1. ΜΜεερριικκάά
εερρωωττήήμμαατταα ……

2.  Πώς κινείται το καλαμάρι ;
 Ποια δύναμη ωθεί τον πύραυλο;
 Τι δίνει η μία μπίλια στην άλλη στο
μπιλιάρδο;
 Στην μετωπική σύγκρουση … τι γίνεται
η ταχύτητα των αυτοκινήτων;
 Γιατί το κανόνι εκτινάσσεται προς τα
πίσω όταν εκπυρσοκροτεί;

3. τ Μέχρι τώώρραα έέχχοουυμμεε γγννωωρρίίσσεειι ττιιςς έέννννοοιιεεςς::
Μάζα πόσα κιλά είναι
Βάρος με τι δύναμη έλκεται από τη Γη
Δύναμη η αιτία ….
Θέση που βρίσκεται …
Μετατόπιση πόσο άλλαξε η θέση
Ταχύτητα πόσο γρήγορα και προς τα που
Επιτάχυνση με ποιο ρυθμό αλλάζει το πόσο
γρήγορα …

4. Καθώς και τρεις θθεεμμεελλιιώώδδεειιςς ννόόμμοουυςς::
Τον νόμο της αδράνειας:
Τα σώματα θέλουν να συνεχίσουν να κάνουν αυτό
που ήδη κάνουν.
Τον θεμελιώδη νόμο της μηχανικής:
Πίσω από την επιτάχυνση κρύβεται πάντα μια
δύναμη.
Τον νόμο δράσης – αντίδρασης:
Οι δυνάμεις … δεν είναι δυνάμεις … αλλά
αλληλεπιδράσεις.

5. Γνωρίσαμε όόττιι ηη ττρριιββήή υυππάάρρχχεειι σσχχεεδδόόνν ππααννττοούύ
κκααιι μμάάθθααμμεε ααππόό ττιι εεξξααρρττάάττααιι κκααιι ααππόό ττιι δδεενν
εεξξααρρττάάττααιι ώώσσττεε νναα ττηηνν εελλέέγγχχοουυμμεε κκααττάά ττοο ππωωςς
μμααςς σσυυμμφφέέρρεειι
ΓΓννωωρρίίσσααμμεε ττηηνν ύύππααρρξξηη μμιιααςς κκααττηηγγοορρίίααςς δδυυννάάμμεεωωνν::
ττηηνν ββααρρυυττιικκήή ααλλλληηλλεεππίίδδρραασσηη
και εξηγήσαμε τις κινήσεις πλανητών και
δορυφόρων … μέχρι που καταφέραμε να
ζυγίσουμε τον Πλούτωνα !!!

6. Αρκούν οι παραπάνω έέννννοοιιεεςς νναα εεξξηηγγήήσσοουυμμεε κκάάθθεε
ττιι πποουυ έέχχεειι σσχχέέσσηη μμεε ττηηνν κκίίννηησσηη;;
ΜΜεερριικκάά εερρωωττήήμμαατταα ……
 Πώς κινείται το καλαμάρι ;
 Ποια δύναμη ωθεί τον πύραυλο;
 Τι δίνει η μία μπίλια στην άλλη στο μπιλιάρδο;
 Στην μετωπική σύγκρουση … τι γίνεται η
ταχύτητα των αυτοκινήτων;
 Γιατί το κανόνι εκτινάσσεται προς τα πίσω όταν
εκπυρσοκροτεί;

11. ΗΗ υυπποοψψίίαα ……
μμάάλλλλοονν κκάάπποοιιοο εεππιιππλλέέοονν ρρόόλλοο ππααίίζζοουυνν
τταα μμεεγγέέθθηη::
ΜΜΑΑΖΖΑΑ κκααιι ΤΤΑΑΧΧΥΥΤΤΗΗΤΤΑΑ
εεκκττόόςς ααππόό ττοο νναα μμααςς ααππααννττοούύνν
σσττοο ππόόσσοο ζζυυγγίίζζεειι κκααιι σσττοο ππόόσσοο
γγρρήήγγοορραα κκιιννεείίττααιι,,
…… ααλλλλάά πποοιιόόνν…… ;;

12. ΟΟρρμμήή
ΟΟρρμμήή == μμάάζζαα xx ττααχχύύττηητταα
p m υ  = ×

13. ΚΚααιι αακκόόμμαα ……ΟΟρρμμήή εείίννααιι ……
εεκκεείίννοο ττοο κκάάττιι --μμέέγγεεθθοοςς ττοο λλέέμμεε σσττηη
φφυυσσιικκήή-- πποουυ δδίίννεειι ττοο έένναα σσώώμμαα σσττοο
άάλλλλοο ((αακκόόμμαα κκααιι αανν δδεενν ττοο έέχχεειι)) όότταανν
ααλλλληηλλεεππιιδδρροούύνν.. ΚΚααιι νναα θθυυμμάάμμααιι ……
ττοο δδίίννεειι ππρροοςς μμίίαα κκααττεεύύθθυυννσσηη..
ΟΟρρμμήή ππάάννττωωςς έέχχοουυνν τταα σσώώμμαατταα πποουυ
κκιιννοούύννττααιι κκααιι έέχχεειι κκααιι κκααττεεύύθθυυννσσηη !!!!!!

14. 11..ΜΜπποορρεείίττεε νναα υυπποολλοογγίίσσεεττεε ττηηνν οορρμμήή σσααςς εεννώώ
κκάάννεεττεε πποοδδήήλλααττοο;; ΘΘεεωωρρήήσσεεττεε όόττιι ηη μμάάζζαα σσααςς μμααζζίί μμεε
ττοο πποοδδήήλλααττοο εείίννααιι 8800KKgg κκααιι ηη ττααχχύύττηητταα σσααςς 1100mm//ss..
22..ΈΈνναα ππρρωωττόόννιιοο ((11,,6677xx1100--2277 KKgg)) σσυυγγκκρροούύεεττααιι μμεε
ττααχχύύττηητταα 11xx110077 mm//ss μμεε έένναα αακκίίννηηττοο ππυυρρήήνναα ηηλλίίοουυ κκααιι
ττοο ππρρωωττόόννιιοο ααννααππηηδδάά ππρροοςς τταα ππίίσσωω μμεε ττααχχύύττηητταα
66xx110066 mm//ss.. ΜΜεεττάά ττοονν ββοομμββααρρδδιισσμμόό οο ππυυρρήήννααςς ηηλλίίοουυ
κκιιννεείίττααιι ππρροοςς τταα εεμμππρρόόςς μμεε ττααχχύύττηητταα 44xx110066 mm//ss..
ΜΜπποορρεείίττεε νναα υυπποολλοογγίίσσεεττεε ττηη μμάάζζαα ττοουυ ππυυρρήήνναα ττοουυ
ηηλλίίοουυ;; ΑΑνν ννααιι,, ππόόσσηη εείίννααιι;;

15. Διαπιστώσαμε ότι:
Όση ορμή έδωσε το 1ο στο 2ο τόση
έδωσε και το 2ο στο 1ο.
Ήδη μπορούμε κάνουμε κάποιες
προβλέψεις, μπορούμε όμως να
φτάσουμε σε ποιο εύχρηστα
συμπεράσματα …

16. Αν η ορμή του 1ου ήταν p1 και έγινε μετά την αλληλεπίδραση έγινε
p2΄ η ορμή πού πήρε από το 2ο ήταν ακριβώς η μεταβολή της:
1 1 1 p p ά p D = -
met prin
Αν η ορμή του 2ου ήταν p2 και έγινε μετά την αλληλεπίδραση έγινε
p2΄ η ορμή πού πήρε από το 1ο ήταν ακριβώς η μεταβολή της:
2 2 2 p p ά p D = -
met prin
Διαπιστώσαμε όμως ότι:
Όση ορμή έδωσε το 1ο στο 2ο τόση έδωσε και το 2ο στο 1ο
1 2 p p  D = -D

17.  
p p
D = -D Þ
1 2
   
( )
p p p p
- = - - Þ
ά ά
met prin met prin
1 1 2 2
   
p p p p
- = - + Þ
ά ά
met prin met prin
1 1 2 2
   
p p p p
+ = ά + ά
Þ
prin prin met met
1 2 1 2
ά
 
p p
met
olik
prin
oli
=
kή ή

18.   =
p prin
pmet
ά
oli
kή olik
ή 11. Από ακίνητο πυροβόλο, του οποίου η μάζα
είναι M=1.000kg, εκτοξεύεται βλήμα μάζας
m=1kg με οριζόντια ταχύτητα υο= 1.000m/s.
Πόση ταχύτητα αποκτά το πυροβόλο μετά την
εκπυρσοκρότηση;

19.   =
p prin
pmet
ά
oli
kή olik
ή *14. Ένας πύραυλος συνολικής μάζας
M=1.000kg κινείται κατακόρυφα
απομακρυνόμενος από τη Γη.
Κάποια στιγμή και ενώ η ταχύτητα του
είναι υ=500m/s, ο πύραυλος διαχωρίζεται
σε δύο κομμάτια.
Το ένα κομμάτι έχει μάζα m1 =800kg και η
ταχύτητα του αμέσως μετά τη διάσπαση
είναι υ1 =1.000m/s, ίδιας κατεύθυνσης με
αυτήν της ταχύτητας υ.
Να βρείτε την ταχύτητα που έχει το
άλλο κομμάτι αμέσως μετά τη
διάσπαση.

20.   =
p prin
pmet
ά
oli
kή olik
ή ΙΙσσχχύύεειι ππάάνντταα;; ΚΚάάθθεε φφοορράά πποουυ δδύύοο
σσώώμμαατταα ααλλλληηλλεεππιιδδρροούύνν;;
Μέχρι τώρα είμαστε βέβαιοι ότι ισχύει, αλλά
δεχτήκαμε μια βασική προϋπόθεση: ότι τα
δύο σώματα αλληλεπιδρούν μόνο μεταξύ
τους. Τα θεωρήσαμε ότι δεν δέχονται καμία
άλλη αλληλεπίδραση. Τότε ναι. Ισχύει πάντα.
Είναι αλήθεια όμως αυτό; Συναντούμε πολλές
τέτοιες περιπτώσεις;

21. Το φαινόμενο …
Εμείς βλέπουμε …
11 22
F2®1 F1®2
Και δουλεύουμε …

22. 11
F2®1
22
F1®2
Ασχολούμαστε με το σώμα 2 …

23. 22 F1®2
Η δύναμη F1®2 επιταχύνει
το σώμα 2 από ταχύτητα
υ1 σε υ2 για χρόνο Δt :
 
     
u u u
Þ = × -
® ®
met prin
F p p
Þ = -
t
F m a
Þ = × D
ü
= ×
= D
F m m
Þ = × - ×
u u
t
t
F m
t
F m
t
a
ά ά
ά
D
D
D
D
ïþ
ïý
D
® ®
®
met prin met prin
u
2 2
1 2
2 2
1 2
2 2
1 2 1 2
1 2
     

 
F p
t
Þ = D ®
D
2
1 2

24. ΘΘαα μμπποορροούύσσααμμεε νναα γγεεννιικκεεύύσσοουυμμεε,, ααννεεξξάάρρττηητταα ααππόό ττηηνν
ύύππααρρξξηη ττοουυ σσώώμμααττοοςς 11 …… ηη δδύύννααμμηη μμααςς έέμμεειιννεε ααππόό ααυυττόό !!!!!!
  F
F p
t
= D
D
χρήσιμη
μια σχέση !!!
Άλλη ΗΗ δδύύννααμμηη εείίννααιι ίίσσηη μμεε ττοονν ρρυυθθμμόό μμεεττααββοολλήήςς ττηηςς οορρμμήήςς..
ΠΠΡΡΟΟΣΣΟΟΧΧΗΗ !!!!!! ΌΌχχιι ττηηνν μμεεττααββοολλήή …… ααλλλλάά ττοο ……
ππόόσσηη μμεεττααββοολλήή σσεε ππόόσσοο χχρρόόννοο ……
κκάάττιι ααππόό κκλλίίσσηη μμοουυ θθυυμμίίζζεειι ααυυττόό !!!!!!

25.  
F p
t
= D
D
F
χρήσιμη
μια σχέση ;
Άλλη ΗΗ δδύύννααμμηη εείίννααιι ίίσσηη μμεε ττοονν ρρυυθθμμόό μμεεττααββοολλήήςς ττηηςς οορρμμήήςς..
4. Ένας αλεξιπτωτιστής εγκαταλείπει το
ελικόπτερο και πέφτει με το αλεξίπτωτο του να
μην έχει ανοίξει ακόμη. Αν η συνολική του μάζα
είναι m=90kg, ποιος νομίζετε ότι είναι ο ρυθμός
μεταβολής της ορμής του; Πόση ταχύτητα θα
αποκτήσει ο αλεξιπτωτιστής μετά από ένα
δευτερόλεπτο; Δίνεται: g=10m/s2.

26. 3. Ένας ποδοσφαιριστής κτυπάει μια ακίνητη μπάλα και
αυτή αποκτά ταχύτητα 24m/s. Αν η μπάλα έχει μάζα 0,5kg και
η διάρκεια της επαφής του ποδιού του ποδοσφαιριστή με τη
μπάλα είναι 0,03s, ποια είναι η μέση τιμή δύναμης που
ασκήθηκε στην μπάλα;
 
p m p
= × u
Þ =
arc arc arc
 
p m p
= × Þ =
tel tel tel
  
p p p p p p p
D = - Þ D = - Þ D =
tel arc tel arc
...
...
...
...
. . .
. . .
. . . .
Þ =
F p
Þ = D
D
 
F = D
p
D
F
t
t
u

27. 1100.. ΈΈνναα μμππααλλάάκκιι ττοουυ ττέέννιιςς μμάάζζααςς mm==110000gg ππέέφφττεειι μμεε οορριιζζόόννττιιαα ττααχχύύττηητταα
υυ11 ==1100mm//ss σσεε κκαατταακκόόρρυυφφοο ττοοίίχχοο κκααιι αανναακκλλάάττααιι μμεε εεππίίσσηηςς οορριιζζόόννττιιαα ττααχχύύττηητταα
υυ22==88mm//ss.. ΝΝαα ββρρεείίττεε::
ΑΑ.. ΤΤηηνν οορρμμήή πποουυ έέχχεειι ττοο μμππααλλάάκκιι ππρριινν κκααιι μμεεττάά ττηηνν εεππααφφήή ττοουυ μμεε ττοονν ττοοίίχχοο..
ΒΒ.. ΤΤηη μμεεττααββοολλήή ττηηςς οορρμμήήςς ττοουυ,, λλόόγγωω ττηηςς σσύύγγκκρροουυσσηηςς μμεε ττοονν ττοοίίχχοο..
ΓΓ.. ΤΤηη μμέέσσηη δδύύννααμμηη πποουυ δδέέχχθθηηκκεε ττοο μμππαα­­λλάάκκιι
ααππόό ττοονν ττοοίίχχοο,, αανν ηη εεππααφφήή δδιιααρρκκεείί
χχρρόόννοο ΔΔtt==00,,11 ss..
 
p m p
= × u
Þ =
arc arc arc
 
p m p
= × Þ =
tel tel tel
  
p p p p p p p
D = - Þ D = - Þ D =
tel arc tel arc
...
...
...
...
. . .
. . .
. . . .
Þ =
F p
Þ = D
D
 
F = D
p
D
F
t
t
u

28.     
p F t p p F t
Þ D = × D Þ - = × D Þ
.
tel arc
Θεώρημα
Ώθησης - ορμής
p F t p
. .
arc tel
F p
t
  
 
+ × D =
= D
D
Αν στην αρχική ορμή προσθέσουμε το γινόμενο
Δύναμη x χρόνος βρίσκουμε την τελική ορμή.
ΏΏθθηησσηη == ΔΔύύννααμμηη xx ΧΧρροοννιικκόό δδιιάάσσττηημμαα

29. ΠΠόόττεε έένναα γγιιννόόμμεεννοο εείίννααιι μμηηδδέένν;;
Όταν ό ένας όρος του είναι μηδέν, είναι απλό.
Και όταν και οι δύο όροι του είναι πολύ μικροί …
Οι μαθηματικοί δεν συμφωνούν με αυτό αλλά εμείς
είμαστε σίγουροι !!!
ΚΚααιι ππόόττεε ππρροοσσθθέέττεειιςς σσεε έένναανν ααρριιθθμμόό έένναανν άάλλλλοο κκααιι
δδεενν ααλλλλάάζζεειι;;
Όταν ό ένας είναι το μηδέν, πάλι είναι απλό.
Και όταν ο ένας είναι πάρα πολύ μικρός και ο άλλος
πολύ μεγάλος. Δηλαδή ο ο ένας είναι πάρα πολύ
μικρός σε σχέση με τον άλλο. Οι μαθηματικοί ούτε με
αυτό συμφωνούν αλλά εμείς πάλι είμαστε σίγουροι !

30. F p Þ D = × D
p F t
t
= D
D
 
 
22 F 11 F
Το γινόμενο Δύναμη x χρόνος μετρά πόση ορμή
δόθηκε από το σώμα 1 στο σώμα 2

31. Εκτός από την δύναμη αλληλεπίδρασης το σώμα 2 δέχεται εξωτερική (ως
προς τα δύο σώματα) δύναμη εδώ την τριβή Τ.
Υποθέτουμε ότι η δύναμη αυτή εείίννααιι ππάάρραα πποολλύύ μμιικκρρήή σε σχέση με την
αλληλεπίδραση και ότι το φαινόμενο (κρούση) δδιιααρρκκεείί ππάάρραα πποολλύύ λλίίγγοο ..
22 F1®2
11 F2®1
Τ
Με βάση την παραπάνω υπόθεση, για την δύναμη αυτή το γινόμενο :
Δύναμη x χρόνος δεν προσθέτει τίποτε στην μεταβολή της ορμής που
επιφέρει η δύναμη αλληλεπίδρασης.
   
Dp = F × Dt + F × Dt @ F × Dt 2 1®2 1®2

32. 22 F1®2
11 F2®1
Τ Τ
   
p F t F t F t
D = × D + × D @ × D
   
2 1 ® 2 1 ®
2
p F t F t F t
1 2 1 2 1
 
D = -D Þ
 
p p
ά
ή ή p p
met
olik
prin
olik
=
Þ
þ ý ü
D = × D + × D @ × D
® ®
... 1 1

33.   =
p prin
pmet
ά
oli
kή olik
ή ΙΙσσχχύύεειι ππάάνντταα;; ΚΚάάθθεε φφοορράά πποουυ δδύύοο
σσώώμμαατταα ααλλλληηλλεεππιιδδρροούύνν;;
Μέχρι τώρα είμαστε βέβαιοι ότι ισχύει, αλλά
δεχτήκαμε μια βασική προϋπόθεση: ότι τα
δύο σώματα αλληλεπιδρούν μόνο μεταξύ
τους. Τα θεωρήσαμε ότι δεν δέχονται καμία
άλλη αλληλεπίδραση. Τότε ναι. Ισχύει πάντα.
Είναι αλήθεια όμως αυτό; Συναντούμε πολλές
τέτοιες περιπτώσεις;

34.   =
p prin
pmet
ά
oli
kή olik
ή ΙΙσσχχύύεειι ππάάνντταα;; ΚΚάάθθεε φφοορράά πποουυ δδύύοο
σσώώμμαατταα ααλλλληηλλεεππιιδδρροούύνν;;
Αν δδεενν έέχχοουυμμεε εεξξωωττεερριικκέέςς δυνάμεις ισχύει πάντα.
Αν έχουμε εξωτερικές δυνάμεις και οοιι δδυυννάάμμεειιςς
ααυυττέέςς εείίννααιι ππάάρραα πποολλύύ μμιικκρρέέςς σε σχέση με την
αλληλεπίδραση και ότι το φαινόμενο (κρούση) δδιιααρρκκεείί
ππάάρραα πποολλύύ λλίίγγοο πάλι ισχύει.
Τις περισσότερες φορές οι παραπάνω
προϋποθέσεις ικανοποιούνται !

35. ΟΟρρμμήή
p  = m ×
υ ΟΟρρμμήή == μμάάζζαα xx ττααχχύύττηητταα 22οοςς ννόόμμοοςς ττοουυ NNeewwttoonn
 
F = D
p
δδύύννααμμηη == ρρυυθθμμόόςς μμεεττααββοολλήήςς ττηηςς οορρμμήήςς D
t
ΘΘεεώώρρηημμαα ΏΏθθηησσηηςς –– οορρμμήήςς
ΏΏθθηησσηη == ΔΔύύννααμμηη xx ΧΧρρόόννοοςς arc . tel . p F t p   + × D =
  ΝΝόόμμοοςς ΔΔιιααττήήρρηησσηηςς ττηηςς ΟΟρρμμήήςς =
p prin
pmet
ά
olik
ή olik
ή ΟΟλλιικκήή οορρμμήή ππρριινν == οολλιικκήή οορρμμήή μμεεττάά