Algoritmi e Calcolo Parallelo 2012/2013 - Alberi Red-Black

Alberi Red Black
Algoritmi e Calcolo Parallelo

Prof. Pier Luca Lanzi

Riferimenti

•

•

2

Bertossi Alan A., Montresor Alberto. “Algoritmi e
strutture di dati” (seconda edizione), CittàStudi 2010

Stanley B. Lippman, Barbara E. Moo, Josee Lajoie
“C++ Primer”, 5th Edition Addison-Wesley


Alberi Binari di Ricerca

•

•
•

4

Alberi Binari di Ricerca
Struttura dati ispirata alla ricerca binaria
Le chiavi dei nodi del sottoalbero
sinistro left[x] sono ≤ key[x]
Le chiavi dei nodi del sottoalbero
destro right[x] sono ≥ key[x]





Operazioni
Ricerca, minimo, massimo, prev, next, inserimento, e
cancellazione



Complessità
Ricerca, inserimento, cancellazione sono O(h) per un albero di
altezza h
Un albero binario di ricerca con n nodi generato in maniera
casuale ha un’altezza O(lg n)





Alberi di Ricerca Bilanciati

•
•
•

5

Alberi di ricerca
Permettono di trovare un elemento in tempo O(h)
Nel caso peggiore, h = O(n)
Ma se l'albero è bilanciato, h=O(log n)





Sono alberi di ricerca per i quali un’altezza di O(lg n) è garantita
quando sono implementate le funzioni di
inserimento/cancellazione dinamica
Esempi di alberi bilanciati
Alberi AVL
Alberi 2-3
Alberi 2-3-4
B-alberi
Alberi Red-black








Cosa Significa Bilanciato?

•
•

6

Fattore di bilanciamento
Il fattore di bilanciamento β(v) di un nodo v è la
massima differenza di altezza fra i sottoalberi di v



Esempio
Un albero perfettamente bilanciato ha β(v)=0
per ogni nodo v




Algoritmi di Bilanciamento

•

•
•
•

Alberi AVL (Adel'son-Vel'skii e Landis, 1962)
β(v) ≤ 1 per ogni nodo v
Bilanciamento ottenuto tramite rotazioni
Alberi 2-3 (Hopcroft, 1983)
β(v) = 0 per ogni nodo v
Bilanciamento ottenuto tramite merge/split,
grado variabile
B-Alberi (Bayer, McCreight, 1972)
β(v) = 0 per ogni nodo v
Specializzati per strutture in memoria secondaria
Alberi Red-Black (Bayer, 1972)









7

Alberi Red-Black
(Red-Black Trees, RB-Tree)

•

•

•

8

Un albero rosso-nero è un albero binario di ricerca in cui:
Ogni nodo è colorato di rosso o di nero
Le chiavi vengono mantenute solo nei nodi interni
dell’albero
Le foglie sono costituite da nodi nil





Un albero red-black deve soddisfare i seguenti vincoli:
La radice è nera
I nodi nil sono neri
Se un nodo è rosso, allora entrambi i suoi figli sono neri
Ogni percorso da un nodo interno ad una foglia ha lo stesso
numero di nodi neri






Ogni nodo mantiene: puntatore al genitore (parent); puntatori ai
figli sinistro/destro (left, right); colore (color); chiave e dati (key,
data)

Alberi Rosso-Nero
(Red-Black Trees, RB-Tree)

•

10

Nodo nil
nodo sentinella che evita di trattare diversamente i puntatori ai
nodi dai puntatori nil
al posto di un puntatore nil, si usa un puntatore ad un nodo nil
ne esiste solo uno, per risparmiare memoria
nodo con figli nil → foglia nell'ARB corrispondente







•

Definizione
Il numero di nodi neri lungo ogni percorso da un nodo v (escluso)
ad una foglia è detto altezza nera di v, indicato bh(v)
Ben definito perché tutti i percorsi hanno lo stesso numero di nodi
(regola 4)




•

Definizione
L’altezza nera di un albero RB è l’altezza nera della sua radice




Esempio di Albero Red-Black

11

7

3
NIL

18
NIL

10
8

22
11

NIL NIL NIL NIL


h=4

NIL

26
NIL

L7.11

NIL


12

7

3
NIL

18
NIL

10
8

22
11

NIL

NIL NIL NIL NIL

26
NIL

1. Ogni nodo è colorato di rosso o di nero


L7.12

NIL


13

7

3
NIL

18
NIL

10
8

22
11

NIL NIL NIL NIL

NIL

26
NIL

2. La radice e i nodi nil sono neri


L7.13

NIL


14

7

3
NIL

18
NIL

10
8

22
11

NIL NIL NIL NIL

NIL

26
NIL

3. Se un nodo è rosso, allora entrambi i suoi figli
sono neri. Se un nodo è rosso, allora il nodo
parente è nero

NIL


7

bh = 2

3
NIL

15

18 bh = 2
NIL

bh = 1 10
bh = 1 8

22
11

bh = 0 NIL NIL NIL NIL

NIL

26
NIL

NIL

4. Ogni percorso da un nodo interno ad una foglia
ha lo stesso numero di nodi neri

L7.15

Altezza di Albero Red-Black

•
•

16

Teorema
Un albero red-black con n chiavi ha un’altezza h,
h ≤ 2 lg(n + 1).



Corollario
Le funzioni di SEARCH, MIN, MAX, SUCCESSOR,
and PREDECESSOR sono eseguite con un tempo che
è O(lg n) per un albero red-black con n chiavi




Alberi Red-Black

Le operazioni di INSERT e DELETE
modificano in un albero red-black
È possibile che le condizioni di bilanciamento risultino
violate
Se le proprietà red-black vengono violate si può,
modificare i colori nella zona della violazione;
ribilanciare l’albero con opportune rotazioni


Rotazioni

18

RIGHT-ROTATE(B)
B

A

LEFT-ROTATE (A)

A

•

Le rotazioni mantengono l’ordinamento inordine delle
chiavi
a

•

B

,b

,c

a≤A≤b≤B≤c

Una rotazione può essere eseguita in O(1)

Alberi Red-Black: Inserimento

•

•

19

Qual è l’idea?
Inserire x nell’albero. Colorare il nodo x rosso.
Solo la proprietà 3 potrebbe essere violata
Muovere la violazione verso l’alto ricolorando fino a
quando è aggiustata attraverso rotazioni e ricolorazioni
7
Esempio:





 Inserire 15

3

18
10
8


22
11

26

Alberi red-black: Inserimento

•

•

20

Qual è l’idea?
7
Esempio:





 Inserire 15
 Ricolorare

3

18
10

muovendo su
la violazione

8

22
11

26
15



•

•

21

Qual è l’idea?
7
Esempio:





 Inserire 15
 Ricolorare

3

18
10

muovendo su
la violazione

8

22
11

26
15



•

•

22

Qual è l’idea?
7
Esempio:





 Inserire 15
 Ricolorare


3

18
10

muovendo su
la violazione
Rotate(18)

8

22
11

26
15



•

•

23

Qual è l’idea?
7
Esempio:





 Inserire 15
 Ricolorare


3

10
8

muovendo su
la violazione
Rotate(18)

18
11
15


22
26


•

•

24

Qual è l’idea?
7
Esempio:





 Inserire 15
 Ricolorare



3

muovendo su
la violazione
Rotate(18)
Left-Rotate(7) e
ricolorare

10
8

18
11
15

22
26


•

•

25

Qual è l’idea?
Esempio:
10
Inserire 15
18
7
Ricolorare
muovendo su
11
22
3
8
la violazione
15
26
Rotate(18)
Left-Rotate(7) e
ricolorare











Pseudo-Codice

26

RB-INSERT(T, x)
TREE-INSERT(T, x)
color[x] ← RED
⊳ only RB property 3 can be violated
while x<>root[T] and color[p[x]] = RED
do if p[x] = left[p[p[x]]
then y ← right[p[p[x]]
⊳ y = aunt/uncle of x
if color[y] = RED
then <Case 1>
else if x = right[p[x]]
then <Case 2> ⊳ Case 2 falls into Case 3
<Case 3>
else <“then” clause with “left” and “right” swapped>
color[root[T]] ← BLACK


Notazione Grafica

27

denota un sottoalbero con una radice nera
Tutti i

hanno la stessa altezza nera


Inserimento: Caso 1

28

Ricolora

C
A

C
D

y

x B

new x

D

A

B

oppure con i figli di A
scambiati


Spinge il nero di C su A e D, e
continua ricorsivamente, dato
che I parenti di C potrebbero
essere rossi

Inserimento: Caso 2

C

29

Left-Rotate(A)

C

y

A

y

B

x B

x A

Transforma nel Caso 3


L7.29

Inserimento: Caso 3

30

Right-Rotate(C)

C

B

y

B

C

A

x A

Finito! Nessuna
violazione delle
proprietà RB


L7.30

Analisi

•

31

Sommario dell’algoritmo di inserimento
Inserisce l’elemento e lo colora di rosso
Risalisce l’albero applicando il caso 1, che ricolora i
nodi
Se il caso 2 e 3 si verificano, applicare una o due
rotazioni





•
•

Esecuzione: O(lg n) con rotazioni che sono O(1)
Cancellazione: stessa complessità e stesso numero di
rotazioni dell’inserimento (dal libro di testo)


Sommario

•
•

•

•

32

Alberi di ricerca bilanciati
Alberi di ricerca per i quali un’altezza di O(lg n) è garantita quando
sono implementate le funzioni di inserimento/cancellazione
dinamica
Un albero rosso-nero è un albero binario di ricerca in cui:
Ogni nodo è colorato di rosso o di nero
Le chiavi vengono mantenute solo nei nodi interni dell’albero
Le foglie sono costituite da nodi nil
Un albero red-black deve soddisfare quattro vincoli:
La radice è nera
I nodi nil sono neri
Se un nodo è rosso, allora entrambi i suoi figli sono neri
Ogni percorso da un nodo interno ad una foglia ha lo stesso
numero di nodi neri
Inserimento e cancellazione devono mantenere le proprietà RB,
hanno complessità O(lg n)












Alberi Red-Black e Mappe C++

•

•
•

33

Le STL del C++ non hanno implementazioni di alberi di
ricerca

Gli alberi red-black sono utilizzati nelle map e nelle
multimap
Le mappe sono container associativi che memorizzano
delle combinazioni di chiave e valore mappato


map C++

•

•
•

•

34

Funzioni
operator=
Iteratori
begin(), end(), rbegin(), rend()
Modificatori
clear, insert, erase, swap
Ricerca
count, find, lower_bound, upper_bound







Esempio: Conta la frequenza delle
parole
#include <iostream>
#include <string>
#include <map>
int main()
{
std::map<std::string, int> wordcounts;
std::string s;
while (std::cin >> s && s != "end")
++wordcounts[s];
while (std::cin >> s && s != "end")
std::cout << s << ' ' << wordcounts[s] << 'n';
}


35

Iteratori delle map

36

std::map<std::string, int>::iterator it;
for(it=wordcounts.begin(); it!=wordcounts.end(); it++)
{
// cosa indica *it?
}

•
•
•
•

Le mappe memorizzano un tipo speciale chiamato “pair”
Una mappa “map<std::string, int>” memorizza elementi di
tipo pair<std::string,int>
“pair” e’ raggruppa due elementi accessibili attraverso il
campo first e il campo second
Le funzioni di insert ed erase lavorano su oggetti di tipo
pair

Esempio: Iteratori

37

#include <iostream>
#include <string>
#include <map>
int main()
{
std::map<std::string, int> wordcounts;
std::string s;
// legge tutte le parole dall'input fino a quando finisce l'input
// o trova end
while (std::cin >> s)
++wordcounts[s];
std::map<std::string, int>::iterator it;
for(it=wordcounts.begin(); it!=wordcounts.end(); it++)
std::cout << it->first << " => " << it->second << std::endl;
}


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