Este documento describe la distribución tetraédrica de los coeficientes de un tetranomio (x1 + x2 + x3 + x4) elevado a la potencia m. Explica que estos coeficientes, llamados coeficientes tetranomiales, se distribuyen en uno o más tetraedros regulares de caras y base triangular. Presenta gráficos de esta distribución para valores de m de 1 a 8, mostrando cómo los coeficientes se agrupan en tetraedros principales y secundarios de acuerdo con el número de veces que aparecen.

1. Distribución tetraédrica de
coeficientes tetranomiales
Enrique R. Acosta R. 2016

2. Distribución tetraédrica de los coeficientes de un tetranomio elevado a la m :
(𝒙 𝟏 + 𝒙 𝟐 + 𝒙 𝟑 + 𝒙 𝟒) 𝒎
Como hemos visto, en el estudio del “Prisma Combinatorio”, cuando elevamos un binomio a la
potencia m : (𝒙 𝟏 + 𝒙 𝟐) 𝒎
, sus coeficientes (números binomiales, o combinaciones sencillas de m
números naturales tomados n a n ,con 0≤ n ≤m ), se distribuyen en líneas o filas (una dimensión),
todas paralelas y equidistantes entre sí, en el plano O𝑿+
𝒀+
, que en conjunto determinan el plano
que las contiene (∆ 𝟎),o triángulo de Pascal.
Igualmente, cuando consideramos la distribución de los coeficientes correspondientes a un trinomio
elevado a la m : (𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3) 𝑚
,que hemos denominado coeficientes trinomiales, esta se puede
concebir como el resultado de multiplicar escalarmente los coeficientes lineales de ∆ 𝟎 (hasta la fila
m), por los propios valores de la fila m, dando como resultado una distribución plana (dos
dimensiones), que agrupa todos los coeficientes trinomiales así obtenidos, en un mismo plano
(∆ 𝑇),con todas las características y propiedades ya estudiadas.
Estos resultados, obtenidos previamente, nos permite por analogía, considerar que los coeficientes
resultantes de elevar un tetranomio a la m : (𝒙 𝟏 + 𝒙 𝟐 + 𝒙 𝟑 + 𝒙 𝟒) 𝒎
, o coeficientes tetranomiales,
pueden concebirse como distribuidos en un volumen (o varios), generado como el producto de un
plano multiplicado escalarmente por una línea, y que en este caso deberá corresponder a un
tetraedro o pirámide regular de caras y base triangular equiláteras.
A continuación, presentamos los resultados de esta supuesta distribución, para los casos de m=1
hasta m=8. Cada tetraedro o grupo de tetraedros, se presentan en forma desplegada, lo que facilita
su representación gráfica de manera sencilla y expedita.
En cada cara desplegada del tetraedro principal, la distribución de coeficientes tetranomiales ,
coincide con la distribución de los coeficientes trinomiales ∆ 𝑻 para el mismo valor de m, mientras
que la distribución de los coeficientes tetranomiales no contemplados en ∆ 𝑻, se han ubicado en los
vértices y aristas de un tetraedro adicional, o secundario. Esta distribución en cada caso de m,
resulta congruente con el número de veces en que aparecen dichos coeficientes en el desarrollo del
tetranomio elevado a la m. Para los casos en que m es par y múltiplo de cuatro, aparece un único
valor adicional, o tetraedro singular.
Tetraedro o Pirámide regular Tetraedro desplegado
(cuatro triángulos equiláteros)

3. GRAFICOS DE DISTRIBUCION TETRAEDRICA DE LOS COEFICIENTES DE UN TETRANOMIO
ELEVADO A LA m DESDE m=1 HASTA m=8
(𝒙 𝟏 + 𝒙 𝟐 + 𝒙 𝟑 + 𝒙 𝟒) 𝒎
m Coef. N⁰V. 1
1 1 4
∑= 4 1 1
1 1 1
1
m Coef. N⁰V.
2 1 4 2 2
2 6
∑= 10 1 2 1
2 2 2 2
1 2 1 2 1
1
m Cof. N⁰V.
3 1 4 3 3
3 12
6 4 3 6 3
∑= 20
1 3 3 1
3 3 6 3 3
3 6 3 3 6 3
1 3 3 1 3 3 1
NOTA: El Número de veces (N⁰V.) , se refiere siempre en cada caso de m, al N⁰ de coeficientes
que corresponden al tetraedro reconstruido (sin desplegar)

4. m Coef. N⁰V. 1
4 1 4
4 12 4 4
6 6
12 12 6 12 6
24 1
∑= 35 4 12 12 4
Singularidad
1 4 6 4 1
(24)
4 4 12 12 4 4
.
6 12 6 12 6 12 6
4 12 12 4 4 12 12 4
1 4 6 4 1 4 6 4 1
m Coef. N⁰V. 1 * Tetraedro secundario
5 1 4 60 60 60
5 12 5 5
10 12 60 60
20 12 10 20 10
30 12 60
*60 4 10 30 30 10
∑= 56
5 20 30 20 5
1 5 10 10 5 1
5 5 20 30 20 5 5
10 20 10 30 30 10 20 10
10 30 30 10 20 10 30 30 10
5 20 30 20 5 5 20 30 20 5
1 5 10 10 5 1 5 10 10 5 1

5. *Tetraedro Secundario
m Coef. N⁰V. 1
6 1 4
6 12 6 6
15 12
20 6 15 30 15
30 12
60 24 20 60 60 20
90 4
*120 4 15 60 90 60 15
*180 6
∑= 84 6 30 60 60 30 6
1 6 15 20 15 6 1
6 6 30 60 60 30 6 6
15 30 15 60 90 60 15 30 15
20 60 60 20 60 60 20 60 60 20
15 60 90 60 15 30 15 60 90 60 15
6 30 60 60 30 6 6 30 60 60 30 6
1 6 15 20 15 6 1 6 15 20 15 6 1
120 180 120 180 120
180 180 180 180
120 180 120
180 180
120

6. *Tetraedro Secundario
*Se puede notar que para r=4 y m=7, el coeficiente 210 proviene de dos casos separados(ver tabla I ),que se generan a partir de dos series
Diferentes (ver Tabla II ),una produce 12 coeficientes del tetraedro principal y la otra los 4 restantes del secundario
1
m C0ef. N⁰V 210 420 420 210 420 420 210
7 1 4 7 7
7 12 420 630 420 420 630 420
21 12 21 42 21
35 12 420 420 630 420 420
42 12 35 105 105 35
105 24 210 420 420 210
140 12 35 140 210 140 35
*210 12+*4 420 630 420
*420 12 21 105 210 210 105 21
*630 4 420 420
∑= 120 7 42 105 140 105 42 7
210
1 7 21 35 35 21 7 1
7 7 42 105 140 105 42 7 7
21 42 21 105 210 210 105 21 42 21
35 105 105 35 140 210 140 35 105 105 35
35 140 210 140 35 105 105 35 140 210 140 35
21 105 210 210 105 21 42 21 105 210 210 105 21
7 42 105 140 105 42 7 7 42 105 140 105 42 7
1 7 21 35 35 21 7 1 7 21 35 35 21 7 1

7. La Singularidad aparece cuando el N⁰ de veces que se repite el último coeficiente correspondiente a r=4, para un determinado valor de m, coincide con el
primer término de la serie diagonal 𝑺 𝟒, que siempre es igual a la unidad. Esto ocurre cuando m es múltiplo de 4.(Ver Tablas I y II )
m Coef. N⁰V 1
8 1 4
8 12 8 8
28 12
56 24 28 56 28
70 6
168 24 56 168 168 56
280 24
*336 4 70 280 420 280 70
420 12
560 12 56 280 560 560 280 56
*840 12
*1120 6 28 168 420 560 420 168 28
*1680 12
2520 1 8 56 168 280 280 168 56 8
∑= 165
1 8 28 56 70 56 28 8 1
8 8 56 168 280 280 168 56 8 8
28 56 28 168 420 560 420 168 28 56 28
56 168 168 56 280 560 560 280 56 168 168 56
70 280 420 280 70 280 420 280 70 280 420 280 70
56 280 560 560 280 56 168 168 56 280 560 560 280 56
28 168 420 560 420 168 28 56 28 168 420 560 420 168 28
8 56 168 280 280 168 56 8 8 56 168 280 280 168 56 8
1 8 28 56 70 56 28 8 1 8 28 56 70 56 28 8 1

8. *Tetraedro Secundario para r=4 y m=8
Singularidad
(2520)
.
Gráfico : SERIES DIAGONALES PARALELAS DEL TRIANGULO DE PASCAL
𝑺 𝟏 Filas
1 𝑺 𝟐 0
1 1 𝑺 𝟑 1
1 2 1 𝑺 𝟒 2
1 3 3 1 𝑺 𝟓 3
1 4 6 4 1 𝑺 𝟔 4
1 5 10 10 5 1 𝑺 𝟕 5
1 6 15 20 15 6 1 𝑺 𝟖 6
1 7 21 35 35 21 7 1 𝑺 𝟗 7
1 8 28 56 70 56 28 8 1 𝑺 𝟏𝟎 8
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 𝑺 𝟏𝟏 9
1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 10
. . . . . . . . . . . .
336 840 1120 840 336 840 1120 840 336
840 1680 1680 840 840 1680 1680 840
1120 1680 1120 1680 1120 1680 1120
840 840 1680 1680 840 840
336 840 1120 840 336
840 1680 1680 840
1120 1680 1120
840 840
336

9. Tabla de coeficientes posibles para (𝒙 𝟏 + 𝒙 𝟐 + ⋯ + 𝒙 𝒓) 𝒎
, en función de m y r*. Desde m=1, hasta m=9 (Tabla I )
m 𝒌 𝟏𝒎 𝒑 𝒌𝟏
𝒎
𝒌 𝟐𝒎 𝒑 𝒌𝟐
𝒎
𝒌 𝟑𝒎 𝒑 𝒌𝟑
𝒎
𝒌 𝟒𝒎 𝒑 𝒌𝟒
𝒎
𝒌 𝟓𝒎 𝒑 𝒌𝟓
𝒎
𝒌 𝟔𝒎 𝒑 𝒌𝟔
𝒎
𝒌 𝟕𝒎 𝒑 𝒌𝟕
𝒎
𝒌 𝟖𝒎 𝒑 𝒌𝟖
𝒎
𝒌 𝟗𝒎 𝒑 𝒌𝟗
𝒎
1 1 1* r=2
2 2 1 1,1 2* r=3
3 3 1 1,2 3 1,1,1 6* r=4
4 4 1 1,3
2,2
4
6
1,1,2
------
12
---
1,1,1,1
---------
24*
---- r=5
5 5 1 1,4
2,3
5
10
1,1,3
1,2,2
20
30
1,1,1,2
--------
60
----
1,1,1,1,1
------------
120*
r=6
6 6 1 1,5
2,4
3,3
6
15
20
1,1,4
1,2,3
2,2,2
30
60
90
1,1,1,3
1,1,2,2
---------
120
180
-----
1,1,1,1,2
-----------
-----------
360
-----
-----
1,1,1,1,1,1
-------------
-------------
720*
-----
----- r=7
7 7 1 1,6
2,5
3,4
----
7
21
35
----
1,1,5
1,2,4
1,3,3
2,2,3
42
105
140
210
1,1,1,4
1,1,2,3
1,2,2,2
---------
210
420
630
-----
1,1,1,1,3
1,1,1,2,2
-----------
-----------
840
1260
-------
-------
1,1,1,1,1,2
--------------
--------------
--------------
2520
--------
--------
--------
1,1,1,1,1,1,1
-----------------
-----------------
-----------------
5040*
--------
--------
--------
r=8
8 8 1 1,7
2,6
3,5
4,4
----
8
28
56
70
----
1,1,6
1,2,5
1,3,4
2,2,4
2,3,3
56
168
280
420
560
1,1,1,5
1,1,2,4
1,1,3,3
1,2,2,3
2,2,2,2
336
840
1120
1680
2520
1,1,1,1,4
1,1,1.2,3
1,1,2,2,2
-----------
-----------
1680
3360
5040
-------
-------
1,1,1,1,1,3
1,1,1,1,2,2
--------------
--------------
--------------
6720
10080
--------
--------
--------
1,1,1,1,1,1,2
----------------
----------------
----------------
----------------
20160
--------
--------
--------
--------
1,1,1,1,1,1,1,1
-------------------
-------------------
-------------------
-------------------
40320*
---------
---------
---------
---------
r=9
9 9 1 1,8
2,7
3,6
4,5
----
----
----
9
36
84
126
-----
-----
-----
1,1,7
1,2,6
1,3,5
1,4,4
2,2,5
2,3,4
3,3,3
72
252
504
630
756
1260
1680
1,1,1,6
1,1,2,5
1,1,3,4
1,2,2,4
1,2,3,3
2,2,2,3
------
504
1512
2520
3780
5040
7560
-------
1,1,1,1,5
1,1,1,2,4
1,1,1,3,3
1,1,2,2,3
1,2,2,2,2
----------
----------
3024
7560
10080
15120
22680
--------
--------
1,1,1,1,1,4
1,1,1,1,2,3
1,1,1,2,2,2
--------------
--------------
--------------
--------------
15120
30240
45360
--------
--------
--------
--------
1,1,1,1,1,1,3
1,1,1,1,1,2,2
----------------
----------------
----------------
----------------
----------------
60480
90720
--------
--------
--------
--------
--------
1,1,1,1,1,1,1,2
-------------------
-------------------
-------------------
-------------------
-------------------
-------------------
181440
----------
----------
----------
----------
----------
----------
1,1,1,1,1,1,1,1,1
---------------------
---------------------
---------------------
---------------------
---------------------
---------------------
362880*
----------
----------
----------
----------
----------
----------
*El coeficiente al extremo de cada fila (para cada m), sólo comienza a aparecer (una vez) cuando m=r, y su número de veces para r ≥ m, está determinado por los términos de la serie diagonal
𝑺 𝒎+𝟏 . (Ver tabla II). Su valor en cada caso es: m!
Nota: Los valores bajo cada 𝑷 𝒌𝒊
𝒎 (𝒊 = 𝟏, … , 𝒓) ,a la izquierda de r=i, (i=1,…,9), corresponden a los coeficientes de (𝒙 𝟏 + 𝒙 𝟐 + ⋯ + 𝒙 𝒓) 𝒎
, Así para r=3 ,serían los Trinomiales, y para r=4,los
Tetranomiales., etc. Así mismo, los coeficientes bajo la columna 𝒑 𝒌𝟒
𝒎
, son los que corresponden a los tetraedros secundarios y/o singularidades de un Tetranomio elevado a la m .

10. Coeficientes y su número de veces en (𝒙 𝟏 + 𝒙 𝟐 + ⋯ + 𝒙 𝒓) 𝒎
, según valores de m y r
(Tabla II ).Desde m=0, hasta m=8, para r= 1,2,3,4,5,6,7
m Coef N⁰ de veces para r= m Coef N⁰ de veces para r=
1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7
0 1 1 1 1 1 1 1 1 6 1 1 2 3 4 5 6 7
∑ →𝑺 𝟏 1 1 1 1 1 1 1 6 0 2 6 12 20 30 42
15 0 2 6 12 20 30 42
1 1 1 2 3 4 5 6 7 20 0 1 3 6 10 15 21
∑ →𝑺 𝟐 1 2 3 4 5 6 7 30 0 0 3 12 30 60 105
60 0 0 6 24 60 120 210
2 1 1 2 3 4 5 6 7 90 0 0 1 4 10 20 35
2 0 1 3 6 10 15 21 120 0 0 0 4 20 60 140
∑ →𝑺 𝟑 1 3 6 10 15 21 28 180 0 0 0 6 30 90 210
360 0 0 0 0 5 30 105
3 1 1 2 3 4 5 6 7 720 0 0 0 0 0 1 7
3 0 2 6 12 20 30 42 ∑ →𝑺 𝟕 1 7 28 84 210 462 924
6 0 0 1 4 10 20 35
∑ →𝑺 𝟒 1 4 10 20 35 56 84 7 1 1 2 3 4 5 6 7
7 0 2 6 12 20 30 42
4 1 1 2 3 4 5 6 7 21 0 2 6 12 20 30 42
4 0 2 6 12 20 30 42 35 0 2 6 12 20 30 42
6 0 1 3 6 10 15 21 42 0 0 3 12 30 60 105
12 0 0 3 12 30 60 105 105 0 0 6 24 60 120 210
24 0 0 0 1 5 15 35 140 0 0 3 12 30 60 105
∑ →𝑺 𝟓 1 5 15 35 70 126 210 210 0 0 3 12 30 60 105
* 210 0 0 0 4 20 60 140
5 1 1 2 3 4 5 6 7 420 0 0 0 12 60 180 420
5 0 2 6 12 20 30 42 630 0 0 0 4 20 60 140
10 0 2 6 12 20 30 42 840 0 0 0 0 5 30 105
20 0 0 3 12 30 60 105 1260 0 0 0 0 10 60 210
30 0 0 3 12 30 60 105 2520 0 0 0 0 0 6 42
60 0 0 0 4 20 60 140 5040 0 0 0 0 0 0 1
120 0 0 0 0 1 6 21 ∑ →𝑺 𝟖 1 8 36 120 330 792 1716
∑ →𝑺 𝟔 1 6 21 56 126 252 462
*El coeficiente 210 se contabiliza dos veces (dos orígenes diferentes). Ver distribución tetraédrica para el
caso r=4

11. Tabla II. (Continuación)
m Coef. N⁰ de veces para r=
1 2 3 4 5 6 7
8
∑=
1 1 2 3 4 5 6 7
8 0 2 6 12 20 30 42
28 0 2 6 12 20 30 42
*56 0 2 6 12 20 30 42
56 0 0 3 12 30 60 105
70 0 1 3 6 10 15 21
168 0 0 6 24 60 120 210
280 0 0 6 24 60 120 210
336 0 0 0 4 20 60 140
420 0 0 3 12 30 60 105
560 0 0 3 12 30 60 105
840 0 0 0 12 60 180 420
1120 0 0 0 6 30 90 210
*1680 0 0 0 12 60 180 420
1680 0 0 0 0 5 30 105
2520 0 0 0 1 5 15 35
3360 0 0 0 0 20 120 420
5040 0 0 0 0 10 60 210
6720 0 0 0 0 0 6 42
10080 0 0 0 0 0 15 105
20160 0 0 0 0 0 0 7
40320 0 0 0 0 0 0 0
→ 𝑺 𝟗 1 9 45 165 495 1287 3003
*Los coeficientes 56 y 1680, se contabilizan dos veces c/u (dos orígenes diferentes)
Algunas Propiedades:
1. El número total de coeficientes , para cada caso de m y r, coincide con el término correspondiente de la
Serie Diagonal 𝑺 𝒎+𝟏 ,constitutiva del Triangulo de Pascal (∆ 𝟎) . Y vendrá dado por el valor combinatorio:
N⁰TC=(
𝒎 + 𝒓 − 𝟏
𝒓 − 𝟏
)
2. ∑ (Coef.*N⁰veces) = 𝒓 𝒎
.Ejemplo: Para m=4 y r=3
Coef N⁰V
1 x 3 = 3
4 x 6 = 24
6 x 3 = 18
12 x 3 = 36
24 x 0 = 0
∑ 81 =34

12. Obtención analítica de los coeficientes tetranomiales de las caras del tetraedro secundario en
el caso de la distribución tetraédrica de los coeficientes de (𝒙 𝟏 + 𝒙 𝟐 + 𝒙 𝟑 + 𝒙 𝟒) 𝒎
Hemos encontrado que la distribución de los coeficientes tetranomiales en los tetraedros
secundarios en cada fila se corresponde con las siguientes expresiones:
𝑭𝒊,𝒏
𝒌
= 𝑭𝒊,𝒏−𝟏
𝒌+𝟏
∗ (
𝑵 𝒕𝒇
°
−𝒏+𝟏
𝒏−𝒊+𝟏
) y , 𝑭 𝒏,𝒏
𝒌
= 𝑭 𝟎,𝒏
𝒌
,con i = 0,1,…,n
Estas expresiones , nos permiten construir fila por fila los triángulos de coeficientes tetranomiales
secundarios, para cada valor de m.
Donde: 𝑭𝒊,𝒏
𝒌
, indica el término del nivel k, en el lugar i de la fila n
𝑭𝒊,𝒏−𝟏
𝒌+𝟏
, indica el término del nivel k+1, en el lugar i de la fila n-1
𝑵𝒕𝒇
°
, representa el número total de filas para el caso m considerado
n, es el número de la fila considerada
i, es el lugar del término en la fila n
Para el caso m=4 sólo aparece una singularidad, que corresponde a 4,1,1,1,1, dada por: 𝟐𝟒 =
𝟒!
𝟏 𝟒
Caso m=5
𝐹0
5
= {𝐹0,0
5
}={60}=60
𝐹1
4
={𝐹0,1
4
, 𝐹1,1
4
}={60,60} = 60,60
Obtención de la fila de la fila 1, a partir de la fila 0 (𝐹0,1
4
, en función de 𝐹0,0
5
, y 𝐹1,1
4
= 𝐹0,1
4
)
60=60*2/2 y, 60=60
Caso m=6
𝐹0
6
= {𝐹0,0
6
} = {120} = 120
𝐹1
5
= {𝐹0,1
5
, 𝐹1,1
5
} = {180,180} = 180,180
𝐹2
4
= {𝐹0,2
4
, 𝐹1,2
4
, 𝐹2,2
4
} = {120,180,120}=120,180,120
Obtención de la fila 1 en función de la fila 0
180=120*3/2 y, 180=180
Obtención de la fila 2 en función de la fila 1
120=180*2/3
180=180*2/2 y, 120=120
n k 𝑵𝒕𝒇
°
=2
0 5 60
1 4 60 60
n k 𝑵𝒕𝒇
°
= 𝟑0 6 120
1 5 180 180
2 4 120 180 120

13. Caso m=7
n k 𝑵 𝒕𝒇
°
= 𝟒
0 7 210
1 6 420 420
2 5 420 630 420
3 4 210 420 420 210
𝐹0
7
= {𝐹0,0
7
} = {210} = 210
𝐹1
6
= {𝐹0,1
6
, 𝐹1,1
6
} = {420,420} = 420,420
𝐹2
5
= {𝐹0,2
5
, 𝐹1,2
5
, 𝐹2,2
5
} = {420,630,420} = 420,630,420
𝐹3
4
= {𝐹0,3
4
, 𝐹1,3
4
, 𝐹2,3
4
, 𝐹3,3
4
} = {210,420,420,210} = 210,420,420,210
Obtención de la fila 1 en función de la fila 0
420=210*4/2 y, 420=420
Obtención de la fila 2 en función de la fila 1
420=420*3/3
630=420*3/2 y, 420=420
Obtención de la fila 3 en función de la fila 2
210=420*2/4
420=630*2/3
420=420*2/2 y, 210=210

14. Caso m=8
n k 𝑵 𝒕𝒇
°
= 5
0 8 336
1 7 840 840
2 6 1120 1680 1120
3 5 840 1680 1680 840
4 4 336 840 1120 840 336
𝐹0
8
= {𝐹0,0
8
} = {336} = 336
𝐹1
7
= {𝐹0,1
7
, 𝐹1,1
7
} = {840,840} = 840,840
𝐹2
6
= {𝐹0,2
6
, 𝐹1,2
6
, 𝐹2,2
6
} = {1120,1680,1120} = 1120,1680,1120
𝐹3
5
= {𝐹0,3
5
, 𝐹1,3
5
, 𝐹2,3
5
, 𝐹3,3
5
} = {840,1680,1680,840} = 840,1680,1680,840
𝐹4
4
= {𝐹0,4
4
, 𝐹1,4
4
, 𝐹2,4
4
, 𝐹3,4
4
, 𝐹4,4
4
} = {336,840,1120,840,336} = 336,840,1120,840,336
Obtención de la fila 1 en función de la fila 0
840=336*5/2 y, 840=840
Obtención de la fila 2 en función de la fila 1
1120=840*4/3
1680=840*4/2 y, 1120=1120
Obtención de la fila 3 en función de la fila 2
840=1120*3/4
1680=1680*3/3
1680=1120*3/2 y, 840=840
Obtención de la fila 4 en función de la fila 3
336=840*2/5
840=1680*2/4
1120=1680*2/3
840=840*2/2 y, 336=336
La singularidad para m=8, corresponde a 8,2,2,2,2, dada por: 2520 =
8!
24
Las singularidades se dan para las m, múltiplos de 4 y responden a la sucesión:{
(4𝑛)!
(𝑛!)4}
4!
14
,
8!
24
,
12!
64
,
16!
244
,
20!
1204
, …

15. Método para la obtención de una expresión que nos de los coeficientes tetranomiales de una fila
genérica n de los triángulos equiláteros, caras de los tetraedros secundarios del desarrollo de
(𝒙 𝟏 + 𝒙 𝟐 + 𝒙 𝟑 + 𝒙 𝟒) 𝒎
Análogamente al método utilizado en el caso de los coeficientes Trinomiales en el estudio del
“Prisma Combinatorio”, para la obtención de la fórmula correspondiente a una fila genérica n,
utilizaremos los mismos procedimientos del método anterior, pero completando las expresiones para
homogenizar las secuencias, sin alterar los resultados, expresando cada uno de los términos en función
de m. Para ello consideraremos el caso m=7
Fila (n) Nivel (m-n) Denominadores Expresión Factorial
Fila 0 Nivel m
m (m-1)(m-2)/1 1 0!1!
Fila 1 Nivel (m-1)
m(m-1)(m-2)(m-3)/2
m(m-1)(m-2)(m-3)/2
2
2
1!2!
2!1!
Fila 2 Nivel(m-2)
m(m-1)(m-2)(m-3)(m-4)/2.3
m(m-1)(m-2)(m-3)(m-4)/2.2
m(m-1)(m-2)(m-3)(m-4)/2.3
2.3
2.2
2.3
1!3!
2!2!
3!1!
Fila3 Nivel(m-3)
m(m-1)(m-2)(m-3)(m-4)(m-5)/2.3.4
m(m-1)(m-2)(m-3)(m-4)(m-5)/2.3.2
m(m-1)(m-2)(m-3)(m-4)(m-4)/2.3.2
m(m-1)(m-2)(m-3)(m-4)(m-5)/2.3.4
2.3.4
2.3.2
2.3.2
2.3.4
1!4!
2!3!
3!2!
4!1!
El numerador (A), en cada caso se puede expresar como:
A=m(m-1)(m-2)…[m-(n+2)]=m(m-1)(m-2)…[m-(n+2)] *[m-(n+3)]!/ [m-(n+3)]!= m!/ [m-(n+3)]!
Y de (
𝑚
𝑛 + 3
) =
𝑚!
[𝑚−(𝑛+3)]!(𝑛+3)!
, obtenemos: A=(
𝑚
𝑛 + 3
) ∗ (𝑛 + 3)!
La secuencia de los denominadores, puede obtenerse de : (i+1)!(n-i+1)!.Entonces, la expresión
buscada, estará dada por:
𝑭 𝒏
𝒎−𝒏
= (
𝒎
𝒏 + 𝟑
) (𝒏 + 𝟑)! {
𝟏
(𝒊+𝟏)!(𝒏−𝒊+𝟏)!
} con i=0,1,2,…,n
𝑚 ≥ 𝑛 + 3 ,luego la expresión es válida sí 𝑚 − 𝑛 ≥ 3
Como comprobación y ejemplo, aplicaremos esta expresión para obtener los coeficientes tetranomiales
del tetraedro secundario del caso m=8

16. Caso m=8
Fila 0 , Nivel 8, i=0
𝐹0
8
= (
8
3
) 3! {
1
1! 1!
} = 336 {
1
1
} = 336
Fila 1, Nivel 7, i=0,1
𝐹1
7
= (
8
4
) 4! {
1
1!2!
,
1
2!1!
} =1680{
1
2
,
1
2
} = 840,840
Fila 2, Nivel 6, i=0,1,2
𝐹2
6
= (
8
5
) 5! {
1
1!3!
,
1
2!2!
,
1
3!1!
}=6720 {
1
6
,
1
4
,
1
6
} = 1120,1680,1120
Fila 3, Nivel 5, i=0,1,2,3
𝐹3
5
= (
8
6
) 6! {
1
1! 4!
,
1
2! 3!
,
1
3! 2!
,
1
4! 1!
} = 20160 {
1
24
,
1
12
,
1
12
,
1
24
} = 840,1680,1680,840
Fila 4, Nivel 4, i=0,1,2,3,4
𝐹4
4
= (
8
7
) 7! {
1
1! 5!
,
1
2! 4!
,
1
3! 3!
,
1
4! 2!
,
1
5! 1!
} = 40320 {
1
120
,
1
48
,
1
36
,
1
48
,
1
120
} = 336,840,1120,840,336
Tetraedro Suma (T.Suma), y otras observaciones importantes
En el desarrollo de un nuevo trabajo denominado “Coeficientes multinomiales y generalización
del triangulo de Pascal” , hemos determinado que para el caso de los coeficientes Tetranomiales ,
los tetraedros secundarios (TS), deben ubicarse en el interior del tetraedro principal (TP), del caso
correspondiente, manteniendo la misma orientación y el paralelismo de sus caras, para ello
deberemos colocar siempre su vértice en el nivel 3 de dicho TP, extendiéndose hasta ubicar su
nivel de base, siempre en el nivel 𝒏 − 𝟏 , del tetraedro principal del caso. Al tetraedro
resultante le podemos denominar como tetraedro suma ( T.Suma).
Análogamente, si denominamos los casos de singularidad para múltiplos de 4, como CS, y al nivel
de alojamiento de dicha singularidad en el prisma principal, como NA, tendremos la siguiente
relación:
CS NA
m=4j 3j con j=1,2,3,...
Así para j=1 y m=4 la singularidad, que tiene un valor igual a 24, se alojará en el nivel 3 del T.Suma
Para j=2 y m=8 la singularidad que tiene un valor igual a 2520, se alojara en el nivel 6 del T.Suma
Y así sucesivamente.

17. Los niveles en cada caso los contabilizamos, desde un valor cero (0), en el vértice, hasta un valor n
correspondiente al nivel de base del tetraedro principal, como se muestra en la figura:
Nivel Tetraedro principal
0
1
2 Nivel 0 Tetraedro secundario
3…... Singularidad ...........................
.
.
.
n-1..
n
Así por ejemplo, sí en la deducción anterior de los coeficientes del tetraedro secundario
correspondiente al caso de m=8, consideramos el valor de n para cada fila, como el valor del nivel
correspondiente del TS, para determinar su nivel de ubicación en el tetraedro principal, para conformar
el tetraedro suma, bastará aumentar cada valor de n en tres unidades. Ello es válido para cualquier otro
caso considerado.
m=8 Filas TS Niveles TS Nivel T.Suma
0 0 3
1 1 4
2 2 5
3 3 6
4 4 7
Como ejemplo de utilidad, podemos mostrar como quedarían las secciones nivel por nivel para el caso
del tetraedro suma para m=8
Nivel 0 . 1 (Vértice del T.Suma)
Nivel 1 8 Nivel 2 28
8 8 56 56
28 56 28

18. Nivel 3 56 Nivel 4 70
168 168 280 280
168 336 168 420 840 420
56 168 168 56 280 840 840 280
70 280 420 280 70
Nótese como en el nivel 3 del T.Suma ya aparece el valor 336, correspondiente al vértice (nivel 0)
del tetraedro secundario del caso, y en el nivel 4, aparecen los tres valores 840 correspondientes a la
sección del nivel 1 del TS del caso.
Nivel 5 56
280 280
560 1120 560
560 1680 1 680 560
280 1120 1680 1120 280
56 280 560 560 280 56
Nivel 6 28
168 168
420 840 420
560 1680 1680 560
420 1680 2520 1680 420
168 840 1680 1680 840 168
28 168 420 560 420 168 28
Notamos que en este nivel se aloja la singularidad del caso m=8, correspondiente al valor 2520

19. Nivel 7 8
56 56
168 336 168
280 840 840 280
280 1120 1680 1120 280
168 840 1680 1680 840 168
56 336 840 1120 840 336 56
8 56 168 280 280 168 56 8
Como podemos notar, en este nivel se aloja la base del tetraedro secundario del caso m=8
Nivel 8 1
8 8
28 56 28
56 168 168 56
70 280 420 280 70
56 280 560 560 280 56
28 168 420 560 420 168 28
8 56 168 280 280 168 56 8
1 8 28 56 70 56 28 8 1
Esta sección o base del T.Suma, se corresponde con el triángulo de coeficientes trinomiales ∆ 𝑇, para
m=8
Diagramas de Colmena para coeficientes Tetranomiales
Hemos observado que los diagramas de colmena, que ya utilizamos en el estudio “Prisma
Combinatorio” como método gráfico para obtener la distribución de los coeficientes Trinomiales
∆ 𝑻, correspondientes a un caso m+1 , partiendo de los conocidos para un caso anterior m, son
aplicables a la determinación de los coeficientes Tetranomiales para cada nivel n de un caso
m+1,partiendo de los coeficientes Tetranomiales de los niveles n-1, y n del caso anterior m.
A continuación un ejemplo clarificador para obtener los coeficientes del caso m=4 a partir de los
del caso m=3 (obviando el paso de nivel 0 en m=3, a nivel 0 en m=4, siempre unitario, sea cual sea
el caso)

20. DIAGRAMAS DE COLMENA PARA LA OBTENCIÓN LAS SECCIONES DEL TETRAEDRO SUMA (CASO m=3 a m=4)
Casos de m=3 Diagrama de colmena + Caso de m=4
N:0 N:1 N:1
3 3 3 4
1 1 1
3 3 3 3 3 3 4 4
N:1 N:2 N:2
3 3 3 6
3 3 3
6 6 6 6 6 6 12 12
3 3 3 3 3 3
3 6 3 3 6 3 3 6 3 6 12 6

21. Caso de m= 3 Diagrama de colmena Caso de m=4
N: 2 N:3 N:3
1 1 1 4
3
3 3
6 6 3 3
3 6 3 3 3 3 3 12 12
3 6 3
1 3 3 1 6 6 6 6
3 6 3 3 6 3 12 24 12
3 6 3 3 6 3
1 3 3 1 1 3 3 1 4 12 12 4
Los niveles de base se corresponden con los ∆ 𝑇 de ambos casos: N:4
1
N:3 Diagrama de colmena
1 1
4 4
3 3 3 3
6 12 6
3 6 3 3 6 3
4 12 12 4
1 3 3 1 1 3 3 1
1 4 6 4 1

22. Consideramos que con esta serie de trabajos, “Prisma combinatorio”, “Distribución tetraédrica de
coeficientes Tetranomiales”, y “Coeficientes multinomiales y generalización del triángulo de
Pascal”, hemos abordado en forma exhaustiva, el tema de la determinación de los coeficientes del
desarrollo de un polinomio tal como: (𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + ⋯ + 𝑥 𝑟) 𝑚
, para cualquier valor entero de r
y de la potencia m.
Enrique R.Acosta R. 2016