1. Fecha:
09/2013
LENNISCATA INC
Universidad Fermín Toro
Revista Virtual
CALCULO II
Autor:Alberto Perozo
COORDENADAS PO-
LARES
1.- Sistema de Coorde-
nadas Polares
2.- Gráficas de Ecuacio-
nes en Coordenadas Po-
lares
3.- Intersección de Grá-
ficas
4.- Calcular el Área de
una Región Plana en
Coordenadas Polares
2. Editorial.
En la publicación damos
a conocer al publico perti-
nente, una visión muy intere-
sante sobre las coordenadas
polares incluimos la informa-
ción básica para entender
mejor este tema de calculo II
incluyendo técnicas , expli-
camos con bastante profun-
didad los puntos oscuros de
este tópico
Finalmente se muestra un gráfico como los
dos anteriores, donde aparece una lem-
niscata, con la única diferencia que aho-
ra se muestra en sentido vertical. Vea-
mos:
3. Tenemos otro ejemplo de lemniscata, pero
ahora aparece a lo largo del eje x o en
sentido horizontal:
COORDENADAS POLARES
1.1.1.--- Sistema de CoordenadasSistema de CoordenadasSistema de Coordenadas
PolaresPolaresPolares
2.2.2.--- Gráficas de Ecuaciones enGráficas de Ecuaciones enGráficas de Ecuaciones en
Coordenadas PolaresCoordenadas PolaresCoordenadas Polares
3.3.3.--- Intersección de GráficasIntersección de GráficasIntersección de Gráficas
4.4.4.--- Calcular el Área de unaCalcular el Área de unaCalcular el Área de una
Región Plana en Coordena-Región Plana en Coordena-Región Plana en Coordena-
das Polaresdas Polaresdas Polares
5.5.5.––– Algunas Graficas conoci-Algunas Graficas conoci-Algunas Graficas conoci-
das.das.das.
4. 1.- Sistema de Coordenadas Polares
Ya se ha visto en cursos anteriores que los puntos
del plano se pueden representar en coordenadas cartesia-
nas mediante dos números (abscisa, ordenada).En este tema
veremos que los puntos del plano también se pueden repre-
sentar usando otro sistema de referencia, que denomina-
mos coordenadas polares.
En esta unidad se introducen las coordenadas polares y
algunos ejemplos que ilustran su utilidad para representar,
mediante ecuaciones con dichas coordenadas, algunas cur-
vas clásicas como la Cardioide, la Lemniscata de Bernoulli,
los Lazos, las Cónicas y algunas espirales, entre otras.
Como se podrá observar en algunos ejemplos de
representación de las curvas en coordenadas polares, sólo
es preciso definir las mismas de cada punto: r (distancia al
polo) y t (ángulo con el eje polar), en función de las coorde-
nadas cartesianas x e y.
En este tipo de representación los puntos del plano tie-
nen asociados dos coordenadas: su distancia al polo y
el ángulo con el eje polar. A la distancia se le suele lla-
mar radio y se designa por la letra r o la letra griega r (rho),
al ángulo se le suele designar por la letra griega q (theta).
Sistema de Coordenadas
que confluyen en el origen y a partir de los cuales se
calculan las coordenadas de cualquier punto constituyen lo
que se denomina sistema de referencia.
LEMNISCATA
En matemáticas, una leminscata es un tipo
de curva descrita por la siguiente ecua-
ción en coordenadas polares:
La representación gráfica de esta ecuación
genera una curva similar a . La curva
se ha convertido en el símbolo del infinito
y es ampliamente utilizada en matemáti-
cas. El símbolo en sí mismo es, a veces,
llamado lemniscata. Un ejemplo de esta
función con su respectivo gráfico lo apre-
ciamos a continuación:
5. Ahora veamos una nueva gráfica que resulta
en una circunferencia, con la única dife-
rencia que ahora aparece arriba del rayo
inicial (o del eje x que todos conocemos),
a diferencia del gráfico anterior, que la
circunferencia aparecía abajo del radio
inicial. La función con su gráfico es esta:
Sistema de Coordenadas Polares
Las coordenadas polares son un sistema que definen
la posición de un punto en un espacio bidimensional consis-
tente en un ángulo y una distancia.
En muchos casos es útil utilizar las coordenadas cartesia-
nas para definir una función en el plano o en el espacio. Aun-
que en muchos otros, definir ciertas funciones en dichas
coordenadas puede resultar muy tedioso y complicado. En
dichos casos, hacer uso de las coordenadas polares o esféri-
cas puede simplificarnos la vida.
Un sistema de coordenadas es un conjunto de valores
que permiten definir unívocamente la posición de cualquier
punto de un espacio geométrico respecto de un punto deno-
minado origen. El conjunto de ejes, puntos o planos
Un sistema de coordenadas es un conjunto de valo-
res que permiten definir unívocamente la posición de cual-
quier punto de un espacio geométrico respecto de un punto
denominado origen. El conjunto de ejes, puntos o planos que
confluyen en el origen y a partir de los cuales se calculan las
coordenadas de cualquier punto, constituyen lo que se deno-
mina sistema de referencia.
Sistema de Coordenadas Polares
Sistema de referencia constituido por un eje que pasa por
el origen. La primera coordenada es la distancia existente
entre el origen y el punto, mientras que la segunda es el án-
gulo que forman el eje y la recta que pasa por ambos puntos.
6. Conversión de Coordenadas
La representación de un punto en el plano o el espa-
cio, se puede hacer mediante diferentes sistemas de coor-
denadas. En estos momentos nos ocupan los sistemas de
coordenadas rectangulares y polares.
Es lógico pensar que existe una equivalencia entre los
diferentes sistemas, en este caso nos ocuparemos de la
conversión del rectangular al polar y viceversa.
En este tópico se incluyen algunas gráficas para mos-
trar la ubicación de un punto en cada uno de los sistemas
respectivos.
Las calculadoras dibujan gráficas de r = f (θ) al hallar el
valor de f (θ) para numerosos valores de θ a intervalos
espaciados regularmente, y dibujando luego los puntos
resultantes (x,y).
Usted debe ser consciente de que la apariencia de la
gráfica en calculadora depende de la ventana de grafica-
ción especificada x-y, y también del rango de los valores
mostrados de θ.
Cuando se dibujan gráficas en coordenadas polares,
debe identificarse algunos valores mostrados de θ corres-
pondientes a r = 0 o donde r alcanza un máximo o un
mínimo. Además, debe identificar el rango de valores de
θ que producen una copia de la curva polar, cuando ésta
es apropiada. Se
deduce que mu-
chas curvas fami-
liares tienen
ecuaciones pola-
res sencillas
CIRCUNFERENCIA
Esta nueva función nos presenta una forma
conocida por todos y es precisamente la
circunferencia, la cual será formada en
el gráfico polar mediante la siguiente fun-
ción:
7. Antes de terminar el tema de los limacoides
o caracoles, veamos otro gráfico diferente
a los otros, que es conocido como cara-
col convexo o caracol ovalado, el cual
está apuntando hacia arriba, como lo ve-
mos en el gráfico siguiente:
2.- Gráficas de Ecuaciones en Coordenadas Polares
Gráfica de una Ecuación Polar
La gráfica de una ecuación polar r = f(θ) es el conjunto
de puntos (x,y) para los cuales x = r cos θ , y = r
sen θ y r = f (θ). En otros términos, la gráfica de una ecua-
ción polar es una gráfica en el plano xy de todos los puntos
cuyas coordenadas polares satisfacen la ecuación dada.
Comience por dibujar dos gráficas sencillas ( y familia-
res). La clave para dibujar las mismas de una ecuación polar,
es mantener siempre presente que representan las coorde-
nadas polares.
Con estos conceptos básicos de localización de puntos
en el sistema de coordenadas polares, podemos graficar fun-
ciones y no sólo puntos. En este tipo de funciones la varia-
ble independiente es θ y la dependiente es r, así que las fun-
ciones son del tipo r = r(θ). El método para graficar estas
funciones es el siguiente, primero graficamos la función r = r
(θ) en coordenadas rectangulares y a partir de esa gráfica
trazamos la correspondiente en polares. Guiándonos con la
dependencia de r con respecto a θ.
Recordemos que θ es la variable independiente y general-
mente va de 0 a 2π.
Continúe viendo la información en el archivo que esta al
final de la unidad.
Ahora que ya conoces las coordenadas polares y observó
una variedad de gráficas de las mismas, el próximo paso
consiste en extender las técnicas del cálculo al caso de in-
tersección de ecuaciones en dichas coordenadas polares,
con el propósito de buscar todos los puntos de dicha inter-
sección.
Puesto que un punto puede representarse de formas
diferentes en coordenadas polares, debe tenerse especial
cuidado al determinar los puntos de intersección de dos
gráficas polares, por lo que se sugiere realizar el dibujo de
las ecuaciones, inclusive cuando más adelante calculemos el
área de una región polar.
8. 3.- Intersección de Gráficas
Ahora que ya conoces las coordenadas polares y observó
una variedad de gráficas de las mismas, el próximo paso
consiste en extender las técnicas del cálculo al caso de in-
tersección de ecuaciones en dichas coordenadas polares,
con el propósito de buscar todos los puntos de dicha inter-
sección.
Puesto que un punto puede representarse de formas di-
ferentes en coordenadas polares, debe tenerse especial cui-
dado al determinar los puntos de intersección de dos gráfi-
cas polares, por lo que se sugiere realizar el dibujo de las
ecuaciones, inclusive cuando más adelante calculemos el
área de una región polar.
De igual forma el problema de hallar los puntos de inter-
sección de dos gráficas polares con el de encontrar los pun-
tos de colisión de dos satélites en órbita alrededor de la tie-
rra, dichos satélites no entrarían en colisión en tanto lleguen
a los puntos de intersección en tiempos diferentes (valores
de q).
La colisión se producirá
solamente en aquellos pun-
tos de intersección que sean
"puntos simultáneos", aque-
llos a los que se llega en el
mismo instante (valor de q).
Ahora se muestra un gráfico igual al anterior
con la diferencia que ahora está dirigido
hacia la derecha, de modo que tenemos
un limaçon o caracol con hendidura
o concavidad que está dirigido hacia la
derecha:
9. Continuando con la gráfica de caracoles o li-
macones, hay otro tipo que es el caracol
con hendidura o caracol con conca-
vidad. Como podremos observar, este no
tiene lazo, y está dirigido hacia la izquier-
da. Veamos a continuación el gráfico que
resulta, el cual apunta hacia la izquierda:
4.- Calcular el Área de una Región Plana en
Coordenadas Polares
El desarrollo de una fórmula para el área de una región
polar va paralelo al de zonas en sistema de coordenadas
rectangulares, pero con sectores de un círculo en lugar de
rectángulos como elementos básicos de dicha área. En la
figura se observa que la superficie de un sector circular de
radio r viene dada por:
Consideremos la función dada por r= f(q), donde f es con-
tinua y no negativa en el intervalo [ a , b ] . La región limi-
tada por la gráfica para hallar el área de esta región, parti-
mos el intervalo [ a , b ] en n subintervalos iguales
a = q < q < q <........< q < q = b
A continuación aproximamos el área de la región por la
suma de las mismas de los n sectores,
Luego de haber notado el teorema anterior, podemos
decir que usar la fórmula para hallar el área de una región
limitada por la gráfica de una función continua no negativa.
Sin embargo, no es necesariamente válida si f toma valores
positivos y negativos en
el intervalo [ a , b ] .
Algunas veces lo más
difícil a la hora de hallar
el área de una región
polar es determinar los
límites de integración.
Un buen dibujo de la re-
gión puede ayudar mu-
cho en estos casos.
10. 5.– Graficas conocidas.
Graficas en Coordenadas Polares:
ROSA DE CUATRO HOJAS/PÉTALOS
Este tipo de gráfico se conoce como
Rosa de cuatro pétalos. Es fácil ver
cómo se forma una figura parecida
a una rosa con cuatro pétalos. La
función para este gráfico es:
Veamos otro gráfico de una función que tie-
ne como resultado un caracol con un
lazo interior pero que a diferencia del
gráfico anterior, este apunta hacia abajo.
Veamos:
11. LIMACONES O CARACOLES
Limaçon viene del latín limax que significa caracol. El caracol de
Pascal, lo descubrió Etienne Pascal padre de Blaise Pascal en la
primera mitad del siglo XVII y el nombre se lo dio Roberval en
1650 cuando la usó como ejemplo para mostrar su método para
trazar tangentes. Un limaçon o las gráficas polares que generan
limaçones son las funciones en coordenadas polares con la forma:
r = 1 + b cos
Ahora veamos un ejemplo concreto de un gráfico de este tipo,
donde se muestra un caracol que apunta hacia la derecha
y que tiene un lazo interior. La función para este gráfico
es la siguiente:
ROSA DE TRES HOJAS/PÉTALOS
Presentamos ahora el gráfico llamado Rosa
de tres pétalos. Analógicamente al grá-
fico de la rosa de cuatro pétalos, este grá-
fico es parecido pero tiene sólo tres hojas
o pétalos en su forma gráfica. Un ejemplo
es el siguiente:
12. ROSA DE OCHO HOJAS/PÉTALOS
El siguiente gráfico es como los dos anterio-
res, pero ahora con ocho hojas o pétalos,
tal como lo vemos en la siguiente función
graficada:
Habiendo visto el primer gráfico de una car-
diode, se presenta otro gráfico de este ti-
po pero ahora apunta hacia arriba, tal co-
mo lo vemos a en el gráfico de la siguiente
función:
13. CARDIOIDES
A continuación se presenta el tipo de gráfico
que se denomina cardioide. Para este
ejemplo se presenta una cardioide simé-
trica con respecto al eje poplar y que
apunta hacia la derecha. Podemos obser-
var que se distingue una figura como de
un corazón, razón por la cual se llama es-
te gráfico cardioide. La función que lo ha
generado es:
UNA ROSA DENTRO DE OTRA
Un caso interesante y especial que se puede
dar es el que se muestra en la gráfica que
vemos a continuación, donde se aprecia
una rosa de tres pétalos precisamente
dentro de otra rosa de tres pétalos u
hojas. Veamos:
