1. Ο ΚΥΚΛΟΣ
Α1. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτοµένης (ε) του κύκλου C: (x-5)2+(y+1)2=10 που
είναι παράλληλη προς την ευθεία δ: x-3y+5=0
(Απ. ε1: x-3y-18=0 ε2: x-3y+2=0)
2 2
Α2. ∆ίνονται η ευθεία ε: 5x+3y+2=0 και ο κύκλος C: x +y -x-2=0 που τέµνονται στα
σηµεία Μ και Ν.
i. Να αποδειχθεί ότι για κάθε πραγµατικό αριθµό λ η εξίσωση :
x2+y2-x-2+λ(5x+3y+2)=0 παριστάνει κύκλο, ο οποίος περνάει από τα Μ και Ν.
 5λ − 1 3λ  34λ2 − 18λ + 9
(Απ. Κ = − ,−  , ρ = )
 2 2  2
ii. Να αποδειχθεί ότι τα κέντρα των κύκλων του ερωτήµατος ( i ) ανήκουν στην
ευθεία ε1 της οποίας να βρεθεί η εξίσωση. (Απ. 6x-10y-3=0 )
Α3. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου,
i. ο οποίος έχει κέντρο το σηµείο Ο(0,0) και διέρχεται από το σηµείο Α(3,4).
ii. ο οποίος έχει κέντρο το σηµείο Κ(1,0) και εφάπτεται της ευθείας ε: 3x+4y+2=0.
iii. ο οποίος έχει διάµετρο το ευθύγραµµο τµήµα που έχει άκρα τα σηµεία Α(2,0)
και Β(0,4).
Α4. ∆ίνεται ο κύκλος C: x2+y2-6x-4y-12=0. να αποδείξετε ότι το σηµείο Α(-1,5)
ανήκει στον κύκλο C και να βρείτε τις συντεταγµένες του αντιδιαµετρικού του
σηµείου Α΄.
Α5. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου,
i. ο οποίος διέρχεται από τα σηµεία Α(1,-1), Β(3,1), Γ(-1,3)
ii. ο οποίος διέρχεται από τα σηµεία Α(1,0), Β(3,4) και έχει το κέντρο του στην
ευθεία ε: y=2x-3.
Α6. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου,
i. ο οποίος εφάπτεται της ευθείας ε: x+y-5=0 στο σηµείο Α(6,-1) και διέρχεται
από το σηµείο Β(6,1).
ii. Ο οποίος εφάπτεται των ηµιαξόνων Ox και Oy και διέρχεται από το σηµείο
Α(1,2)
Α7. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου,
i. Ο οποίος διέρχεται από τα σηµεία Ο(0,0) και Α(8,0) και εφάπτεται της ευθείας
ε: y=-2.
ii. Ο οποίος εφάπτεται των ηµιαξόνων Ox και Oy και της ευθείας ε: 3x+4y-12=0.
Α8. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης του κύκλου x2+y2-8x+8=0 στο σηµείο
Α(2,2) αυτού και να αποδείξετε ότι αυτή διέρχεται από την αρχή των αξόνων.
Α9. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης του κύκλου C: x2+y2=2,
i. Η οποία είναι παράλληλη στην ευθεία ε: y=x+3.
ii. Η οποία είναι κάθετη προς την ευθεία ε: y=2x+1.
iii. Η οποία διέρχεται από το σηµείο Α(3,0).
Α10. Από το σηµείο Μ(-3,-8) φέρνουµε τις εφαπτόµενες στον κύκλο
C: x2+y2+8x+2y-8=0 και έστω Α, Β τα σηµεία επαφής.
i. Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτοµένων αυτών.
ii. Να βρείτε το µήκος των ΜΑ και ΜΒ.
iii. Αν Κ είναι το κέντρο του κύκλου C, να αποδείξετε ότι η ευθεία ΜΚ είναι
µεσοκάθετη του ΑΒ.
Α11. Έστω ο κύκλος C µε κέντρο Κ(x0,y0) και ακτίνα ρ. Να βρεθεί η εξίσωση της
εφαπτοµένης του κύκλου C στο σηµείο Α(x1,y1). (A είναι σηµείο του κύκλου).
(Απ. (x-x0)(x1-x0)+(y-y0)(y1-y0)=ρ2.)