√
1 − x2 tem sentido e é poss´ıvel a divisão por
√
1 − x2. Desta forma, temos 1 − x2
> 0, isto é
|x| < 1. Portanto o dom´ınio da fun¸cão acima é o intervalo (−1, 1).
Exemplo 5.2 Encontre o dom´ınio de existência da fun¸cão f(x) + g(x), se
f(x) = ln(2 −
√
x − 1) e g(x) =
− log0,2(x − 1)
√
−x2 + 2x + 8
.
Solu¸cão: Como
ln(2 −
√
x − 1) ≥ 0 ⇐⇒ 2 −
√
x − 1 ≥ 1 ⇐⇒ 1 ≥
√
x − 1 ⇐⇒
⇐⇒
x − 1 ≥ 0
1 ≥ x − 1
⇐⇒
x ≥ 1
x ≤ 2
⇐⇒ 1 ≤ x ≤ 2,
então o dom´ınio de existência da fun¸cão f(x) é o intervalo [1, 2].
Como
−x2
+ 2x + 8 > 0 ⇐⇒ x2
− 2x − 8 < 0 ⇐⇒ (x − 4)(x + 2) < 0 ⇐⇒
⇐⇒ −2 < x < 4,
− log0,2 x − 1) ≥ 0 ⇐⇒ log0,2(x − 1) ≤ 0 ⇐⇒ x − 1 ≥ 1 ⇐⇒ x ≥ 2,
então, resolvendo o sistema
−2 < x < 4,
x ≥ 2,
encontramos que o dom´ınio de existência da fun¸cão g(x) é o intervalo [2, 4).
Resolvendo o sistema
1 ≤ x ≤ 2,
2 ≤ x < 4,
encontramos que o dom´ınio da fun¸cão f(x) + g(x) consiste de um único ponto x = 2.
Exemplo 5.3 Demonstre que a fun¸cão y = 2x e y = |x − 1| + |x + 1| são equivalentes no
intervalo [1, +∞).
Solu¸cão: Se x ≥ 1 então x − 1 ≥ 0 e x + 1 > 0, e por isso |x − 1| = x − 1 e |x + 1| = x + 1,
portanto,
|x − 1| + |x + 1| = x − 1 + x + 1 = 2x.
Assim, para cada x ∈ [1, +∞), vale a igualdade |x − 1| + |x + 1| = 2x, e por isso as fun¸cões
dadas são equivalentes no intervalo [1, +∞).
O número xo do dom´ınio da fun¸cão f(x) chama-se zero da fun¸cão se f(xo) = 0.
Por exemplo, o número xo = 1 é um zero da fun¸cão y = log2 x, pois log2 1 = 0.
48

5.1.1 Fun¸cão Inversa
Seja dada a fun¸cão f : X → Y , que a cada diferentes x ∈ X corresponde diferentes y ∈ Y ,
então a fun¸cão x = f−1
(y) chamase fun¸cão inversa de f(x), x ∈ X. Com isto, a fun¸cão inversa
possui dom´ınio Y e imagem X, e a cada yo corresponde xo, tal que f(xo) = yo, xo ∈ X. Portanto
para cada x ∈ X, temos
f−1
(f(x)) = x, x ∈ X.
Desta forma,, se f : X → Y e a fun¸cão f(x) é tal que f(x1) = f(x2) quando x1 = x2 e
x1, x2 ∈ X, então f−1
: Y → X e
f−1
(f) : X → X,
f(f−1
) : Y → X,
com isto
f−1
(f(x)) ≡ x, x ∈ X,
f(f−1
(y)) ≡ y, y ∈ Y.
O par de fun¸cões f e f−1
são mutuamente inversas.
Quando estudamos as fun¸cões inversas f e f−1
, as variáveis dependentes costuma-se indicar
por x, e os valores destas fun¸cões indica-se por y. Em outras palavras, para a fun¸cão y =
f(x), x ∈ X, a fun¸cão inversa escreve-se na forma y = f−1
(x), x ∈ Y .
Notamos que com estas novas nota¸cões, temos as seguintes identidades:
f−1
(f(x)) ≡ x, x ∈ X,
f(f−1
(x)) ≡ x, x ∈ Y.
Por exemplo, as fun¸cões y = x + 3, x ∈ R, e y = x − 3, x ∈ R e também as fun¸cões y = xn
e
y = n
√
x são fun¸cões inversas.
f(x1) = y1 ⇐⇒ f−1
(y1) = x1, então o par ordenado (x1, y1) pertence ao gráfico de f se
e somente se (y1, x1) pertence ao gráfico de f−1
. Desta forma obtemos o par ordenado (y1, x1)
a partir do par ordenado (x1, y1) refletindo-o em torno da reta y = x. Podemos usar este
resultado para dizer o seguinte: quando trocamos x por y para encontrar a fun¸cão inversa,
obtemos o gráfico da fun¸cão f−1
a partir do gráfico de f.
Teorema 5.1.1 Se a fun¸cão f : A → B é bijetora, então existe uma e somente uma fun¸cão
f−1
: B → A, tal que
f(f−1
(y)) = y
qualquer que seja y ∈ B.
Prova: Como f é sobrejetora, f(A) = B, a cada y ∈ B corresponde um x ∈ A, isto é f(x) = y.
Mostremos agora que esse x é único.
Suponhamos que exista outro x1 ∈ A tal que f(x1) = y, então f(x) = f(x1), mas como f é
injetora, segue que x = x1; logo, para todo y ∈ B existe um e somente um x ∈ A tal que
f(x) = y, desta forma fica definida uma fun¸cão representada por
f−1
: B → A tal que f−1
(y) = x,
Do análise anterior, segue que para todo y ∈ B, temos
f(f−1
(y)) = y.
49

(a,b)
(b,a)
y=x
00 X X
Y
Y
y=x
f
-1
f
5.1.2 Fun¸cão Composta
Consideremos a fun¸cão f : A → B. Se f(A) ⊂ C e g : C → D e fazemos corresponder a cada
x ∈ A o elemento g(f(x)) ∈ D, pois
f(x) ∈ f(A) ⊂ C,
podemos definir uma fun¸cão h : A → D chamada de fun¸cão composta e representado por
h = g ◦ f, isto é, para todo x ∈ A,
h(x) = (g ◦ f)(x) = g(f(x)).
Vamos demonstrar um resultado para fun¸cões compostas.
Teorema 5.1.2 1) Se a fun¸cão f : A → B e g : C ⊃ f(A) → D, então se A1 ⊂ A, então,
(g ◦ f)(A1) = g(f(A1)).
2) Se D1 ⊂ (g ◦ f)(A), então,
(g ◦ f)−1
(D1) = f−1
(g−1
(D1)).
Prova: 1) Se z ∈ (g ◦f)(A), então z = (g ◦f)(x) para algum x ∈ A, e pela defini¸cão de fun¸cão
composta
(g ◦ f)(x) = g(f(x)),
temos que z = g(f(x)), sendo f(x) ∈ f(A),
g(f(x)) ∈ g(f(A)),
logo
(g ◦ f(A) ⊂ g(f(A)).
50

Se agora z ∈ g(f(A)), então z = g(f(y)) para algum y ∈ f(A), donde y = f(x) para algum
x ∈ A e
z = g(f(x)) = (g ◦ f)(x),
segue que z ∈ (g ◦ f)(A) e
g(f(A)) ⊂ (g ◦ f)(A)
o que prova que
(g ◦ f)(A1) = g(f(A1)).
2) Se x ∈ (g ◦ f)−1
(D1) então (g ◦ f)(x) ∈ D1 ou
g(f(x)) ∈ D1 e f(x) ∈ g−1
(D1),
donde
x ∈ f−1
(g−1
(D1)) e (g ◦ f)−1
(D1) ⊂ f−1
(g−1
(D1)).
Se x ∈ f−1
(g−1
(D1)), então f(x) ∈ g−1
(D1), segue que g(f(x)) ∈ D1 ou seja (g ◦ f)(x) ∈ D1,
donde
x ∈ (g ◦ f)−1
(D1) e f−1
(g−1
(D1)) ⊂ (g ◦ f)−1
(D1)
e assim fica provado que
(g ◦ f)−1
(D1) = f−1
(g−1
(D1)).
5.1.3 Algumas Fun¸cões Elementares
1. Polinômios e Fun¸cões Racionais
Um polinômio de grau n é uma fun¸cão do tipo
f(x) = anxn
+ an−1xn−1
+ · · · + a1x + ao, an = 0,
onde ao, a1, · · · , an são coeficientes constantes e n ∈ N chama-se grau do polinômio.
A rela¸cão entre dois polinômios, isto é, uma fun¸cão do tipo
f(x)
anxn
+ an−1xn−1
+ · · · + a1x + ao
bmxm + bm−1xm−1 + · · · + b1x + bo
, an = 0, bm = 0,
chama-se fun¸cão racional.
Assim por exemplo, as fun¸cões
f(x) = x +
√
4, f(x) = x3
+ 5x, f(x) =
x − 2
3x2 + 4x
são exemplos de fun¸cões racionáis.
2. Fun¸cão Potência
A fun¸cão do tipo f(x) = xα
, onde α é uma constante, chama-se fun¸cão potência. Assim
por exemplo, as fun¸cões
f(x) = x−1/2
, f(x) = x1/3
, f(x) = x7/4
,
são fun¸cões potência.
51

3. Fun¸cão Exponencial
A fun¸cão do tipo f(x) = ax
, onde a é uma constante positiva, chama-se fun¸cão exponen-
cial. Assim por exemplo, as fun¸cões
f(x) = 4x
, f(x) = ex
, f(x) = (
1
2
)x
,
são exemplos de fun¸cões exponenciais.
0 X
Y
a = 1 2 a = 1 4
a = 6 a = 3
y = 1
Figura 5.1: Todos os gráficos da fun¸cão ax
cortam o eixo 0Y no ponto y = 1
4. Fun¸cão Logaritmo
A fun¸cão do tipo f(x) = loga x, onde a é uma constante positiva e a = 1 chama-se fun¸cão
logar´ıtmica. Assim por exemplo, as fun¸cões
f(x) = loge x = ln x, f(x) = log1/2 x,
são fun¸cões logar´ıtmicas.
5. Fun¸cão Trigonométrica
As fun¸cões do tipo
f(x) = cos x, f(x) = sin x, f(x) = tan x, f(x) = cot x
52

0 X
Y
y = log xa
a = 4
a = 10
a = 1 3
a = 1 2
1
Figura 5.2: Todos os gráficos da fun¸cão loga x cortam o eixo 0X no ponto x = 1
são fun¸cões trigonométricas.
O gráfico da fun¸cão y = sin x é mostrado a seguinte figura.
Usando a fórmula
sin x = cos(x +
π
2
),
não é dif´ıcil obter o gráfico da fun¸cão y = cos x a partir do gráfico da fun¸cão da fun¸cão
y = sin x, com uma simples transla¸cão ao longo do eixo 0X a esquerda um comprimento
de
π
2
.
Quando movimentamos os gráficos das fun¸cões y = sin x e y = cos x ao longo do eixo 0X
a direita ou esquerda num intervalo de comprimento 2π, estes gráficos coincidem, o que
corresponde com o fato, que as fun¸cões sin x e cos x possuem per´ıodos de 2π., isto é,
sin(x ± 2π) = sin x, e cos(x ± 2π) = cos x, para qualquer x.
53

Quando movimentamos os gráficos das fun¸cões y = tan x e y = cot x ao longo do eixo 0X
a direita ou esquerda num intervalo de comprimento π, estes gráficos coincidem, o que
corresponde com o fato, que as fun¸cões tan x e cot x possuem per´ıodos de π., isto é,
tan(x ± π) = tan x, e cot(x ± π) = cot x, para qualquer x.
Os gráficos das fun¸cões:
y = A sin ax, y = A cos ax (A > 0, a > 0) (5.1)
são muito parecidos com os gráficos das fun¸cões y sin x e y = cos x. Para obter por
exemplo o gráfico da fun¸cão y = A sin ax de (5.1) a partir do gráfico de y = sin x, é
necessário multiplicar o comprimento de todas as ordenadas da fun¸cão y = sin x por A e
mudar no eixo 0X a absi¸ca do ponto x pela absi¸ca com ponto
x
a
. A fun¸cão y = A sin ax
é periódica de per´ıodo
2π
a
.
Os gráficos das fun¸cões:
Y = A sin(ax + b), y = cos(ax + b), (5.2)
chamadas de curvas harmônicas simples obtem-se dos gráficos das fun¸cões (5.1)
fazendo uma transla¸cão ao longo do eixo 0X um intervalo de comprimento
b
a
a es-
querda(considerando b > 0). As fun¸cões (5.2) possuem per´ıodos
2π
a
.
55

0 X
Y
A B C D
Figura 5.3: Gráfico da fun¸cão y = tan x. A = −π/2, B = π/2, C = π, D = 3π/2
A B C D0 X
Y
Figura 5.4: Gráfico da fun¸cão y = cot x. A = −π, B = −π/2, C = π/2, D = π
56

Observamos que os gráficos das fun¸cões
y = A1 sin a1x + A2 sin a2x + B1 cos a1x + B2 sin a2x,
que são combina¸cões de fun¸cões do tipo (5.1), podemos construir somando as ordenadas
dos gráficos dos termos separados. As curvas assim obtidas chamam-se curvas harmônicas
compexas.
Por exemplo o gráfico da fun¸cão y = 3 sin x + 2 cos 2x apresemta-se na seguinte figura
Notamos que a fun¸cão
y = A1 sin a1x + B1 cos a1x (5.3)
pode ser escrita na forma de (5.2) e apresenta-se como um movimento harmônico simples.
De fato, escrevemos,
m =
A1
A2
1 + B2
1
,
n =
B1
A2
1 + B2
1
,
A = A2
1 + B2
1.
temos, obviamente
A1 = mA, B1 = nA, (5.4)
e além disso
m2
+ n2
= 1,
57

|m| ≤ 1, n| ≤ 1,
e por esta razão, como é conhecido na trigonometria, sempre é poss´ıvel encontrar um
ângulo b1, tal que,
cos b1 = m, sin b1 = n. (5.5)
Substituindo em (5.3) as expressões de A1 e B1 de (5.4) e usando as igualdades (5.5),
obtemos
y = A(cos b1. sin a1x + sin b1. cos a1x),
isto é,
y = A sin(a1x + b1).
6. Fun¸cões Trigonométricas Inversas
f(x) = arcsin x, f(x) = arccos x, f(x) = arc tan x, f(x) = arc cot x.
Analisemos a fun¸cão
y = arcsin x. (5.6)
O gáfico desta fun¸cão obtem-se pelo método indicado acima de fun¸cões inversas. O gráfico
todo está ubicado entre as retas veticais x = −1 e x = 1, isto é, a fun¸cão (5.6) está definida
somente no intervalo −1 ≤ x ≤ 1. Notamos que a equa¸cão (5.6) é equivalente a equa¸cão
x = sin y, que como é conhecido da trigonometria, para um x dado, obtemos um conjunto
de valores para o ângulo y. Do gráfico observamos que as retas perpendiculares ao eixo
0X nos pontos do intervalo −1 ≤ x ≤ 1 cortam gráfico em um número infinito de pontos,
isto é, a fun¸cão (5.6) é uma fun¸cão de múltiples valores.
Imediatamente do gráfico da fun¸cão y = arcsin x observamos que esta fun¸cão será uni-
valente se nos restringimos aos valores do ângulo y, que tem sin y = x, no intervalo
(−
π
2
,
π
2
).
No seguinte gráfico da fun¸cão y = arccos x, observamos que esta fun¸cão será univalente
se nos restringimos aos valores do ângulo y, que tem cos y = x, no intervalo (0, π).
No seguinte gráfico da fun¸cão y = arctan x, oobservamos que esta fun¸cão será univalente
se nos restringimos aos valores do ângulo y, que tem tan y = x, no intervalo (−
π
2
,
π
2
).
No seguinte gráfico da fun¸cão y = arccotx, oobservamos que esta fun¸cão será univalente
se nos restringimos aos valores do ângulo y, que tem cot y = x, no intervalo (0, π).
Não é dif´ıcil mostrar, que as fun¸cões inversas trigonométricas definidas acima, satisfazem
as seguintes rela¸cões: 


arcsin x + arccos x =
π
2
arctan x + arccot x =
π
2
.
O conjunto de fun¸cões elementares dividam-se em duas classes: fun¸cões elementares
algébricas e fun¸cões elementares trascendentes.
O sentido da divisão em duas classes consiste no seguinte: Consideremos o polinômio de duas
variáveis P(x, y). Suponhamos que a fun¸cão y = f(x) definida num intervalo [a, b] satisfa¸ca a
equa¸cão P(x, y) = 0, isto é,
P(x, f(x)) ≡ 0, x ∈ [a, b].
58

0 X
Y
-1 1
A
B
C
D
E
Figura 5.5: Gráfico da fun¸cão y = arcsin x. A = −π/2, B = π/2, C = π, D = 3π/2, E = 2π
A
B
C
D
0
X
Y
-1 1
Figura 5.6: Gráfico da fun¸cão y = arccos x. A = −pi/2, B = π/2, C = π, D = 3π/2
59

0 X
Y
A
B
C
D
1 2 3-1-2-3
Figura 5.7: Gráfico da fun¸cão y = arctan x. A = −π/2, B = π/2, C = π, D = 3π/2
Então a fun¸cão y = f(x), x ∈ [a, b] chama-se algébrica. Por exemplo a fun¸cão y =
√
4 − x4 é
uma fun¸cão algébrica quando −2 ≤ x ≤ 2, ela satisfaz a equa¸cão algébrica x2
+ y2
= 4.
Qualquer fun¸cão racional é uma fun¸cão algébrica, pois a fun¸cão y =
P(x)
Q(x)
, onde P(x) e
Q(x) são polinômios de algum grau, satisfaz a equa¸cão Q(x)y − P(x) = 0
As fun¸cões algébricas que não são racionáis chamam-se irracionáis. Em qualidade de exem-
plos de fun¸cões algébricas irracionais são as fun¸cões y =
√
x, y =
3
√
x2.
Exemplo 5.4 Mostre que a fun¸cão y =
√
x é uma fun¸cão algébrica irracional.
Prova: Suponhamos que a fun¸cão y =
√
x seja algébrica racional, isto é,
√
x =
Pn(x)
Qm(x)
, x ≥ 0, (5.7)
onde Pn(x) e Qm(x) são polinômios de grau n e m respectivamente. Suponhamos que estes
polinômios não tenham um fator comum da forma xk
, k > 0. Analizemos a equa¸cão (5.7) no
intervalo [a, b], b > a > 0. Temos
Q2
m(x)x = P2
n (x), (5.8)
e portanto , o polinômio P2
n (x) é divis´ıvel por x. Daqui segue que x divide Pn(x) e portanto
Pn(x) = xPn−1(x)
. Pondo esta expresão de Pn(x) em (5.8), obtemos
Q2
m(x)x = x2
P2
n−1(x),
60

daqui, simplificando por x,
Q2
m(x) = xP2
n−1(x).
Raciocinando, de forma análoga ao caso de Pn(x), obtemos
Qm(x) = xQm−1(x)
. Desta forma, os polinômios Pn(x) e Qm(x) possuem um fator comum x, o que contradiz a
suposi¸cão que
√
x =
Pn(x)
Qm(x)
é uma fun¸cão algébrica racional. A contradi¸cão obtida mostra que
√
x é uma fun¸cão algébrica irracional.
Defini¸cão 5.1.7 A fun¸cão f(x) chama-se trascedental se ela não satisfaz nenhuma equa¸caõ
algébrica da forma P(x, y) = 0, onde P(x, y) é um polinômio das variáveis x e y.
5.2 Fun¸cão Par e Fun¸cão Ímpar
O Conjunto de pontos X da reta numérica chama-se simétrica com rela¸cão à origem de
coordenadas, se para qualquer ponto x ∈ X o número −x também pertence a X.
Exemplos de tais conjuntos podem ser:
a) a união dos intervalos (−∞, 0) e (0, +∞); b) o intervalo [−a, a]; c) o intervalo (−a, a).
Defini¸cão 5.2.1 A fun¸cão y = f(x), definida no conjunto X, chama-se par, se cumprem-se
as seguintes condi¸cões:
1o
. O conjunto X é simétrico com rela¸cão à origem de coordenadas
2o
. para qualquer x ∈ X vale a igualdade
f(x) = f(−x).
Exemplos de fun¸cões pares são as seguintes fun¸cões
y = x6
y =
x2
1 + x4
, y = cos x, y = 2|x|
− | sin x|.
Se f(x), x ∈ X, é par, então para cada x ∈ X os pontos do seu gráfico (x, f(x)) e
(−x, f(−x)) são simétricos com rela¸cão ao eixo Y . Desta forma, o gráfico de uma fun¸cão par
é simétrico com rela¸cão ao eixo Y .
Defini¸cão 5.2.2 A fun¸cão y = f(x), definida no conjunto X, chama-se ´ımpar, se cumprem-se
as seguintes condi¸cões:
1o
. O conjunto X é simétrico com rela¸cão à origem de coordenadas
2o
. para qualquer x ∈ X vale a igualdade
f(−x) = −f(x).
61

-2 2
3
0 X
Y
0 X
Y
2-2
00 XX
YY
62

Exemplos de fun¸cões ´ımpares são as seguintes fun¸cões
y = x3
y =
x
1 + x4
, y = sin x, y = x
√
x2 − 9.
Se f(x), x ∈ X, é ´ımpar, então para cada x ∈ X os pontos do seu gráfico (x, f(x)) e
(−x, f(−x)) são simétricos com rela¸cão à origem de coordenadas. Desta forma, o gráfico de
uma fun¸cão ´ımpar é simétrico com rela¸cão à origem de coordenadas.
Notamos que existem fun¸cões, que nem são pares nem ´ımpares; por exemplo,
1. A fun¸cão y =
√
x não é nem par nem ´ımpar, pois seu dom´ınio não é um conjunto
simétrico com rela¸cão à origem de coordenadas;
2. A fun¸cão y = (1/2)x
não é nem par nem ´ımpar, ainda que seu dom´ınio seja é um conjunto
simétrico com rela¸cão à origem de coordenadas, no entanto, por exemplo,
y(1) = 1/2 = 2 = y(−1), y(1) = 1/2 = −2 = −y(−1).
A única fun¸cão, definida num conjunto simétrico M com rela¸cão à origem de coordenadas que
é par e ´ımpar ao mesmo tempo neste conjunto, é a fun¸cão f(x) ≡ 0, x ∈ M ⊂ R.
Qualquer fun¸cão y = f(x), definido no conjunto X simétrico com rela¸cão à origem de
coordenadas podemos escrever como soma de uma fun¸cão par ϕ(x) e de uma fun¸cão ´ımpar
ψ(x), isto é f(x) = ϕ(x) + ψ(x). Aqui
ϕ(x) =
f(x) + f(−x)
2
, ψ(x) =
f(x) − f(−x)
2
.
Propriedades das Fun¸cões Pares e Ímpares
1. Se f(x) e g(x) são fun¸cões pares no mesmo conjunto X, então as fun¸cões
fx)+g(x), f(x)−g(x), f(x)g(x), f(x)/g(x), g(x) = 0, são fun¸cões pares no conjunto X.
2. Se f(x) e g(x) são fun¸cões ´ımpares no mesmo conjunto X, então as fun¸cões f(x) +
g(x), f(x) − g(x), são fun¸cões ´ımpares no conjunto X. A fun¸cão f(x)g(x) é par no
conjunto X; da mesma forma, a fun¸cão f(x)/g(x) é par desde que g(x) = 0.
Exemplo 5.5 Mostre que a seguinte fun¸cão é ´ımpar
y = log2(x +
√
1 + x2).
Solu¸cão: O dom´ınio de existência da fun¸cão dada é o conjunto de todo os pontos x tais que
x +
√
1 + x2 > 0. Esta desigualdade é satisfeita para qualquer x ∈ R. na verdade se x = 0,
então x +
√
1 + x2 = 1 > 0. Para qualquer x = 0 temos
x +
√
1 + x2 = x + |x| 1 +
1
x2
> x + |x| ≥ 0.
Desta forma, o dom´ınio da fun¸cão dada é simétrica com rela¸cão à origem de coordenadas.
63

Continuando com o análise, para qualquer x real valem as seguintes igualdades
y(−x) = log2(−x + 1 + (−x)2) = log2(−x +
√
1 + x2)
= log2
(−x +
√
1 + x2)(x +
√
1 + x2)
x +
√
1 + x2
= log2
1
x +
√
1 + x2
= log2(x +
√
1 + x2)−1
= − log2(x +
√
1 + x2) =
= −y(x).
Como o o dom´ınio da fun¸cão dada é a reta numérica e y(x) = −y(−x) para todo x ∈ R, então
a fun¸cão dada é ´ımpar.
Exemplo 5.6 Escreva como soma de uma fun¸cão par e uma fun¸cão ´ımpar a seguinte fun¸cão
y = 3x
.
Solu¸cão: Escrevamos
ϕ(x) =
3x
+ 3−x
2
, ψ(x) =
3x
− 3−x
2
.
Então ϕ(−x) = ϕ(x), ψ(−x) = −ψ(x), isto é, ϕ(x) é uma fun¸cão par, e ψ(x) é uma fun¸cão
´ımpar. Assim
y(x) = ϕ(x) + ψ(x).
Exemplo 5.7 Verifique se a seguinte fun¸cão é par ou ´ımpar,
f(x) = log2
x + 1
x − 1
x − log2
2 + x
2 − x
.
Solu¸cão: Primeiramente calculemos o dom´ınio da fun¸cão;



x + 1
x − 1
> 0,
2 + x
2 − x
> 0,
⇐⇒
−2 < x < −1
1 < x < 2,
então o dom´ınio da fun¸cão f(x) é simétrica com rela¸cão ao origem de coordenadas.
Para qualquer x pertencente ao dom´ınio da fun¸cão, temos
f(−x) = log2
−x + 1
−x − 1
−x − log2
2 − x
2 − (−x)
=
= − log2
x − 1
x + 1
x + log2
2 − x
2 + x
=
= log2
x − 1
x + 1
−1
x − log2
2 − x
2 + x
−1
=
= log2
x + 1
x − 1
x − log2
2 + x
2 − x
=
= f(x).
Portanto, a fun¸cão f(x) é par.
64

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