Уравнения с параметром. Часть 2.

1. Задачи с параметрами

2. Квадратные уравнения с
параметром

3. Пример 1
𝑥3
+ 𝑦3
𝑥2
+ 𝑦2
= 2𝑏5
𝑥 + 𝑦 = 𝑏

4. 𝑥 + 𝑦 2
= 𝑏2
𝑥2
+ 𝑦2
= 𝑏2
− 2𝑥𝑦
𝑥𝑦 = 𝑡
𝑥2
+ 𝑦2
= 𝑏2
− 2𝑡

5. 𝑥3
+ 𝑦3
= 𝑥 + 𝑦 𝑥2
− 𝑥𝑦 + 𝑦2
𝑥3
+ 𝑦3
= 𝑏(𝑏2
− 2𝑡 − 𝑡)

6. 𝑏 = 0
𝑥 + 𝑦 = 𝑏
𝑥 = −𝑦

7. 𝑏 ≠ 0
𝑏 𝑏2
− 3𝑡 𝑏2
− 2𝑡 = 2𝑏5
𝑏2
− 3𝑡 𝑏2
− 2𝑡 = 2𝑏4

8. 𝑏4
− 2𝑡𝑏2
− 3𝑡𝑏2
+ 6𝑡2
= 2𝑏4
6𝑡2
− 5𝑡𝑏2
− 𝑏4
= 0
𝑡1 = 𝑏2
𝑡2 = −
𝑏2
6

9. 𝑥𝑦 = 𝑏2
𝑥 + 𝑦 = 𝑏
𝑥𝑦 = −
𝑏2
2
𝑥 + 𝑦 = 𝑏

10. Пример 2
𝑏𝑥 2𝑥 − 𝑦 + 𝑦 − 1 2𝑥 − 𝑦 = 𝑏𝑥 + 𝑦 − 1
4𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝑎𝑥𝑦 − 1 = 0

11. 𝑏𝑥 + 𝑦 − 1 2𝑥 − 𝑦 − 1 = 0
4𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝑎𝑥𝑦 − 1 = 0
𝑏𝑥 + 𝑦 − 1 = 0
4𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝑎𝑥𝑦 − 1 = 0
2𝑥 − 𝑦 − 1 = 0
4𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝑎𝑥𝑦 − 1 = 0

12. 𝑦 = 1 − 𝑏𝑥
(4 + 𝑏2
− 𝑎𝑏)𝑥2
− 2𝑏 − 𝑎 𝑥 = 0
𝑦 = 1 − 2𝑥
(8 + 2𝑎)𝑥2
− 4 + 𝑎 𝑥 = 0

13. 4 + 𝑏2
− 𝑎𝑏 = 0
2𝑏 − 𝑎 = 0
𝑎 = 4
𝑏 = 2
или
𝑎 = −4
𝑏 = 2

14. 8 + 2𝑎 = 0
4 + 𝑎 = 0
𝑎 = −4
−∞ < 𝑏 < ∞

15. Пример 3
𝑥𝑦 40 + 𝑥𝑦 = (150 − 𝑎)(𝑎 − 90)
𝑎 8𝑢2
+ 18𝑣2
− 𝑎 = (4𝑢2
− 9𝑣2
)2

16. 𝑎2
− 2 4𝑢2
+ 9𝑣2
𝑎+ 4𝑢2
− 9𝑣2 2
= 0
𝐷 = 576𝑢2
𝑣2
𝑎 = 4𝑢2
+ 9𝑣2
± 12𝑢𝑣

17. 𝑎 = (2𝑢2
+ 3𝑣2
)2
90 < 𝑎 < 150
𝑎 = (2𝑢2
− 3𝑣2
)2
𝑎 = 100; 121; 144

18. Пример 4
𝑥 − 𝑏𝑦 + 𝑎𝑧2
= 0
2𝑏𝑥 + 𝑏 − 6 𝑦 − 8𝑧 = 8

19. 𝑥 = 𝑏𝑦 − 𝑎𝑧2
2𝑏(𝑏𝑦 − 𝑎𝑧2
) + 𝑏 − 6 𝑦 − 8𝑧 = 8
𝑥 = 𝑏𝑦 − 𝑎𝑧2
(2𝑏2
+ 𝑏 − 6)𝑦 − 8𝑧 = 8

20. 2𝑏2
+ 𝑏 − 6 ≠ 0
8𝑏
2𝑏2 + 𝑏 − 6
;
8𝑏
2𝑏2 + 𝑏 − 6
; 0

21. 2𝑏2
+ 𝑏 − 6 = 0
𝑏 =
3
2
𝑏 = −2

22. 𝑏 =
3
2
𝑥 − 3/2𝑦 + 𝑎𝑧2
= 0
3𝑥 + 9/2𝑦 − 8𝑧 = 8

23. 3𝑎𝑧2
+ 8𝑧 + 8 = 0
𝐷 = 16 − 24𝑎 ≥ 0
𝑎 ≤ 2/3

24. 𝑏 = −2
𝑥 + 2𝑦 + 𝑎𝑧2
= 0
−4𝑥 − 8𝑦 − 8𝑧 = 8

25. 4𝑎𝑧2
− 8𝑧 − 8 = 0
𝑎𝑧2
− 2𝑧 − 2 = 0
𝐷 = 1 + 2𝑎 ≥ 0
𝑎 ≥ −0,5
−1/2 ≤ 𝑎 ≤ 2/3

26. Задание для самостоятельного решения
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 𝑥2
+ 4𝑦2
𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 𝑎
Ответ: 𝑎 = −17/48

27. Пример 5
8𝑥 + 𝑎2
+ 𝑎𝑏 + 𝑏2
𝑦 = 4
(𝑎 − 𝑏)𝑥 + 26𝑦 = 2

28. 8
𝑎 − 𝑏
=
𝑎2
+ 𝑎𝑏 + 𝑏2
2𝑏
=
4
2

29. 𝑎 − 𝑏 = 4
𝑎2
+ 𝑎𝑏 + 𝑏2
= 52
𝑎 = 6
𝑏 = 2
𝑎 = −2
𝑏 = −6

30. Пример 6
𝑥 𝑥 + 2𝑦 − 4 + 4𝑚2
= 8 + 4𝑦 − 𝑦2
𝑦2
− 2𝑦 + 2 = 4𝑥 𝑦 − 𝑥 − 1 + 2(𝑚2
+ 𝑚)

31. (𝑥 + 𝑦)2
−4 𝑥 + 𝑦 + 4𝑚2
− 8 = 0
(2𝑥 − 𝑦)2
+ 2 2𝑥 − 𝑦 − 2𝑚2
− 2𝑚 + 2 = 0

32. 𝐷1 = 4 − 4𝑚2
+ 8 ≥ 0
𝐷2 = 1 − 2 + 2𝑚2
+ 2𝑚 ≥ 0
𝑚 ∈ 𝑍

33. 𝑚2
≤ 3
2𝑚2
+ 2𝑚 − 1 ≥ 0
𝑚 ∈ 𝑍
⇒ 𝑚 = 1

34. (𝑥 + 𝑦)2
−4 𝑥 + 𝑦 − 4 = 0
(2𝑥 − 𝑦)2
−2 2𝑥 − 𝑦 − 2 = 0
𝑥 + 𝑦 = 2 ± 2 2
2𝑥 − 𝑦 = −1 ± 3

35. 𝑥 =
1 + 2 2 + 3
3
𝑦 =
5 + 4 2 − 3
3

36. 𝑥 =
1 + 2 2 − 3
3
𝑦 =
5 + 4 2 − 3
3

37. 𝑥 =
1 − 2 2 − 3
3
𝑦 =
5 − 4 2 + 3
3

38. 𝑥 =
1 + 2 2 − 3
3
𝑦 =
5 + 4 2 − 3
3

39. Пример 7
3𝑦 + 2 + 𝑥𝑦 = 0
𝑥 1 − 𝑎 + 𝑦 2𝑎 − 6 + 𝑎 + 1 = 0

40. 3𝑦 + 2 + 𝑥𝑦 = 0
𝑥 1 − 𝑎 + 𝑦 2𝑎 − 6 + 𝑎 + 1 = 0

41. 𝑦 = −
2
𝑥 + 3
𝑥 1 − 𝑎 + 2 𝑎 − 3 𝑦 + 𝑎 + 1 = 0

42. 𝑥 1 − 𝑎 + 2 𝑎 − 3 −
2
𝑥 + 3
+ 𝑎 + 1 = 0
𝑥3
+ 3𝑥 − 𝑎𝑥2
− 3𝑎𝑥 − 4𝑎 + 12 + 𝑎𝑥 + 3𝑎 + 𝑥 + 3 = 0
1 − 𝑎 𝑥2
+ 2 2 − 𝑎 𝑥 + 15 − 𝑎 = 0

43. 𝐷 = (2 − 𝑎)2
− 1 − 𝑎 15 − 𝑎 = 12𝑎 − 11 = 0
𝑎 = 11/12
𝑎 =
11
12
; 1; 3

44. Пример 8
𝑎𝑥 + 3𝑦 = 6𝑎 − 4
𝑥 + 𝑦 = 2𝑎
𝑥2
− 2𝑦4
− 6𝑥 + 8 = 0
𝑥2
+𝑦2
−2 𝑎 + 4 + 2(𝑎2
+ 𝑎 + 2) = 0

45. 𝑦 = 2𝑎 −
4
3
−
𝑎
3
𝑥
3𝑥 + 6𝑎 − 4 − 𝑎𝑥 = 6𝑎
𝑦 = 2𝑎 −
4
3
−
𝑎
3
𝑥
𝑥 =
4
3 − 𝑎

46. 𝑥2
− 2𝑦4
− 6𝑥 + 8 = 0
𝑥2
+𝑦2
−10𝑥 + 28 = 0
𝑥2
+𝑦2
−10𝑥 + 28 = 𝑥 − 5 2
+ 𝑦2
+ 3 ≥ 3

47. 𝑎𝑥 = 6𝑎 − 4
𝑥 = 2𝑎
𝑥 = 2, 𝑎 = 1
𝑥 = 4, 𝑎 = 2

48. 𝑥2
− 6𝑥 + 8 = 0
𝑥2
− (2𝑎 + 4)𝑥 + 2(𝑎2
+ 𝑎 + 2) = 0
𝑥 = 2, 𝑎 = 0
𝑥 = 2, 𝑎 = 1
либо
𝑥 = 4, 𝑎 = 1
𝑥 = 4, 𝑎 = 2

49. 𝑥2
+ 𝑦2
− 8𝑥 + 16 = 0
(𝑥 − 4)2
+𝑦2
= 0