2. Bài 1.Bài 1.Bài 1.Bài 1. Cao ng Sư Ph m Tp. H Chí Minh năm 2002
Gi i các phương trình và b t phương trình sau
1/ ( )5 x
2log x log 125 1 1− <
2/ ( )
2 2
x x 5 x 1 x 5
4 12.2 8 0 2− − − − −
− + =
Bài gi i tham kh o
1/ Gi i b t phương trình : ( )5 x
2log x log 125 1 1− <
● i u ki n : 0 x 1< ≠ .
( ) 5 5
125 5
1 3
1 2log x 1 0 2log x 1 0
log x log x
⇔ − − < ⇔ − − <
5 5 5
2
5
1t log x 0 t log x log x 1
x
53 32t t 3
t 1 0 t 0 log x0 1 x 5 52 2t
= ≠ = < − < ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ − − < − ∨ < < < << < <
.
● K t h p v i i u ki n, t p nghi m c a b t phương trình là : ( )1
x 0; 1;5 5
5
∈ ∪
.
2/ Gi i phương trình : ( )
2 2
x x 5 x 1 x 5
4 12.2 8 0 2− − − − −
− + =
● i u ki n : 2
x 5
x 5 0
x 5
≤ −
− ≥ ⇔ ⇒
≥
T p xác nh : ( )D ; 5 5; = −∞ − ∪ +∞
.
( )
22
2 2
2
x x 52 x x 5
x x 5 x x 5
2 x x 5
2 2t 2 0
2 2 6.2 8 0
t 6.t 8 0 2 4
− −− −
− − − −
− −
= = > ⇔ − + = ⇔ ⇔ − + = =
( )
( )
222 2
2 2
22
x 1x 1 0
x 3 x 3x 5 x 1x x 5 1 x 5 x 1
9x 2x 2 0 xx x 5 2 x 5 x 2
49
xx 5 x 2
4
≥− ≥ = = − = −− − = − = − ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ≥ − ≥ =− − = − = − = − = −
.
● K t h p v i i u ki n, phương trìn có hai nghi m là
9
x ; x 3
4
= = .
Bài 2.Bài 2.Bài 2.Bài 2. Cao ng Sư Ph m Hà Tĩnh kh i A, B năm 2002
Gi i b t phương trình :
( )
( )
2
2 2
log x log x
2 x 4+ ≤ ∗
Bài gi i tham kh o
● i u ki n : x 0> ⇒ t p xác nh : ( )D 0;= +∞ .
● t t
2
log x t x 2= ⇔ = . Lúc ó :
( ) ( )
2 2 2 2t
t t t t t 1 2
2 2 4 2 2 4 0 2 2 t 1 1 t 1∗ ⇔ + ≤ ⇔ + − ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤ ⇔ − ≤ ≤
● V i 2 2
1
t log x 1 log x 1 x 2
2
= ⇒ − ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ .
● K t h p v i i u ki n, t p nghi m c a b t phương trình là : ( )x 0;∈ +∞ .
www.VNMATH.com
3. Bài 3.Bài 3.Bài 3.Bài 3. Cao ng Sư Ph m Nha Trang năm 2002
Gi i phương trình : ( ) ( )log2
3 3
x 1 log x 4x x 16 0+ + − = ∗
Bài gi i tham kh o
● i u ki n : x 0> ⇒ T p xác nh ( )D 0;= +∞ .
● t 3
t log x= và do x 0 x 1 0> ⇒ + ≠ . Lúc ó : ( ) ( ) 2
x 1 t 4xt 16 0∗ ⇔ + + − = .
● L p ( ) ( ) ( ) ( )
2 22
' 4x 16x 16 4 x 2 4 x 2 2 x 2 , do x 0∆ = + + = + ⇒ ∆ = + = + > .
( )
( )
2x 2 x 2 4
t
x 1 x 1
2x 2 x 2
t 4
x 1
− + + = =
+ +⇒ − − + = = −
+
.
● V i 3
1
t 4 log x 4 x
81
= − ⇒ = − ⇔ = .
● V i ( )3
4 4
t log x 1
x 1 x 1
= ⇒ =
+ +
Nh n th y phương trình ( )1 có m t nghi m là x 3= .
Hàm s ( ) 3
f x log x := là hàm s ng bi n trên ( )0;+∞ .
Hàm s ( )
4
g x
x 1
=
+
có ( )
( )
( )2
4
g' x 0, x g x :
x 1
−
= < ∀ ⇒
+
ngh ch bi n trên ( )0;+∞ .
V y phương trình ( )1 có m t nghi m duy nh t là x 3= .
● So v i i u ki n, phương trình có hai nghi m là
1
x , x 3
81
= = .
Bài 4.Bài 4.Bài 4.Bài 4. Cao ng Kinh T K Thu t H i Dương năm 2002
Gi i b t phương trình : ( )
2 2 2
2 x 1 x 2 x
4x x.2 3.2 x .2 8x 12+
+ + > + + ∗
Bài gi i tham kh o
( )
2 2 2
2 x x 2 x
4x 2x.2 3.2 x .2 8x 12 0∗ ⇔ + + − − − >
2 2 2
x x 2 2 x
2x.2 8x 3.2 12 4x x .2 0
⇔ − + − + − >
2 2 2
x x 2 x
2x 2 4 3 2 4 x 2 4 0
⇔ − + − − − >
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
x 2 x 2
2 4 2x 3 x 0 f x 2 4 x 2x 3 0 1
⇔ − + − > ⇔ = − − − <
● Cho
2 2x
2
x 2 x 22 4 0
x 1 x 3 x 1 x 3x 2x 3 0
= = ±− = ⇔ ⇔
= − ∨ = = − ∨ =− − =
.
● B ng xét d u
x −∞ 2− 1− 2 3 +∞
www.VNMATH.com
4. 2
x
2 4− + 0 − − 0 + +
2
x 2x 3− − + + 0 − − 0 +
( )f x + 0 − 0 + 0 − 0 +
● D a vào b ng xét, t p nghi m c a b t phương trình là : ( ) ( )x 2; 1 2;3∈ − − ∪ .
Bài 5.Bài 5.Bài 5.Bài 5. Cao ng kh i T, M năm 2004 – i h c Hùng Vương
Gi i h phương trình :
( )
( ) ( )
( )
22
log 3log xy
2 2
9 3 2. xy 1
x y 3x 3y 6 2
= +
+ = + +
Bài gi i tham kh o
● i u ki n : xy 0> .
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
22
2 2
2
log xylog xy
2.log xy log xy
2 log xy
t 3 1 Lt 3 0
1 3 2.3 3 0
t 2t 3 0 t 3 3
= = −= > ⇔ − − = ⇔ ⇔
− − = = =
( ) ( )2
log xy 1 xy 2 3⇔ = ⇔ = .
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 x y 5
2 x y 3 x y 2xy 6 0 x y 3 x y 10 0 4
x y 2
+ =⇔ + − + − − = ⇔ + − + − = ⇔ + = −
.
( ) ( )
( )
2
xy 2
5 17 5 17
x xx y 5 y 5 x
2 23 , 4
x 5x 2 0xy 2 5 17 5 17
y yVN
x y 2 2 2
= − + = = + = = − ⇔ ⇔ ⇔ ∨ − + − == + − = = + = −
.
Bài 6.Bài 6.Bài 6.Bài 6. Cao ng Sư Ph m H i Phòng – i h c H i Phòng năm 2004
1/ Gi i phương trình : ( ) ( ) ( ) ( )
2
2 1 2
2
1
log x 1 log x 4 log 3 x
2
− + + = − ∗
2/ Gi i phương trình : ( ) ( ) ( )2 2
3 2
log x 2x 1 log x 2x+ + = + ∗ ∗
Bài gi i tham kh o
1/ Gi i phương trình : ( ) ( ) ( ) ( )
2
2 1 2
2
1
log x 1 log x 4 log 3 x
2
− + + = − ∗
● i u ki n :
x 1 0 x 1
4 x 3
x 4 0 x 4
x 1
3 x 0 x 3
− ≠ ≠ − < < + > ⇔ > − ⇔
≠ − > <
.
( ) ( ) ( )2 2 2
log x 1 log x 4 log 3 x∗ ⇔ − − + = − ( )( )2 2
log x 1 log 3 x x 4⇔ − = − +
( )( )x 1 3 x x 4⇔ − = − + 2
x 1 x x 12⇔ − = − − +
www.VNMATH.com
5. 2
2
2
x x 12 0
x 1 x x 12
x 1 x x 12
− − + ≥⇔ − = − − + − = + −
4 x 3
x 1 14 x 1 14
x 11 x 11
− ≤ ≤ = − + ∨ = − −⇔ = − ∨ =
x 11
x 1 14
= −
⇔
= − +
.
● K t h p v i i u ki n, nghi m c a phương trình là : x 11 x 1 14= − ∨ = − + .
2/ Gi i phương trình : ( ) ( ) ( )2 2
3 2
log x 2x 1 log x 2x+ + = + ∗ ∗
● i u ki n :
( )
( ) ( )
( ) ( )
22
2
x 2x 1 0 x 1 0
x ; 2 0;
x 2x 0 x ; 2 0;
+ + > + > ⇔ ⇔ ∈ −∞ − ∪ +∞
+ > ∈ −∞ − ∪ +∞
.
● t : ( ) ( )
2 t
2 2
3 2 2 t
x 2x 1 3 0
log x 2x 1 log x 2x t
x 2x 2 0
+ + = >+ + = + = ⇒
+ = >
( )
( )
2 t
2 t 2 t 2 t
t t
2 t t t t t
x 2x 2 1
x 2x 3 1 x 2x 2 x 2x 2
2 1x 2x 2 3 1 2 2 1 3 1 2
3 3
+ = + = − + = + = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ + = − = + = + =
.
● Nh n th y t 1= là m t nghi m c a phương trình ( )2 .
● Xét hàm s ( )
t t
2 1
f t
3 3
= +
trên » :
( ) ( )
t t
2 2 1 1
f ' t .ln .ln 0, t f t
3 3 3 3
= + < ∀ ∈ ⇒
» ngh ch bi n trên » .
● Do ó, t 1= là nghi m duy nh t c a phương trình ( )2 .
● Thay t 1= vào ( )2 , ta ư c : 2 2
x 2x 2 x 2x 2 0 x 1 3+ = ⇔ + − = ⇔ = − ± .
● K t h p v i i u ki n, nghi m c a phương trình là x 1 3= − ± .
Bài 7.Bài 7.Bài 7.Bài 7. Cao ng Sư Ph m Nhà Tr – M u Giáo TWI năm 2004
Gi i b t phương trình :
( )
( )2
x 1
1 1
log
4 2−
> ∗
Bài gi i tham kh o
● i u ki n : ( )
2
0 x 1 1 x 0,1,2< − ≠ ⇔ ≠ .
( ) ( )x 1 x 1 x 1
1 1 1 1
log log log x 1
2 4 2 4− − −
∗ ⇔ > ⇔ > − ∗ ∗
● N u x 1 1− > thì ( )
1 x 1 1
x 1
4 1
x 1x 1 1
4
− > > − ∗ ∗ ⇔ ⇔
− < − >
(vô lí) ⇒ Không có x th a.
● N u 0 x 1 1< − < thì
( )
31 0 x 1 1 0 xx 1 1 40 x 14 1 54x 10 x 1 1 x 24 4
< − < < < < − ∗ ∗ ⇔ ⇔ ⇔ < − < ⇔ − < < − < < <
.
www.VNMATH.com
6. ● K t h p v i i u ki n, t p nghi m c a b t phương trình là
3 5
x 0; ;2
4 4
∈ ∪
.
Bài 8.Bài 8.Bài 8.Bài 8. Cao ng Sư Ph m Tp. H Chí Minh năm 2004
Gi i h phương trình :
( ) ( )
2 2
2
4 2
log x y 5
2log x log y 4
+ = ∗
+ =
Bài gi i tham kh o
● i u ki n :
2 2
x 0x y 0
y 0x 0, y 0
>+ > ⇔
>> >
.
( )
( )
( ) ( )
2 22 22 2
2 2 2
x y 32x y 32 x y 2xy 32 x y 64
log x log y 4 log xy 4 xy 16 xy 16
+ =+ = + − = + = ∗ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔
+ = = = =
x y 8 x y 8 x y 4
xy 16 xy 16 x y 4
+ = + = − = = ⇔ ∨ ⇔ = = = = −
.
● K t h p v i i u ki n, nghi m c a h là ( ) ( ){ }S x;y 4;4= = .
Bài 9.Bài 9.Bài 9.Bài 9. Cao ng Sư Ph m B c Ninh năm 2004
Gi i b t phương trình :
( ) ( )
( )
2 3
1 1
2 3
log x 3 log x 3
0
x 1
+ − +
> ∗
+
Bài gi i tham kh o
● i u ki n :
x 3
x 1
> −
≠
.
● Trư ng h p 1. N u x 1 0 3 x 1+ < ⇔ − < < − .
( ) ( ) ( )
2 3
1 1
2 3
log x 3 log x 3 0∗ ⇔ + − + <
( ) ( )3 2
3log x 3 2log x 3 0⇔ + − + <
( ) ( )3 2 3
3log x 3 2log 3.log x 3 0⇔ + − + <
( ) ( )3 2
log x 3 . 3 2log 3 0⇔ + − <
( ) ( )3 2
log x 3 0 Do : 3 2log 3 0⇔ + > − <
x 3 1 2 x 1⇔ + > ⇔ − < < − th a mãn i u ki n : 3 x 1− < < − .
● Trư ng h p 2. N u x 1 0 x 1+ > ⇔ > − .
( ) ( ) ( )
2 3
1 1
2 3
log x 3 log x 3 0∗ ⇔ + − + >
( ) ( )3 2
3log x 3 2log x 3 0⇔ + − + >
( ) ( )3 2 3
3log x 3 2log 3.log x 3 0⇔ + − + >
( ) ( )3 2
log x 3 . 3 2log 3 0⇔ + − >
( ) ( )3 2
log x 3 0 Do : 3 2log 3 0⇔ + < − <
www.VNMATH.com
7. x 3 1 x 2⇔ + < ⇔ < − không th a mãn i u ki n x 1> − .
● V y t p nghi m c a b t phương trình là ( )x 2; 1∈ − − .
Bài 10.Bài 10.Bài 10.Bài 10. Cao ng Sư Ph m Bình Phư c năm 2004
Gi i phương trình : ( ) ( )2 3 2
2 2
3x 2x log x 1 log x− = + − ∗
Bài gi i tham kh o
● i u ki n : x 0> .
( ) ( )
2
2 3 2 3
2 2
x 1 1
log 3x 2x log x 3x 2x
x x
+ ∗ ⇔ = − ⇔ + = − ∗ ∗
● Ta có 2
Côsi
2 2
1 1 1 1
x 0 : x x. x 2 log x log 2 1
x x x x
∀ > + ≥ ⇔ + ≥ ⇒ + ≥ =
.
D u " "= x y ra khi và ch khi
( )
2
x 11
x x 1 x 1
x 1 Lx
== ⇔ = ⇔ ⇔ = = −
.
● Xét hàm s 2 3
y 3x 2x= − trên kho ng ( )0;+∞ :
2
y' 6x 6x . Cho y' 0 x 0, x 1= − = ⇔ = = .
Mà
( )
( ) ( )0;
f 0 0
max y 1
f 1 1 +∞
= ⇒ =
=
2 3
y 3x 2x 1⇒ = − ≤ . D u " "= x y ra khi x 1= .
● Tóm l i : ( )
( )
( )
2
2 3
2 3
2
1
log x 1 1
x
2x 2x 1 2
1
log x 3x 2x
x
+ ≥ ∗ ∗ ⇔ − ≤ ⇔
+ = −
D u " "= trong ( ) ( )1 , 2 ng th i x y ra
x 1⇔ = là nghi m duy nh t c a phương trình.
Bài 11.Bài 11.Bài 11.Bài 11. Cao ng Sư Ph m Kom Tum năm 2004
Gi i phương trình : ( )5 3 5 3
log x.log x log x log x= + ∗
Bài gi i tham kh o
( ) 5
5 3 5
5
log x
log x.log x log x 0
log 3
∗ ⇔ − − =
5 3
5
1
log x log x 1 0
log 3
⇔ − − =
( )5 3 3 3
log x log x log 3 log 5 0⇔ − − =
( )5 3 3
log x. log x log 15 0⇔ − =
5
3 3
log x 0 x 1
log x log 15 0 x 15
= = ⇔ ⇔ − = =
.
Bài 12.Bài 12.Bài 12.Bài 12. Cao ng Giao Thông năm 2004
Gi i b t phương trình : ( )1 x x 1 x
8 2 4 2 5 1+ +
+ − + >
www.VNMATH.com
8. Bài gi i tham kh o
( ) ( )
x
2
x x x
2
t 2 0
1 8 2.2 2 5 2.2
8 2t t 5 2.t
= >⇔ + − > − ⇔
+ − > −
( )
2
22
t 0
t 0 5
t
5 2t 0 2
2 t 4 5
8 2t t 0 t 4
2 1 t 4
5t 0t 0 1 t
255 2t 0 t
2
8 2t t 5 2t 17
1 t
5
> > > − < − ≤ ≤ + − ≥ < ≤ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ < ≤ > > < ≤ − ≥ ≤ + − > − < <
.
● Thay x
t 2= vào ta ư c : x 0 x 2
1 2 4 2 2 2 0 x 2< ≤ ⇔ < ≤ ⇔ < ≤ .
● V y t p nghi m c a b t phương trình là (x 0;2∈ .
Bài 13.Bài 13.Bài 13.Bài 13. Cao ng Kinh T K Thu t Công Nghi p II năm 2004
Gi i b t phương trình : ( )
2
2
2
log x 3
2
log x 3
+
> ∗
+
Bài gi i tham kh o
● i u ki n : 3 3
2 2 2
x 0x 0 x 0x 0
1log x 3 0 log x log 2 x 2 x
8
− −
> > >> ⇔ ⇔ ⇔
+ ≠ ≠ ≠ ≠
.
( ) ( )
2 2
2 2 2
2 2
log x 3 log x 2log x 3
2 0 0
log x 3 log x 3
+ − −
∗ ⇔ − > ⇔ > ∗ ∗
+ +
● t 2
t log x= . Khi ó ( ) ( )
( )( )
( )
2 t 1 t 3t 2t 3
0 f t 0
t 3 t 3
+ −− −
∗ ∗ ⇔ > ⇔ = > ∗ ∗ ∗
+ +
.
● Xét d u ( )
( )( )t 1 t 3
f t
t 3
+ −
=
+
:
t −∞ 3− 1− 3 +∞
( )f t + 0 0 +
● K t h p b ng xét d u và ( ),∗ ∗ ∗ ta ư c :
2
2
1 13 t 1 3 log x 1 x
8 2
t 3 log x 3 x 8
− < < − − < < − < < ⇔ ⇔ > > >
.
● K t h p v i i u ki n, t p nghi m c a b t phương trình là
1 1
x ;
8 2
∈
.
Bài 14.Bài 14.Bài 14.Bài 14. Cao ng Cơ Khí Luy n Kim năm 2004
www.VNMATH.com
9. Gi i phương trình : ( ) ( ) ( )x 3 x 3
2 2
log 25 1 2 log 5 1+ +
− = + + ∗
Bài gi i tham kh o
● i u ki n :
( )
x 3 x 3 o
x 3 x 3
25 1 0 25 25
x 3 0 x 3
5 1 0 5 1 0 Ð , x
+ +
+ +
− > > ⇔ ⇔ − > ⇔ >
+ > + > ∀ ∈
»
.
( ) ( ) ( )x 3 x 3
2 2 2
log 25 1 log 4 log 5 1+ +
∗ ⇔ − = + +
( ) ( )x 3 x 3 x 3 x 3
2 2
log 25 1 log 4. 5 1 25 1 4.5 4+ + + + ⇔ − = + ⇔ − = +
( ) ( )x 3
2
x 3 x 3
x 3
5 1 L
5 4.5 5 0 x 3 1 x 2
5 5
+
+ +
+
= −⇔ − − = ⇔ ⇔ + = ⇔ = −
=
● K t h p v i i u ki n, nghi m phương trình là x 2= − .
Bài 15.Bài 15.Bài 15.Bài 15. Cao ng Hóa Ch t năm 2004
Gi i phương trình : ( ) ( ) ( )x x 1
2 2
log 2 1 .log 2 2 6+
+ + = ∗
Bài gi i tham kh o
● T p xác nh : D = » .
( ) ( ) ( )x x
2 2
log 2 1 .log 2. 2 1 6 ∗ ⇔ + + =
( ) ( )x x
2 2
log 2 1 . 1 log 2 1 6 0 ⇔ + + + − =
( )
( ) ( )
x
2
2
t 0 t 0t log 2 1 0
t 2
t 2 t 3 Lt t 6 0t 1 t 6 0
> >= + > ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ =
= ∨ = −+ − =+ − =
( )x x x
2 2
log 2 1 2 2 1 4 2 3 x log 3⇔ + = ⇔ + = ⇔ = ⇔ = .
● V y phương trình có nghi m duy nh t là 2
x log 3= .
Bài 16.Bài 16.Bài 16.Bài 16. Cao ng Kinh T K Thu t Công Nghi p kh i A năm 2004
Gi i phương trình : 2x 5 x 1
3 36.3 9 0+ +
− + =
Bài gi i tham kh o
● T p xác nh : D = » .
( ) ( )2 x 1 x 1
27.3 36.3 9 0
+ +
∗ ⇔ − + =
x 1
x 1 x 1
2 x 1 1
t 3 0t 3 0 3 1 x 1
1 x 227t 36t 9 0 3 3t 1 t
3
+
+ +
+ −
= > = > = = − ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ = −− + = == ∨ =
.
● V y phương trình có hai nghi m x 2= − và x 1= − .
Bài 17.Bài 17.Bài 17.Bài 17. Cao ng Công Nghi p Hà N i năm 2004
1/ Gi i phương trình : ( )
2 2
3
x
2 cos sin x
4 2sin x
8 8.8 1
π − +
=
2/ Tìm t p xác nh c a hàm s : ( )
2
2
2 2
1
y 4 log x log 3 x 7x 6 2
x
= − − + − +
www.VNMATH.com
10. Bài gi i tham kh o
1/ Gi i phương trình : ( )
2 2
3
x
2 cos sin x
4 2sin x
8 8.8 1
π − +
=
( )
2
3 3 21 cos x sin x 1
2sin x sin x sin x sin x 2 3 2
1 8 8 8 8 sin x sin x sin x 2
π + − + + + +
⇔ = ⇔ = ⇔ = + +
3 2
t sin x, t 1
t 2
t t t 2 0
= ≤⇔ ⇔ =
− − − =
(lo i).
V y phương trình ã cho vô nghi m.
2/ Tìm t p xác nh c a hàm s : ( )
2
2
2 2
1
y 4 log x log 3 x 7x 6 2
x
= − − + − +
( ) 2 2
2 2
2 y 4 log x log x 3 x 7x 6⇔ = − − + − + .
● Hàm s xác nh khi và ch khi : 2
2 2
2
x 0
log x 4 log x 3 0
x 7x 6 0
>− + − ≥
− + ≥ 2
x 0
x 1 x 6
1 log x 3
>⇔ ≤ ∨ ≥
≤ ≤
0 x 1 x 6
6 x 8
2 x 8
< ≤ ∨ ≥⇔ ⇔ ≤ ≤
≤ ≤
.
● V y t p xác nh c a hàm s là D 6;8 = .
Bài 18.Bài 18.Bài 18.Bài 18. Cao ng Tài Chính K Toán IV năm 2004
Gi i h phương trình :
( )
( ) ( )
2
x
x 5x 4 0 1
2 x .3 1 2
+ + ≤
+ <
Bài gi i tham kh o
● T p xác nh D = » .
( )1 4 x 1 x 4; 1 ⇔ − ≤ ≤ − ⇒ ∈ − − .
( )
x
1
2 x 2
3
⇔ + <
.
● V i x 4; 1 ∈ − − . Xét hàm s ( )f x x 2= + ng bi n trên 4; 1 − − .
( ) ( )f
4; 1
max x f 1 1
− −
⇒ = − = .
● V i x 4; 1 ∈ − − . Xét hàm s ( )
x
1
g x
3
=
ngh ch bi n trên 4; 1 − − .
( ) ( )g
4; 1
min x f 1 3
− −
⇒ = − = .
● Nh n th y ( ) ( )f g
4; 1 4; 1
max x min x
− − − −
< , ( )1 3< nên ( ) ( )g x f x> luôn luôn úng
x 4; 1 ∀ ∈ − − . Do ó t p nghi m c a b t phương trìn là x 4; 1 ∈ − − .
Bài 19.Bài 19.Bài 19.Bài 19. Cao ng Y T Ngh An năm 2004
www.VNMATH.com
11. Gi i phương trình : ( )
3
3 2 3 2
3 x 1
log .log x log log x
x 23
− = + ∗
Bài gi i tham kh o
● i u ki n : x 0> .
( ) ( ) ( )3
3 3 2 3 3 2
1 1
log 3 log x .log x log x log 3 log x
2 2
∗ ⇔ − − − = +
( )3 2 3 2
1 1 1
1 log x .log x 3log x log x
2 2 2
⇔ − − − = +
2 2 3 3 2
1 1 1
log x log x.log x 3log x log x 0
2 2 2
⇔ − − + − − =
2 2 3 3
1
log x log x.log x 3log x 0
2
⇔ − − =
2 2 3 3
log x 2log x.log x 6log x 0⇔ − − =
2
2 2 3
2
6.log x
log x 2log x.log x 0
log 3
⇔ − − =
2 3 3
log x. 1 2log x 6log 2 0 ⇔ − − =
2
3 3 3 3 3
log x 0 x 1
1 3 3
log x 3log 2 log 3 log 8 log x
2 8 8
= =
⇔ ⇔
= − = − = =
.
● K t h p v i i u ki n, nghi m c a phương trình là
3
x 1, x
8
= = .
Bài 20.Bài 20.Bài 20.Bài 20. Cao ng Kinh T K Thu t Công Nghi p I năm 2006
Gi i phương trình : ( )x 2
5 12x
log 4.log 2
12x 8
−
= ∗
−
Bài gi i tham kh o
● i u ki n :
0 x 1 0 x 1
5 12x 5 2
0 x
12x 8 12 3
< ≠ < ≠ ⇔ − > < < −
.
( ) 2 2 2
2
1
x1 5 12x 5 12x 5 12x 2.log 1 log log x x
5log x 12 8 12 8 12 8
x
6
=− − −
∗ ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔
− − − = −
.
● K t h p v i i u ki n, nghi m c a phương trình là
1
x
2
= .
Bài 21.Bài 21.Bài 21.Bài 21. Cao ng Kinh T K Thu t Công Nghi p II năm 2006
Gi i phương trình : ( )
2 2
2x x x 2x
4 2.4 4 0+
− + = ∗
Bài gi i tham kh o
● T p xác nh : D = » .
( )
2 2
2x 2x x x
4 2.4 1 0− −
∗ ⇔ − + = (chia hai v cho 2x
4 0> )
www.VNMATH.com
12. 2 2
2
x x x x
4 2.4 1 0− − ⇔ − + =
2
2
x x
x x 2
2
x 0t 4 0
t 4 1 x x 0
x 1t 2t 1 0
−
−
= = > ⇔ ⇔ = = ⇔ − = ⇔ =− + =
.
● V y phương trình có hai nghi m : x 0, x 2= = .
Bài 22.Bài 22.Bài 22.Bài 22. Cao ng Xây D ng s 2 năm 2006
Gi i h phương trình : ( )
x x
2 2
x 2
2
2 log y 2 log y 5
4 log y 5
+ + = ∗
+ =
Bài gi i tham kh o
● i u ki n : y 0> .
● t x
2
u 2 , v log y= = . Lúc ó :
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
2
22 2
2 u v 2uv 10u v uv 5
u v 2 u v 15 0
u v 5 u v 2uv 5
+ + + = + + = ∗ ⇔ ⇔ ⇔ + + + − =
+ = + − =
( )
x
o
2
x
2
u v 5 u 1 2 1 x 2
VN
uv 10 v 2 log y 2 y 4
u v 3 u 2 x 42 2
uv 2 v 1 y 2log y 1
+ = − = = = = = = = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ + = = = = = = = =
.
● So v i i u ki n, nghi m c a h phương trình là : ( ) ( ) ( ){ }S x;y 2;4 , 4;2= = .
Bài 23.Bài 23.Bài 23.Bài 23. Cao ng Giao Thông V n T i III kh i A năm 2006
Gi i phương trình : ( )x
32
1 89x 25
3 log
log x 2 2x
+ = − ∗
Bài gi i tham kh o
● K : 2
0 x 1
x 10 x 1 50 x 1
x 0
589x 25 89x 25 89 x ;0 0 52 2x 2x 89x
89
< ≠ ≠ < ≠< ≠ − < < ⇔ ⇔ ⇔ − ∞ ∈ +∞− > > < < +
.
( )
2 2
3
x x x x x
89x 25 89x 25
3 log 32 log log x log 32 log
2x 2x
− −
∗ ⇔ + = ⇔ + =
2 2
3 3 4 2
x x
89x 25 89x 25
log 32x log 32x 64x 89x 25 0
2x 2x
− −
⇔ = ⇔ = ⇔ − + =
2
2
x 1x 1
525
xx
864
= ±=
⇔ ⇔
= ±=
.
● K t h p v i i u ki n, nghi m c a phương trình là :
5
x
8
= .
BBBBààààiiii 22224444.... Cao ng Kinh T i Ngo i kh i A, D năm 2006
www.VNMATH.com
13. 1/ Gi i phương trình : ( ) ( )
2
2ln x ln 2x 3 0 1+ − = .
2/ Gi i b t phương trình :
x x
x x
4 2 2
0
4 2 2
+ −
>
− −
.
Bài gi i tham kh o
1/ Gi i phương trình : ( ) ( )
2
2ln x ln 2x 3 0 1+ − = .
● i u ki n :
x 0x 0
32x 3 0 x
2
> > ⇔
− ≠ ≠
.
( )
2
2
2x 3 0
2x 3x 1 0
1 2ln x 2ln 2x 3 0 x 2x 3 1
2x 3 0
2x 3x 1 0
− ≥
− − =⇔ + − = ⇔ − = ⇔
− <− + − =
3
x 3 x 1x2
2 13 17 x 1 xx
24
1
3 17x3 17 xx 2
44
≥ = < + =⇔ ∨ ⇔ = = +=− ==
.
● K t h p v i i u ki n, nghi m c a phương trình là
1 3 17
x 1 x x
2 4
+
= ∨ = ∨ = .
2/ Gi i b t phương trình : ( )
x x
x x
4 2 2
0
4 2 2
+ −
> ∗
− −
.
● T p xác nh D = » .
( )
( )( )
( )( )
x x xx
xxx x
2 2 2 1 2 1 x 02 1
0 0
x 12 22 22 1 2 2
+ − < <− ∗ ⇔ > ⇔ > ⇔ ⇔ >>− + −
.
● V y t p nghi m c a b t phương trình là ( ) ( )x ;0 1;∈ −∞ ∪ +∞ .
Bài 25.Bài 25.Bài 25.Bài 25. Cao ng Sư Ph m Hưng Yên kh i A năm 2006
Gi i phương trình : ( ) ( ) ( )
x 1 x
2 1 3 2 2 x 1
+
+ − + = − ∗
Bài gi i tham kh o
● T p xác nh : D = » .
( ) ( ) ( )
x 1 2x
2 1 2 1 x 1
+
∗ ⇔ + − + = −
( ) ( ) ( )
x 1 2x
2 1 x 1 2 1 2x 1
+
⇔ + + + = + +
( )1 có d ng ( ) ( ) ( )f x 1 f 2x 2+ =
● Xét hàm s ( ) ( )
t
f t 2 1 t= + + trên » .
www.VNMATH.com
14. Ta có ( ) ( ) ( )
t
f ' t 2 1 .ln 2 1 1 0= + + + > ⇒ Hàm s ( )f t ng bi n trên ( )3» .
● T ( ) ( ) ( )1 , 2 , 3 x 1 2x x 1⇒ + = ⇔ = .
● V y phương trình có nghi m duy nh t là x 1= .
Bài 26.Bài 26.Bài 26.Bài 26. Cao ng Sư Ph m Hưng Yên kh i B năm 2006
Gi i phương trình : ( )5 15
1 1 1
log sin x log cos x
2 2 25 5 15
+ +
+ = ∗
Bài gi i tham kh o
● i u ki n : sin x 0, cos x 0> > .
( ) 5 15log sin x log cos x
5 5.5 15.15 5 5.sin x 15.cos x∗ ⇔ + = ⇔ + =
3 1 1
1 sin x 3 cos x cos x sin x cos x cos
2 2 2 6 3
π π ⇔ + = ⇔ − = ⇔ + =
( )x k2 x k2 , k
6 2
π π
⇔ = + π ∨ = − + π ∈ » .
● K t h p v i i u ki n, nghi m c a phương trình là ( )x k2 , k
6
π
= + π ∈ » .
Bài 27.Bài 27.Bài 27.Bài 27. Cao ng Sư Ph m Hưng Yên kh i D1, M năm 2006
Gi i phương trình : ( ) ( )9 3
log x log 2x 1 1= + − ∗
Bài gi i tham kh o
1/ Gi i phương trình : ( ) ( )9 3
log x log 2x 1 1= + − ∗
● i u ki n :
x 0
x 0
2x 1 1 0
> ⇔ >
+ − >
.
( ) ( )3 3
log x log 2x 1 1 x 2x 1 1 x 2x 2 2 2x 1∗ ⇔ = + − ⇔ = + − ⇔ = + − +
2 2
x 0
x 2 2 2x 1 x 4x 4 8x 4 x 4x 0
x 4
=⇔ + = + ⇔ + + = + ⇔ − = ⇔ =
.
● K t h p v i i u ki n, nghi m c a phương trình là x 4= .
Bài 28.Bài 28.Bài 28.Bài 28. Cao ng Bán Công Hoa Sen kh i A năm 2006
Gi i h phương trình :
( ) ( )
2x y
2x y
22 2
3. 7. 6 0
3 3
lg 3x y lg y x 4 lg2 0
−
−
+ − = − + + − =
Bài gi i tham kh o
● i u ki n :
x 03x y 0 y
x 0yy x 0 3x 0
3
⊕
> − > ⇔ ⇔ > >
+ > > >
.
www.VNMATH.com
15. ( )
( )( ) ( )( )
2x y 2x y 2x y
22 2 2
3. 7. 6 0 3t 7t 6 0, t 0
3 3 3
lg 3x y y x log16 3x y y x 16
− − − + − = + − = = > ∗ ⇔ ⇔ − + = − + =
( )
2x y 2x y
2 2
2 2
2 2 2 2x y 2t t 3 L
3 3 3
2xy 3x y 16
2xy 3x y 16
− − − = = = ∨ = = − ⇔ ⇔ + − = + − =
( ) ( )
( )
2 22
x 2
y 2x 2 y 2x 2 y 2
3x 4x 20 02x 2x 2 3x 2x 2 16 10
x L
3
= = − = − = ⇔ ⇔ ⇔ + − =− + − − = = −
.
● V y nghi m c a h phương trình là ( ) ( )x;y 2;2= .
Bài 29.Bài 29.Bài 29.Bài 29. Cao ng Bán Công Hoa Sen kh i D năm 2006
Gi i phương trình : ( )x x 2x 1
9 6 2 +
+ = ∗
Bài gi i tham kh o
● T p xác nh : D = » .
( )
( )
x
2x x x
x x x
3
t 0
23 3 3
9 6 2.4 0 2 0 1 x 0
t 12 2 2
t 2 L
= > ∗ ⇔ + − = ⇔ + − = ⇔ ⇔ = ⇔ = = = −
.
● V y nghi m c a phương trình là x 0= .
Bài 30.Bài 30.Bài 30.Bài 30. Cao ng Sư Ph m TW năm 2006
Gi i phương trình : ( )x x 1
4.4 9.2 8 0+
− + = ∗
Bài gi i tham kh o
● T p xác nh : D = » .
( )
x
x
2x x
2 x
2 4t 2 0 x 2
4.2 18.2 8 0 1 x 14t 18t 8 0 2
2
= = > = ∗ ⇔ − + = ⇔ ⇔ ⇔ = −− + = =
.
● V y phương trình có hai nghi m là x 1= − và x 2= .
Bài 31.Bài 31.Bài 31.Bài 31. Cao ng Sư Ph m Hà Nam kh i A năm 2006
Gi i b t phương trình : ( ) ( )
2
x 4 2 x 2
3 x 4 .3 1 0− −
+ − − ≥ ∗
Bài gi i tham kh o
● T p xác nh : D = » .
● Ta có : ( ) ( ) ( )
2
x 4 2 x 2
3 x 4 .3 1 1− −
∗ ⇔ + − ≥
● N u
( )
( )
2
2
x 4
x 4 2 x 2
2 x 2
3 1
x 2 3 x 4 .3 1
x 4 .3 0
− +
− −
−
≥≥ ⇒ ⇔ + − ≥
− ≥
www.VNMATH.com
16. Do ó ( )1 luôn úng v i x 2≥ hay ( )x ; 2 2; ∈ −∞ − ∪ +∞ là t p nghi m c a b t
phương trình.
● N u
( )
( )
2
2
x 4
x 4 2 x 2
2 x 2
3 1
x 2 3 x 4 .3 1
x 4 .3 0
− ⊕
− −
−
<< ⇒ ⇔ + − <
− <
Do ó ( )1 không có t p nghi m (vô nghi m) khi x 2< .
● V y t p nghi m c a b t phương trình là ( )x ; 2 2; ∈ −∞ − ∪ +∞ .
Bài 32.Bài 32.Bài 32.Bài 32. Cao ng Sư Ph m Hà Nam kh i M năm 2006
Gi i b t phương trình : ( )x 2 x 1
3 9 4 0+ +
+ − > ∗
Bài gi i tham kh o
● T p xác nh : D = » .
( )
x x
x
x x
2
3 t 0 3 t 03 t 0
9.3 9.9 4 0 1 4 1
9t 9t 4 0 t t t
3 3 3
= > = > = > ∗ ⇔ + − > ⇔ ⇔ ⇔
+ − > > ∨ < − >
x x 11
3 3 3 x 1
3
−
⇔ > ⇔ > ⇔ > − .
● V y t p nghi m c a phương trình là ( )x 1;∈ − +∞ .
Bài 33.Bài 33.Bài 33.Bài 33. D b – Cao ng Sư Ph m Hà Nam kh i A năm 2006
Gi i phương trình : ( )
3 3x 5 1 x 5 x x
4 2.2 2.4+ + + +
+ = ∗
Bài gi i tham kh o
● T p xác nh : D = » .
( )
3 3
3 3
x 5 1 x 5 x
x 5 x x 5 x
x 2x
4 2.2
2 0 4.4 2.2 2 0
4 2
+ + + +
+ − + −
∗ ⇔ + − = ⇔ + − =
( )
( )
33
3
3
3
x 5 x 1x 5 x
2 x 5 x
x 5 x
2
x 5 x
1
2 t 22 t 0
4.2 2.2 2 0 2
4t 2t 2 0 2 t 1 L
+ − −+ −
+ −
+ −
+ −
= = == > ⇔ + − = ⇔ ⇔ + − = = = −
3 23 3
x 5 x 1 x 5 x 1 x 5 x 3x 3x 1⇔ + − = − ⇔ + = − ⇔ + = − + −
3 2
x 3x 2x 6 0 x 3⇔ − + − = ⇔ = .
● V y phương trình có m t nghi m là x 3= .
Bài 34.Bài 34.Bài 34.Bài 34. Cao ng K Thu t Y T I năm 2006
Gi i phương trình : ( ) ( ) ( )x x
2 2
1 log 9 6 log 4.3 6+ − = − ∗
Bài gi i tham kh o
● i u ki n :
x
x
9 6 0
4.3 6 0
− >
− >
.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )x x x x
2 2 2 2 2
log 2 log 9 6 log 4.3 6 log 2. 9 6 log 4.3 6 ∗ ⇔ + − = − ⇔ − = −
www.VNMATH.com
17. ( ) ( )x
2
x x x x
x 1
3 1 L
2.9 12 4.3 6 2. 3 4.3 6 0 x 1
3 3
= −⇔ − = − ⇔ − − = ⇔ ⇔ =
=
.
● Thay x 1= vào i u ki n và th a i u ki n. V y nghi m c a phương trình là x 1= .
Bài 35.Bài 35.Bài 35.Bài 35. Cao ng Tài Chính – H i Quan kh i A năm 2006
Gi i b t phương trình : ( )3
3x 5
log 1
x 1
−
< ∗
+
Bài gi i tham kh o
● i u ki n :
3x 5 5
0 x 1 x
x 1 3
−
> ⇔ < − ∨ >
+
.
( )
3x 5 3x 5 8
3 3 0 0 x 1 0 x 1
x 1 x 1 x 1
− − −
∗ ⇔ < ⇔ − < ⇔ < ⇔ + > ⇔ > −
+ + +
.
● K t h p v i i u ki n, t p nghi m c a b t phương trình là
5
x ;
3
∈ +∞
.
Bài 36.Bài 36.Bài 36.Bài 36. Cao ng K Thu t Cao Th ng năm 2006
Gi i phương trình : ( ) ( ) ( )2
2 2
log x 3 log 6x 10 1 0− − − + = ∗
Bài gi i tham kh o
● i u ki n :
2
x 3 0 5
x
6x 10 0 3
− > ⇔ >
− >
.
( )
( ) ( )2 2
2
2 2
2 x 3 2 x 3 x 1
log log 1 1 x 3x 2 0
x 26x 10 6x 10
− − =∗ ⇔ = ⇔ = ⇔ − + = ⇔ =− −
.
● So v i i u ki n, phương trình có nghi m duy nh t là x 2= .
Bài 37.Bài 37.Bài 37.Bài 37. Cao ng Kinh T Tp. H Chí Minh năm 2006
Gi i phương trình : ( )
2
22 log x
x 8
+
= ∗
Bài gi i tham kh o
● i u ki n : x 0> và x 1≠ .
( ) 2 2 2
2 x 2 x 2
2
1
2 log x log 8 log x 3.log 2 2 0 log x 3. 2 0
log x
∗ ⇔ + = ⇔ − + = ⇔ − + =
3
2 2 2 2
log x 2log x 3log x 0 log x 1 x 2⇔ + − = ⇔ = ⇔ = .
● K t h p v i i u ki n, nghi m c a phương trình là x 2= .
Bài 38.Bài 38.Bài 38.Bài 38. Cao ng i n L c Tp. H Chí Minh năm 2006
Gi i phương trình : ( )x 27 3
3
log 3 3log x 2log x
4
− = ∗
Bài gi i tham kh o
● i u ki n : 0 x 1< ≠ .
( ) 2
3 3 3 3
3 3
3 1 3 1 1
. log x 2log x 0 . 3.log x log x
4 log x 4 log x 4
∗ ⇔ − − = ⇔ = ⇔ =
www.VNMATH.com
18. 3 3
1 1 1
log x log x x 3 x
2 2 3
⇔ = ∨ = − ⇔ = ∨ = .
● K t h p v i i u ki n, nghi m c a phương trình là
1
x 3 x
3
= ∨ = .
Bài 39.Bài 39.Bài 39.Bài 39. Cao ng Kinh T – Công Ngh Tp. H Chí Minh kh i A năm 2006
Gi i b t phương trình : ( )3
x 2
log
x5 1
−
< ∗
Bài gi i tham kh o
● i u ki n :
x 2
0 x 0 x 2
x
−
> ⇔ < ∨ > .
( ) 3
x 2 x 2 2
log 0 1 0 x 0
x x x
− − −
∗ ⇔ < ⇔ < ⇔ < ⇔ > .
● K t h p v i i u ki n, t p nghi m c a b t phương trình là ( )x 2;∈ +∞ .
Bài 40.Bài 40.Bài 40.Bài 40. Cao ng Kinh T – Công Ngh Tp. H Chí Minh kh i D1 năm 2006
Gi i phương trình : ( ) ( )1 4
4
1
log x 3 1 log
x
− = + ∗
Bài gi i tham kh o
● i u ki n :
x 3 0 x 3
x 31 x 00
x
− > > ⇔ ⇔ >
>>
.
( ) ( )4 4 4
1 x 3 x 3 1
log x 3 log 1 log 1 x 4
x x x 4
− −
∗ ⇔ − − − = ⇔ = − ⇔ = ⇔ = .
● K t h p v i i u ki n, nghi m c a phương trình là x 4= .
Bài 41.Bài 41.Bài 41.Bài 41. Cao ng Công Nghi p Hà N i năm 2005
Gi i b t phương trình :
( )
( )
2
5 5
log x log x
5 x 10+ ≤ ∗
Bài gi i tham kh o
● i u ki n : x 0> .
● t t
5
log x t x 5= ⇒ = .
( ) ( )
2 2t
t t t 2
5
1
5 5 10 5 5 t 1 1 t 1 1 log x 1 x 5
5
∗ ⇔ + ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤ ⇔ − ≤ ≤ ⇔ − ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤
● K t h p v i i u ki n, t p nghi m c a b t phương trình là
1
x ;5
5
∈
.
Bài 42.Bài 42.Bài 42.Bài 42. Cao ng Kinh T – K Thu t Công Nghi p I kh i A năm 2005
Tìm t p xác nh c a hàm s : ( )2
5
y log x 5.x 2= − + .
Bài gi i tham kh o
● Hàm s ư c xác nh khi và ch khi
www.VNMATH.com
19. ( )
2
2
2
5
x 5.x 2 0, x 5 1 5 1
x 5.x 2 1 x x
2 2log x 5.x 2 0
− + > ∀ ∈ − + ⇔ − + ≥ ⇔ ≤ ∨ ≥
− + ≥
»
.
● V y t p xác nh c a hàm s ã cho là
5 1 5 1
D ; ;
2 2
− + = −∞ ∪ +∞
.
Bài 43.Bài 43.Bài 43.Bài 43. Cao ng Sư Ph m Cà Mau kh i B năm 2005
Gi i phương trình : ( )
2
lg x 2 lg x 3lg x 2
x 10 − +
= ∗
Bài gi i tham kh o
● i u ki n : x 0>
( )
2
lg x 2 lg x 3 lg x 2 2 2 2
lg x lg10 lg x 2lg x 3lg x 2 lg x 3lg x 2 0− +
∗ ⇔ = ⇔ = − + ⇔ − + =
lg x 1 x 10
lg x 2 x 100
= = ⇔ ⇔ = =
.
● K t h p v i i u ki n, nghi m c a phương trình là x 10 x 100= ∨ = .
Bài 44.Bài 44.Bài 44.Bài 44. Cao ng Sư Ph m Vĩnh Phúc kh i B năm 2006
Gi i phương trình : ( )2 2
0,5 2 x
log x log x log 4x+ = ∗
Bài gi i tham kh o
● i u ki n : 0 x 1< ≠ .
( )
2
2 2 x x
log x 2log x log 4 log x ∗ ⇔ − + = +
2
2 2
4
1
log x 2log x 1 0
log x
⇔ + − − =
2
2 2
2
2
log x 2 log x 1 0
log x
⇔ + − − =
2
2 2
3 2 2
2
x 2
log x 1
t log x t log x 1
log x 1 x
t 1 t 1 t 2t 2t t 2 0 2
log x 2 1
x
4
= = = = ⇔ ⇔ ⇔ = − ⇔ = = ∨ = − ∨ = −+ − − = = − =
.
● So v i i u ki n, nghi m c a phương trình là
1 1
x x x 2
4 2
= ∨ = ∨ = .
Bài 45.Bài 45.Bài 45.Bài 45. Cao ng Sư Ph m Vĩnh Phúc kh i A năm 2006
Gi i b t phương trình : ( ) ( )
x
x
4 1
4
3 1 3
log 3 1 .log
16 4
−
− ≤ ∗
Bài gi i tham kh o
● i u ki n : x x
3 1 0 3 1 x 0− ≥ ⇔ ≥ ⇔ > .
( ) ( ) ( )x x
4 4 4
3
log 3 1 . log 3 1 log 16 0
4
∗ ⇔ − − − + − ≤
www.VNMATH.com
20. ( ) ( )2 x x
4 4
3
log 3 1 2log 3 1 0
4
⇔ − − + − − ≤
( ) ( ) ( )
( )
x xx
4 44
2
x
4
1
t log 3 1 log 3 1t log 3 1 x 1
2
1 3 3 x 34t 8t 3 0 t t log 3 1
2 2 2
= − − < = − < ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ >− + ≤ < ∨ > − >
.
● K t h p v i i u ki n, t p nghi m c a b t phương trình là ( ) ( )x 0;1 3;∈ ∪ +∞ .
Bài 46.Bài 46.Bài 46.Bài 46. Cao ng Sư Ph m Tp. H Chí Minh kh i A năm 2006
Gi i h phương trình : ( )2 3
2 3
log x 3 5 log y 5
3 log x 1 log y 1
+ − = ∗
− − = −
Bài gi i tham kh o
● i u ki n : 3 3
2 2
x 0, y 0 x 0, y 0 x 0, y 0
x 2
5 log y 0 log y 5 y 162
0 y 162
log x 1 0 log x 1 x 2
> > > > > > ≥ − ≥ ⇔ ≤ ⇔ ≤ ⇔
< ≤ − ≥ ≥ ≥
.
● t :
2
3 3
2
22
a 5 log y 0 a 5 log y
b log x 1b log x 1 0
= − ≥ = − ⇔
= −= − ≥
.
( )
2 2
2 2 2 2
2 2
b 1 3a 5 b 3a 4
b 3a a 3b b a 3a 3b 0
3b a 5 1 a 3b 4
+ + = + = ∗ ⇔ ⇔ ⇔ + = + ⇔ − + − =
+ − = − + =
( )( ) ( ) ( )( )
a b
b a b a 3 b a 0 b a b a 3 0
a b 3
=⇔ − + − − = ⇔ − + − = ⇔ + =
( )
( )
2
3
2
22
a b a b
a 1 a 4 La 3a 4 0 a 5 log y 1
b 3 ab 3 a b log x 1 1
a 3a 6 0 VNa 9 3a 3
= =
= ∨ = −+ − = = − = ⇔ ⇔ ⇔ = −= − = − = − + =+ − =
4
3 3
2 2
5 log y 1 log y 4 y 3 81
log x 1 1 log x 2 x 4
− = = = = ⇔ ⇔ ⇔
− = = =
.
● K t h p v i i u ki n, nghi m c a h là ( ) ( ){ }S x;y 4;81= = .
Bài 47.Bài 47.Bài 47.Bài 47. Cao ng Sư Ph m Tp. H Chí Minh năm 2006
Gi i h phương trình :
( )
( )
x y
5
3 .2 1152
log x y 2
− = ∗
+ =
Bài gi i tham kh o
● i u ki n : x y 0+ > .
( )
( )
x y x y
x 5 x 5 x
5
y 5 x y 5 x3 .2 1152 3 .2 1152
x y 5 3 .2 1152 2 .6 1152log x y 1
− −
− − −
= − = −= = ∗ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔
+ = = =+ =
www.VNMATH.com
21. x
y 5 x x 2
y 36 36−
= − = − ⇔ ⇔
==
.
● So v i i u ki n, nghi m c a h là ( ) ( ){ }S x;y 2;3= = − .
Bài 48.Bài 48.Bài 48.Bài 48. Cao ng Du L ch Hà N i kh i A năm 2006
Gi i phương trình : ( )2
3
log 8 x x 9 2
− + + = ∗
Bài gi i tham kh o
● i u ki n : 2
8 x x 9 0− + + > .
( ) 2 2
2 2
x 1 0 x 1
8 x x 9 9 x 9 x 1
x 4x 9 x 2x 1
+ ≥ ≥ − ∗ ⇔ − + + = ⇔ + = + ⇔ ⇔
=+ = + +
x 4⇔ = .
● Thay nghi m x 4= vào i u ki n và th a i u ki n. V y nghi m phương trình là x 4= .
Bài 49.Bài 49.Bài 49.Bài 49. Cao ng Kinh T K Thu t Ngh An kh i A năm 2006
Gi i phương trình : ( ) ( )x x 1
3 3
log 3 1 .log 3 3 2+
+ + =
Bài gi i tham kh o
● T p xác nh : D = » .
( ) ( ) ( ) ( ) ( )x x x x
3 3 3 3
log 3 1 .log 3. 3 1 2 log 3 1 . 1 log 3 1 2 ∗ ⇔ + + = ⇔ + + + =
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
xxx x
333 3
x2
3
log 3 1 1t log 3 1t log 3 1 t log 3 1
t 1 t 2t. t 1 2 log 3 1 2t t 2 0
+ == += + = + ⇔ ⇔ ⇔ ⇔
= ∨ = −+ = + = −+ − =
( )
x
x
3x 2 x
3 23 1 3
x log 28
3 1 3 3 L
9
−
=+ = ⇔ ⇔ ⇔ = + = = −
.
● V y nghi m c a phương trình là 3
x log 2= .
Bài 50.Bài 50.Bài 50.Bài 50. Cao ng Sư Ph m Quãng Ngãi năm 2006
Gi i phương trình : ( )x x x
8 18 2.27+ = ∗
Bài gi i tham kh o
● T p xác nh D = » .
( )
x x
2x 3x x
3 2 3 2
3 3
t 0 t 03 3 3
1 2. t 12 2
2 2 2
2t t 1 0 2t t 1 0
= > = > ∗ ⇔ + = ⇔ ⇔ ⇔ = = − − = − − =
x 0⇔ = .
● V y phương trình có m t nghi m là x 0= .
Bài 51.Bài 51.Bài 51.Bài 51. Cao ng C ng ng Hà Tây năm 2005
Gi i b t phương trình : ( )2x 4 x 2x 2
3 45.6 9.2 0+ +
+ − ≤ ∗
Bài gi i tham kh o
● T p xác nh D = » .
www.VNMATH.com
22. ( )
2x x
x x x 3 3
81.9 45.6 36.4 0 81. 45. 36 0
2 2
∗ ⇔ + − ≤ ⇔ + − ≤
x
x
2
3 t 0
t 0 4 3 4
0 t 02 4
9 2 91 t
81t 45t 36 0 9
> = > ⇔ ⇔ ⇔ < ≤ ⇔ < < − ≤ ≤ + − ≤
3
2
4
x log x 2
9
⇔ ≤ ⇔ ≤ − .
● V y t p nghi m c a b t phương trình là (x ; 2∈ −∞ − .
Bài 52.Bài 52.Bài 52.Bài 52. Cao ng Sư Ph m Lai Châu kh i A năm 2005
Gi i phương trình : ( ) ( ) ( ) ( )
2 3 3
1 1 1
4 4 4
3
log x 2 3 log 4 x log x 6
2
+ − = − + + ∗
Bài gi i tham kh o
● i u ki n :
( )
( )
( )
2
3
3
x 2 0
x 2
4 x 0
6 x 4
x 6
+ > ≠ − > ⇔
− < < +
.
( ) ( ) ( )1 1 1 1
4 4 4 4
1
3log x 2 3.log 3log 4 x 3log x 6
4
∗ ⇔ + − = − + +
( ) ( )( )1 1
4 4
log 4 x 2 log 4 x x 6⇔ + = − +
( )( ) 2
4 x 2 4 x x 6 4 x 2 x 2x 24⇔ + = − + ⇔ + = − − +
2 2
2 2
x 2 x 84x 8 x 2x 24 x 6x 16 0
x 2x 2 0 x 2
x 1 334x 8 x 2x 24 x 2x 32 0
x 2x 2 0 x 2
= ∨ = −+ = − − + + − = ≥ − + ≥ ≥ − ⇔ ⇔ ⇔ = ±+ = + − − − = < −+ < < −
x 2
x 1 33
=⇔
= −
.
● K t h p v i i u ki n, nghi m c a phương trình là x 2 x 1 33= ∨ = − .
Bài 53.Bài 53.Bài 53.Bài 53. Cao ng Sư Ph m Lai Châu kh i B năm 2005
Gi i b t phương trình : ( ) ( ) ( )2 x 1
5
log x 1 log 2
2+
+ + ≥ ∗
Bài gi i tham kh o
● i u ki n : 0 x 1 1 1 x 0< + ≠ ⇔ − < ≠ .
( ) ( )
( )
( )2
2
1 5
log x 1 0
2log x 1
∗ ⇔ + + − ≥ ∗ ∗
+
● t ( )2
t log x 1= + . Khi ó : ( ) 21 5
t 0 2t 5t 2 0
t 2
∗ ∗ ⇔ + − ≥ ⇔ − + ≥
www.VNMATH.com
23. ( )
( )
2
2
11
x 1 2 x 2 1log x 1t
22
x 1 4 x 3t 2 log x 1 2
+ ≤ ≤ −+ ≤≤ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ + ≥ ≥ ≥ + ≥
.
● K t h p v i i u ki n, t p nghi m phương trình là : ( ) ( ) { }x 1; 2 1 3; 0∈ − − ∪ +∞ .
Bài 54.Bài 54.Bài 54.Bài 54. Cao ng Sư Ph m Tp. H Chí Minh năm 2005
Gi i b t phương trình : ( ) ( )2
x
log 5x 8x 3 2− + > ∗
Bài gi i tham kh o
● i u ki n : ( )2
0 x 10 x 1 3
x 0; 1;3
5x 8x 3 0 5x x 1
5
< ≠ < ≠ ⇔ ⇔ ∈ ∪ +∞ − + > < ∨ >
.
( )
( ) ( )
2 2
2 2
3
x 0;
3 5x 0;
5 1 3
x ;
5x 8x 3 x 2 2
x 1; x 1;
1 35x 8x 3 x
x ; ;
2 2
∈ ∈ ∈ − + < ∗ ⇔ ⇔ ∈ +∞ ∈ +∞ − + > ∈ −∞ ∪ +∞
1 3
x ;
2 5
3
x ;
2
∈ ⇔ ∈ +∞
.
● V y t p nghi m c a phương trình là
1 3 3
x ; ;
2 5 2
∈ ∪ +∞
.
Bài 55.Bài 55.Bài 55.Bài 55. i h c Qu c Gia Tp. H Chí Minh kh i B năm 2001
Gi i b t phương trình :
( )( ) ( )2
1 x
log 1 x 1
−
− ≥ ∗
Bài gi i tham kh o
● i u ki n : 2
2
1 x 0
1 x 1
1 x 0
x 0
1 x 1
− > − < < − > ⇔ ⇒
≠ − ≠
T p xác nh : ( ) { }D 1;1 0= − .
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )2 2
2 2 2
1 x 1 x
log 1 x log 1 x 1 x 1 1 x 1 x 0
− −
∗ ⇔ − ≥ − ⇔ − − − − + ≥
( )2 2 2
x x x 0 x x 0 0 x 1⇔ − ≤ ⇔ − ≤ ⇔ ≤ ≤ .
● K t h p v i t p xác nh, t p nghi m c a b t phương trình là : ( )x 0;1∈ .
Bài 56.Bài 56.Bài 56.Bài 56. i h c Qu c Gia Tp. H Chí Minh kh i A năm 2001
Gi i phương trình : ( )
2
2 2 2log 2x log 6 log 4x
4 x 2.3− = ∗
Bài gi i tham kh o
● i u ki n :
x 0
x 0
x 0
> ⇔ > ⇒
≠
T p xác nh : ( )D 0;= +∞ .
( ) 2 2 2 2 2 21 log x log x 2 log 2x log x log x 1 log x
4 6 2.3 0 4.4 6 2.9 0
+ +
∗ ⇔ − − = ⇔ − − =
www.VNMATH.com
24. 2 2
2 2 2
2
log x log x
log x log x log x 3 3
4.4 6 18.9 0 4 18. 0
2 2
⇔ − − = ⇔ − − =
( )
( )
2
2
2
log x
2
log x
2log x
3 418t t 4 0 t N
12 9
log x 2 x3 4t 0 3 1
t L2
2 2
+ − = = = ⇔ ⇔ ⇔ = − ⇔ = = > = = −
.
● K t h p v i i u ki n, nghi m c a phương trình là
1
x
4
= .
Bài 57.Bài 57.Bài 57.Bài 57. i h c Ngo i Thương Tp. H Chí Minh kh i A năm 2001
Gi a và bi n lu n phương trình : ( )
2 2
x 2mx 2 2x 4mx m 2 2
5 5 x 2mx m+ + + + +
− = + + ∗
Bài gi i tham kh o
● t :
2
2
a x 2mx 2
b x 2mx m
= + +
= + +
. Lúc ó : ( ) ( )a a b
5 5 b+
∗ ⇔ − = ∗ ∗ .
● Ta có :
a a b
a a b
b 0 5 5 0
b 0 5 5 0
+
+
> ⇒ − <
< ⇒ − >
. Do ó : ( ) 2
b 0 x 2mx m 0∗ ∗ ⇔ = ⇔ + + = .
● L p 2
' m m∆ = − .
● Trư ng h p 1 : 2
' m m 0 0 m 1 :∆ = − < ⇔ < < Phương trình vô nghi m.
● Trư ng h p 2 : 2
' m m 0 m 0 m 1 :∆ = − > ⇔ < ∨ > Phương trình có 2 nghi m phân
bi t : 2 2
1 2
x m m m, x m m m= − − − = − + − .
● Trư ng h p 3 : 2
m 0 :
' m m 0
m 1 :
=∆ = − = ⇔ =
Bài 58.Bài 58.Bài 58.Bài 58. i h c Y Dư c Tp. H Chí Minh năm 2001
Cho phương trình : ( ) ( ) ( )2 2 2 2
4 1
2
2log 2x x 2m 4m log x mx 2m 0− + − + + − = ∗ . Xác
nh tham s m phương trình ( )∗ có hai nghi m 1 2
x ,x th a : 2 2
1 2
x x 1+ > .
Bài gi i tham kh o
( ) ( ) ( )2 2 2 2
2 2
log 2x x 2m 4m log x mx 2m∗ ⇔ − + − = + −
2 2 2 2
2 2 2 2
x mx 2m 0 x mx 2m 0
x 2m x 1 m2x x 2m 4m x mx 2m
+ − > + − > ⇔ ⇔
= ∨ = −− + − = + −
.
● ( )∗ có hai nghi m 1 2
x ,x th a : 2 2
1 2
x x 1+ >
1 2 2
2 2
1 2 2
2 2
1 1 2
2 2
2 2
x 2m, x 1 m m 04m 0 1 m 0x x 1 1
2m m 1 0 1 m 2 1
x mx 2m 0 2 m
5m 2m 0 5 22
m 0 mx mx 2m 0
5
= = − ≠ > − < < + > ⇔ ⇔ − − + > ⇔ − < < ⇔
+ − > < < − > < ∨ >+ − >
.
Phương trình có 1 nghi m .
Phương trình có 1 nghi m .
www.VNMATH.com
25. ● V y ( )
2 1
m 1;0 ;
5 2
∈ − ∪
th a yêu c u bài toán.
Bài 59.Bài 59.Bài 59.Bài 59. i h c Nông Lâm Tp. H Chí Minh năm 2001
Tìm m b t phương trình: ( ) ( )2
x x x 12 m.log 2 4 x+ + ≤ + − ∗ có nghi m.
Bài gi i tham kh o
● i u ki n :
x 0
4 x 0 0 x 4
x 12 0
≥ − ≥ ⇔ ≤ ≤ ⇒
+ ≥
T p xác nh : D 0;4 = .
● Ta có : x 0;4 ∀ ∈ thì ( )2 2
log 2 4 x log 2 1 0+ − ≥ = > .
● Lúc ó: ( )
( )2
x x x 12
m
log 2 4 x
+ +
∗ ⇔ ≤
+ −
.
● M t khác : x 0;4 ∀ ∈ thì
( )
( ) ( )2
f x x x x 12 :
g x log 2 4 x :
= + +
= + −
● Do ó :
( )
( )
f x
g x
t min là
( )
( )
f 0
3
g 0
= ⇒ ( )1 có nghi m khi và ch khi m 3≥ .
Bài 60.Bài 60.Bài 60.Bài 60. i h c C n Thơ năm 2001
Xác nh c a m i giá tr c a tham s m h sau 2 nghi m phân bi t :
( ) ( ) ( )
( ) ( )2
33 3
2
2 x 2x 5
log x 1 log x 1 log 4 1
log x 2x 5 m log 2 5 2
− +
+ − − >
− + − =
Bài gi i tham kh o
( ) ( ) ( )3 3 3 3 3
x 1 x 1x 1
1 x 1 x 12log x 1 2log x 1 2log 2 log log 2 2
x 1 x 1
> > > ⇔ ⇔ ⇔ + + + − − > > > − −
x 1
1 x 33 x
0
x 1
>⇔ ⇔ < < − > −
.
● t 2
y x 2x 5= − + và xét hàm 2
y x 2x 5= − + trên ( )1;3 .
Ta có : y ' 2x 2. Cho y ' 0 x 1= − = ⇔ = .
x −∞ 1 3 +∞
y' − 0 +
y
8
4
● Do ó : ( ) ( )x 1;3 y 4;8∀ ∈ ⇒ ∈ .
t min là .
t max là .
www.VNMATH.com
26. ● t ( )2
2
t log x 2x 5= − + .
Ta có : ( ) ( ) ( )2 2
2
y x 2x 5 4;8 t log x 2x 5 2;3= − + ∈ ⇒ = − + ∈ .
( ) ( ) ( ) ( )2m
2 t 5 f t t 5t m , t 2;3
t
⇔ − = ⇔ = − = ∗ ∀ ∈ .
● Xét hàm s ( ) 2
f t t 5t= − trên kho ng ( )2;3 .
( ) ( )
5
f ' t 2t 5. Cho f ' t 0 t
2
= − = ⇔ = .
B ng bi n thiên
t −∞ 2
5
2
3
+∞
( )f ' t − 0 +
( )f t
6− 6−
25
4
−
● D a vào b ng bi n thiên, h có hai nghi m phân bi t
25
m 6
4
⇔ − < < − .
Bài 61.Bài 61.Bài 61.Bài 61. i h c à N ng kh i A, B t 1 năm 2001
Gi i h phương trình :
( )
( )
( )x
y
log 6x 4y 2
log 6y 4x 2
+ = ∗
+ =
Bài gi i tham kh o
● i u ki n :
x 0, x 1
y 0, y 1
> ≠
> ≠
.
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )( ) ( )( )
1 22
2
6x 4y x 1
2 x y x y x y x y x y 2 0
6y 4x y 2
− + =∗ ⇔ ⇔ − = − + ⇔ − + − =
+ =
2
2
x y x y x y 0
6x 4y x y 0 y 10x y x y 10
y 2 x x 2, y 0y 2 x y 2 x
x 4, y 6x 4 x 26x 4y x
= = = = + = = ∨ == = = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ = − = = = − = − = − = = − ∨ = + =
.
● K t h p v i i u ki n, nghi m c a h là ( ) ( ){ }S x;y 10;10= = .
Bài 62.Bài 62.Bài 62.Bài 62. i h c à N ng kh i A t 2 năm 2001
Tìm m b t phương trình ư c nghi m úng ( ) ( )2
m
x : log x 2x m 1 0∀ − + + > ∗
Bài gi i tham kh o
( ) ( )2
m m
log x 2x m 1 log 1∗ ⇔ − + + >
www.VNMATH.com
27. ( )
2 2
2 2
0 m 1
0 m 1 0 m 1 a 1 0 Sai
x 2x m 1 1 x 2x m 0 ' 0
m
m 1 m 1 m 1
a 1 0x 2x m 1 1 x 2x m 0
' 1 m 0
< < < < < < = < − + + < − + < ∆ < ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ > > > > = >− + + > − + > ∆ = − <
1.
● V y b t phương trình có nghi m úng x m 1∀ ⇔ > .
Bài 63.Bài 63.Bài 63.Bài 63. i h c Sư Ph m Vinh kh i A, B năm 2001
Gi i phương trình : ( )2 2 2
4 5 20
log x x 1 .log x x 1 log x x 1
− − + − = − − ∗
Bài gi i tham kh o
● i u ki n :
2
2
2
x x 1 0
x x 1 0 x 1
x 1 0
− − > + − > ⇔ ≥
− ≥
.
( ) 2 2 2
4 20 5 20
log 20.log x x 1 .log x x 1 log x x 1 0
∗ ⇔ − − + − − − − =
2 2
20 4 5
log x x 1 . log 20.log x x 1 1 0
⇔ − − + − − =
22
20
22
5 204 5
4
x x 1 1log x x 1 0
1
log x x 1 log 4log 20.log x x 1 1 0
log 20
− − = − − = ⇔ ⇔ + + = = + − − =
2020
20
2
2 2
log 4log 42
log 42
2 2 2
x 1
x 1 0
x 1x 1 x 1
x 1 x 2x 1
x 5 ax x 1 5
x 1 5 x
x 1 a 2ax x
≥ − ≥ =− = − − = − + ⇔ ⇔ ⇔ ≥ =+ + = + = − + = − +
( ) ( )20
20
log 42 2
log 4
x 1x 1x 1
11
x 25 12ax a 1 x a 1
2a 2.5
== = ⇔ ⇔ ⇔ = −= − = −
.
● So v i i u ki n, phương trình có hai nghi m là : ( )20
20
log 4
log 4
1
x 1 x 25 1
2.5
= ∨ = − .
Bài 64.Bài 64.Bài 64.Bài 64. i h c Th y L i năm 2001
Gi i phương trình : ( ) ( )
2 2x 1 x x
2 2 x 1− −
− = − ∗
Bài gi i tham kh o
● T p xác nh : D = » .
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
x 1 x x 2 x 1 x x 2
2 2 x 2x 1 2 x 1 2 x x 1− − − −
∗ ⇔ − = − + ⇔ + − = + −
● Nh n th y ( )1 có d ng : ( ) ( ) ( )2
f x 1 f x x 2− = −
www.VNMATH.com
28. ● Xét hàm s ( ) t
f t 2 t= + trên » :
( ) ( )t
f ' t 2 ln2 1 0, t f t= + > ∀ ∈ ⇒» ng bi n trên ( )3»
● T ( ) ( ) ( ) 2 2
1 , 2 , 3 x 1 x x x 2x 1 0 x 1⇒ − = − ⇔ − + = ⇔ = .
● V y phương trình có nghi m duy nh t là x 1= .
Bài 65.Bài 65.Bài 65.Bài 65. i h c Ngo i Thương Tp. H Chí Minh kh i D năm 2001
Gi i phương trình : ( )
2
2
3 2
x x 3
log x 3x 2
2x 4x 5
+ + = + + ∗ + +
Bài gi i tham kh o
● i u ki n :
2
2
x x 3
0, x
2x 4x 5
+ +
> ∀ ∈ ⇒
+ +
» T p xác nh : D = » .
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
3 3
x x 3 log x x 3 2x 4x 5 log 2x 4x 5 1⇔ + + + + + = + + + + +
● Phương trình ( )1 có d ng : ( ) ( ) ( )2 2
f x x 3 f 2x 4x 2 2+ + = + +
● Xét hàm s : ( ) 3
f t t log t= + trên kho ng ( )0;+∞ .
Ta có : ( ) ( )
1
f ' t 1 0, t 0 f t :
tln 3
= + > ∀ > ⇒
ng bi n trên kho ng ( ) ( )0; 3+∞
● T ( ) ( ) ( ) 2 2 2
x 1
1 , 2 , 3 x x 3 2x 4x 2 x 3x 2 0
x 2
= −⇒ + + = + + ⇔ + + = ⇔ = −
.
● V y phương trình có hai nghi m là x 2 x 1= − ∨ = − .
Bài 66.Bài 66.Bài 66.Bài 66. i h c Nông Nghi p I kh i B năm 2001
Gi i phương trình : ( ) ( )2 x 2x
log 2 x log x 2
+
+ + = ∗
Bài gi i tham kh o
● i u ki n : 0 x 1< ≠ .
( ) ( )x xx 2
x
1 1
log 2 x log x 2 log x 2 2 0
2 log x 2
+
∗ ⇔ + + = ⇔ + + − =
+
x
2x2
x 0t log x 2
t log x 2 1 x 2 x
x 2 xt 2t 1 0
≥= + ⇔ ⇔ = + = ⇔ + = ⇔
+ =− + =
2
x 0 x 0
x 2
x 1 x 2x x 2 0
≥ ≥ ⇔ ⇔ ⇔ =
= − ∨ =− − =
.
● So v i i u ki n, nghi m c a phương trình là x 2= .
Bài 67.Bài 67.Bài 67.Bài 67. i h c Lu t Hà N i – i h c Dư c Hà N i năm 2001
Gi i phương trình : ( ) ( ) ( )2
1 1
2 2
x 1 log x 2x 5 .log x 6 0+ + + + ≥ ∗
Bài gi i tham kh o
● i u ki n : x 0> ⇒ T p xác nh ( )D 0;= +∞ .
( ) ( ) ( ) ( )2
2 2
x 1 log x 2x 5 log x 6 0 1∗ ⇔ + − + + ≥ .
www.VNMATH.com
29. ● t 2
t log x= . Lúc ó : ( ) ( ) ( ) ( )2
1 x 1 .t 2x 5 .t 6 0 2⇔ + − + + ≥
● L p ( ) ( ) ( )
2 22
2x 5 24 x 1 4x 4x 1 2x 1∆ = + − + = − + = − .
( ) ( )1 2
2x 5 2x 1 2x 5 2x 1 3
t 2 t
x 12 x 1 2 x 1
+ + − + − +
⇒ = = ∨ = =
++ +
.
● Xét 1 2
3 2x 1
t t 2
x 1 x 1
−
− = − =
+ +
x −∞ 1− 0
1
2
+∞
1 2
t t− + 0 − 0 +
● N u 1 2 1 2
1
0 x t t 0 t t ,
2
< ≤ ⇒ − < ⇔ < lúc ó t p nghi m c a ( )2 là :
( )
( )
2
2 1
2 2 2
log x 2 at log x t
3t log x t log x b
x 1
≤ = ≤ ⇔ = ≥ ≥ +
Do ó, khi
1
0 x
2
< ≤ thì ( )a th a ( ), b không th a nên t p nghi m ( )2 là
1
0;
2
( )3
● N u 1 2 2 1
1
x t t 0 t t ,
2
> ⇒ − > ⇔ < lúc ó t p nghi m c a ( )2 là
2
2 1
2 2 2
log x 2 x 4t log x t
3 1t log x t log x x 2
x 1 2
≥ ≥ = ≥ ⇔ ⇔ = ≤ ≤ < ≤ +
Do ó, khi
1
x
2
> thì t p nghi m c a ( )2 là )
1
;2 4;
2
∪ +∞
( )4
● T ( ) ( )3 , 4 ⇒ T p nghi m c a phương trình là : ( )x 0;2 4; ∈ ∪ +∞ .
Bài 68.Bài 68.Bài 68.Bài 68. i h c Nông Nghi p I kh i A năm 2001
Gi i và bi n lu n b t phương trình : ( )2 2a a aa a
1
log log x log log x log 2
2
+ ≥ ∗
Bài gi i tham kh o
● i u ki n : x 0> .
● Cơ s a ph i th a mãn i u ki n : 0 a 1< ≠ .
( ) a a a a a
1 1 1
log .log x log log x log 2
2 2 2
∗ ⇔ + ≥
a a a a a a
1 1 1
log log log x log log x log 2
2 2 2
⇔ + + ≥
a a a a
1 3 1
log log log x log 2
2 2 2
⇔ − + ≥
a a a
3 3
log log x log 2
2 2
⇔ ≥
www.VNMATH.com
30. ( )a a a
log log x log 2⇔ ≥ ∗ ∗
● N u ( ) 2
a
0 a 1 : 0 log x 2 a x 1< < ∗ ∗ ⇔ < ≤ ⇔ ≤ < .
● N u ( ) 2
a
a 1 : log x 2 x a> ∗ ∗ ⇔ ≥ ⇔ ≥ .
Bài 69.Bài 69.Bài 69.Bài 69. H c Vi n Công Ngh Bưu Chính Vi n Thông năm 2001
Tìm t t c các giá tr c a tham s a sao cho b t phương trình sau ư c nghi m úng x 0∀ ≤ :
( ) ( ) ( ) ( )
x x
x 1
a.2 2a 1 . 3 5 3 5 0+
+ + − + + < ∗
Bài gi i tham kh o
( ) ( ) ( ) ( )
x x
x
2a 1 . 3 5 3 5 2a.2 0∗ ⇔ + − + + + <
( ) ( )
x x
3 5 3 5
2a 1 . 2a 0 1
2 2
− + ⇔ + + + <
● Nh n xét :
x x
x3 5 3 5 3 5 3 5
1 1 1
2 2 2 2
− + − + = ⇔ = =
. Do ó, khi t
x x
3 5 3 5 1
t
2 2 t
+ − = ⇒ =
. Do x 0 0 t 1≤ ⇒ < ≤ .
( ) ( ) (
1
1 2a 1 . t 2a 0, t 0;1
t
⇔ + + + < ∀ ∈
(2
t 2at 2a 1 0, t 0;1⇔ + + + < ∀ ∈
( ) (2
2a t 1 t 1, t 0;1⇔ + < − − ∀ ∈
( ) ( ( )
2
t 1
2a f t , t 0;1 2
t 1
− − ⇔ < = ∀ ∈ +
● Xét hàm s ( )
2
t 1
f t
t 1
− −
=
+
trên n a kho ng o n (0;1
.
Ta có : ( )
( )
2
2
t 2t 1
f ' t
t 1
− − +
=
+
. Cho ( )f ' t 0 t 2 1 t 2 1= ⇔ = − ∨ = − − .
B ng xét d u
t −∞ 2 1− − 0 2 1− 1 +∞
( )f ' t − 0 + 0 −
( )f t
2 2 2−
1− 1−
● D a vào b ng bi n thiên và ( )2
1
2a 1 a
2
⇒ ≤ − ⇔ ≤ − th a yêu c u bài toán.
Bài 70.Bài 70.Bài 70.Bài 70. i h c Kinh T Qu c Dân năm 2001
www.VNMATH.com
31. Gi i phương trình : ( ) ( ) ( ) ( )2 2
2x 33x 7
log 9 12x 4x log 6x 23x 21 4++
+ + + + + = ∗
Bài gi i tham kh o
● i u ki n :
( )
( )( )
2
2
7
2 x1 3x 7 0
3
1 2x 3 0 3 31 x 1 x
29 12x 4x 0 2
2x 3 0
6x 23x 21 0
2x 3 3x 7 0
− ≠ > − ≠ + > ≠ + > − ≠ > −⇔ ⇔ − ≠ > −
+ + > + > + + > + + >
.
( ) ( ) ( ) ( )( )( )
2
3x 7 2x 3
log 2x 3 log 2x 3 3x 7 4+ +
∗ ⇔ + + + + =
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )3x 7 2x 3 2x 3
2log 2x 3 log 2x 3 log 3x 7 4+ + +
⇔ + + + + + =
( )( )
( ) ( ) ( )( )
( )( )
3x 7 3x 7
3x 7
2
3x 7
t log 2x 3 t log 2x 3 1t log 2x 3
1 1
2t 3t 1 02t 3 0 t log 2x 3
t 2
+ +
+
+
= + = + = = + ⇔ ⇔ ⇔ − + =+ − = = + =
( )
2
3
xx 4 L
22x 3 3x 7 1
2x 3 0 x 2 x
42x 3 3x 7
19 12x 4x 3x 7
x
4
≥ −= − + = + + ≥ = −⇔ ⇔ ⇔ ⇔ = − + = + + + = + = −
.
● K t h p v i i u ki n, nghi m c a phương trình là
1
x
4
= − .
Bài 71.Bài 71.Bài 71.Bài 71. i h c Th y S n năm 1999
Gi i b t phương trình : ( ) ( )x x
2
log 7.10 5.25 2x 1− > + ∗
Bài gi i tham kh o
● i u ki n :
x
x x x x
10
25
10 5 5
7.10 5.25 0 7.10 5.25 x log
25 7 7
− > ⇔ > ⇔ > ⇔ <
.
( )
2
x x
x x 2x 1 x x x 5 5
7.10 5.25 2 7.10 5.25 2.4 0 7. 5. 2 0
2 2
+
∗ ⇔ − > ⇔ − − > ⇔ − − >
x
x
x
2
55 t 0t 0 2 52 1 1 x 02
5 22
5t 7t 2 0 t 1
5
= > = > ⇔ ⇔ ⇔ < < ⇔ − < < − + − > < <
.
● K t h p v i i u ki n, t p nghi m c a b t phương trình là : ( )x 1;0∈ − .
Bài 72.Bài 72.Bài 72.Bài 72. i h c Qu c Gia Hà N i – kh i B năm 1999
Gi i b t phương trình : ( )
2
2
x 8x 1
log 2
x 1
+ − ≤ ∗ +
Bài gi i tham kh o
www.VNMATH.com
32. ( )
2
2
2
4 17 14 17 1x 8x 1
0 4 17 x 5x 4 17x 4 17x 1
x 8x 1 4 17 x 1x 5x 4x 54 0x 1 1 x 1x 1
− − < − − − < − + − > − − < ≤ − > − + > − + + ∗ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ + − − + < ≤≤ − + − ≤ ≤ + − ≤ ≤+
.
V y t p nghi m c a b t phương trình là : ( ( )x 4 17; 5 4 17;1∈ − − − ∪ − +
.
Bài 73.Bài 73.Bài 73.Bài 73. i h c Qu c Gia Hà N i kh i D năm 1999
Gi i b t phương trình : ( ) ( )2
1
2
log x 3x 2 1− + ≥ − ∗
Bài gi i tham kh o
( ) ( ) ( )2 2
2 2
log x 3x 2 1 log x 3x 2 1∗ ⇔ − − + ≥ ⇔ − + ≤
2
2
x 3x 2 0 x 1 x 2 0 x 1
0 x 3 2 x 3x 3x 2 2
− + > < ∨ > ≤ < ⇔ ⇔ ⇔
≤ ≤ < ≤− + ≤
.
V y t p nghi m c a b t phương trình là ) (x 0;1 2;3 ∈ ∪ .
Bài 74.Bài 74.Bài 74.Bài 74. i h c Hu kh i D – h chưa phân ban năm 1999
Gi i phương trình : ( ) ( )4 x
log x 2 .log 2 1+ = ∗
Bài gi i tham kh o
● i u ki n : 0 x 1< ≠ .
( ) ( ) ( ) ( ) 2
2 2 2 2 2
2
1 1
log x 2 . 1 log x 2 2log x log x 2 log x
2 log x
∗ ⇔ + = ⇔ + = ⇔ + =
2
x 1
x 2 x
x 2
= −⇔ + = ⇔ =
.
● So v i i u ki n, nghi m c a phương trình c n tìm là x 2= .
Bài 75.Bài 75.Bài 75.Bài 75. i h c Hu kh i D – H chuyên ban năm 1999
Gi i phương trình : ( )2
x 9
x log 27.log x x 4= + ∗
Bài gi i tham kh o
● i u ki n : 0 x 1< ≠ .
( ) 2 2 2
9 x 9
4
3 x
x .log x.log 27 x 4 x log 27 x 4 x . x 4 3
2 x 2
= −
∗ ⇔ = + ⇔ = + ⇔ = + ⇔
=
.
● K t h p v i i u ki n, nghi m c a phương trình là x 2= .
Bài 76.Bài 76.Bài 76.Bài 76. H c Vi n Công Ngh Bưu Chính Vi n Thông năm 1999
1/ Gi i h phương trình :
( ) ( )
( )
x y
y x
3 3
4 32
log x y 1 log x y
+
= ∗
− = − +
2/ Tìm t t c các giá tr c a m b t phương trình sau có nghi m úng x 0 :∀ >
( ) ( ) ( )x x x
3m 1 .12 2 m 6 3 0+ + − + < ∗ ∗
Bài gi i tham kh o
www.VNMATH.com
33. 1/ Gi i h phương trình :
( ) ( )
( )
x y
y x
3 3
4 32
log x y 1 log x y
+
= ∗
− = − +
● i u ki n : x y> .
( )
( ) ( ) ( )( )
x y 5
y x 2
2 23 3 3
x
t
yx y 5
1 54 4 ty x 2
t 2log x y log x y log 3 x y x y 3
x y 3 0
+
= + = =∗ ⇔ ⇔ ⇔ + =
− + + = − + = − − =
2 2
2 22 2
2 22 2
x
x 1t y 2x
y y 2xy 2 x y 3 01
x x 2yt t 2
2 x 2y2
y x y 3 0x y 3 0
x y 3 0x y 3 0
= = = = − − = = ⇔ = ∨ = ⇔ ⇔ ⇔ = = − − = − − = − − =− − =
( )2 2
y 2x x 2y y 1, x 2
VN
y 1, x 23x 3 y 1
= = = − = − ⇔ ∨ ⇔ = =− = =
.
● K t h p v i i u ki n, nghi m h phương trình là ( ) ( ){ }S x;y 2;1= = .
2/ Tìm t t c các giá tr c a m b t phương trình sau có nghi m úng x 0 :∀ >
( ) ( ) ( )x x x
3m 1 .12 2 m 6 3 0+ + − + < ∗ ∗
( ) ( ) ( ) ( )x x
3m 1 .4 2 m 2 1 0 1∗ ∗ ⇔ + + − + <
● t x
t 2 . Do x 0 t 1= > ⇒ > . Lúc ó : ( ) ( ) ( )2
1 3m 1 .t 2 m .t 1 0, t 1⇔ + + − + < ∀ >
( ) ( ) ( ) ( )
2
2 2
2
t 2t 1
3t t m t 2t 1, t 1; m f t , t 1;
3t t
− − −
⇔ − < − − − ∀ ∈ +∞ ⇔ < = ∀ ∈ +∞
−
.
● Xét hàm s : ( )
2
2
t 2t 1
f t
3t t
− − −
=
−
trên kho ng ( )1;+∞ .
Ta có : ( )
( )
( )
2
2
2
7t 6t 1
f ' t 0, t 1;
3t t
+ −
= > ∀ ∈ +∞
−
.
B ng bi n thiên
t −∞ 1 +∞
( )f ' t +
( )f t
1
3
−
2−
● D a vào b ng bi n thiên, ta ư c: m 2< − th a yêu c u bài toán.
BBBBààààiiii 77777777.... i h c Y Tp. H Chí Minh năm 1999
www.VNMATH.com
34. Gi i phương trình : ( )1999 1999
sin x cos x 1+ = ∗
Bài gi i tham kh o
( ) 1999 1999 2 2 2 1997 2 1997
1 sin x cos x 0 sin x cos x sin x sin x cos x cos x 0∗ ⇔ − − = ⇔ + − − =
( ) ( ) ( )2 1997 2 1997
sin x 1 sin x cos x 1 cos x 0 1⇔ − + − =
● Ta có :
( )
( )
( )
2 1997
2 1997
sin x 1 sin x 0
2
cos x 1 cos x 0
− ≥
− ≥
● T ( ) ( )
( )
( )
2 1997
2 1997
x k2sin x 1 sin x 0 sin x 0 cos x 0
1 , 2
cos x 1 sin x 1 x k2cos x 1 cos x 0
2
= π − = = = ⇒ ⇔ ∨ ⇔ π = = = + π− =
.
Bài 78.Bài 78.Bài 78.Bài 78. i h c Y Dư c Tp. H Chí Minh năm 1999
1/ Gi i b t phương trình :
( )
( )
( )
3
a
a
log 35 x
3, a 0,a 1
log 5 x
−
> > ≠
−
.
2/ Xác nh m b t phương trình : x x
4 m.2 m 3 0− + + ≤ có nghi m.
Bài gi i tham kh o
1/ Gi i b t phương trình :
( )
( )
( ) ( )
3
a
a
log 35 x
3 , a 0,a 1
log 5 x
−
> ∗ > ≠
−
.
● i u ki n :
3 3
335 x 0 x 35
x 35
5 x 0 x 5
− > < ⇔ ⇔ < ⇒
− > <
T p xác nh : ( )3
D ; 35= −∞ .
( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 3
5 x 5 x 5 x
log 35 x 3 log 35 x log 5 x 1− − −
∗ ⇔ − > ⇔ − > −
● Do 3
x 35 4 x 4 5 x 5 4 a 5 x 1< < ⇔ − > − ⇔ − > − ⇔ = − > nên :
( ) ( )
33 2
1 35 x 5 x x 5x 6 0 2 x 3⇔ − > − ⇔ − + < ⇔ < < .
● K t h p v i t p xác nh, t p nghi m c a b t phương trình : ( )x 2;3∈ .
2/ Xác nh m b t phương trình : ( )x x
4 m.2 m 3 0− + + ≤ ∗ ∗ có nghi m.
● t x
t 2 0= > . Lúc ó : ( ) ( )2
t mt m 3 0, t 0;∗ ∗ ⇔ − + + ≤ ∀ ∈ +∞
( ) ( ) ( ) ( ) { }
2
2 t 3
t 3 m t 1 , t 0; m f t , t 0; 1
t 1
+
⇔ + ≤ − ∀ ∈ +∞ ⇔ ≥ = ∀ ∈ +∞
−
.
● Xét hàm s ( )
2
t 3
f t
t 1
+
=
−
trên ( ) { }0; 1+∞
Ta có : ( )
( )
( ) { }
2
2
t 2t 3
f ' t , t 0; 1
t 1
− −
= ∀ ∈ +∞
−
. Cho ( )f ' t 0 t 1 t 3= ⇔ = − ∨ = .
B ng bi n thiên
t −∞ 1− 0 1 3 +∞
( )f ' t + 0 − − − 0 +
www.VNMATH.com
35. ( )f t
3− +∞ +∞
−∞ 6
● D a vào b ng bi n thiên, b t phương trình có nghi m : m 3 m 6< − ∨ ≥ .
Bài 79.Bài 79.Bài 79.Bài 79. i h c Qu c Gia Tp. H Chí Minh năm 1998
Cho h phương trình :
( ) ( )
( )
2 2
m 3
9x 4y 5
log 3x 2y log 3x 2y 1
− = ∗
+ − − =
1/ Gi i h ( )∗ khi m 5= .
2/ Tìm giá tr l n nh t c a tham s m sao cho h ( )∗ có nghi m ( )x;y th a 3x 2y 5+ ≤ .
Bài gi i tham kh o
1/ Khi m 5= thì ( )
( ) ( )
( )
2 2
5 3
9x 4y 5
1
log 3x 2y log 3x 2y 1
− =∗ ⇔
+ − − =
● i u ki n:
x 0, y 03x 2y 0
23x 2y 0 x y
3
> > + > ⇔
− > >
.
( )
( ) ( )
( )
2 2
5 3
9x 4y 5
1
log 3x 2y log 3x 2y 1
− =∗ ⇔
+ − − =
( )
( )( )
( )
( )5
5
5
3x 2y 3x 2y 5
1 log 3x 2y
log 3x 2y 1
log 3
− + =⇔ −
+ − =
( )( )
( ) ( )5 5 5 5
3x 2y 3x 2y 5
log 3.log 3x 2y log 3x 2y log 3
− + =⇔
+ − − =
( )5 5 5 5
5
3x 2y
3x 2y
5
log 3.log log 3x 2y log 3
3x 2y
+ = −⇔
− − = −
( )( )
( ) ( )5 5 5 5 5
3x 2y 3x 2y 5
log 3. log 5 log 3x 2y log 3x 2y log 3
− + =⇔ − − − − =
( )( )
( ) ( )5 5 5 5 5
3x 2y 3x 2y 5
log 3 log 3.log 3x 2y log 3x 2y log 3
− + =⇔
− − − − =
( )( )
( ) ( )5 5
3x 2y 3x 2y 5
log 3 1 log 3x 2y 0
− + =⇔
− − =
( )( )
( )
( )( )
5
3x 2y 3x 2y 5 3x 2y 5 x 13x 2y 3x 2y 5
3x 2y 1 y 13x 2y 1log 3x 2y 0
− + = + = =− + = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔
− = =− =− =
.
● So v i i u ki n, nghi m c a h phương trình là ( ) ( ){ }S x;y 1;1= = .
www.VNMATH.com
36. 2/ Tìm giá tr l n nh t c a tham s m sao cho h :
( )
( ) ( ) ( )
2 2
m 3
9x 4y 5 2
log 3x 2y log 3x 2y 1 3
− =
+ − − =
có nghi m ( )x;y th a 3x 2y 5+ ≤ .
● Ta có:
( )( )3x 2y 3x 2y 5
3x 2y 1
3x 2y 5
+ − = ⇒ − ≥
+ ≤
.
● t
5
t 3x 2y 3x 2y
t
= − ⇒ + = .
( ) 3
m 3 m 3 3 m
3
1 log t5 5
3 log log t 1 log 3.log 1 log t log 3
t t 5
log
t
+ ⇔ − = ⇔ = + ⇔ =
( )3
m
3 3
1 log t
log 3 4
log 5 log t
+
⇔ =
−
. t ( )3
z log t, z 0 do t 3x 2y 1= ≥ = − ≥ .
● Lúc ó : ( ) ( )m
3
z 1
4 log 3 f z , z 0
z log 5
+
⇔ = = ∀ ≥
− +
và 3
z log 5≠ .
● Xét hàm s : ( )
3
z 1
f z
z log 5
+
=
− +
trên ) { }3
0; log 5 +∞ .
Ta có : ( )
( )
) { }3
32
3
log 5 1
f ' z 0, z 0; log 5
z log 5
+ = > ∀ ∈ +∞
− +
.
B ng bi n thiên
z −∞ 0 3
log 5 +∞
( )f ' z 0 + +
( )f z
+∞ 1−
5
log 3 −∞
● D a vào b ng bi n thiên, phương trình có nghi m th a 3x 2y 5+ ≤ thì
m 33
m 5 3 3
3 5
1
1 1log 3 1 log m 1log m m
3
log 3 log 3 1 1 log m log 5 m 5
log m log 3
≤ − ≤ − ≥ − ≥ ⇔ ⇔ ⇔ ≥ ≤ ≤ ≥
.
● V y giá tr l n nh t c a m là m 5= .
Bài 80.Bài 80.Bài 80.Bài 80. i h c Kinh T Tp. H Chí Minh kh i A năm 1998
Gi i b t phương trình :
( )
( )2
11
33
1 1
log x 1log 2x 3x 1
> ∗
+− +
Bài gi i tham kh o
www.VNMATH.com
37. ● i u ki n :
2
2
1
x x 12x 3x 1 0
2 1
1 x , x 032x 3x 1 1 2x 0, x
2 3x 1 0 x 1, xx 1
2x 1 1
x 0
< ∨ > − + > − < < ≠ − + ≠ ≠ ≠⇔ ⇔ + > > ≠ > − + ≠ ≠
.
( )
( ) ( )
( )2 2
3 33 3
1 1 1 1
1
log x 1 log x 1log 2x 3x 1 log 2x 3x 1
∗ ⇔ > ⇔ <
− + +− − + − +
● D a vào i u ki n, ta có b ng xét d u
x 1− 0
1
2
1
3
2
( )3
log x 1+ − 0 + + +
2
3
log 2x 3x 1− + + 0 − − 0 +
● D a vào b ng xét d u, ta th y:
N u 1 x 0 :− < < VT VP> ⇒ B t phương trình vô nghi m.
N u
1
0 x : VT VP
2
< < < ⇒ B t phương trình ư c th a.
N u
3
1 x : VT VP
2
< < < ⇒ B t phương trình ư c th a.
● N u
3
x
2
> thì
( ) ( ) ( ) ( )2 2
3 3 3 3
1
1 log 2x 3x 1 log x 1 log 2x 3x 1 log x 1
2
⇔ − + > + ⇔ − + > +
( ) ( ) ( )
2 22 2
3 3
log 2x 3x 1 log x 1 2x 3x 1 x 1 x 5⇔ − + > + ⇔ − + > + ⇔ > .
● V y t p nghi m c a b t phương trình là ( )
1 3
x 0; 1; 5;
2 2
∈ ∪ ∪ +∞
.
Bài 81.Bài 81.Bài 81.Bài 81. i h c Ki n Trúc Hà N i năm 1998
Gi i b t phương trình :
( )
( )2
1 2
2
1 1
0 1
log 2x 1 log x 3x 2
+ >
− − +
Bài gi i tham kh o
● i u ki n : 2
2
1
x2x 1 0
2
2x 1 1 x 0
x 1 x 2x 3x 2 0
3 5x 3x 2 1 x
2
>− > − ≠ ≠ ⇔ ⇒ < ∨ > − + > ± − + ≠ ≠
( )
1 3 5
x ;1 2;
2 2
± ∈ ∪ +∞
.
( )
( )
( )
( )
2
2 2
2 2
22 2 2
log 2x 1 log x 3x 21 1
1 0 0
log 2x 1log x 3x 2 log 2x 1 .log x 3x 2
− − − +
⇔ − > ⇔ >
−− + − − +
www.VNMATH.com
38. ( )
( )
( )
2 2
2
2 2
2x 1
log
x 3x 2
f x 0 2
log 2x 1 .log x 3x 2
−
− +
⇔ = >
− − +
.
● Xét d u c a : ( )2
log 2x 1−
( )2
1
log 2x 1 0 0 2x 1 1 x 1
2
− < ⇔ < − < ⇔ < < .
( )2
log 2x 1 0 2x 1 1 x 1− > ⇔ − > ⇔ > .
● Xét d u c a : 2
2
log x 3x 2− +
2 2
2
3 5 3 5
log x 3x 2 0 x 3x 2 1 x
2 2
− +
− + < ⇔ − + < ⇔ < < .
2 2
2
3 5 3 5
log x 3x 2 0 x 3x 2 1 x x
2 2
− +
− + > ⇔ − + > ⇔ < ∨ > .
● Xét d u c a : 2
2
2x 1
log
x 3x 2
−
− +
2
2 2
2x 1 2x 1 1 1 13
log 0 0 1 x
2 6x 3x 2 x 3x 2
− − +
< ⇔ < < ⇔ < <
− + − +
.
2
2 2
2x 1 2x 1 1 13
log 0 1 x
6x 3x 2 x 3x 2
− − +
> ⇔ > ⇔ >
− + − +
.
● B ng xét d u c a ( )f x :
x
−∞
1
2
1 13
6
+
1 2
3 5
2
+
+∞
( )2
log 2x 1− − − + +
2
2
log x 3x 2− + − − − +
2
2
2x 1
log
x 3x 2
−
− +
−
+ + +
( )f x − + − +
● Do ó, t p nghi m c a ( )2 là
1 13 3 5
x ;1 ;
6 2
+ + ∈ ∪ +∞
.
Bài 82.Bài 82.Bài 82.Bài 82. i h c Ngo i Thương kh i D năm 1998
Gi i phương trình : ( )2 3 2 3
log x log x 1 log x.log x+ < + ∗
Bài gi i tham kh o
● i u ki n : x 0> ⇒ T p xác nh : ( )D 0;= +∞ .
www.VNMATH.com
39. ( )
2
2 2 2
2 2
2 2
2 2
t log x
log x log x
log x 1 log x. 0 t t
t 1 0log 3 log 3
log 3 log 3
=∗ ⇔ + − − < ⇔
+ − − <
( )
2
2 2
2
2 22 2
2
t log x
t log x log x 1 x 2
t 1
log x log 3 x 3t 1 log 3 t log 3 0
t log 3
= = < < <⇔ ⇔ ⇔ ⇔ > >− + + > >
.
● K t h p v i t p xác nh, t p nghi m c a b t phương trình là ( ) ( )x 0;2 3;∈ ∪ +∞ .
Bài 83.Bài 83.Bài 83.Bài 83. i h c Dân L p Ngo i Ng – Tin H c năm 1998
Gi i b t phương trình : ( )x x 1 x
25 5 5 5+
+ < + ∗
Bài gi i tham kh o
● i u ki n : x 0≥ ⇒ T p xác nh : )D 0;= +∞ .
( ) ( )
x x2
x x
2
t 5 0 t 5 0
5 6.5 5 0
1 t 5t 6t 5 0
= > = > ∗ ⇔ − + < ⇔ ⇔
< <− + <
x
1 t 5 1 5 5 0 x 1 0 x 1⇔ < < ⇔ < < ⇔ < < ⇔ < < .
● K t h p v i i u ki n, t p nghi m c a b t phương trình là ( )x 0;1∈ .
Bài 84.Bài 84.Bài 84.Bài 84. H c Vi n Công Ngh Bưu Chính Vi n Thông ( s 2) năm 1998
1/ H i v i giá tr nguyên nào c a a thì b t phương trình : 2
1 1
2 2
2log a 3 2x log a x 0− + − <
ư c th a mãn v i m i giá tr x ∈ » .
2/ Gi i phương trình : ( ) ( )
x x
x
2 3 2 3 4− + + = .
Bài gi i tham kh o
1/ H i v i giá tr nguyên nào c a a thì b t phương trình : 2
1 1
2 2
2log a 3 2x log a x 0− + − <
ư c th a mãn v i m i giá tr x ∈ » .
● i u ki n : a 0> .
● t 1
2
t 2 log a= . Khi ó :
( )
2
2
t 3 xt x 0
1 , x
t 2log a
− + − <⇔ ∀ ∈
= −
»
2
2
x t.x 3 t 0
, x
t 2log a
− + − >⇔ ∀ ∈
= −
»
2
2
2
2
a 1 0
6 t 2
t 4t 12 0 6 2log a 2
t 2log a
t 2log a
= > − < <⇔ ∆ = + − < ⇔ ⇔ − < − <
= − = −
2
1
1 log a 3 a 8
2
⇔ − < < ⇔ < < (th a i u ki n a 0> ).
www.VNMATH.com
40. ● Th a yêu c u bài toán thì { }a 1;2;3;4;5;6;7∈ .
2/ Gi i phương trình : ( ) ( ) ( )
x x
x
2 3 2 3 4 2− + + =
( ) ( )
x x
2 3 2 3
2 1 3
4 4
− + ⇔ + =
● Nh n th y x 1= là m t nghi m phương trình ( )3 .
● Xét hàm s
x x
2 3 2 3
y
4 4
− + = +
trên » .
Ta có :
x x
2 3 2 3 2 3 2 3
y' .ln .ln 0, x
4 4 4 4
− − + + = + < ∀ ∈ ⇒
» V trái là hàm
s gi m.
● Còn v ph i y 1= là hàm h ng. Do ó, phương trình ( )3 có nghi m duy nh t và nghi m ó
là x 1= .
Bài 85.Bài 85.Bài 85.Bài 85. i h c K Thu t Công Ngh năm 1998
1/ Gi i b t phương trình : ( )x 3 x
2 2 9 1−
+ ≤
2/ Gi i phương trình : ( )9 x
4log x log 3 3 2+ =
Bài gi i tham kh o
1/ Gi i b t phương trình : ( )x 3 x
2 2 9 1−
+ ≤
( )
x x
x x
2x
t 2 0 t 2 08
1 2 9 0 1 2 8 0 x 3
1 t 8t 9t 8 02
= > = > ⇔ + − ≤ ⇔ ⇔ ⇔ ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤
≤ ≤− + ≤
.
2/ Gi i phương trình : ( )9 x
4log x log 3 3 2+ =
● i u ki n : 0 x 1< ≠ ⇒ T p xác nh : ( ) { }D 0; 1= +∞ .
( )
3
3
23
3 3
t log x 1 x 3t log x1
2 2log x 3 0 1
2t 3t 1 0log x x 3t log x
2
= = == ⇔ + − = ⇔ ⇔ ⇔ − + = == =
.
● So v i t p xác nh, nghi m c a phương trình là x 3 x 3= ∨ = .
Bài 86.Bài 86.Bài 86.Bài 86. i h c Hàng H i năm 1998
Gi i phương trình : ( )x 2 x 2
4 16 10.2− −
+ = ∗
Bài gi i tham kh o
● i u ki n : x 2 0 x 2− ≥ ⇔ ≥ ⇒ T p xác nh : )D 2;= +∞ .
( )
x 2x 2 x 2
2 x 2
2 8 x 2 3 x 11t 2 0 t 2 0
x 3t 8 t 2t 10t 16 0 x 2 12 2
−− −
−
= − = == > = > ∗ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ == ∨ = − + = − ==
.
● So v i t p xác nh, phương trình có hai nghi m : x 3 x 11= ∨ = .
Bài 87.Bài 87.Bài 87.Bài 87. i h c Dân L p Văn Lang năm 1998
www.VNMATH.com
41. Cho b t phương trình : ( )x x x
9 5m.6 3m.4 0− + > ∗
1/ Gi i b t phương trình ( )∗ khi m 2= .
2/ V i giá tr nào c a tham s m thì b t phương trình ( )∗ nghi m úng v i m i giá tr c a x.
Bài gi i tham kh o
1/ V i m 2= thì
( )
x2
x x
x x x
2
3
t 03 3
9 10.6 6.4 0 10. 6 0 2
2 2
t 10t 6 0
= > ∗ ⇔ − + > ⇔ − + > ⇔ − + >
( )
( )
x
3
2
x
3
2
3 x log 5 195 19
t 0 2
t 5 19 t 5 19 x log 5 193
5 19
2
< − < − > ⇔ ⇔ ⇔
< − ∨ > + > + > +
.
2/ Tìm m : ( )x x x
9 5m.6 3m.4 0− + > ∗ nghi m úng v i m i giá tr c a x.
● t
2
3
t 0
2
= >
. Lúc ó : ( ) 2
t 5m.t 3m 0, t 0∗ ⇔ − + > ∀ >
( )2
t m 5t 3 , t 0⇔ > − ∀ >
( )
2
t 3 3
m f t , t 0; ;
5t 3 5 5
⇔ < = ∀ ∈ ∪ +∞ −
.
● Xét hàm s ( )
2
t
f t
5t 3
=
−
trên
3 3
0; ;
5 5
∪ +∞
.
Ta có : ( )
( )
( )
2
2
5t 6t 6
f ' t . Cho f ' t 0 t 0 t
55t 3
−
= = ⇔ = ∨ =
−
.
B ng bi n thiên
t −∞ 0
3
5
6
5
+∞
( )f ' t + 0 − − 0 +
( )f t
0 +∞ +∞
−∞
12
25
● D a vào b ng bi n thiên, giá tr m c n tìm là :
12
0 m
25
< < .
Bài 88.Bài 88.Bài 88.Bài 88. i h c Giao Thông V n T i năm 1998 – Cao ng Sư Ph m Nha Trang năm 2002
Gi i b t phương trình : ( ) ( ) ( )
x 3 x 1
x 1 x 3
10 3 10 3
− +
− +
+ < − ∗
Bài gi i tham kh o
www.VNMATH.com
42. ● i u ki n :
x 1 0 x 1
x 3 0 x 3
− ≠ ≠ ⇔
+ ≠ ≠ −
.
● Ta có : ( )( ) ( )
( )
( )
11
10 3 10 3 1 10 3 10 3
10 3
−
+ − = ⇔ − = = +
+
.
( ) ( ) ( )
x 3 x 1
x 1 x 3
10 3 10 3
− +
−
− +
∗ ⇔ + < +
( )( )
2 3 x 5x 3 x 1 x 3 x 1 2x 10
0 0
x 1 x 3 x 1 x 3 x 1 x 3 1 x 5
− < < −− + − + −
⇔ < − ⇔ + < ⇔ < ⇔
− + − + − + < <
.
● So v i i u ki n, t p nghi m c a b t phương trình là : ( ) ( )x 3; 5 1; 5∈ − − ∪ .
Bài 89.Bài 89.Bài 89.Bài 89. i h c M – a Ch t năm 1998
Tìm giá tr c a tham s m b t phương trình : ( ) ( )x x
9 2 m 1 .3 2m 3 0− + − − > ∗ luôn có
nghi m úng v i m i x.
Bài gi i tham kh o
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
2 2
x x x x
3 2 m 1 .3 2 m 1 1 0 3 1 2 m 1 3 1 0
∗ ⇔ − + − + − > ⇔ − − + + >
( )( ) ( )( ) ( )( )x x x x x
3 1 3 1 2 m 1 3 1 0 3 1 3 2m 3 0⇔ − + − + + > ⇔ + − − >
( )x x
3 2m 3 0 3 2m 3⇔ − − > ⇔ > − ∗ ∗
● ( )∗ úng x∀ ∈ » thì ( )∗ ∗ cũng úng x∀ ∈ » ( )x 3
2m 3 0 do 3 0 m
2
⇔ − < > ⇔ ≤ .
● V y
3
m
2
≤ th a yêu c u bài toán.
Bài 90.Bài 90.Bài 90.Bài 90. i h c Dân L p Ngo i Ng – Tin H c năm 1997
Bi t r ng x 1= là 1 nghi m c a b t phương trình : ( ) ( ) ( )2 2
m m
log 2x x 3 log 3x x+ + ≤ − ∗ .
Hãy gi i b t phương trình này.
Bài gi i tham kh o
● i u ki n : ( )
2
2
x 02x x 3 0, x 1
x ;0 ;1
33x x 0 x
3
< + + > ∀ ∈ ⇔ ⇒ ∈ −∞ ∪ +∞ − > >
»
.
● Vì x 1= là m t nghi m c a b t phương trình ( ) ( )2 2
m m
log 2x x 3 log 3x x+ + ≤ − nên ta
ư c : m m
log 6 log 2 0 m 1≤ ⇔ < < .
● Do ( ) 2 2 2
0 m 1 nên : 2x x 3 3x x x 2x 3 0 1 x 3< < ∗ ⇔ + + ≥ − ⇔ − − ≤ ⇔ − ≤ ≤ .
● K t h p v i i u kiên, t p nghi m b t phương trình là ( )
1
x 1;0 ;3
3
∈ ∪
.
Bài 91.Bài 91.Bài 91.Bài 91. i h c An Ninh – i h c C nh Sát kh i A năm 1997
Tìm mi n xác nh c a hàm s : 2
1 1
y log
1 x 1 x
= − − +
.
www.VNMATH.com
43. Bài gi i tham kh o
● Hàm s xác nh khi và ch khi :
2
x 11 x 0
2x1 1
1 01
1 x 1 x 1 x
≠ ±± ≠ ⇔
− ≥− ≥ − + −
2
2
x 1 x 1
x 2x 1
1 2 x 1 1 2 x 10
1 x
≠ ± ≠ ± ⇔ ⇔ + − − + ≤ ≤ ∨ − − ≤ ≤ −≥ −
.
● V y mi n xác nh c a hàm s là ) )D 1 2; 1 1 2; 1 = − − − ∪ − +
.
Bài 92.Bài 92.Bài 92.Bài 92. i h c Th y S n năm 1997
Gi i phương trình : ( )2x 2 x
2 3.2 1 0+
+ − = ∗
Bài gi i tham kh o
● T p xác nh : D = » .
( ) ( )
( )
x
x
2
x x
2
t 2 0
t 2 0 3 17
4. 2 3.2 1 0 t
44.t 3t 1 0
3 17
t L
4
= > = > − + ∗ ⇔ + − = ⇔ ⇔ =
+ − = − − =
( )x
2 2
17 3 17 3
2 x log log 17 3 2
4 4
− −
⇔ = ⇔ = = − −
● V y nghi m phương trình là ( )2
x log 17 3 2= − − .
Bài 93.Bài 93.Bài 93.Bài 93. i h c Qu c Gia Tp. H Chí Minh kh i D năm 1997
Cho b t phương trình : ( ) ( ) ( )2 2
5 5
1 log x 1 log mx 4x m+ + ≥ + + ∗ . Hãy tìm t t c các giá
tr c a tham s m b t phương trình ư c nghi m úng v i m i x.
Bài gi i tham kh o
( ) ( ) ( ) ( )2 2
2 2
5 5 2
5 x 1 mx 4x m
log 5 x 1 log mx 4x m
mx 4x m 0
+ ≥ + + ∗ ⇔ + ≥ + + ⇔ + + >
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
f
2
2 2 2
2
2
5x 4x 5
x m 1
5x 4x 5 m x 1 x 1
4xm x 1 4x g x m 2
x 1
− + = ≥ − + ≥ + + ⇔ ⇔
+ > − = − < +
.
● Xét hàm s ( )f
2
2
5x 4x 5
x
x 1
− +
=
+
trên » .
Ta có : ( )
( )
( )
2
2
2
4x 4
f ' x . Cho f ' x 0 x 1 x 1
x 1
−
= = ⇔ = ∨ = −
+
.
B ng bi n thiên
x −∞ 1− 1 +∞
www.VNMATH.com
44. ( )f ' x + 0 − 0 +
( )f x
14
3
D a vào b ng bi n thiên và ( )1 ta ư c : ( ) ( )m min f x 3 3≤ =
»
● Xét hàm s ( )
( )2
4x
g x
x 1
−
=
+
trên » .
Ta có: ( )
( )
( )
2
2
2
4x 4
g' x . Cho g' x 0 x 1 x 1
x 1
−
= = ⇔ = − ∨ =
+
.
B ng bi n thiên
x −∞ 1− 1 +∞
( )g' x + 0 − 0 +
( )g x
2
1
D a vào b ng bi n thiên và ( )2 ta ư c : ( ) ( )gm max x 2 4> =
»
.
● T ( ) ( )3 , 4 ta ư c: (m 2; 3∈ th a yêu c u bài toán.
Bài 94.Bài 94.Bài 94.Bài 94. i h c Qu c Gia Tp. H Chí Minh – i h c Kinh T kh i A năm 1997
Gi i h phương trình :
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
1 x 1 y
1 x 1 y
log 1 2y y log 1 2x x 4 1
log 1 2y log 1 2x 2 2
+ −
+ −
− + + + + =
+ + + =
Bài gi i tham kh o
● i u ki n :
( )
( )
22
2 2
1 2y y 0 1 y 0 1 y 0
1 x 0 x 11 2x x 0 1 x 0
1 x 0 0 y 10 1 x 1 1 x 0
0 y 10 1 y 1 0 y 1
− + > − > − ≠ + ≠ > − + + > + >⇔ ⇔ ⇔
− < ≠ ≠ << + ≠ − < ≠ ≠ << − ≠ ≠ <
.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
1 x 1 y 1 x 1 y
1 log 1 y log 1 x 4 log 1 y log 1 x 2+ − + −
⇔ − + + = ⇔ − + + =
( ) ( ) ( )1 x 1 x
1 x
2
t log 1 y t log 1 y t log 1 y
1 1
t 2t 1 0t 2 t 2
t t
+ +
+
= − = − = − ⇔ ⇔ ⇔
− + =+ = + =
( ) ( )1 x
t log 1 y 1 1 y 1 x y x 3+
⇔ = − = ⇔ − = + ⇔ = −
● Thay ( )3 vào ( )2 ta ư c : ( ) ( )1 x 1 x
log 1 2x log 1 2x 2+ +
− + + =
www.VNMATH.com
45. ( )( ) ( )
22 2
1 x
x 0 y
log 1 2x 1 2x 2 1 4x 1 x 5x 2x 0 5
x
2
+
= =
⇔ − + = ⇔ − = + ⇔ + = ⇔
= −
.
● So v i i u, nghi m c a h là ( )
5 5
S x;y ;
2 2
= = −
.
Bài 95.Bài 95.Bài 95.Bài 95. i h c Ngo i Thương kh i D năm 1997
Gi i phương trình : ( )x 1 x
2 4 x 1+
− = − ∗
Bài gi i tham kh o
● T p xác nh : D = » .
● t x
2 t 0= > . Lúc ó : ( ) 2
t 1 2 x
t 2t x 1 0
t 1 2 x
= + −
∗ ⇔ − − + = ⇔
= − −
.
● Trư ng h p 1 : ( )x
t 1 2 x 2 1 2 x 1= + − ⇔ = + −
Ta có
( )
( )
( ) ( )
x
f x 2 :
g x 1 2 x :
f 1 g 1
= = − −
=
( )1 :⇒ có m t nghi m duy nh t là x 1= .
● Trư ng h p 2 : ( )x
t 1 2 x 2 1 2 x 2= − − ⇔ = − −
i u ki n :
2 x 0
1 x 2
1 1 x 0
− ≥ ⇔ < ≤
− − >
.
Ta có : (
( ) ( )
( ) ( )
( )
x
f x 2 h 1 2
x 1;2 : 2 :
h x 1 2 x h 2 1
= > =∀ ∈ ⇒ = − − < =
Vô nghi m.
● V y phương trình có nghi m duy nh t x 1= .
Bài 96.Bài 96.Bài 96.Bài 96. i h c Qu c Gia Tp. H Chí Minh – i h c Lu t Tp. H Chí Minh năm 1996
Cho phương trình : ( ) ( ) ( )
tan x tan x
3 2 2 3 2 2 m+ + − = ∗
1/ Gi i phương trình khi m 6= .
2/ Xác nh m phương trình ( )∗ có úng hai nghi m trong kho ng ;
2 2
π π −
.
Bài gi i tham kh o
1/ Khi m 6= thì ( ) ( ) ( )
( )
tan x
tan x tan x t 3 2 2 0
3 2 2 3 2 2 6
1
t 6
t
= + >∗ ⇔ + + − = ⇔
+ =
( ) ( )
( )
tan x
tan x
tan x
2
t 3 2 2 3 2 2t 3 2 2 0
t 6t 1 0 t 3 2 2 3 2 2
= + = + = + > ⇔ ⇔ − + = = + = −
( )tan x 1 x k , k
4
π
⇔ = ± ⇔ = ± + π ∈ » .
Là hàm tăng.
Là hàm gi m
www.VNMATH.com
46. 2/ Tìm m ( ) ( ) ( )
tan x tan x
3 2 2 3 2 2 m+ + − = ∗ có úng 2 nghi m ;
2 2
π π ∈ −
.
● Ta có ( ) ( )
tan x
2
t 3 2 2 0
t mt 1 0
= + >∗ ⇔
− + =
.
● Do x ; tan x
2 2
π π ∈ − ⇒ ∈
» .
● V y ta c n xác nh m phương trình : 2
t mt 1 0− + = có hai nghi m phân bi t dương.
( )
2
m 4 0
P 1 0 Ð m 2
S m 0
∆ = − >⇔ = > ⇔ >
= >
.
● V y khi m 2> thì phương trình ( )∗ có hai nghi m phân bi t x ;
2 2
π π ∈ −
.
Bài 97.Bài 97.Bài 97.Bài 97. i h c Ngo i Thương năm 1996
Tìm nghi m dương c a phương trình : ( )2 2log 3 log 5
x x x+ = ∗
Bài gi i tham kh o
● i u ki n : x 0> (do nghi m dương).
● t t
2
log x t x 2 0= ⇒ = > .
( ) ( )
t t
t t t 2 3
2 3 5 1
5 5
∗ ⇔ + = ⇔ + = ∗ ∗
● Nh n th y t 1= là m t nghi m c a phương trình ( )∗ ∗ .
● Xét hàm s ( )
t t
2 3
f t
5 5
= +
Ta có : ( )
t t
2 2 3 3
f ' t ln ln 0, t
5 5 5 5
= + < ∀ ∈ ⇒
» Hàm s ( )f t ngh ch bi n.
M t khác y 1= là hàm h ng s ( )// Ox .
● V y t 1= là nghi m duy nh t c a ( )∗ ∗ t 1
x 2 2 2⇔ = = = là nghi m c n tìm c a ( )∗ .
Bài 98.Bài 98.Bài 98.Bài 98. i h c Qu c Gia Tp. H Chí Minh năm 1996
Cho phương trình : ( ) ( ) ( )
x x
2 3 2 3 m+ + − = ∗
1/ Gi i ( )∗ khi m 4= .
2/ Tìm m phương trình ( )∗ có hai nghi m.
Bài gi i tham kh o
● T p xác nh : D = » .
1/ Khi m 4= .
www.VNMATH.com
47. ( ) ( ) ( )
( ) ( )
x
x
x x
2
t 2 3 0 t 2 3 0
2 3 2 3 4
1
t 4t 1 0t 4
t
= + > = + > ∗ ⇔ + + − = ⇔ ⇔
− + =+ =
( )
( )
( )
( )
x x
x x
t 2 3 0 2 3 2 3 x 1
x 1
t 2 3 2 3 2 3 2 3
= + > + = + = ⇔ ⇔ ⇔ = − = + = ± + = −
.
● V y phương trình có hai nghi m x 1 x 1= − ∨ = .
2/ Tìm m phương trình ( ) ( ) ( )
x x
2 3 2 3 m+ + − = ∗ có hai nghi m.
( ) ( ) ( )
( )
x
x x
2
t 2 3 0 t 0
2 3 2 3 m
1 t mt 1 0
t m
t
= + > > ∗ ⇔ + + − = ⇔ ⇔
− + = + =
2
m 2 m 2m 4 0
m 2
m 0S m 0
< − ∨ >∆ = − > ⇔ ⇔ ⇔ >
>= >
.
Bài 99.Bài 99.Bài 99.Bài 99. i h c Qu c Gia Hà N i – H c Vi n Ngân Hàng năm 2000
Gi i phương trình: ( ) ( ) ( )
2 2log x log x
2
2 2 x. 2 2 1 x+ + − = + ∗
Bài gi i tham kh o
● i u ki n: x 1> ⇒ T p xác nh ( )D 1;= +∞ .
● t t 2 t
2log x t x 2 x 4= ⇒ = ⇒ = .
( ) ( ) ( )
t t
t t
2 2 2 2 2 1 4∗ ⇔ + + − = +
( ) ( ) ( )( )
t tt
2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2
⇔ + + − = + + −
t t t t
a b 1 a b⇔ + = + v i
( )
a 2 2
b 2 2 2
= +
= −
( ) ( )t t t t
a 1 b a b 0⇔ − + − = ( ) ( )t t t
a 1 b a 1 0⇔ − − − = ( )( )t t
a 1 1 b 0⇔ − − =
t
2t
a 1
t 0 log x 0 x 1
b 1
=
⇔ ⇔ = ⇔ = ⇔ =
=
.
● V y nghi m phương trình là { }S 1= .
Bài 100.Bài 100.Bài 100.Bài 100. i h c Qu c Gia Hà N i kh i D năm 2000
Gi i phương trình: ( )x x x
8.3 3.2 24 6+ = + ∗
Bài gi i tham kh o
● T p xác nh: D = » .
( ) ( ) ( )x x x x
8.3 24 3.2 2 .3 0∗ ⇔ − + − = ( ) ( )x x x
8 3 3 2 3 3 0⇔ − − − =
www.VNMATH.com
48. ( )( )x x
3 3 8 2 0⇔ − − =
x
x
3 3 0 x 1
x 38 2 0
− = = ⇔ ⇔ = − =
.
● V y nghi m phương trình là { }S 1;3= .
Bài 101.Bài 101.Bài 101.Bài 101. i h c Qu c Gia Tp. H Chí Minh kh i A – t 1 năm 2000
Cho ( ) ( ) x
x
2
f x m 1 .6 2m 1
6
= − − + + .
1/ Gi i b t phương trình ( )f x 0≥ v i
2
m
3
= .
2/ Tìm tham s m ( ) ( )1 x
x 6 .f x 0, x 0;1− − ≥ ∀ ∈
.
Bài gi i tham kh o
1/ Gi i b t phương trình ( )f x 0≥ v i
2
m
3
= .
● V i ( ) ( )x
x
2 1 2 7
m f x .6 0
3 3 36
= ⇒ = − − + ≥ ∗
● T p xác nh: D = » .
( )
x x x
x
2
t 6 0 t 6 0 t 6 0
1 6 6 0 x 11 2 7 1 t 6t 7t 6 0t 0
3 t 3
= > = > = > ∗ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤
≤ ≤− + ≤− − + ≥
.
● V y t p nghi m c a phương trình là S 0;1 = .
2/ Tìm tham s m ( )( )1 x x
x
2
x 6 m 1 .6 2m 1 0, x 0;1
6
−
− − − + + ≥ ∀ ∈
.
● V i m 1= thì b t phương trình th a mãn không ph thu c m, nên ta ch c n tìm m b t
phương trình th a )x 0;1∀ ∈ .
● t ( ) 1 x
g x x 6 −
= − . Lúc ó c n tìm m ( ) ( ) )g x .f x 0, x 0;1≥ ∀ ∈ .
● Xét hàm s ( )
x
1 x 1
g x x 6 x 6.
6
−
= − = −
trên )0;1
.
Ta có ( ) )
x
1 1
g' x 1 6. ln 0, x 0;1
6 6
= − > ∀ ∈ ⇒
Hàm s ( )g x ng bi n trên )0;1
.
) ( ) ( ) ( )x 0;1 : x 1 g x g 1 g x 0⇒ ∀ ∈ < ⇒ < ⇔ < .
● Do ó, ta ch c n tìm ( ) ( ) ( ) )x
x
2
f x m 1 .6 2m 1 0 , x 0;1
6
= − − + + ≤ ∗ ∀ ∈ .
● t x
t 6= . Do ) )x 0;1 t 1;6 ∈ ⇒ ∈ .
( ) ( ) )
2
m 1 .t 2m 1 0, t 1;6
t
∗ ⇔ − − + + ≤ ∀ ∈
) ( ) )
2
2
2 t t 2
mt 2m t 1 0, t 1;6 m h t , t 1;6
t t 2t
− + ⇔ + − − + ≤ ∀ ∈ ⇔ ≤ = ∀ ∈
+
.
www.VNMATH.com
49. ● Xét hàm s ( )
2
2
t t 2
h t
t 2t
− +
=
+
trên )1;6
.
Ta có: ( )
( )
)
2
2
3t 4t 4
h ' t , t 1;6
t 2t
− − = ∀ ∈
+
. Cho ( )
( )
2
2
t 2
3t 4t 4
h' t 0 2
tt 2t
3
=− −
= = ⇔
= −+
.
B ng bi n thiên
t −∞
2
3
− 1 2 6 +∞
( )h' t 0 − 0 +
( )h t
2
3
2
3
1
2
● D a vào b ng bi n thiên, ta ư c
1
m
2
≤ th a yêu c u bài toán.
Bài 102.Bài 102.Bài 102.Bài 102. i h c Bách Khoa Hà N i kh i D năm 2000
Gi i các phương trình: ( ) ( ) ( )
2 3
4 82
log x 1 2 log 4 x log 4 x+ + = − + + ∗
Bài gi i tham kh o
● i u ki n:
( )
( )
2
3
x 1 0 x 1 0
x 1
4 x 0 4 x 0
4 x 4
4 x 04 x 0
+ > + ≠ ≠ − − > ⇔ − > ⇔ ⇒
− < < + > + >
TX : ( ) { }D 4;4 1= − − .
( ) ( ) ( )2 2 2 2
log x 1 log 4 log 4 x log 4 x∗ ⇔ + + = − + +
( )( ) 2
2 2
log 4 x 1 log 4 x 4 x 4 x 1 16 x⇔ + = − + ⇔ + = −
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
2
x 1
x 2 N4 x 1 16 x
x 6 L x 2x 1 0
x 1 x 2 244 x 1 16 x
x 2 24 Nx 1 0
x 2 24 L
≥ − =+ = − = − =+ ≥ ⇔ ⇔ ⇔ < − = −− + = − = −+ < = +
.
● V y nghi m phương trình là { }S 2 24; 2= − .
Bài 103.Bài 103.Bài 103.Bài 103. i h c Sư Ph m Hà N i kh i A năm 2000
Tìm m x 0;2 ∀ ∈ u th a mãn b t phương trình:
( ) ( )2 2
2 4
log x 2x m 4 log x 2x m 5− + + − + ≤ ∗
Bài gi i tham kh o
● i u ki n: 2
x 2x m 0− + > .
www.VNMATH.com