Guias de algebra

1
ÁLGEBRA – GUIA Nº6
TEMA: FACTORIZACIÓN BIMESTRE II
DEFINICIÓN: Es el proceso por el cual un
polinomio se muestra como el producto de
factores primos.
A. Método del factor común:
Ejemplo:
Factorizar:2m2
n + 6mn2
+ 4mn
(2mn).m + (2mn).3n + (2mn).2
Nota: “2mn” es el factor común (monomio)
Luego la factorización será:
2mn (m + 3n + 2)
B. Método de Agrupación de Términos:
Ejemplo:
Factorizar: ax + by + ay + bx
Se agrupan:
4342143421
b""
común
Factor
"a"
común
Factor
bx)(byay)(ax +++
a(x + y) + b(y + x)
Nota: (x + y) es el factor común (Polinomio)
Luego la factorización será:
(x + y) (a + b)
C. Método de las Identidades:
Ejemplo 1:
Factorizar: x4
+ x2
+ 1
Por Argand: (x2
+ x + 1) (x2
– x + 1)
Ejemplo 2:
Factorizar: x6n
+ y6n
Por suma de cubos: (x2n
)3
+ (y2n
)3
Resulta: (x2n
+ y2n
)(x4n
– x2n
y2n
+ x4n
)
Ejemplo 3:
Factorizar: x2
+ (z + m)x + zm
Por Stiven: (x + z)(x + m)
D. Método del Aspa Simple:
Ejemplo:
Factorizar: 2x2n
– 5xn
ym
– 3y2m
∴ 2x2n
– 5xn
ym
– 3y2m
= (2xn
+ ym
) (xn
– 3ym
)
E. Reducción a Diferencia de Cuadrados:
Ejemplo:
Factorizar: P(x) = x4
+ 2x2
+ 9
Se suma y resta el término apropiado:
( ) 43421
""
2224
4492
PonyQuita
x xxxxP −+++=
Ordenando: 224
)( 496 xxxP
Perfecto
CuadradoTrinomio
x −++= 4434421
Luego: P(x) = (x2
+ 3)2
– 4x2
P(x) = (x2
+ 3)2
– (2x)2
Por Diferencia de Cuadrados resulta:
P(x) = [x2
+ 3 + 2x][x2
+ 3 – 2x]
F. Cambio de Variables:
Ejemplo:
Factorizar:
P(x) = (x2
+ y + 1)3
– (x2
+ 1)(x2
– 3y + 1)2
Efectuando el cambio de variable: x2
+1=α
Resulta: (α + y)3
– α (α - 3y)2
α3
+ 3α2
y + 3αy2
+ y3
- α3
+ 6α2
y - 9αy2
9α2
y - 6αy2
+ y3
( )44 344 21
Perfecto
CuadradoTrinomio
PorfactorizaSe
yyy 22
69 +− αα
Luego: P(x) = y(3α - y)2
Remplazando el valor de “α”, resulta
finalmente: P(X) = y(3x2
+ 3 – y)2
G. Método de los divisores binomios:
Ejemplo:
Factorizar: P(x) = x3
+ 6x2
+ 11x + 6
PROGRAMA DE COMPLEMENTACIÓN ACADÉMICA
5TO DE SECUNDARIA
2x2n
-5xn
ym
-3y2m
2xn
ym
(xn
)(ym
) = xn
.ym
+
xn
– 3ym
(2xn
)(–3ym
) = –6xn
ym
– 5xn
ym
(2xn
) (xn
) = 2x2n
(ym
) (-3ym
) = -3y2m

2
eCoeficient
PrimerdelDivisores
nteIndependie
TerminodelDivisores
CerosPosibles ±=
Posibles Ceros: ± 1 , ± 2 , ± 3, ± 6
Evaluando para x = - 1:
(- 1)3
+ 6(- 1)2
+ 11(- 1) + 6
Resulta: 0
∴ (x + 1) es un factor de P(x)
Por la regla de Paolo Ruffini:
Luego: ( ) ( )( )4434421
SimpleAspa
porFactorizaSe
x xxxP 651 2
+++=
Finalmente: P(x) = (x + 1)(x + 2)(x + 3)
EJERCICIOS
I. Factor Común y/o agrupación:
01. a3
b4
c4
+ a2
b5
c4
+ a4
b4
c3
+ a3
b5
c3
02. m3
+3m2
n+6mn2
+ 18n3
03. (x-y+z)m + (y-x-z)n
04. x2
(y2
+ a4
) + y(a4
+ x4
)
05. mn(a2
– b2
) + ab (m2
– n2
)
II. Identidades:
01. m4
– n2
– 2n –1
02. a3
b2
+ b3
c2
– a3
c2
– b5
03. m2
-n2
+p2
-q2
+2(mp-nq)
04. 4x2
y2
– (x2
+y2
-z2
)2
05. a2
-b2
-c2
+ 2(a+b-c+bc)
III. Aspa simple:
01. 8m6
+ 7m3
– 1
02. 24x6
y2
+ 30x4
y4
+ 9y6
x2
03. x2
(a-b)2
-14xb2
(a-b) +24b4
04. (m2
-1)x2
+2(m-2)xy-3y2
05. abc x2
– (a2
b2
+c2
) x + abc
VI. Cambio de Variables:
01. (a2
+ 2ab + b2
– 5a - 5b + 3)2
+ 4a2
+ 8ab
+ 4b2
– 20a - 20b + 15
02. (z + 2)2
(z + 1)(z + 3) – 5z(z + 4) – 27
03. (x + y + 1)4
– 5(x + y)2
– 10(x + y) – 1
04. (x + 5y)(x – 3y)(x + 4y)(x – 2y) – 144y4
VII.Reducción a Diferencia de Cuadrados:
01. m8
+ 9m4
+ 25
02. 49x4
– 11x2
y2
+ 25y4
03. 4x4
+ 4xy2
– y4
+ 1
04. 16n8
– 17n4
+ 16
05. m8
+ m4
n4
+ n8
VIII. Método de los Divisores Binomios:
01. a3
+ 6a2
+ 3a – 10
02. m5
+ 3m4
– 17m3
+ 27m2
+ 52m + 60
03. 12p5
– 8p4
– 13p3
+ 9p2
+ p – 1
04. y4
+ 5y3
– 7y2
– 29y + 30
05. x3
+ 2x2
– 5x – 6
PROBLEMAS
1. Encontrar el equivalente de la expresión:
b2
+ c2
– a2
– d2
+ 2ad + 2bc
a) (b – c – a + d) (b + c – a – d)
b) (b + c – a – d) (b – c + a + d)
c) (b + c + a + d) (b – c + a – d)
d) (b – c + a + d) (b – c – a – d)
e) (b + c + a – d) (b + c – a + d)
2. Factorizar: xm + n
+ bm + n
+ (xb)m
+ (xb)n
a) (xn
+ bm
)(xm
+ bn
) d) (xm
+ bm
)(xn
+ bn
)
b) (xb)(xm
+ bm
) e) (xb)n
(xm
+ bm
)
c) (xb)(xm
+ bn
)
3. Uno de los factores primos de: x4
– 4, es:
a) x + 2 c) 2ix − e) i
b) x – i d) 2+ix
4. Factorizar:
x4
+ y4
– 4xy(x2
+y2
) + 5x2
y2
E indicar la suma de sus factores primos.
a) 2x(x – y) d) 2(x + y)2
b) (x – y)2
e) 2(x – y)2
c) (2x – 2y)2
1 6 11 6
- 1 - 1 - 5 - 6
1 5 6 0

3
TEMA: FRACCIONES ALGEBRAICAS BIMESTRE II
I. Mínimo Común Múltiplo: El M.C.M. de
polinomios esta conformado de todos los
factores, que componen dos o más
polinomios factorizados, con su mayor
grado.
Ejemplo:
( )




+−=
+−=
)2()(
)(
: 3
22
babaxyB
babayxA
osFactorizadPolinomios n
n
Luego: M.C.M.(A;B) = x2
y3
(a–b)2n
(a+b)(a+2b)
II. Máximo Común Divisor: El M.C.D. de
polinomios esta conformado de los
factores comunes, de dos o más
polinomios factorizados, con su menor
grado.
Ejemplo:




+−=
+−=
)2()(
)()(
22
233
yxyxabB
yxyxbaA
osFactorizadPolinomios
Luego: M.C.D.(A;B) = ab(x – y)2
III. Clases de Fracciones Algebraicas:
a. Fracción Propia: El grado del númerador
es menor que el grado del denominador.
Ejemplos:
2
2
23
+−
+
xx
x
;
32
1
510
4
+−
+−
xx
xx
b. Fracción Impropia: El grado del
númerador es mayor o igual que el grado
del denominador.
Ejemplos:
42
123
3
25
+−
++−
xx
xxx
;
2
36
+
+−
x
xx
c. Fracciones Homogéneas: Cuando tienen
el mismo denominador.
Ejemplos:
1
12
;
1
35
;
1
4 2432
−
++
−
+−
−
+
x
xx
x
xx
x
x
d. Fracciones Equivalentes: Son aquellas
que toman el mismo valor númerico para
todos los valores admisibles de sus
variables.
Ejemplos:
23
1
;
2
1
2
2
+−
−
−
+
xx
x
x
x
e. Fracción Compleja: Cuando almenos
uno de sus términos es una fracción.
Ejemplos:
1
5
2
1
;
1
12
3
;
1
2
3
1
22
+
−
−
+
+
−
+
+
−
x
x
x
x
x
x
x
x
x
EJERCICIOS
1. Si:
1
1
2
3
)(
+
−
−
=
xx
x
F x , indica el valor de
verdad de las siguientes proposiciones:
• F(2) = 0 ................ ( )
• F(0) = -1 ............... ( )
• F(- 1) = 0 ............... ( )
a) FVF c) VVV e) VVF
b) FFF d) VFV
2. Reducir la siguiente expresión:
acbcab
111
++
a)
bcab
ba
+
+
d)
acbcab ++
1
b)
abc
cba ++
e)
abc
acbcab ++
c)
acab +
1
3. Reducir a su forma más simple:
x
1
1
1
1
+
−
a)
1
1
+x
c)
1
1
−x
e)
2
1
−x
b)
12
1
+x
d)
2
1
+x
4. Reducir:
ba
ba
ba
ba
+
−
−
−
+
a) 22
ba
ab
−
c)
ba
ab
+
e) 22
2
ba
ab
−
5TO DE SECUNDARIA

4
b) 22
ba
ab
+
d) 22
4
ba
ab
−
5. Reducir:
ba
ba
ba
ba
+
−
+
−
+
a) 22
22
)(2
ba
ba
−
+
d)
ab
ba 22
+
b)
ab
ba 22
−
e)
ba
ba
+
+ )(2 22
c)
ba
ba
−
+ 22
6. Simplificar:
ba
ba
ba
ba
ba
ba
ba
ba
+
−
−
−
+
+
−
+
−
+
a) 22
22
)(2
ba
ba
−
+
d)
ab
ba
2
22
+
b)
ab
ba 22
−
e)
b
a
c) 1
7. Efectuar:
23
45
2
1
2
2
2
2
++
++
+
−+
−
xx
xx
xx
x
, indicar
la diferencia del númerador y
denominador.
a) x + 3 c) 2x + 3 e) 2x + 5
b) 2x – 3 d) 2x + 1
8. Al efectuar:
43
20
2
65
2
2
2
2
−−
−+
+
−−
+−
=
xx
xx
xx
xx
R
a)
1
2
+x
c)
2
3
−x
e)
1
2
−
−
x
x
b) 3 d) 2
9. Simplificar: 







−
+
÷







−−
++
xx
xx
xx
xx
2
32
62
9124
2
2
2
2
a) 1 c) 3 e) x + 1
b) x – 3 d) 2
10. Simplificar: 





−
+
+
+
− 22
2
2
1
yx
xy
yx
x
yx
x
a)
yx +
1
c)
yx −
1
e)
yx
x
−
b) 1 d)
yx
x
+
11. La expresión simplificada de:
27
93
3
23
−
++
p
pqqpqp
, es:
a)
3−p
pq
c)
3+p
pq
e)
92
+p
pq
b)
92
−p
pq
d)
p
pq
−3
12. Reducir:
1
23
2
2
2
2
2
4
2
.
3011
189
209
65
−








−
−








+−
+−
÷
+−
+−
=
xx
xx
xx
xx
xx
xx
A
a) x + 1 c) x – 2 e) x
b) 2x d) 3x
13. Calcular “A – B” en:
2365
35
2
+
+
+
=
++
+
x
B
x
A
xx
x
a) 19 c) 2 e) 3
b) 4 d) 5
14. Al descomponer:
122
112
2
−
+
+
=
−+
−
x
n
x
m
xx
x
, que se puede
afirmar:
a) “n” es 4 d) m = n = 5
b) “m.n” es 12 e) m = 5; n = -3
c) “m” es -3
15. Reducir:
4
32
3
2
72
1
+
+
−+
+
+
++
x
x
x
x
x
x
indicar el denominador.
a) x + 4 c) x – 4 e) x + 2
b) x – 2 d) x + 1
16. Reducir:
1
12
1
1
1
1
1
1
2
11
11
2
22
−
÷












+
−
−
−
−
−
−
xx
x
x
x
x
x
a)
2
1−x
c)
6
1−x
e)
6
1+x
b)
6
1−x
d)
3
1−x

5
TEMA: PROPIEDAD DE LAS RAÍCES BIMESTRE II
I. NATURALEZA DE LAS RAICES:
DISCRIMINANTE: acb 42
−=∆
1. Si ∆ > 0, se obtienen las raíces reales y
diferentes.
Ejemplo 1:
2x2
– 8x + 5 = 0
( ) ( ) ( )( )
( )22
52488
2
−−±−−
=x
⇒ ∆ = 24 > 0
2
64
x;
2
64
II
−
=
+
=Ix
CONJUGADAS ∧ xI ; xII ∈ ℜ
2. Si ∆ = 0 se obtienen dos raíces reales
iguales: xI = xII = -b/2a
Ejemplo 2:
4x2
– 12x + 9 = 0
( ) ( ) ( )( )
( )42
9441212
2
−−±−−
=x
⇒ ∆ = 0
xI = xII = 3/2
3. Si ∆ < 0, se obtiene dos raíces complejas
diferentes.
Ejemplo 3:
2x2
– 3x + 4 = 0
⇒ ∆ = 23 < 0
4
233
x;
4
233
II
ii
xI
−
=
+
=
CONJUGADAS ∧ xI,xII ∈ C
III. PROPIEDAD DE LAS RAÍCES
Para la ecuación: ax2
+ bx + c = 0 / a ≠ 0,
de raíces x1 ∧ x2 , se cumple:
1. Suma de las Raíces:
a
b
xx −=+ 21
2. Producto de las Raíces:
a
c
xx =21.
3. Diferencia de Raíces:
a
xx
∆
=− 21
NOTA.- Si la ecuación tiene la forma:
x2
– sx + p = 0
xI + xII = s
⇒
xI . xII = p
IV. Raíces Particulares:
a) Raíces Simétricas: También llamadas
Opuestas o Inversas Aditivas, se
establece lo siguiente:
x1 = m ∧ x2 = - m ⇒ x1 + x2 = 0
b) Raíces Reciprocas: También llamadas
Inversas multiplicativas, se establece lo
siguiente:
x1 = m ∧
m
x
1
2 = ⇒ x1 . x2 = 1
c) Raíz Nula: Si la siguiente ecuación
cuadrática: ax2
+ bx + c = 0 / a ≠ 0,
presentara una raíz igual a cero si: c = 0.
PROBLEMAS
1. La siguiente ecuación: 5x2
– 26x + 5 = 0
posee:
a) Raíces Simétricas
b) Raíces Recíprocas
c) Raíces Iguales
5TO DE SECUNDARIA
( ) ( ) ( )( )
( )22
42433
2
−−±−−
=x

6
d) Raíces Absurdas
e) Raíces Opuestas
2. La siguiente ecuación x2
– 9 = 0 posee:
a) Raíces Simétricas
b) Raíces Reciprocas
c) Raíces Complejas
d) Raíces Absurdas
e) Raíces Iguales
3. Calcular la ecuación de segundo grado de
raíces xI = 3 y xII = -5
a) x2
– 2x – 3 = 0
b) x2
– 2x + 5 = 0
c) x2
+ 2x – 15 = 0
d) x2
+ 2x + 15 = 0
e) x2
– 15x + 2 = 0
4. Calcular la ecuación de 2do
grado de
raíces xI = -3 y xII = 8. Dicha ecuación
tiene coeficiente principal igual a 4.
a) 4x2
– 20x – 96 = 0
b) 4x2
+ 3x + 96 = 0
c) 4x2
+ 5x + 24 = 0
d) 4x2
– 5x – 24 = 0
e) 4x2
+ 10x + 48 = 0
5. Si: x1 ∧ x2 son las raíces de la ecuación:
x2
– 3x + 8 = 0, calcula: x1 + x2 + x1.x2
a) 5 c) 11 e) 8
b) 24 d) 3
6. Si la siguiente ecuación: 3x2
+ 4k(x – 1) +
2x = 0, tiene una sola solución, determina
el producto de valores de “k” que verifican
la condición. P.U.C.P. – 98 II
a) 1 c) -1/4 e) - 1
b) 1/4 d) 4
7. Si: x1 ∧ x2 son raíces de la ecuación: x2
+
px + q = 0; calcular: (x1 – 1)(x2 – 1) – 1
P.U.C.P. – 99 II
a) q – p c) 1 e) p
b) q + p d) 0
8. Calcular la ecuación de 2do
grado que
tiene por una de sus raíces al número
32 − .
a) x2
+ 4x +1 = 0
b) x2
+ 4x –1 = 0
c) x2
- 4x +1 = 0
d) x2
- 4x -1 = 0
e) - x2
+ 4x +1 = 0
9. De la ecuación: 3x2
+ mx + 4 = 0, hallar el
menor valor de “m” para que las raíces
estén en la relación de 3 a 1.
P.U.C.P. – 2004 II
a) 8 c) -16/3 e) 8 3
b) -8 d) 16/3
10. Sea: x2
+ (2m + 5)x + m = 0, hallar “m” si
las raíces de la ecuación se diferencian
en 3. P.U.C.P. – 2004 I
a) 5 c) 3 e) - 1
b) 4 d) - 2
15. Si x1 ∧ x2 son las raíces de la ecuación:
2x2
– 3x + 10 = 0, reducir la siguiente
expresión:
21
11
xx
+
a) 0,1 c) 0,4 e) 0,5
b) 0,2 d) 0,3
16. Si x1 ∧ x2 son las raíces de la ecuación: x2
– 5x + 9 = 0, reducir la siguiente
expresión: 2
2
2
1 xx +
a) 5 c) 7 e) 9
b) 6 d) 8
17. Si x1 ∧ x2 son las raíces de la ecuación:
x2
– 5x – 3 = 0, calcular el valor de: x1(x1
– 1) + x2(x2 – 1)
a) 24 c) 26 e) 28
b) 25 d) 27
18. Determina el valor de “p” en la siguiente
ecuación: x2
– 6x + 4 + p = 0, sabiendo que
la diferencia de sus raíces es 2.
a) 4 c) 3 e) 5
b) 0 d) 6
19. Sean x1 ∧ x2 las raíces de la ecuación: x2
– 2(m – 1)x + 3 = 0. la suma de los
valores que puede tomar “m”; para que se
satisfaga la siguiente relación:
1
1
2
2
1
=+
x
x
x
x
, es:
U.N.M.S.M. – BLOQUE I 2004 – II
a) - 1/2 c) 2 e) 3/2
b) 5/2 d) 1/2

7
TEMA: INECUACIONES DE PRIMER GRADO Y VALOR ABSOLUTO BIMESTRE II
I. Inecuaciones de Primer Grado:
Dada la forma:
- Incógnita: x
- Grado de la Incógnita: Uno
- Coeficientes Reales: a ; b
- Conjunto Solución:
a
b
−∞− ;
II. Inecuaciones de primer grado con
valor absoluto:
Propiedades:
1. Si: a∈ℜ+
, axaax <<−→<
2. Si: a∈ℜ+
, axaax ≤≤−→≤
3. Si: a∈ℜ+
, axaxax −<∨>→>
4. Si: a∈ℜ+
, axaxax −≤∨≥→≥
PROBLEMAS
1. Resolver: 3 + 4x < 7x + 12
a) x > 3 c) x > - 3 e) ℜ
b) x < 3 d) x < - 3
2. Resolver la inecuación:
( ) ( ) ( ) 313
10
1
1
4
1
2
5
1
<+++++ xxx
a) x > 3 c) x > - 3 e) ℜ
b) x < 3 d) x < - 3
3. Resolver:
7
2
1
3
2
3
4
4
3
2
2
3
4
≥




 −
+




 +
+




 + xxx
a) x > 4 c) x > 5 e) ℜ
b) x < 4 d) x < 5
4. Resolver: 3-1
x + 2-1
x + 6-1
x > 5
a) x > 4 c) x > 5 e) ℜ
b) x < 4 d) x < 5
5. Resolver: 3
3
14
2 ≤≤≤≤
−−−−
<<<<−−−−
x
a) 〈-5/4 ; 5/2] c) 〈1 ; 7/2〉 e) 〈∞ ; 7/4]
b) 〈-7/4 ; 2] d) [-5/2 ; ∞〉
6. Resolver:
( )
( )




<
−
≤−
2
1
.......2
3
1
....1112
x
x
a) ∅ c) [5 ; 6] e) 〈5 ; 6]
b) ℜ d) 〈-5 ; 6〉
7. Resolver: |3x – 2| < 5
a) ∅ c) 〈-1 ; 7/3〉 e) 〈∞ ; 7/2]
b) ℜ d) [-1/2 ; ∞〉
8. Resolver: |2x – 10| < 0
a) ∅ c) {0} e) 〈∞ ; 5]
b) ℜ d) {5}
9. Resolver: |x + 2| < 0
a) ∅ c) 〈1 ; 2〉 e) 〈∞ ; -2]
b) ℜ d) 〈∞ ; 2]
10. Resolver: |3x – 6| < - 3
a) ∅ c) [-1/2 ; 0〉 e) 〈∞ ; 5]
b) ℜ d) 〈-1 ; 0〉
11. Resolver: : |4x – 5| > 0
a) ∅ c) [5 ; 0〉 e) ℜ - {0}
b) ℜ d) 〈5 ; ∞〉
12. Resolver: |3x – 6| > 0
a) ∅ c) [5 ; 0〉 e) ℜ - {0}
b) ℜ d) 〈5 ; ∞〉
13. Resolver: |6x – 6| > - 5
a) ∅ c) [1 ; 0〉 e) ℜ - {0}
b) ℜ d) 〈∞ ; 1〉
14. Resolver: 2
2
35
≤≤≤≤
−−−−x
a) ∅ c) [-1/5 ; 0〉 e) [1/5 ; 5〉
b) ℜ d) [-1/5 ; 7/5]
ax + b < 0
5TO DE SECUNDARIA

8
15. Resolver:
( )
( )




>
+
≤−
2
1
........1
2
1
.......312
x
x
a) ∅ c) 〈1 ; 2] e) 〈-3 ; 2]
b) ℜ d) [-1 ; 2〉
16. Resolver la inecuación: |2x – 3| < 13,
indicar el mayor valor entero que la
verifica.
a) 6 c) 7 e) 9
b) 5 d) 8
17. Resolver: 3x – 1 < 4x – 2 < 2x + 6
a) ∅ c) 〈1 ; 4] e) [-1 ; 4〉
b) ℜ d) [-1 ; 4]
18. Resolver: -3x + 3 < 2x – 2 < x + 1
a) ∅ c) 〈-1 ; 1] e) [1 ; 3〉
b) ℜ d) [-1 ; 5]
19. Si: x ∈ 〈-5 ; 4], calcular el intervalo al que
pertenece: F =
4
32 ++++x
a) 〈-5/2 ; 3] c) 〈-11/4 ; 1] e) [1/2 ; 3〉
b) 〈-7/4 ; 11/4] d) [-1 ; 5/2]
20. Si: R =
5
22 x−−−−
∧ R ∈ 〈-4 ; 1], calcular la
extensión a la que pertenece “x”.
a) 〈-5 ; 3] c) 〈-5/2 ; 1] e) [-3/2 ; 11〉
b) 〈-3 ; 11/4] d) [-1 ; 11]
21. Resolver: 64
3
62
+>+
+
x
x
a) ∞+;
3
2
b) 0;∞−
c) ∞+;2 d)
11
12
;∞−
e) ∞+;
11
12
22. Resuelve la siguiente inecuación:
4
4x
2
3x
3
2x −
>
+
−
+
a) x ∈ 〈∞;
5
2
〉 c) x ∈ 〈∞;
5
2
− 〉 e) ℜ
b) x ∈ [-12; + ∞〉 d) φ
23. ¿Cuál es el mayor número entero “x” que
verifica:
3
15
10
133
4
15 +
>
−
−
− xxx
?
a) -2 c) 0 e) 2
b) -1 d) 1
24. Resolver: ( ) 53
4
2
2
1
13 −+
−
≥−+ x
x
x
a) 〈-∞ ; 32〉 c) 〈32 ; ∞〉 e) [32 ; ∞〉
b) 〈-∞ ; - 23〉 d) ℜ
25. Resolver:
( )( ) ( ) ( )( ) 421737612523 −−+>−−−+ xxxxx
a) 〈-∞ ; 3〉 c) 〈6 ; ∞〉 e) [3 ; ∞〉
b) 〈-∞ ; - 6〉 d) 〈- 3 ; 3〉
26. Después de resolver: 2
1
1
1
1
≥
−
+
+
+
−
a
ax
a
ax
;
a > 0. indicar el menor valor que toma “x”.
a)
a
a 22
+
b)
2
2 2
+a
a
c) 2
2
2
a
a −
d) a + 2
e)
2
2
+a
a
27. Si: a < b, resolver: a
abx
b
bax
+
+
<+
+
22
a) 〈-∞ ; 3〉 c) 〈3 ; ∞〉 e) [3 ; ∞〉
b) 〈-∞ ; - 3〉 d) 〈- 3 ; 3〉
28. Resolver: 2x + 10 < 2x + 12 < x + 11
a) 〈 - ∞ ; -1 ] d) ℜ
b) 〈 - ∞ ; - 4 〉 e) ∅
c) 〈 - 1 ; +∞ 〉
29. Resolver: 3x + 4 < 2x + 10 < 5x + 8
a) 〈 - 6 ; - 2 〉 c) 〈 2 ; 12 ] e) ℜ
b) ∅ d) 〈 2/3 ; 6 ]
30. Resolver: - x + 2 < x + 4 < - x + 10
a) [- 1 ; 3 ] c) 〈- 1 ; 3〉 e) ℜ
b) 〈- 1 ; 3 ] d) ∅

9
TEMA: INECUACIONES CUADRÁTICAS BIMESTRE II
I. Forma: ax2
< b ∧ b ∈ ℜ+
1. Resolver: x2
< 225
a) 〈-15 ; 15〉 c) 〈0 ; 15] e) ∅
b) [-15 ; 15] d) ℜ
2. Resolver: x2
< 256
a) 〈0 ; 64〉 c) [-16 ; 16] e) ∅
b) [-32 ; 32] d) ℜ
3. Resolver: x2
< 0
a) 〈0 ; ∞〉 c) 〈∞ ; 0] e) [0 ; ∞〉
b) [0 ; 1] d) {0}
4. Resolver: x2
> 0
a) {0} c) ℜ+
e) ∅
b) ℜ - {0} d) ℜ
5. Resolver: x2
> - 9
a) 〈-3 ; 3〉 c) 〈0 ; 3] e) ∅
b) [-3 ; 3] d) ℜ
6. Resolver: (x + 2)2
< 3
a) ∅ d) 23;23 ++++−−−−
b) ℜ e) 32;32 ++++−−−−−−−−−−−−
c) 〈-2 ; 2〉
7. Resolver: (3x – 1)2
> 4
a) 〈∞ ; 1/3〉 ∪ 〈1 ; ∞〉
b) 〈∞ ; 1〉 ∪ 〈3 ; ∞〉
c) 〈∞ ; -1/3〉 ∪ 〈1 ; ∞〉
d) 〈∞ ; -3〉 ∪ 〈1 ; ∞〉
e) 〈∞ ; -1〉 ∪ 〈1/3 ; ∞〉
III. Forma: ax2
+ bx < 0
8. Resolver: 3x2
– 6x > 0
a) ∅ d) 〈∞ ; 0〉 ∪ 〈2 ; ∞ 〉
b) ℜ e) 〈∞ ; -2〉 ∪ 〈0 ; ∞ 〉
c) 〈-2 ; 2〉
9. Resolver: 5x2
– 6x < 0
a) ∅ d) 〈∞ ; 0〉 ∪ 〈∞ ; 2〉
b) ℜ e) 〈∞ ; -6〉 ∪ 〈0 ; ∞〉
c) 〈0 ; 6/5〉
10. Resolver: 2x2
+ 4x < 0
a) ∅ d) 〈∞ ; 0〉 ∪ 〈∞ ; 2〉
b) ℜ e) 〈∞ ; -2〉 ∪ 〈∞ ; 0〉
c) 〈-2 ; 0〉
III. Forma: ax2
+ bx + c < 0
11. Resolver: x2
– 3x + 2 > 0
a) ∅ d) 〈∞ ; 1〉 ∪ 〈2 ; ∞〉
b) ℜ e) 〈∞ ; -2〉 ∪ 〈∞ ; 0〉
c) 〈-2 ; 0〉
12. Resolver: (x – 1)2
+ 1 < - (2 – x)2
+ 2
a) ∅ d) 〈∞ ; -1〉 ∪ 〈2 ; ∞〉
b) ℜ e) 〈∞ ; -2〉 ∪ 〈1 ; ∞〉
c) 〈1 ; 2〉
13. Resolver: 3x2
– x + 5 > 0
a) 〈∞ ; -3〉 ∪ 〈2 ; ∞ 〉 d) ℜ
b) 〈∞ ; 0〉 ∪ 〈2 ; ∞〉 e) ∅
c) 〈-2 ; 1〉
14. Resolver: 2x2
+ x – 5 < 0
a)
2
411
;
2
411 ++++−−−−−−−−−−−−
d) ℜ
b)
4
411
;
4
411 ++++−−−−−−−−−−−−
e) ∅
c) 〈0 ; 1〉
15. Resolver: 7x2
– 1 > x.(x – 1)
a) 〈∞ ; -1/3] ∪ [1/2 ; ∞〉
b) 〈∞ ; -1/2] ∪ [1/3 ; ∞〉
c) 〈∞ ; -3] ∪ [2 ; ∞〉
d) 〈∞ ; -2] ∪ [3 ; ∞〉
e) 〈∞ ; -3] ∪ [-2 ; ∞〉
16. Resolver: 5x2
+ 3x > 4(x2
– x – 3)
a) 〈∞ ; -3〉 ∪ 〈1 ; ∞〉
b) 〈∞ ; -3〉 ∪ 〈4 ; ∞〉
c) 〈∞ ; -4〉 ∪ 〈3 ; ∞〉
d) 〈∞ ; -4〉 ∪ 〈-3 ; ∞〉
e) 〈∞ ; -1/4〉 ∪ 〈1/3 ; ∞〉
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