1. 分数裂项求和方法总结
（1） 用裂项法求
1
( 1)n n +
型分数求和
分析：因为
1 1
1n n
−
+
＝
1 1
( 1) ( 1) ( 1)
n n
n n n n n n
+
− =
+ + +
（n 为自然数）
所以有裂项公式：
1 1 1
( 1) 1n n n n
= −
+ +
【例1】 求
1 1 1
......
10 11 11 12 59 60
+ + +
× × ×
的和。
1 1 1 1 1 1
( ) ( ) ...... ( )
10 11 11 12 59 60
1 1
10 60
1
12
= − + − + + −
= −
=
（2） 用裂项法求
1
( )n n k+
型分数求和
分析：
1
( )n n k+
型。（n,k 均为自然数）
因为
1 1 1 1 1
( ) [ ]
( ) ( ) ( )
n k n
k n n k k n n k n n k n n k
+
− = − =
+ + + +
所以
1 1 1 1
( )
( )n n k k n n k
= −
+ +
【例2】 计算
1 1 1 1 1
5 7 7 9 9 11 11 13 13 15
+ + + +
× × × × ×
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 5 7 2 7 9 2 9 11 2 11 13 2 13 15
= − + − + − + − + −
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
[( ) ( ) ( ) ( ) ( )]
2 5 7 7 9 9 11 11 13 13 15
= − + − + − + − + −
1

2. 1 1 1
[ ]
2 5 15
1
15
= −
=
（3） 用裂项法求 ( )
k
n n k+
型分数求和
分析：
( )
k
n n k+
型（n,k 均为自然数）
1 1
n n k
−
+
＝
( ) ( )
n k n
n n k n n k
+
−
+ +
＝
( )
k
n n k+
所以
( )
k
n n k+
＝
1 1
n n k
−
+
【例3】 求
2 2 2 2
......
1 3 3 5 5 7 97 99
+ + + +
× × × ×
的和
1 1 1 1 1 1 1
(1 ) ( ) ( ) ...... ( )
3 3 5 5 7 97 99
1
1
99
98
99
= − + − + − + + −
= −
=
（4） 用裂项法求
2
( )( 2 )
k
n n k n k+ +
型分数求和
分析：
2
( )( 2 )
k
n n k n k+ +
（n,k 均为自然数）
2 1 1
( )( 2 ) ( ) ( )( 2 )
k
n n k n k n n k n k n k
= −
+ + + + +
【例4】 计算：
4 4 4 4
......
1 3 5 3 5 7 93 95 97 95 97 99
+ + + +
× × × × × × × ×
2

3. 1 1 1 1 1 1 1 1
( ) ( ) ...... ( ) ( )
1 3 3 5 3 5 5 7 93 95 95 97 95 97 97 99
1 1
1 3 97 99
3200
9603
= − + − + + − + −
× × × × × × × ×
= −
× ×
=
（5） 用裂项法求
1
( )( 2 )( 3 )n n k n k n k+ + +
型分数求和
分析：
1
( )( 2 )( 3 )n n k n k n k+ + +
（n,k 均为自然数）
1 1 1 1
( )
( )( 2 )( 3 ) 3 ( )( 2 ) ( )( 2 )( 3 )n n k n k n k k n n k n k n k n k n k
= −
+ + + + + + + +
【例5】 计算：
1 1 1
......
1 2 3 4 2 3 4 5 17 18 19 20
+ + +
× × × × × × × × ×
1 1 1 1 1 1 1
[( ) ( ) ...... ( )]
3 1 2 3 2 3 4 2 3 4 3 4 5 17 18 19 18 19 20
1 1 1
[ ]
3 1 2 3 18 19 20
1139
20520
= − + − + + −
× × × × × × × × × × × ×
= −−
× × × ×
=
（6） 用裂项法求
3
( )( 2 )( 3 )
k
n n k n k n k+ + + 型分数求和
分析：
3
( )( 2 )( 3 )
k
n n k n k n k+ + +
（n,k 均为自然数）
3 1 1
( )( 2 )( 3 ) ( )( 2 ) ( )( 2 )( 3 )
k
n n k n k n k n n k n k n k n k n k
= −
+ + + + + + + +
【例6】 计算：
3 3 3
......
1 2 3 4 2 3 4 5 17 18 19 20
+ + +
× × × × × × × × ×
3

4. 1 1 1 1 1 1
( ) ( ) ...... ( )
1 2 3 2 3 4 2 3 4 3 4 5 17 18 19 18 19 20
1 1
1 2 3 18 19 20
1139
6840
= − + − + + −
× × × × × × × × × × × ×
= − −
× × × ×
=
（七）用裂项法求复合型分数和（例题略）
4