1. Problemáticas de la Geometría II

2. ¿Qué es la Geometría?
• La geometría es una parte de la matemática que
estudia idealizaciones del espacio en que
vivimos: los puntos, las rectas, los planos, y otros
elementos conceptuales derivados de ellos, como
polígonos o poliedros.

3. Uso práctico
• En la practica, la geometría sirve para solucionar
problemas concretos en el mundo de lo visible.
Entre sus utilidades se encuentran la
justificación teórica de muchos instrumentos:
compás, teodolito, pantógrafo, sistema de
posicionamiento global. También es la que nos
permite medir áreas y volúmenes, es útil en la
preparación de diseños, e incluso en la
fabricación de artesanías.

4. Orígenes
• La geometría es una de las ciencias más antiguas
entre las que existen en la actualidad, pues sus
orígenes ya se han establecido en lo que era el
Antiguo Egipto. Así, gracias a los trabajos de
importantes figuras como Heródoto o Euclides,
hemos sabido que desde tiempos inmemoriales
aquella estaba muy desarrollada pues era
fundamental para el estudio de áreas, volúmenes
y longitudes.

5. Geometría sintética
La geometría pura o sintética es una rama de
las matemáticas, que se encarga de estudiar y
construir de manera sintética las formas
y lugares geométricos.

6. Características de la geometría
sintética.
Se dice que la geometría pura o sintética es
aquella con la que se puede construir
axiomáticamente (con un sistema axiomático),
con un tratamiento lógico-deductivo.
Es decir, a partir de una serie de axiomas o
postulados -que se adopten a priori- se comienza
a construir y demostrar proposiciones lógicas;
que se sustentan como en una especie de
eslabones de una cadena de razonamiento.

7. La geometría euclidiana (o euclídia)
La geometría eucliana es el estudio de las
propiedades geométricas de los espacios
euclídeos.
Es aquella que estudia las propiedades
geométricas del plano afín euclídeo real y del
espacio afín euclídeo tridimensional real
mediante el método sintético, introduciendo
los cinco postulados de Euclides.

8. Euclides
Euclides es, sin lugar a dudas, el Matemático más
famoso de la antigüedad y quizás el más
nombrado y conocido de la historia de las
Matemáticas.
Todo lo que sabemos de su vida (que es muy poco)
nos ha llegado a través de los comentarios de un
historiador griego llamado Proclo. Sabemos que
vivió en Alejandría (Egipto), al parecer en torno
al año 300 a.c.

9. Euclides
Allí fundó una escuela de estudios matemáticos.
Por otra parte también se dice que estudió en la
escuela fundada por Platón.
Su obra más importante es un tratado de
geometría que recibe el título de "Los
Elementos", cuyo contenido se ha estado (y
aún se sigue de alguna manera) enseñando hasta
el siglo XVIII, cuando aparecen las geometrías
no Euclidianas (geometrías que no parten de los
mismos axiomas no euclidianas).

10. ¿Qué son los axiomas y postulados en
geometría euclidiana?
Euclides construye su argumentación
basándose en un conjunto de axiomas
(principios o propiedades que se admiten
como ciertas por ser evidentes y a partir de
los cuales se deduce todo lo demás) que
Euclides llamó postulados. Los cinco
postulados de Euclides.
Estos son proposiciones que relacionan
conceptos, definidos en función del punto,
la recta y el plano.

11. La geometría euclidiana (o euclídia)
La geometría eucliana es el estudio de las
propiedades geométricas de los espacios
euclídeos.
Es aquella que estudia las propiedades
geométricas del plano afín euclídeo real y del
espacio afín euclídeo tridimensional real
mediante el método sintético, introduciendo
los cinco postulados de Euclides.

12. Los cinco postulados de Euclides
I.- Dados dos puntos se pueden trazar una recta
que los une.
II.- Cualquier segmento puede ser prolongado de
forma continua en una recta ilimitada en la
misma dirección.

13. Los cinco postulados de Euclides
III.- Se puede trazar una circunferencia de centro
en cualquier punto y radio cualquiera.
IV.- Todos los ángulos rectos son iguales.

14. Los cinco postulados de Euclides
V.- Si una recta, al cortar a otras dos, forma los
ángulos internos de un mismo lado menores que
dos rectos, esas dos rectas prolongadas
indefinidamente se cortan del lado en el que
están los ángulos menores que dos rectos.

15. Los cinco postulados de Euclides
Este axioma es conocido con el nombre
de axioma de las paralelas y también se
enunció más tarde así:
V-. Por un punto exterior a una recta se puede
trazar una única paralela.

16. Espacio euclídeo
En matemáticas, el espacio euclídeo es un tipo
de espacio geométrico donde se satisfacen
los axiomas de Euclides de la geometría.
La recta real, el plano euclídeo y el
espacio tridimensional de la geometría
euclidiana son casos especiales de espacios
euclídeos de dimensiones 1, 2 y 3
respectivamente.

17. Resumiendo:
Geometría euclidiana es la rama de la geometría
basada en los postulados de Euclídes, la cual, en
el espacio tridimensional, corresponde a
nuestras ideas intuitivas sobre cómo es el
espacio.
Esta materia se basa en varias definiciones, como
las de punto y de línea, junto con varios
postulados acerca de las propiedades
geométricas.
Emplea el Método sintético partiendo de los
Postulados de Euclides.

18. En Problemáticas de la Geometría I
ustedes se iniciaron en el estudio de la
Geometría euclidiana por aplicación del
métodos sintético.

19. Sobre la geometría analítica:
La geometría analítica estudia las figuras
geométricas mediante técnicas básicas del
análisis matemático y del álgebra en un
determinado sistema de coordenadas.

20. ¿Qué son los axiomas y postulados en
geometría analítica?
En geometría analítica, los axiomas se
definen en función de ecuaciones de
puntos, basándose en el análisis
matemático y el álgebra.
Adquiere otro nuevo sentido hablar de
puntos, rectas o planos.
f(x) puede definir cualquier función,
llámese recta, circunferencia, plano, etc.

21. Geometría analítica
Su desarrollo histórico comienza con la geometría
cartesiana, impulsada con la aparición de la
geometría diferencial de Carl Friedrich Gauss y
más tarde con el desarrollo de la geometría
algebraica.
Actualmente la geometría analítica tiene múltiples
aplicaciones más allá de las matemáticas y la
ingeniería, formando parte del trabajo de
administradores para la planeación de
estrategias y logística en la toma de decisiones.

22. Las dos cuestiones fundamentales
de la geometría analítica son:
• Dado el lugar geométrico en un sistema de
coordenadas, obtener su ecuación.
• Dada la ecuación en un sistema de coordenadas,
determinar la gráfica o lugar geométrico de los
puntos que verifican dicha ecuación.

23. Geometría analítica vs geometría
sintética.
La denominación de ”analítica” dada a esta forma
de estudiar la geometría provocó que la anterior
manera de estudiarla (es decir, la manera
axiomático-deductiva, sin la intervención de
coordenadas) se terminara denominando, por
oposición, geometría “sintética,” debido a la
dualidad análisis-síntesis.

24. • La mayor diferencia entre la geometría
analítica y la geometría sintética, radica en el
estudio y tratamiento que se les da a éstas, por
ejemplo, en la geometría analítica el uso
del álgebra, en especial el álgebra lineal, es
fundamental, sin embargo, para la geometría
pura no es tan indispensable el enfoque
algebraico (sin que esto signifique su exclusión).

25. Estudio de la Geometría
• El estudio de la geometría no se agota con el
conocimiento de las denominadas sintética y
analítica.
• Podemos mencionar, a modo de ejemplo, otros
capos de estudio como la geometría descriptiva,
la topología, la geometría de espacios con cuatro
o más dimensiones, la geometría fractal, y
geometría no euclídea.