Kth
- 2. 問題概要
● 長さNの文字列で、suffix arrayが与えられたもの
と等しくなるようなもののうち、辞書順でK番目にく
るものを求める問題。
● N≦10^5
● K≦10^18
● アルファベットサイズ=:A≦26
- 3. 観察：数え上げ
● まず、与えられたSuffix Arrayが出てくるような文
字列がいくつあるか数え上げてみよう。
● inv[sa[i]] = iとする。
● S[sa[i]] ≦ S[sa[i+1]]が必要。
● 上の式で、inv[sa[i]+1] > inv[sa[i+1]+1]なら等
号をつけてはならない。
● 理由：文字列x, yについてx[1]=y[1]なら
x≦y ⇔ x[2..]≦y[2..]
- 4. 観察：数え上げ
● 具体的に、sa[] = {2,5,1,3,4}とする。
● このとき、S[2]≦S[5]≦S[1]≦S[3]≦S[4]が必要。
● S[2]=S[5]のとき、S[3..]<S[6..]=””である必要が
あるが、これは成り立たない。なのでS[2]<S[5]。
● S[5]=S[1]のとき、S[6..]<S[2..]である必要がある
が、これは正しい。なのでS[5]≦S[1]。
● 同様にやって、S[2]<S[5]≦S[1]≦S[3]<S[4]。
● これは必要十分。
- 5. 観察：数え上げ
● 結局、以下のような場合の数に落ちる。
● 白い玉がN個と黒い玉A-1個を一列に並べる。
● ただし、inv[sa[i]+1]>inv[sa[i+1]+1]ならi番目の
白玉とi+1番目の白玉の間に少なくとも1個の黒
い玉を置く必要がある。
● このような白玉、黒玉の列と文字列が対応してる。
S[sa[i]]=
{'a' + (i番目の白玉の左側にある黒玉の個数)}
- 6. 観察：数え上げ
● 「必ず黒玉をおかなきゃならない位置」を考えるの
は面倒なので、そのような箇所がu個あるとき、そ
のu個を最初から取り除いて考える。
● つまり、白玉N個と黒玉A-1-u個を自由に並べて、
その後黒玉u個を該当箇所に追加すると考える。
● これだと、白玉N個と残りの黒玉A-1-u個を制約
なく一列に並べる場合の数になり、
combination(N+A-1-u, A-1-u)
が答えとなる。
- 7. 解法
● 「辞書順最小を求めよ」の典型パターンと同じよう
に解く。
● 先頭から順に、「この文字に確定したら何通りの
文字列が作れるか」を計算して1文字ずつ進めれ
ばよい。
● さっきと同じように、「黒玉をおかなきゃならない位
置」は最後に考えるようにすると楽。
- 8. 解法
● i文字目を固定するとき、残りの文字の決め方が何
通りあるかを効率的に計算したい。
● A-1-u=10で、4文字目までは確定している場合。
i 0 1 2 3 4 5 6 7 8
sa[i] - 4 2 5 6 1 3 7 -
黒玉の累積値 0 2 2 未 未 7 10 未 10
● 上の場合は、区間[(2,5),(6,8)]を持っておく。それ
ぞれの区間は互いに干渉しない。
- 9. 解答
● 「両端の累積値が固定された区間」同士は互いに
独立に考えてよい。
● 各区間ごとに、「白玉と黒玉を一列に並べる場合
の数」を計算しておいて、その区間の列を持ってお
く。
● i文字目を固定したときの場合の数は、新たに区
間のひとつを分割してそれぞれの場合の数の積
が何通りになるか計算すればよい。
- 10. 高速化
● これを愚直にやると、区間の数がO(N)個になりう
るので全体でO(N^2)となりうまくいかない。
● しかし、自由度のある区間は高々A個しかない。
● なので、自由度の存在しない区間については保持
しないようにする。
● こうすることで、O(N*A)となり間に合うようになる。
- 11. 注意点
● 全体として、積をとる場面でオーバーフローがおき
うるので、以下のような関数を用意しておくと楽。
long mul(long x, long y) {
return (double)x*y>INF?INF:x*y;
}
● 二項係数の計算は、パスカルの三角形を使えば
前処理で必要な分を全部計算しておける。
