Ley de Enfriamiento de Newton

1
LEY DE ENFRIAMIENTO DE NEWTON
INTRODUCCIÓN
Soy de esas personas que no tolera consumir bebidas ni alimentos muy calientes.
Desde una temprana edad, siempre me he cuestionado cuánto tardará en enfriarse mi
comida. Por obvias razones, cuando era un niño de 5 años no podía responder a mi
inquietud. Sin embargo, hoy en día con 15 años, gracias al tema de funciones (uno de
mis temas favoritos del área de matemáticas), puedo calcular en cuánto tiempo
aproximadamente mi taza de leche (por ejemplo) estará a una temperatura adecuada
para mi gusto. Se preguntarán en qué me baso para dicho propósito. La respuesta es en
la ley de enfriamiento de Newton.
Según Hewitt (2007), “Un objeto a temperatura diferente de la de sus alrededores
terminará alcanzando una temperatura igual a la de sus alrededores” (p. 316). Ante esta
afirmación, Isaac Newton (1643 – 1727) propuso una ley sobre el enfriamiento, la cual
“establece que la temperatura de un objeto calentado disminuye de manera exponencial
con el tiempo, hacia la temperatura del medio que lo rodea” (Sullivan, 2006, p. 469)
La función de la ley de Newton del enfriamiento tiene como fórmula:
T(t) = Tamb + (Ti – Tamb)e-kt,
donde T(t) es la temperatura del objeto o cuerpo en función del tiempo, Tamb es la
temperatura del ambiente en la que se encuentra el objeto, Ti es la temperatura inicial
del cuerpo, t el tiempo y k una constante. Cabe mencionar que esta función también se
acomoda al calentamiento de un cuerpo (cuando está a una temperatura menor a la del
medio que lo rodea).
La presente exploración matemática tiene como objetivo comprobar que la ley de
enfriamiento de Newton se modela a una función exponencial con base e para verificar
su certeza y correcta aplicación. Para ello, se ha diseñado un método experimental que
permitió medir la variación de temperatura de un cuerpo sólido (arena) y uno líquido
(jugo de naranja) utilizando el censor de temperatura de un Spark, en un intervalo de
tiempo que fue medido con un cronómetro. Cabe resaltar que, se trabajó con tres estados
distintos por cuerpo: muy caliente (temperaturas muy altas), caliente (temperaturas
altas) y frío (temperaturas bajas). Esto se realizó con el fin de observar un decrecimiento
exponencial cuando se calientan los objetos y, para verificar si existe un crecimiento
exponencial cuando la temperatura inicial del cuerpo se encuentra por debajo de la
temperatura del ambiente en el que se encuentra.
DESARROLLO
Para empezar, es indispensable conocer las temperaturas ambientales en que se
llevaron a cabo las experiencias, al ser la Tamb un dato perteneciente a la fórmula de la
ley de enfriamiento de Newton. Éstas están expuestas en la siguiente tabla, teniendo en
cuenta que, cuando se realizaron las mediciones con el jugo de naranja, todas se
realizaron el mismo día; por ende, la temperatura ambiental fue la misma. Caso contrario

2
con las mediciones con el cuerpo sólido (arena), ya que, éstas se hicieron en tres días y
horas diferentes.
TEMPERATURAS AMBIENTALES DE LAS EXPERIENCIAS
Cuerpo Estado del cuerpo Temperatura Ambiental (°C)
Arena (sólido)
Muy caliente 27.5
Caliente 26.9
Fría 26.8
Jugo de naranja (líquido)
Muy caliente
28.4Caliente
Frío
Los datos brutos de la temperatura respecto al tiempo obtenidos en la
experimentación fueron los que se exhiben en las doce tablas a continuación:

4
A partir de los datos se calcula cuáles serían las funciones que modelan la
variación de temperatura en los seis casos. Como en todo crecimiento y decrecimiento
exponencial hay una constante k, primero hallaremos ese valor para el sólido (arena).
Teniendo en cuenta la fórmula de la ley del enfriamiento de Newton, reemplazando los
datos de Tamb y Ti en ésta, obtenemos las siguientes tres funciones:
Arena muy caliente: 𝑇(𝑡) = 27.5 + (111.4 − 27.5)𝑒−𝑘𝑡
⟹ 𝑇(𝑡) = 27.5 + 83.9𝑒−𝑘𝑡
Arena caliente: 𝑇(𝑡) = 26.9 + (83.8 − 26.9)𝑒−𝑘𝑡
⟹ 𝑇(𝑡) = 26.9 + 56.9𝑒−𝑘𝑡
Arena fría: 𝑇(𝑡) = 26.8 + (1.8 − 26.8)𝑒−𝑘𝑡
⟹ 𝑇(𝑡) = 26.8 − 25𝑒−𝑘𝑡
Para calcular el valor de k en cada uno de los tres casos, reemplazamos todos los
valores de sus respectivas tablas de datos experimentales por t (tiempo) y por T(t)
(temperatura) y hallamos un promedio por cada uno. Luego, promediamos los tres
valores y el resultado será la constante k para el sólido arena en las tres funciones. Con
el propósito de cumplir este objetivo, despejamos k en la fórmula de la ley de Newton
del enfriamiento para obtener una generalización.
𝑇(𝑡) = 𝑇𝑎𝑚𝑏 + (𝑇𝑖 − 𝑇𝑎𝑚𝑏)𝑒−𝑘𝑡
⟹ 𝑇(𝑡) − 𝑇𝑎𝑚𝑏 = (𝑇𝑖 − 𝑇𝑎𝑚𝑏)𝑒−𝑘𝑡
⟹
𝑇(𝑡) − 𝑇𝑎𝑚𝑏
(𝑇𝑖 − 𝑇𝑎𝑚𝑏)
= 𝑒−𝑘𝑡
⟹ 𝐥𝐧
= 𝐥𝐧 𝑒−𝑘𝑡
⟹ ln
= −𝑘𝑡
∴ 𝑘 =
ln
−𝑡
De esta manera se tiene:
𝑘 =
ln(
𝑇(𝑡)−27.5
83.9
)
−𝑡
𝑘 =
ln(
𝑇(𝑡)−26.9
56.9
)
−𝑡
𝑘 =
ln(
26.8−𝑇(𝑡)
25
)
−𝑡
Muy caliente Caliente Fría

5
Reemplazando los valores mencionados en el anterior párrafo, tendremos los
siguientes valores de k:
Por lo tanto, el promedio de los tres valores de k para la arena será:
𝑥̅ =
0.140 + 0.122 + 0.108
3
= 0.123̂ ≈ 0.123
A partir de ello, empezamos a determinar las funciones exponenciales según la
ley de enfriamiento de Newton. La primera (con la arena muy caliente) sería:
𝑻(𝒕) = 𝟐𝟕. 𝟓 + 𝟖𝟑. 𝟗𝒆−𝟎.𝟏𝟐𝟑𝒕
A continuación, se proseguirá a hacer una comparación entre los valores de las
temperaturas determinados experimentalmente y los hallados a partir de una tabulación
de datos de la función determinada por la ley de Newton del enfriamiento, acompañados
del cálculo de la diferencia absoluta y porcentual entre los datos.
TEMPERATURA DE LA ARENA MUY
CALIENTE (°C) I
Tiempo
(min)
Datos
experimentales
Datos de la función
(ley de enfriamiento)
Diferencia
absoluta
Diferencia
porcentual (%)
0 111.4 111.4 0.0 0.0
1 96 101.7 5.7 5.9
1.5 91.3 97.3 6.0 6.6
2 86.9 93.1 6.2 7.1
2.5 82.9 89.2 6.3 7.6
3 79.4 85.5 6.1 7.7
3.5 76.2 82.1 5.9 7.7
4 73.2 78.8 5.6 7.7
4.5 70.4 75.7 5.3 7.5
5 68 72.9 4.9 7.2
5.5 65.6 70.2 4.6 7.0
6 63.4 67.6 4.2 6.6

6
6.5 61.5 65.2 3.7 6.0
7 59.6 63.0 3.4 5.7
7.5 57.9 60.1 2.2 3.8
8 56.3 58.9 2.6 4.6
8.5 54.8 57.0 2.2 4.0
9 53.4 55.2 1.8 3.4
9.5 52.1 53.6 1.5 2.9
10 50.8 52.0 1.2 2.4
10.5 49.6 50.6 1.0 2.0
11 48.5 49.2 0.7 1.4
11.5 47.5 47.9 0.4 0.8
12 46.4 46.7 0.3 0.6
12.5 45.5 45.5 0.0 0.0
13 44.6 44.5 0.1 0.2
13.5 43.8 43.4 0.4 0.9
14 43.1 42.5 0.6 1.4
14.5 42.4 41.6 0.8 1.9
15 41.7 40.8 0.9 2.2
Promedio 2.8 4.1
Para comprobar si la diferencia entre los valores hallados en la experimentación
y los calculados a partir de la función exponencial determinada es significativa, se realizó
una prueba estadística llamada t-student o t-test.
Según Kazmier (2006) la distribución t es un colectivo de distribuciones normales
que tienen una distribución levemente diferente para cada uno de los distintos grados
de libertad, los cuales, señalan el número de valores “libres de variar” en la muestra que
sirve como base para el intervalo de confianza (p. 148). Si el valor del estadístico t es
menor que su respectivo valor crítico para tantos grados de libertad, la diferencia entre
los promedios no será significativa; pero, si es mayor, sí lo será.
El análisis de los datos llevado a cabo en una hoja de cálculo de Microsoft Office
Excel 2014 arrojó los siguientes resultados:
Datos
Experimentales
Datos de la
función
Media 62.14 64.77333333
Varianza 328.148 398.1282299
Observaciones 30 30
Grados de libertad 58
Estadístico t 0.535199315
P(T<=t) dos colas 0.594594009
Valor crítico de t (dos colas) 2.002465459
El valor del estadístico t es de 0.535, el cual, es menor que su valor crítico
correspondiente a 58 grados de libertad de 2.00. Por lo tanto, podemos afirmar que la

7
diferencia entre los valores hallados en la experimentación y los calculados a partir de la
función exponencial determinada NO ES SIGNIFICATIVA. Sin embargo, para
comprobar que los datos experimentales se pueden modelar a una función exponencial
con base e, realizamos el diagrama de dispersión y hallamos el coeficiente de correlación
(R2) exponencial para dicha regresión. A continuación, se exhibirá la gráfica que muestra
la nube de puntos y su línea de mejor ajuste exponencial con su respectiva ecuación y su
R2 correspondiente.
El coeficiente de correlación es alto y fuerte, por lo que sí se pueden modelar estos
datos a una función exponencial con base e. La cuestión es: ¿los valores que se obtienen
a partir de la ecuación de esta línea de tendencia exponencial serán más cercanos a los
datos experimentales que con los resultados que arroja la ley de enfriamiento de
Newton? Para ello compararemos los valores calculados a partir de estas dos primeras
funciones hallando la diferencia absoluta y porcentual que separan a sus datos, tal como
se hizo anteriormente.
TEMPERATURA DE LA ARENA MUY
CALIENTE (°C) II
Tiempo
(min)
Datos
experimentales
Datos de la ecuación de
la línea de tendencia
Diferencia
absoluta
Diferencia
porcentual (%)
0 111.4 95.6 15.8 14.2
1 96 89.9 6.1 6.4
1.5 91.3 87.2 4.1 4.5
2 86.9 84.6 2.3 2.6
2.5 82.9 82.1 0.8 1.0
3 79.4 79.6 0.2 0.3
3.5 76.2 77.2 1.0 1.3
4 73.2 74.9 1.7 2.3
4.5 70.4 72.6 2.2 3.1
5 68 70.5 2.5 3.7
5.5 65.6 68.3 2.7 4.1
6 63.4 66.3 2.9 4.6
y = 95.582e-0.061x
R² = 0.9687
0
20
40
60
80
100
120
0 2 4 6 8 10 12 14 16
Temperatura(°C)
Tiempo (min)
Relación Tiempo - Temperatura (Datos
experimentales)

8
6.5 61.5 64.3 2.8 4.6
7 59.6 62.4 2.8 4.7
7.5 57.9 60.5 2.6 4.5
8 56.3 58.7 2.4 4.3
8.5 54.8 56.9 2.1 3.8
9 53.4 55.2 1.8 3.4
9.5 52.1 53.5 1.4 2.7
10 50.8 51.9 1.1 2.2
10.5 49.6 50.4 0.8 1.6
11 48.5 48.9 0.4 0.8
11.5 47.5 47.4 0.1 0.2
12 46.4 46.0 0.4 0.9
12.5 45.5 44.6 0.9 2.0
13 44.6 43.2 1.4 3.1
13.5 43.8 42.0 1.8 4.1
14 43.1 40.7 2.4 5.6
14.5 42.4 39.5 2.9 6.8
15 41.7 38.3 3.4 8.2
Promedio 2.5 3.7
Los promedios de las diferencias absoluta y porcentual de esta última tabla (2.5
y 3.7%) son menores que los que les precedían (2.8 y 4.1%). Por lo tanto, la ecuación de
la línea de tendencia de la gráfica arroja valores más cercanos a los experimentales que
la función de la ley de Newton del enfriamiento.
Ahora, realizaremos el mismo procedimiento con las dos funciones restantes.
Empezaremos por la arena caliente. Su función viene a ser:
𝑻(𝒕) = 𝟐𝟔. 𝟗 + 𝟓𝟔. 𝟗𝒆−𝟎.𝟏𝟐𝟑𝒕
La tabla comparativa respectiva entre los datos experimentales y los de la función
de la ley de enfriamiento de Newton, que incluye las diferencias absoluta y porcentual,
es la siguiente:
TEMPERATURA DE LA ARENA
CALIENTE (°C) I
Tiempo
(min)
Datos
experimentales
Diferencia
absoluta
Diferencia
porcentual (%)
0 83.8 83.8 0.0 0.0
0.5 81 80.4 0.6 0.7
1 77.1 77.2 0.1 0.1
1.5 73.4 74.2 0.8 1.1
2 70.1 71.4 1.3 1.9
2.5 67.2 68.7 1.5 2.2
3 64.6 66.2 1.6 2.5
3.5 62.3 63.9 1.6 2.6
4 60.2 61.7 1.5 2.5

9
4.5 58.3 59.6 1.3 2.2
5 56.6 57.7 1.1 1.9
5.5 54.9 55.8 0.9 1.6
6 53.4 54.1 0.7 1.3
6.5 52 52.5 0.5 1.0
7 50.7 51.0 0.3 0.6
7.5 49.5 49.5 0.0 0.0
8 48.4 48.2 0.2 0.4
8.5 47.3 46.9 0.4 0.8
9 46.3 45.7 0.6 1.3
9.5 45.4 44.6 0.8 1.8
10 44.5 43.5 1.0 2.2
10.5 43.7 42.5 1.2 2.7
11 42.9 41.6 1.3 3.0
11.5 42.2 40.7 1.5 3.6
12 41.5 39.9 1.6 3.9
12.5 40.9 39.1 1.8 4.4
13 40.3 38.4 1.9 4.7
13.5 39.7 37.7 2.0 5.0
14 39.2 37.1 2.1 5.4
14.5 38.7 36.5 2.2 5.7
15 38.2 35.9 2.3 6.0
Promedio 1.1 2.4
Los resultados del t-test entre los valores comparados son:
Datos
Experimentales
Datos de la
función
Media 53.36451613 53.09964666
Varianza 177.3430323 202.574369
Observaciones 31 31
P(T<=t) dos colas 0.939941062
correspondiente a 60 grados de libertad de 2.00. Por lo tanto, la diferencia entre los
valores hallados en la experimentación y los calculados a partir de la función
exponencial determinada, nuevamente, ES INSIGNIFICATIVA. No obstante, se realizó
la siguiente nube de puntos de los valores experimentales con su línea de mejor ajuste
exponencial y su respectiva ecuación, además de hallar su coeficiente correlación (R2).

10
El coeficiente de correlación es alto y fuerte; aunque, menor que el del primer
caso. Pese a ello, de todas maneras sí se pueden modelar estos datos a una función
exponencial con base e. Las diferencias absoluta y porcentual entre los valores de esta
ecuación y los experimentales se encuentran en la siguiente tabla:
TEMPERATURA DE LA ARENA
CALIENTE (°C) II
Tiempo
(min)
Datos
experimentales
Diferencia
absoluta
Diferencia
porcentual (%)
0 83.8 76.0 7.8 9.3
0.5 81 74.1 6.9 8.5
1 77.1 72.3 4.8 6.2
1.5 73.4 70.4 3 4.1
2 70.1 68.7 1.4 2.0
2.5 67.2 66.9 0.3 0.4
3 64.6 65.3 0.7 1.1
3.5 62.3 63.6 1.3 2.1
4 60.2 62.0 1.8 3.0
4.5 58.3 60.5 2.2 3.8
5 56.6 58.9 2.3 4.1
5.5 54.9 57.4 2.5 4.6
6 53.4 56.0 2.6 4.9
6.5 52 54.6 2.6 5.0
7 50.7 53.2 2.5 4.9
7.5 49.5 51.9 2.4 4.8
8 48.4 50.6 2.2 4.5
8.5 47.3 49.3 2.0 4.2
9 46.3 48.1 1.8 3.9
9.5 45.4 46.8 1.4 3.1
10 44.5 45.7 1.2 2.7
10.5 43.7 44.5 0.8 1.8
11 42.9 43.4 0.5 1.2
y = 76.045e-0.051x
R² = 0.9632
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
0 2 4 6 8 10 12 14 16
Temperatura(°C)
Tiempo (min)
experimentales)

11
11.5 42.2 42.3 0.1 0.2
12 41.5 41.2 0.3 0.7
12.5 40.9 40.2 0.7 1.7
13 40.3 39.2 1.1 2.7
13.5 39.7 38.2 1.5 3.8
14 39.2 37.2 2 5.1
14.5 38.7 36.3 2.4 6.2
15 38.2 35.4 2.8 7.3
Promedio 2.1 3.8
En esta oportunidad, estos últimos promedios de las diferencias (2.1 y 3.8%)
resultan ser mayores que los mismos entre los datos experimentales y los que se obtienen
a partir de la función que propuso Newton (1.1 y 2.4%). Por ello, en este caso sería más
conveniente usar la ley del matemático-físico inglés para modelar el enfriamiento.
Ahora, es turno de realizar el mismo procedimiento con los datos de la arena fría.
La función de la ley de enfriamiento de Newton es:
𝑻(𝒕) = 𝟐𝟔. 𝟖 − 𝟐𝟓𝒆−𝟎.𝟏𝟐𝟑𝒕
La tabla comparativa entre los datos experimentales y los de esta última función,
que incluye las diferencias absoluta y porcentual entre los datos, es la siguiente:
TEMPERATURA DE LA ARENA FRÍA
(°C) I
Tiempo
(min)
Datos
experimentales
Diferencia
absoluta
Diferencia
porcentual (%)
0 1.8 1.8 0.0 0.0
0.5 2.3 3.3 1.0 43.5
1 3.5 4.7 1.2 34.3
1.5 4.6 6.0 1.4 30.4
2 6 7.3 1.3 21.7
2.5 7.3 8.4 1.1 15.1
3 8.6 9.5 0.9 10.5
3.5 9.7 10.5 0.8 8.2
4 10.7 11.5 0.8 7.5
4.5 11.7 12.4 0.7 6.0
5 12.6 13.3 0.7 5.6
5.5 13.5 14.1 0.6 4.4
6 14.3 14.8 0.5 3.5
6.5 15 15.6 0.6 4.0
7 15.7 16.2 0.5 3.2
7.5 16.3 16.9 0.6 3.7
8 16.9 17.5 0.6 3.6
8.5 17.5 18.0 0.5 2.9
9 18 18.5 0.5 2.8
9.5 18.5 19.0 0.5 2.7

12
10 19 19.5 0.5 2.6
10.5 19.4 19.9 0.5 2.6
11 19.8 20.3 0.5 2.5
11.5 20.2 20.7 0.5 2.5
12 20.6 21.1 0.5 2.4
12.5 20.9 21.4 0.5 2.4
13 21.2 21.7 0.5 2.4
13.5 21.5 22.0 0.5 2.3
14 21.8 22.3 0.5 2.3
14.5 22.1 22.6 0.5 2.3
15 22.3 22.8 0.5 2.2
Promedio 0.7 7.7
Datos
Experimentales
Datos de la
función
Media 14.62258065 15.28873169
Varianza 41.14247312 39.10569236
Observaciones 31 31
P(T<=t) dos colas 0.680325576
El estadístico t es de 0.414, el cual, es menor que su valor crítico correspondiente
a 60 grados de libertad de 2.00. Por lo tanto, la diferencia entre los valores hallados en la
experimentación y los calculados a partir de la función propuesta por Isaac Newton NO
ES SIGNIFICATIVA. No obstante, se realizó la siguiente nube de puntos de los valores
experimentales con su línea de mejor ajuste logarítmica, su respectiva ecuación y R2;
porque, la función logarítmica es la inversa de la exponencial.
y = 6.97ln(x) + 2.5357
R² = 0.9573
-5
0
5
10
15
20
25
0 2 4 6 8 10 12 14 16
Temperatura(°C)
Tiempo (min)
Experimentales)

13
El coeficiente de correlación es alto y fuerte, por lo que sí se pueden modelar estos
datos a una función logarítmica natural; a pesar de que, su R2 sea menor que en los dos
anteriores casos. En la tabla a continuación, se presentarán las diferencias absoluta y
porcentual entre los valores de esta ecuación de mejor ajuste y los experimentales:
TEMPERATURA DE LA ARENA FRÍA
(°C) II
Tiempo
(min)
Datos
experimentales
Diferencia
absoluta
Diferencia
porcentual (%)
0 1.8 ∄ ∄ ∄
0.5 2.3 -2.3 4.6 200.0
1 3.5 2.5 1.0 28.6
1.5 4.6 5.4 0.8 17.4
2 6 7.4 1.4 23.3
2.5 7.3 8.9 1.6 21.9
3 8.6 10.2 1.6 18.6
3.5 9.7 11.3 1.6 16.5
4 10.7 12.2 1.5 14.0
4.5 11.7 13.0 1.3 11.1
5 12.6 13.8 1.2 9.5
5.5 13.5 14.4 0.9 6.7
6 14.3 15.0 0.7 4.9
6.5 15 15.6 0.6 4.0
7 15.7 16.1 0.4 2.5
7.5 16.3 16.6 0.3 1.8
8 16.9 17.0 0.1 0.6
8.5 17.5 17.5 0.0 0.0
9 18 17.9 0.1 0.6
9.5 18.5 18.2 0.3 1.6
10 19 18.6 0.4 2.1
10.5 19.4 18.9 0.5 2.6
11 19.8 19.2 0.6 3.0
11.5 20.2 19.6 0.6 3.0
12 20.6 19.9 0.7 3.4
12.5 20.9 20.1 0.8 3.8
13 21.2 20.4 0.8 3.8
13.5 21.5 20.7 0.8 3.7
14 21.8 20.9 0.9 4.1
14.5 22.1 21.2 0.9 4.1
15 22.3 21.4 0.9 4.0
Promedio 0.9 14.0
En este caso, los promedios de las diferencias absoluta y porcentual (0.9 y 14.0%)
resultan ser mayores que los mismos entre los datos experimentales y los que se obtienen
a partir de la ley de Newton del enfriamiento (0.7 y 7.7%). Por ello, para la arena fría,
sería más conveniente emplear lo establecido por Newton para modelar, ahora, un
crecimiento exponencial.

14
Culminado el análisis de los datos con el sólido (arena), proseguimos a realizar
un procedimiento semejante con el líquido (jugo de naranja). Teniendo en cuenta la
fórmula de la ley de Newton del enfriamiento, reemplazando los datos de las
temperaturas ambiental e inicial en ésta, obtenemos las siguientes tres funciones:
Jugo muy caliente: 𝑇(𝑡) = 28.4 + (76.8 − 28.4)𝑒−𝑘𝑡
→ 𝑇(𝑡) = 28.4 + 48.4𝑒−𝑘𝑡
Jugo caliente: 𝑇(𝑡) = 28.4 + (47.3 − 28.4)𝑒−𝑘𝑡
→ 𝑇(𝑡) = 28.4 + 18.9𝑒−𝑘𝑡
Jugo frío: 𝑇(𝑡) = 28.4 + (9.6 − 28.4)𝑒−𝑘𝑡
→ 𝑇(𝑡) = 28.4 − 18.8𝑒−𝑘𝑡
Despejando k en cada una de las tres ecuaciones obtenemos:
𝑘 =
ln(
𝑇(𝑡)−28.4
48.4
)
−𝑡
𝑘 =
ln(
𝑇(𝑡)−28.4
18.9
)
−𝑡
𝑘 =
ln(
28.4−𝑇(𝑡)
18.8
)
−𝑡
Muy caliente Caliente Fría
Reemplazando los datos brutos de t (tiempo) y T(t) (temperatura) en las
ecuaciones anteriores, tendremos los siguientes valores de k:
Por lo tanto, el promedio de los tres valores de k para la arena será:
𝑥̅ =
0.067 + 0.058 + 0.043
3
= 0.056
A partir de ello, empezamos a determinar las funciones exponenciales según la
ley de enfriamiento de Newton. La primera (con el jugo muy caliente) sería:
𝑻(𝒕) = 𝟐𝟖. 𝟒 + 𝟒𝟖. 𝟒𝒆−𝟎.𝟎𝟓𝟔𝒕
La tabla que contiene la diferencia porcentual y la diferencia absoluta entre los
datos experimentales y los de la función de la ley de enfriamiento de Newton con el jugo
de naranja muy caliente es la siguiente:

15
TEMPERATURA DEL JUGO MUY
CALIENTE (°C) I
Tiempo
(min)
Datos
experimentales
Diferencia
absoluta
Diferencia
porcentual (%)
0 76.8 76.8 0.0 0.0
0.5 73.9 75.5 1.6 2.2
1 71.7 74.2 2.5 3.5
1.5 69.9 72.9 3.0 4.3
2 68.4 71.7 3.3 4.8
2.5 67.1 70.5 3.4 5.1
3 66 69.3 3.3 5.0
3.5 65 68.2 3.2 4.9
4 64.1 67.1 3.0 4.7
4.5 63.2 66.0 2.8 4.4
5 62.5 65.0 2.5 4.0
5.5 61.7 64.0 2.3 3.7
6 61 63.0 2.0 3.3
6.5 60.4 62.0 1.6 2.6
7 59.7 61.1 1.4 2.3
7.5 59.2 60.2 1.0 1.7
8 58.6 59.3 0.7 1.2
8.5 58 58.5 0.5 0.9
9 57.5 57.6 0.1 0.2
9.5 57 56.8 0.2 0.4
10 56.6 56.0 0.6 1.1
10.5 56.1 55.3 0.8 1.4
11 55.7 54.5 1.2 2.2
11.5 55.2 53.8 1.4 2.5
12 54.8 53.1 1.7 3.1
12.5 54.4 52.4 2.0 3.7
13 54 51.8 2.2 4.1
13.5 53.6 51.1 2.5 4.7
14 53.2 50.5 2.7 5.1
14.5 52.8 49.9 2.9 5.5
15 52.4 49.3 3.1 5.9
Promedio 1.9 3.2
Los resultados del t-student entre los valores comparados son:
Datos
Experimentales
Datos de la
función
Media 60.66129032 61.20775887
Varianza 43.25178495 68.89295866
Observaciones 31 31
P(T<=t) dos colas 0.774913975

16
correspondiente a 60 grados de libertad (2.00). Entonces, la diferencia entre los valores
hallados en la experimentación y los calculados a partir de la función de decrecimiento
exponencial de Newton determinada ES INSIGNIFICATIVA. No obstante, se realizó la
siguiente nube de puntos de los valores experimentales con su línea de mejor ajuste
exponencial y su ecuación correspondiente con su coeficiente de correlación:
El R2 es alto y fuerte, por lo que sí se pueden modelar estos datos a una función
exponencial con base e. En la siguiente tabla, se muestran las diferencias absoluta y
porcentual entre los valores de esta ecuación de mejor ajuste y los experimentales:
TEMPERATURA DEL JUGO MUY
CALIENTE (°C) II
Tiempo
(min)
Datos
experimentales
Diferencia
absoluta
Diferencia
porcentual (%)
0 76.8 71.5 5.3 6.9
0.5 73.9 70.6 3.3 4.5
1 71.7 69.8 1.9 2.6
1.5 69.9 69.0 0.9 1.3
2 68.4 68.2 0.2 0.3
2.5 67.1 67.5 0.4 0.6
3 66 66.7 0.7 1.1
3.5 65 65.9 0.9 1.4
4 64.1 65.2 1.1 1.7
4.5 63.2 64.4 1.2 1.9
5 62.5 63.7 1.2 1.9
5.5 61.7 63.0 1.3 2.1
6 61 62.2 1.2 2.0
6.5 60.4 61.5 1.1 1.8
7 59.7 60.8 1.1 1.8
y = 71.454e-0.023x
R² = 0.9533
0
20
40
60
80
100
0 2 4 6 8 10 12 14 16
Temperatura(°C)
Tiempo (min)
Experimentales)

17
7.5 59.2 60.1 0.9 1.5
8 58.6 59.4 0.8 1.4
8.5 58 58.8 0.8 1.4
9 57.5 58.1 0.6 1.0
9.5 57 57.4 0.4 0.7
10 56.6 56.8 0.2 0.4
10.5 56.1 56.1 0.0 0.0
11 55.7 55.5 0.2 0.4
11.5 55.2 54.8 0.4 0.7
12 54.8 54.2 0.6 1.1
12.5 54.4 53.6 0.8 1.5
13 54 53.0 1.0 1.9
13.5 53.6 52.4 1.2 2.2
14 53.2 51.8 1.4 2.6
14.5 52.8 51.2 1.6 3.0
15 52.4 50.6 1.8 3.4
Promedio 1.1 1.8
En este caso, los promedios de las diferencias absoluta y porcentual (1.1 y 1.8%)
son menores que sus semejantes entre los datos experimentales y los que se obtienen a
partir de la ley de Newton del enfriamiento (1.9 y 3.2%). A causa de ello, la ecuación de
la línea de tendencia exponencial de la gráfica arroja valores más cercanos a los
experimentales que la función determinada a partir de la ley de Newton.
Ahora, realizaremos el mismo procedimiento con las dos funciones restantes.
Empezaremos por el jugo caliente. Su función viene a ser:
𝑻(𝒕) = 𝟐𝟖. 𝟒 + 𝟏𝟖. 𝟗𝒆−𝟎.𝟎𝟓𝟔𝒕
La tabla comparativa respectiva entre los datos experimentales y los de la función
de la ley de enfriamiento de Newton anterior, junto a las diferencias absoluta y
porcentual, es la siguiente:
TEMPERATURA DEL JUGO
CALIENTE (°C) I
Tiempo
(min)
Datos
experimentales
Diferencia
absoluta
Diferencia
porcentual (%)
0 47.3 47.3 0.0 0.0
0.5 46.3 46.8 0.5 1.1
1 45.5 46.3 0.8 1.8
1.5 44.9 45.8 0.9 2.0
2 44.5 45.3 0.8 1.8
2.5 44 44.8 0.8 1.8
3 43.7 44.4 0.7 1.6
3.5 43.3 43.9 0.6 1.4
4 43 43.5 0.5 1.2
4.5 42.7 43.1 0.4 0.9

18
5 42.4 42.7 0.3 0.7
5.5 42.1 42.3 0.2 0.5
6 41.8 41.9 0.1 0.2
6.5 41.7 41.5 0.2 0.5
7 41.5 41.2 0.3 0.7
7.5 41.3 40.8 0.5 1.2
8 41.1 40.5 0.6 1.5
8.5 40.8 40.1 0.7 1.7
9 40.7 39.8 0.9 2.2
9.5 40.5 39.5 1.0 2.5
10 40.3 39.2 1.1 2.7
10.5 40.1 38.9 1.2 3.0
11 40 38.6 1.4 3.5
11.5 39.8 38.3 1.5 3.8
12 39.6 38.1 1.5 3.8
12.5 39.5 37.8 1.7 4.3
13 39.4 37.5 1.9 4.8
13.5 39.2 37.3 1.9 4.8
14 39.1 37.0 2.1 5.4
14.5 38.9 36.8 2.1 5.4
Promedio 0.9 2.2
Datos Experimentales Datos de la función
Media 41.8333333 41.3663598
Varianza 5.16988506 10.0964249
Observaciones 30 30
P(T<=t) dos colas 0.51554665
correspondiente a 58 grados de libertad de 2.00. Por lo tanto, podemos afirmar que la
diferencia entre los valores hallados en la experimentación con el jugo caliente y los
calculados a partir de la función exponencial que propuso Isaac Newton, NO ES
SIGNIFICATIVA. Sin embargo, se realizó la siguiente nube de puntos de los valores
experimentales con su línea de mejor ajuste exponencial, su correspondiente ecuación y
el coeficiente de correlación respectivo de la línea de tendencia:

19
El coeficiente de correlación es fuerte y alto, por lo que sí se pueden modelar estos
datos a una función exponencial con base e; aunque, el R2 del caso previo (jugo muy
caliente) era ligeramente mayor. En la tabla siguiente, se exhiben las diferencias absoluta
y porcentual entre los valores de esta ecuación de mejor ajuste y los experimentales:
TEMPERATURA DEL JUGO
CALIENTE (°C) II
Tiempo
(min)
Datos
experimentales
Diferencia
absoluta
Diferencia
porcentual (%)
0 47.3 45.5 1.8 3.8
0.5 46.3 45.2 1.1 2.4
1 45.5 45.0 0.5 1.1
1.5 44.9 44.7 0.2 0.4
2 44.5 44.4 0.1 0.2
2.5 44 44.2 0.2 0.5
3 43.7 43.9 0.2 0.5
3.5 43.3 43.6 0.3 0.7
4 43 43.4 0.4 0.9
4.5 42.7 43.1 0.4 0.9
5 42.4 42.9 0.5 1.2
5.5 42.1 42.6 0.5 1.2
6 41.8 42.4 0.6 1.4
6.5 41.7 42.1 0.4 1.0
7 41.5 41.9 0.4 1.0
7.5 41.3 41.6 0.3 0.7
8 41.1 41.4 0.3 0.7
8.5 40.8 41.1 0.3 0.7
9 40.7 40.9 0.2 0.5
9.5 40.5 40.6 0.1 0.2
10 40.3 40.4 0.1 0.2
10.5 40.1 40.1 0.0 0.0
11 40 39.9 0.1 0.3
y = 45.519e-0.012x
R² = 0.9505
0
10
20
30
40
50
0 2 4 6 8 10 12 14 16
Temperatura(°C)
Tiempo (min)
Experimentales)

20
11.5 39.8 39.7 0.1 0.3
12 39.6 39.4 0.2 0.5
12.5 39.5 39.2 0.3 0.8
13 39.4 38.9 0.5 1.3
13.5 39.2 38.7 0.5 1.3
14 39.1 38.5 0.6 1.5
14.5 38.9 38.2 0.7 1.8
Promedio 0.4 0.9
Estos últimos promedios de las diferencias absoluta y porcentual (0.4 y 0.9%)
resultan ser menores que sus similares entre los datos experimentales y los que se
obtienen a partir de la función de la ley de enfriamiento Newton (0.9 y 2.2%). A raíz de
ello, se puede afirmar que con la ecuación de mejor ajuste exponencial de la gráfica se
obtienen valores más cercanos a los experimentales que con la función determinada a
partir de lo propuesto por el físico-matemático inglés.
Ahora, es turno de realizar el mismo procedimiento con los datos del jugo frío.
La función de la ley de Newton del enfriamiento es:
𝑻(𝒕) = 𝟐𝟖. 𝟒 − 𝟏𝟖. 𝟖𝒆−𝟎.𝟎𝟓𝟔𝒕
La tabla comparativa entre los datos experimentales y los que arroja la función
determinada previamente con la ley de Newton, que incluye las diferencias absolutas y
porcentuales entre estos valores, está dada a continuación:
TEMPERATURA DEL JUGO DE
NARANJA FRÍO (°C) I
Tiempo
(min)
Datos
experimentales
Diferencia
absoluta
Diferencia
porcentual (%)
0 9.6 9.6 0.0 0.0
0.5 10.1 10.1 0.0 0.0
1 10.6 10.6 0.0 0.0
1.5 11 11.1 0.1 0.9
2 11.4 11.6 0.2 1.8
2.5 11.7 12.1 0.4 3.4
3 12 12.5 0.5 4.2
3.5 12.4 12.9 0.5 4.0
4 12.7 13.4 0.7 5.5
4.5 13.1 13.8 0.7 5.3
5 13.3 14.2 0.9 6.8
5.5 13.7 14.6 0.9 6.6
6 13.9 15.0 1.1 7.9
6.5 14 15.3 1.3 9.3
7 14.3 15.7 1.4 9.8
7.5 14.6 16.0 1.4 9.6
8 14.9 16.4 1.5 10.1
8.5 15.2 16.7 1.5 9.9

21
9 15.5 17.0 1.5 9.7
9.5 15.7 17.4 1.7 10.8
10 15.9 17.7 1.8 11.3
10.5 16.2 18.0 1.8 11.1
11 16.4 18.2 1.8 11.0
11.5 16.6 18.5 1.9 11.4
12 16.7 18.8 2.1 12.6
12.5 16.9 19.1 2.2 13.0
13 17.1 19.3 2.2 12.9
13.5 17.3 19.6 2.3 13.3
14 17.6 19.8 2.2 12.5
14.5 17.8 20.1 2.3 12.9
15 17.9 20.3 2.4 13.4
Promedio 1.3 8.1
Los resultados de la prueba t entre los valores comparados son:
Datos
Experimentales
Datos de la
función
Media 14.3903226 15.6564904
Varianza 5.99090323 10.3944092
Observaciones 31 31
P(T<=t) dos colas 0.08707201
correspondiente a 60 grados de libertad de 2.00. Por lo tanto, la diferencia entre los
valores experimentales y los hallados a partir de la función exponencial que propuso
Newton ES INSIGNIFICATIVA. No obstante, se realizó el siguiente diagrama de
dispersión con los valores experimentales en el que se incluyen la línea de mejor ajuste
logarítmico con su respectiva ecuación y su coeficiente de correlación correspondiente;
debido a que, la función logarítmica es la inversa de la exponencial.
y = 2.6024ln(x) + 9.8774
R² = 0.9105
0
5
10
15
20
0 2 4 6 8 10 12 14 16
Temperatura(°C)
Tiempo (min)
Experimentales)

22
El coeficiente de correlación es alto, por lo que sí se pueden modelar estos datos
a una función logarítmica neperiana. Pese a ello, es menester señalar que los dos R2 del
cuerpo liquido (jugo de naranja) que antecedían a este último son mayores (más fuertes).
En la tabla a continuación, se muestran las diferencias absoluta y porcentual entre los
datos que se obtienen empleando esta última ecuación de mejor ajuste exponencial y los
experimentales:
TEMPERATURA DEL JUGO DE
NARANJA FRÍO(°C) II
Tiempo
(min)
Datos
experimentales
Diferencia
absoluta
Diferencia
porcentual (%)
0 9.6 ∄ ∄ ∄
0.5 10.1 8.1 2.0 19.8
1 10.6 9.9 0.7 6.6
1.5 11 10.9 0.1 0.9
2 11.4 11.7 0.3 2.6
2.5 11.7 12.3 0.6 5.1
3 12 12.7 0.7 5.8
3.5 12.4 13.1 0.7 5.6
4 12.7 13.5 0.8 6.3
4.5 13.1 13.8 0.7 5.3
5 13.3 14.1 0.8 6.0
5.5 13.7 14.3 0.6 4.4
6 13.9 14.5 0.6 4.3
6.5 14 14.7 0.7 5.0
7 14.3 14.9 0.6 4.2
7.5 14.6 15.1 0.5 3.4
8 14.9 15.3 0.4 2.7
8.5 15.2 15.4 0.2 1.3
9 15.5 15.6 0.1 0.6
9.5 15.7 15.7 0.0 0.0
10 15.9 15.9 0.0 0.0
10.5 16.2 16.0 0.2 1.2
11 16.4 16.1 0.3 1.8
11.5 16.6 16.2 0.4 2.4
12 16.7 16.3 0.4 2.4
12.5 16.9 16.5 0.4 2.4
13 17.1 16.6 0.5 2.9
13.5 17.3 16.7 0.6 3.5
14 17.6 16.7 0.9 5.1
14.5 17.8 16.8 1.0 5.6
15 17.9 16.9 1.0 5.6
Promedio 0.6 4.1
Estos promedios de las diferencias absoluta y porcentual (0.6 y 4.1%) resultan ser
menores que sus semejantes entre los datos experimentales y los que se obtienen usando
la función exponencial del matemático-físico inglés (1.3 y 8.1%). Por lo tanto, se puede

23
afirmar que, empleando la ecuación de mejor ajuste de la gráfica, se obtienen valores
más cercanos a los experimentales que con la función determinada a partir de lo
propuesto por Newton.
CONCLUSIONES
Tras terminar el análisis completo de los datos, podemos afirmar que se cumplió
con el objetivo general de la exploración mencionado en la introducción. Esto se debe a
la inferencia de las siguientes conclusiones:
En primer lugar, la diferencia entre los valores obtenidos experimentalmente y
mediante la función de la ley de Newton del enfriamiento NO ES SIGNIFICATIVA. La
justificación de esta afirmación se basa en la prueba estadística realizada entre ambas
muestras: t-student al 95% de confianza. El estadístico t obtenido en los 6 casos es menor
que su valor crítico para 58 y 60 grados de libertad (que es de aproximadamente 2.0).
Asimismo, la probabilidad encontrada [P(T<=t) dos colas] en todos los casos es mayor a
0.05; lo que reafirma que la diferencia es insignifcativa.
En segundo lugar, el enfriamiento de los cuerpos sí se puede modelar con una
función exponencial de base e. Es cierto que los valores obtenidos experimentalmente y
mediante la función de la ley de enfriamiento de Newton no son iguales. Sin embargo,
los valores experimentales, al ubicarlos en un diagrama de dispersión y calcular el
coeficiente de correlación exponencial correspondiente (R2), éstos son altos (mayores a
0.9). Además, al determinar la ecuación que se ajusta a esa nubes de punto, ésta emplea
el número e como base. Lo que es cierto es que, en el caso de esperar que un cuerpo frío
se caliente, la función modelada es una logarítmica, una función especial que guarda
relación con la exponencial al ser su función inversa (f-1).
En tercer lugar, la correcta aplicación de la ley de enfriamiento de Newton se basa
en el pronóstico de la variación de la temperatura de un cuerpo en un intervalo de
tiempo, cuando no se tiene al alcance una herramienta que permita calcular una línea de
tendencia exponencial con su respectiva ecuación. Esto se afirma por lo mencionado en
la primera conclusión y la comparación de las medias de las diferencias absolutas y
porcentuales entre: los valores experimentales versus los valores obtenidos a partir de lo
propuesto por Newton, y, los valores experimentales versus los valores obtenidos
usando la ecuación de la línea de tendencia exponencial. Sólo en 2 casos de 6, las
diferencias señalaban que los valores obtenidos empleando la función de la ley de
enfriamiento de Newton se acercaban más a los experimentales. Por ende, es altamente
aconsejable usar utilitarios tecnológicos como hojas de cálculo o softwares que permitan
modelar funciones en reemplazo de la ecuación de Newton.
En cuanto al proceso que se siguió, éste ha sido riguroso a la metodología
científica. Luego de observar que existe una función propuesta por Newton,
cuestionarme si el enfriamiento se modela a un decrecimiento exponencial con base e y,
dar una respuesta tentativa a dicha interrogante (hipótesis); se prosiguió con la parte
experimental que tuvo la limitación de que en 2 casos (arena muy caliente y jugo de
naranja caliente), en el registro de datos brutos, se midió una temperatura menos (29 en

24
vez de 30). Esto hizo que se pierda la uniformidad en la medición de datos. De haber
tenido los treinta en ambos casos, hubiera aumentado la exactitud al momento de hallar
el valor de la constante k de la función exponencial de Newton. Obviando ello, se
continuó con un análisis de datos basado en el objetivo de la investigación (exploración):
pruebas estadísticas t con un nivel de confianza del 95% para demostrar que la diferencia
entre los valores experimentales y los encontrados mediante la función de la ley de
Newton del enfriamiento no es significativa; diagramas de dispersión de los datos brutos
con sus respectivas líneas de mejor ajuste exponencial o tendencia, sus respectivos
coeficientes de correlación (R2) y sus ecuaciones correspondientes para asegurar que el
enfriamiento se puede modelar como una función exponencial con base e; y, cálculos de
diferencias absolutas y porcentuales entre los valores experimentales con los
determinados mediante la ley de enfriamiento y mediante la ecuación de mejor ajuste
para comprobar qué modelación es más precisa respecto a los datos hallados a partir de
la experimentación y, de esta forma, concluir cuál sería la correcta aplicación de la ley
propuesta por el matemático-físico inglés.
En mi opinión, la trascendencia de esta exploración radica en que no sólo se
puede aplicar la ley de enfriamiento de Newton en la vida cotidiana, tal como lo describí
en la primera página del trabajo; sino también, en los campos de ingeniería metalúrgica
y siderúrgica y de química (ámbito que involucra mi futuro profesional). En el primer
caso, se podría aproximar el tiempo de enfriamiento de metales fundidos o calentados;
y, en el segundo, se pueden estimar los tiempos de reacción hasta lograr el equilibrio
gracias al enfriamiento de la misma. Es más, en estos casos, al contar con instrumentos
más avanzados y sofisticados y un ambiente de trabajo en que influirán menos factores
externos (luz solar, viento, distracción del ojo humano al tomar los datos, entre otros)
para la determinación de la constante k (por ejemplo), las predicciones del tiempo que
tardará un cuerpo en enfriarse serán más exactas.
Para finalizar, la presente exploración matemática me ha permitido incrementar
sustancialmente mi admiración por el matemático, físico y filósofo Sr. Isaac Newton;
debido a que, me parece increíble que en siglos anteriores, sin contar con los avances
tecnológicos que tenemos hoy en día, haya propuesto una ley que se puede aplicar sin
ningún problema para predecir el tiempo que tarda el enfriamiento o calentamiento de
un cuerpo.

25
REFERENCIAS:
Hewitt, P. (2007). Física conceptual (10ª ed.). México, D. F.: Pearson Educación
Kazmier, L. J. (2006). Estadística aplicada a administración y economía (4ª ed.). México, D.F.:
McGraw Hill
Ley de Enfriamiento de Newton (2014). Recuperado de http://ciencia-basica-
experimental.net/newton.htm#
PRÁCTICA 8: Ley de Enfriamiento de las sustancias (s.f.) [versión Adobe Reader]
Recuperado de http://www.fisica.uson.mx/manuales/fis-gen/fisgen-
lab08.pdf
Sullivan, M. (2006). Álgebra y Trigonometría (7ª ed.). México D. F.: Pearson Educación

Ley de Enfriamiento de Newton

Recommandé

Recommandé

Contenu connexe

Tendances

Tendances (20)

En vedette

En vedette (17)

Similaire à Ley de Enfriamiento de Newton

Similaire à Ley de Enfriamiento de Newton (20)

Dernier

Dernier (20)

Ley de Enfriamiento de Newton