Teorema fundamental del Cálculo Integral, segunda parte

1. La relación entre la Derivada y la
Integral
La Integral como “antiderivada”
Francisco Martínez
Puebla, MX

2. Qué es la derivada
• Podemos definir la derivada como la
pendiente de la recta TANGENTE a la gráfica
de f(x) en un punto de su dominio (f debe ser
continua).
• Pero antes de trabajar con la tangente,
comenzaremos con una recta SECANTE, cuya
pendiente se calcula con la expresión:
…tomemos como ejemplo la gráfica de f(x)=0.5x2:
x
xfxf
xx
yy
x
y
m
)()( 12
12
12

3. f(x)=0.5x2
Elegimos como primer punto:
x1=1, y1=f(x1)=0.5
y como segundo punto:
x2=3 , y2=f(x2)=4.5
2
13
5.05.4)()( 12
m
x
xfxf
m
Estos dos puntos se unen con
una recta SECANTE, cuya
pendiente es:
Veamos lo que sucede si
acercamos los puntos…

4. f(x)=0.5x2
El primer punto sigue siendo:
x1=1, y1=f(x1)=0.5
Y ahora el segundo punto es:
x2=2, y2=f(x2)=2
5.1
1
5.02)()( 12
m
x
xfxf
m
Acerquemos los puntos aún
más…
Nuevamente se unen con una
SECANTE, cuya pendiente es:

5. f(x)=0.5x2
Para ver mejor los puntos
x1=1, y1=f(x1)=0.5
x2=1.5 , y2=f(x2)=1.125
necesitamos acercarnos un
poco a la gráfica…
25.1
5.
5.0125.1)()( 12
m
x
xfxf
m
Nuevamente se unen con una
SECANTE, cuya pendiente es:
Los puntos se acercan cada
vez más…

6. f(x)=0.5x2
Cuando la distancia horizontal
entre los puntos es de 0.1:
x1=1, y1=f(x1)=0.5
el segundo punto es:
x2=1.1 , y2=f(x2)=0.605
05.1
1.0
5.0605.0)()( 12
m
x
xfxf
m
Calculamos igual la pendiente
de la SECANTE:
Conforme acerquemos los
puntos más y más, se observa
que la pendiente entre ellos
se acerca a cierto valor…

7. f(x)=0.5x2
Si los puntos se acercan
mucho entre sí, decimos que
la distancia entre ellos es
mínima; es decir, “tiende a
cero”….
1
)()(
lim 12
0
m
x
xfxf
m
x
Para calcular la pendiente de
la recta que pasa por estos
puntos utilizamos el concepto
de límite:
…y ésta es la pendiente de la
recta TANGENTE en (1, 0.5)

8. f(x)=0.5x2
En general, la derivada de
una función se define:
x
xfxxf
xf
x
)()(
lim)('
0
(si el límite existe)
La derivada de f(x)=0.5x2 es:
x
xxx
xf
x
22
0
5.0)(5.0
lim)('
Nota: aunque este es el procedimiento completo, en
la práctica se usan reglas de derivación
x
xxxxx
x
222
0
5.05.05.0
lim
x
xxx
xf
x
2
0
5.0
lim)('
x
xxx
x
)5.0(
lim
0
)(lim
0
xx
x
x

9. Origen de la integral
• Mientras la derivada surge de la necesidad de
estimar el cambio “instantáneo”, la integral
surge de la necesidad de calcular áreas.
• Calcular geométricamente el área bajo la
gráfica de una función (continua y no
negativa) se dificulta por las curvas:

10. Origen de la integral
• Para hallar el área de una región complicada
podemos dividirla en regiones más pequeñas.
• Dividimos el intervalo [a,b] en n-intervalos, y
calculamos n-áreas individuales. Al sumarlas
encontraremos el área total:
nitotal
AAAAAA ......321
n
i
itotal
AA
1

11. Origen de la integral
• Como cada porción tiene su propia curva, en
vez de calcular sus áreas, las delimitamos
entre un valor mínimo y un valor máximo:
< <

12. Origen de la integral
• Y esta delimitación se conserva en los totales:
< <
Es decir, aunque no sabemos cuál es el valor del
área, podemos delimitarla entre dos valores:
n
i
ii
n
i
i
n
i
ii
xMAxm
111

13. Origen de la integral
• Una aproximación interesante es la suma de
Riemann, donde se elige un punto arbitrario
de cada intervalo, y también cumple:
< <

14. Origen de la integral
• Si lo aplicamos a cada intervalo:
< <
Es decir, esta suma de Riemann se acerca aún más
al valor del área:
n
i
ii
n
i
ii
n
i
ii
xMxxfxm
111
*)(

15. Origen de la integral
• Finalmente, la SUMA de todas las áreas Ai* se
acercará lo suficiente al área real bajo la
gráfica si dividimos el intervalo [a,b] en una
cantidad infinita de sub-intervalos:
n
i
ii
b
a
xxf
n
dxxf
1
*)(
lim
)(
• A esta área la llamamos “integral definida”, y la
forma de S alargada hace referencia a la suma
de todas las áreas de a a b, también llamados
limite inferior y superior de integración

16. Propiedad aditiva de la integral
• Podemos dividir la región total en 2 que se
calculen individualmente:
b
a
dxxf )(
b
c
c
a
dxxfdxxf )()(
b
c
c
a
b
a
dxxfdxxfdxxf )()()(

17. La integral como antiderivada
• Si f está definida en el intervalo [a,b], es
posible calcular el área desde a hasta un valor
x en [a,b]. El área bajo la gráfica es una
función -que llamaremos F(x)- que depende
del lugar donde ubiquemos a x:
F(x)
x
a
dttfxF )()(
Si cambia la posición de x, también cambiará F(x)

18. La integral como antiderivada
• Para demostrar que F’(x)=f(x), o que F(x) es
una antiderivada de f(x), calculamos el área
limitada por x a la izquierda y por x+h a la
derecha. Aplicamos la propiedad aditiva de la
integral para definir el área desde x hasta x+h:
x
a
hx
a
hx
x
dttfdttfdttfA )()()(
)()()( xFhxFdttfA
hx
x

19. La integral como antiderivada
• A pesar de su forma, también se encontrará
entre un área mínima y un área máxima:
< <
Mhdttfmh
hx
x
)(
A

20. La integral como antiderivada
…sustituimos la integral por su equivalente en F:
Mhdttfmh
hx
x
)(
MhxFhxFmh )()(
… y dividimos entre h:
M
h
xFhxF
m
)()(
Igual que en la derivada… ¿qué sucede si h se
vuelve cada vez más pequeña?
Area del
rectángulo
“chico”
Area del
rectángulo
“grande”
No es coincidencia
que se parezca a la
fórmula de la
derivada

21. La integral como antiderivada
• Conforme reducimos h (la base de la figura) el
máximo (M) y el mínimo (m) se acercan cada
vez más a f(x):

22. La integral como antiderivada
• Cuando h se vuelve infinitamente pequeño el
máximo (M) y el mínimo (m) se acercan cada
vez más al valor de f(x):
M
h
xFhxF
m
)()(
)(
0
lim
xfm
h
)(
0
lim
xfM
h
)(
)()(
0
lim
xf
h
xFhxF
h
…y entonces:

23. La integral como antiderivada
• Analicemos esta última expresión:
)(
)()(
0
lim
)(' xf
h
xFhxF
h
xF
Se puede observar que la derivada de F(x) es
f(x). Recordemos que F(x) es la integral de f(x):
F(x)
x
a
dttfxF )()(
osea, la integral de
f(x) es, además, su
antiderivada.