1. 数学思想方法及其教学 叶立军 杭州师范学院理学院 [email_address]

7. 课堂教学应试为主 教学目标定位偏低 —— 巩固知识 熟练技能 教学内容肤浅狭窄 —— 已知知识 浮于浅表 局限课本 固守单科 教学过程预设过多 —— 严密周到 强迫牵制 被动跟随 教学方式讲授演绎 —— 教师讲析 师生问答 学生活动虚浮异化 —— 有形无实 效度不高 机械练习

10. 教学从现代教育观点看： 当前的数学教学偏重书本知识和双基训练，缺少对学生学习情感、态度以及个体差异的关注，忽视研究性学习和实践活动。在学生的创新意识和实践能力的培养方面，与发达国家相比，差距十分明显 。有学者指出，按照知识的外在程度，新经济时代把知识分为外显部分与内隐部分，它们构成一个冰山模式，前者浮出海面，后者在下托起整个冰山。后者就是内隐部分，即智慧、情感和态度，它深深地嵌入于实践之中。人的创新精神和实践能力主要依赖于内隐部分。只有通过在行动中学习，才能达到培养和提高的目的。当前数学教育的现状呼唤着符合时代要求的新数学课程的诞生。

13. —— 从单一过程到复杂过程 存于实践经验的默会知识 存于书本的 明确知识 教师 学生 书本学习、行动学习、合作学习

14. —— 在主导原则下取得新平衡是关键 教改实践要有不走极端而达到顶尖的集其大成的智慧

17. 基础知识与基本技能 这是美国许多学生在做分数加减时所犯的错误，为此我们应该考虑双基的内涵与时代的发展之间的关系 .

18. 1 、从实物到算式的“数学化”过程 --- 小学数学《有余数的除法》 7÷3=2 1 …… Freudenthal 研究所的达朗其 ( Jan de Lange,1996 ) 在 ICME-8 的大会报告中介绍了荷兰的一堂课： 81 名家长出席学校家长会，每张桌子可坐 6 人，需要布置多少张桌子？一类学生具体地摆桌子；第二类学生经历了具体到形式的抽象；第三类学生套用算式去做。实际上，三类学生中只有第二类才真正体验到了“数学化”的含义。

21. 实物操作 表象操作 符号操作 分豆子 脑中分豆子 算式运算 （具体） （半具体、半抽象） （抽象） 寻找规律 “ 分豆子”与布鲁纳的认知理论 数学是在具体、半具体、半抽象、抽象中间的铺排，是穿梭于实物与算式之间所作的形式化过渡。

22. 豁然开朗：表象操作是形式化的重要中介 如退位减法 23-8= ？学生有多种思维水平： 第一种： 第二种： 形式化 寻找意义 23 － 8 15 第三种： 第四种：说出算理 23 － 8=10 +(13 － 8)=15 23 － 8=(20 － 8)+3=15 23 － 8=(23 － 10)+2=15 停留于第一、第二种水平的学生“只会动手做 , 不会动脑想”，从第二到第三种是关键的一步，通过表象操作，越过这一步，才能达到计算自动化，或灵活运用多种方法并说出算理。

26. 形成了两个各具特色、风格各异的数学体系。一个是以巴 比伦和埃及数学为源头的，在希腊汇合后又得到长足进步 与发展的古希腊数学，另一个则是以解决问题为宗旨、以 注重算法为特点的古代中国数学。 古希腊的数学融数学与哲学为一体，以哲学促进数学 理论的建立，提出了一系列思辩性的数学观点、理论和方 法。首先 ，古希腊人对数学的认识有了根本性的变化。他 们认为数学不仅可用来解决一些实际问题，更重要的是他 们试图用数学来理解世界，把数学看作是理解宇宙的一把 钥匙，是研究自然的一部分，其深刻的数学思想对后世影 响很大。其次，古希腊人用演绎证明方法研究几何，使几 何学成为一个演绎系统。欧几里得的《几何原本》和阿波 罗尼斯的《圆锥曲线》是演绎数学的代表著作。把逻辑证 明系统地引入数学，把数学奠基于逻辑之上，这是对数学 认识的一个质的飞跃。由此得来数学思想方法的更新—— 公里化的思想和演绎推理进入了数学。值得一提的是，古

27. 希腊虽然非常强调演绎推理，但数学思想发展的历史表明，他们的数学创造也离不开观察、实验，离不开归纳、猜想和分析。 中国古代数学是以问题为中心的算法体系，《九章算术》的成书是其形成的标志。 2 、近代的数学思想和方法 17 ～ 18 世纪，欧洲的数学创造也进入了一个崭新的时期，这个时期，数学不仅产生了许多新的分支，而且产生了许多新的思想和方法，它突出表现在从演绎几何到几何代数化、从常量数学到变量数学以及从必然数学到或然数学的几个重大转折上。 3 、现代的数学思想和方法

29. 一条船上有 75 头牛和 32 头羊， 问船长几岁？ 这是学校把学生越教越笨的表现 . 中国的中小学生有 92.5% 给出答案 法国四年级小学生给答案的为 65%

31. 数学方法的应用举例 1 、数学抽象与数学模型方法 数学从内容到方法都显示出极其高度的抽象性 (1). 数学抽象方法 1 ． 1 数学抽象的概念 数学抽象是抽象方法在数学中的具体运用，也就是利用抽象方法把大量生动的关于现实世界空间形式和数量关系的直观背景材料进行去伪存真，由此及彼，由表及里的加工和制作，提炼数学概念，构造数学模型，建立数学理论。

32. 1 ． 2 数学抽象的特点 (1) 数学抽象的特殊内容：数学只是量的科学。 1 ， 1 头牛， 1 只羊 （ 2) 数学抽象的特殊高度：和一般的自然科学相比，数学抽象的又一特点在于它所达到的高度，数学的抽象程度远远超过了自然科学中的一般抽象。 首先，数学抽象往往是在其他学科抽象基础上的再抽象。（例如，正比例函数是物理学中匀速直线运动和简谐运动的再抽象。 其次，数学抽象具有逐级抽象的特点。更为重要的是，数学抽象的特殊高度表现在数学中一些概念与真实世界的距离是如此遥远以致常常被看成“思维的自由想象物和创造物”，这即为数学中所谓的“理想元素”（如无穷远点） （ 3) 数学抽象的特殊方法。 数学抽象就是一种建构的活动，数学的研究对象是通过逻辑建构活动来得到构造的。 2. 数学抽象的基本方法

33. 2 ． 1 理想化抽象 在纯粹理想的状态下，对事物进行简单化与完善化的加工处理，撇开事物的具体内容，排除次要的、偶然的因素，聚合事物的一般的本质的属性，抽象出相应数学内容的方法。 2 ． 2 强抽象与弱抽象 强抽象是指在已知概念中，加强对某一属性的限制，抽象出作为原概念特例的新概念的方法，即通过扩大原概念的内涵来建立新概念的抽象方法。 例：从四边形概念出发，从两组对边给予适当限制，则得平行四边形和梯形的概念。 若从平行四边形概念出发，再对边或角分别适当限制，有得到矩形、菱形及正方形的概念。 弱抽象：指在已知概念中，减弱对某一属性的限制，抽象出比原概念更为广泛的新概念，使原概念成为新概念的特例的方法。即通过缩小原概念的内涵来建立新概念的抽象方法。

34. 例：从全等三角形的概念出发，借助弱抽象就可获得相似形与等积形的概念，它们分别保留了“形状相同”及“面积相等”的特性。 2 ． 3 等置抽象 从一类对象（具体的或抽象的个体）中抽象出其中的某种共同属性的抽象方法。 例：自然数的概念就是用等置抽象的思想建立起来的。每个自然数实际上都是一类等价集合的标记，它反映这类集合中元素的数目是该类集合的类的标记，它反映这类集合中元素的数目，是该类集合的类的特征。 2 ． 4 存在性抽象 先用假设的方法肯定抽象出来的数学概念存在性，并由此发展出一定的数学理论，然后在理论和实践中加以验证，从而确认新的数学理论的合理性。 如：自然数“无限延伸”以及无理数、负数、虚数都是由存在性抽象方法建立起来的。

35. 应用举例： 例 1 ． 7 只杯放在桌子上，三只杯口朝上，四只杯口朝下，现要求每次同时翻转其中四只使杯口朝向相反，问能否经过有限次翻转后，使所有杯子杯口均朝下？ 分析： +1 表示杯口朝上， -1 表示杯口朝下 起始状态：三个 +1 ，四个 -1 （ +1 ）（ +1 ）（ +1 ）（ +1 ）（ -1 ）（ -1 ）（ -1 ） 终点状态是七个 -1 ，即 （ -1 ） 翻转一只杯子使其朝向相反，不是 +1 也即在（ +1 ）或（ -1 ）上乘以（ -1 ）。现欲将四只杯子同时翻转，可见每次“运算”（即翻转杯子）的总结果是乘以（－１） 原问题就抽象为如下问题： 能否每次同时改变四个符号使起始状态变为终点状态，显然不可能。 因为，起始状态结果为＋１，终点状态为－１

36. 例 男女若干人围坐在一个圆桌，在相邻两人间插上一朵花；同性者中间插一朵红花，异性者中间插一朵兰花。若所插的红花与兰花一样多，证明：男女人数总和是 4 的倍数。 例 （ 1906 年匈牙利）设 a 为 1 ， 2 ， 3 ，… 的 某种排列，证明，若 n 为奇数，则积 （ 为偶数。 由上例可以编出下列习题 例（ 1968 年英国） 设 a 为整数， 为它们的一个排列，证明：数（ 为偶数。

37. 例４．任选六个人在一起集合，试证其中要么至少有三个人彼此不认识，要么至少有三个人互相认识。（此问题常称为六人集合问题，现用理想化抽象的方法处理）

38. 例 在哥尼斯堡七桥问题中，一笔画问题就是七桥问题的数学模型。

45. 故共剪出 4200 个三角形。 （２）每个三角形共有三边，故每个三角形共要剪３刀， 4200 个三角形共 边。但原四边形的四边不必剪，并且注意到其余每边都是两个三角形的公共边，故应剪的刀数是 ( 故共要剪去 6100 刀。 （图 1 正方形）

46. 分析与思考： （１）如果逐点或逐个三角形来考虑，那就太繁琐了。由于三角形三内角和为定值，而正方形每个顶点不管这样剪总可以提供 90° ，内部的每个点可以提供 360° ，因此可以从三角形内角和总数方面作整体性考虑。如图，中有两类点： 第一类为四边形的顶点，即 等。 第二类是四边形内部的那 2000 个点，如 等。 研究以第一类点为顶点的所有三角形的相关角，如以 D 为公共顶点的∠１，∠２，∠３，它们的和为 90° 。 以第二类点中每个点为顶点的三角形的相关角的和为 360° ，例如，以 P 为顶点的三角形有 3 个，其中，以 P 为公共顶点的３个角之和为 ， 故符合条件的所有三角形的内角和为

63. 化归思想 例 将 1976 分拆成自然数之和，再将其相乘，试求（并证明）所有这种乘积中之最大值。

64. 特殊化方法与极端化方法 例 1 在等式 中的括号内填上两个不同的自然数。 分析：小的一个数必须大于 7 而小于 14 ，即只有 8 到 13 六种情况，若是 8 ，必 须 是一个分子为 1 的分数。注意到 （ 1 ） 便知 8 与 56 即为所求。同时易知只有一组解（ 8 ， 56 ） 推广一、 7 能否换成别的自然数？ 注意到（ 1 ）式中等式右端的分子 1 是有 8-7 而得到，一般有： （ 2 ） 此式是否只有 一组解？ 事实上，由 知，只有为素数时才是唯一。

66. 有趣的数学 趣味数学的启示——角谷猜想： 例：任取一个大于 2 的自然数反复进行下述两种运算： （ 1 ） 若是奇数，就将该数乘以 3 再加上 1 （ 2 ） 若是偶数，则将该数除以 2 对 3 反复进行这样的运算： 对 4 ， 5 ， 6 进行运算其结果也是 1 对 7 运用枚举归纳法，建立了这样一个猜想： 从任意一个大于 2 的自然数出发，反复进行（ 1 ）、（ 2 ）两种运算，最后必定得到 1 。 这个猜想后来被多次检验，发现对 7000 亿以下的数都是正确的，但是否对大于 2 的一切自然数都是正确，至今还不得而知。

73. 谢谢！欢迎批评指正！