1) O documento descreve o cálculo do produto escalar entre dois vetores u e v.
2) O produto escalar é dado pela soma dos produtos dos correspondentes componentes dos vetores, ou seja, a.d + b.e + c.f.
3) O produto escalar é igual ao módulo de u vezes o módulo de v vezes o cosseno do ângulo entre eles.
2. PRODUTO ESCALAR
( OU INTERNO )
Como visto anteriormente, temos que os
vetoresu v
e são dados por :
u = ( a , b, c ) v = (d , e, f )
E também que
os seus u = a +b +c
2 2 2
módulos são
dados por : v = d +e + f
2 2 2
3. Vejamos graficamente
a Diferença de Vetores : u u −v
θ
Aplicando a Lei dos
Cossenos, temos :
v
I
2 2 2
u − v = u + v − 2. u . v . cosθ
Temos também que :
u − v = (a, b, c) − (d , e, f )
u − v = (a − d , b − e, c − f )
4.
u − v = (a − d , b − e, c − f )
u − v = (a − d ) + (b − e) + (c − f )
2 2 2
2
u − v = (a − d ) + (b − e) + (c − f )
2 2 2
2
u = a +b +c ⇒ u = a +b +c
2 2 2 2 2 2
2
v = d +e + f ⇒ v = d +e + f
2 2 2 2 2 2
Aplicando de volta na equação I, temos :
5. (a − d ) + (b − e) + (c − f ) =
2 2 2
a + b + c + d + e + f − 2. u . v . cosθ
2 2 2 2 2 2
Desenvolvendo as operações indicadas,
temos :
a + b + c + d + e + f − 2ad − 2be − 2cf =
2 2 2 2 2 2
a + b + c + d + e + f − 2. u . v . cosθ
2 2 2 2 2 2
− 2ad − 2be − 2cf = −2. u . v . cosθ
Dividindo tudo por (− 2),
temos a.d + b.e + c. f =
: u . v . cosθ
6.
a.d + b.e + c. f = u . v . cosθ
Essa soma de produtos das coordenadas dos
vetoresu v
por , chamamos de produto
escalar de u vpor .
Podemos denotar u escalar v por u .v .
Então : u .v = a.d + b.e + c. f
Logo : u .v = u . v . cos θ
v .u =d .a +e.b + f .c
7. PRODUTO
O produto escalar é comutativo.
O produto escalar é comutativo.
ESCALAR u .v = v .u
O produto escalar
O produto escalar
u u−v (( ou interno ), serve
ou interno ), serve
θ para o cálculo do
para o cálculo do
ângulo θ entre os
ângulo θ entre os
v vetores
vetores u e
ev ..
u.v = a.d + b.e + c. f
u.v = u . v . cosθ
8.
u .v = a.d + b.e + c. f
u .v = u . v . cosθ
>
θ é agudo, u .v 0
=
θ é reto, u .v 0
θ é obtuso, u .v < 0
2
se u = v, temos θ = 0º , então u .u = u
9. Desigualdades :
Cauchy− Schwars
Cauchy− Schwars u .v ≤ u + v
Pelo Produto Escalar, temos que : Logo :
u .v
u.v = u . v . cosθ cosθ =
u .v
Lembrando que :
u .v
− ≤ cosθ ≤ 1 ⇒ cosθ =
1
u .v u .v
− 1 ≤ ≤ 1 ⇒ u .v ≤ u + v
u .v
10. y
u
j
São os cossenos dos O u
ângulos que um vetor k
i x
qualquer forma com os
eixos coordenados. z
Marcamos um vetor u
inicialmente
representante do vetor u dado que tenha
como ponto origem, a origem do sistema de
coordenadas. Os ângulos α , β e δ são os
ângulos formados com os eixos coordenados,
dos quais desejamos calcular os cossenos ditos
diretores.
11. y
u .i = u . i . cos α
u
j β u . j = u . j . cos β
O u α
u .k = u . k . cos δ
k x
δ i
z
Calculando os produtos escalares
do vetor com os
vetores
unitários i , j e k , obtemos :
12.
u .i = u . i . cos α
u = ( a , b, c )
u . j = u . j . cos β onde :
i = (1,0,0)
u .k = u . k . cos δ
j = (0,1,0)
u = a +b +c
2 2 2
k = (0,0,1)
i = j = k =1
13. 2 2 2
(a , b, c).(1,0,0) = a + b + c .1. cos α
2 2 2
(a , b, c).(0,1,0) = a + b + c .1. cos β
2 2 2
(a , b, c).(0,0,1) = a + b + c .1. cos δ
a
cos α =
a +b +c
2 2 2
b
cos β =
a +b +c
2 2 2
c
cos δ =
a +b +c
2 2 2