El documento presenta conceptos sobre límites de funciones y continuidad. Explica qué es un límite, cómo se calculan límites laterales e indeterminaciones como 0/0. También define la continuidad de funciones en términos de límites y diferencia discontinuidades inevitables de discontinuidades evitables.

1. Dada la función f(x) = 3x – 1, ¿a qué valor se acerca f(x) cuando x se acerca a 2? x se acerca a 2 por la izquierda: x  2 - + 2  x :x se acerca a 2 por la derecha f(x) se acerca a 5 f(x) se acerca a 5 Vemos que a medida que x se acerca a 2, la función f(x) se acerca a 5. Se escribe: 1. Cuando la variable se acerca a un valor MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 14. LÍMITE DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Javier Fernández

2. Dada la función f(x) = (x 3 – 8)/(x – 2), ¿a qué valor se acerca f(x) cuando x se acerca a 2? x se acerca a 2 por la izquierda: x  2 - + 2  x :x se acerca a 2 por la derecha f(x) se acerca a 12 f(x) se acerca a 12 Vemos que a medida que x se acerca a 2, la función f(x) se acerca a 12. 2. Cuando la variable se acerca a un valor MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 14. LÍMITE DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Javier Fernández

3. Dada la función f(x) = 1/(x – 2), ¿a qué valor se acerca f(x) cuando x se acerca a 2? x se acerca a 2 por la izquierda: x  2 - + 2  x :x se acerca a 2 por la derecha f(x) se acerca a –  f(x) se acerca a +  Vemos que a medida que x se acerca a 2, la función f(x) no tiene límite. 3. La variable se acerca a un valor MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 14. LÍMITE DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Javier Fernández

4. Dada la función f(x) = x/(x + 1), ¿a qué valor se acerca f(x) cuando x tiende a –  ? ¿Y cuando x tiende a +  ? Cuando x tiende a –  Cuando x tiende a –+  f(x) se acerca a 1 f(x) se acerca a 1 Vemos que a medida que x tiende a +  , la función f(x) se acerca a 1, que cuando x tiende a –  , la función f(x) se acerca a 1. 4. Cuando la variable diverge MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 14. LÍMITE DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Javier Fernández

5. Cuando una función f(x) tiene por límite un valor L, en el punto u, a medida que x se acerca a u se verifica que sus transformados, f(x), se acercan a L tanto como queramos. El valor de L puede ser cualquier número real, –  o +  . El valor u puede ser: a, a – , a + , –  , +  . En los casos de a – , a + se trata de límites laterales. 5. Idea de límite de una función MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 14. LÍMITE DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Javier Fernández El límite de una función lo expresaremos así: entonces Si

6. 6. Propiedades de los límites (I) MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 14. LÍMITE DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Javier Fernández

7. 7. Propiedades de los límites (II) MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 14. LÍMITE DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Javier Fernández lim(c·g) (x) c·lim g(x) Operaciones Función Propiedades Producto por un número Multiplicación por un número Constante Compuesta Composición Identidad Potenciación Potencia x a x a  x a lim c   c lim g[f(x)] g[lim f (x)] g raíz,log,sen,cos,log   x a x a  x a x lim a       x a g(x) x a lim g(x) x a f(x) lim lim f(x)     

8. 8. Límites determinados e indeterminados MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 14. LÍMITE DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Javier Fernández Cuando realizamos las operaciones que nos indican el límite a calcular y la solución es un número real, decimos en tal caso que el límite es determinado. Cuando realizamos las operaciones que nos indican el límite a calcular y la solución no sabemos que cantidad nos puede dar, decimos que el límite es indeterminado.

9. 8 8 9. Indeterminaciones MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 14. LÍMITE DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Javier Fernández

10. Para salvar una indeterminación de este tipo se calculan los límites laterales; si son iguales, la función tiene límite +  o –  . En caso contrario no existe límite. 10.Límite de funciones racionales (I) MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 14. LÍMITE DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Javier Fernández es indeterminado del tipo k/0 No existe

11. Para salvar una indeterminación de este tipo se descompone en factores el numerador y el denominador y se simplifica. 11. Límite de funciones racionales (II) MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 14. LÍMITE DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Javier Fernández es indeterminado del tipo 0/0

12. Para salvar una indeterminación de este tipo se divide numerador y denominador por la máxima potencia de x que haya en el denominador. 12. Límite de funciones racionales (III) MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 14. LÍMITE DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Javier Fernández es indeterminado del tipo  / 

13. Una función f(x) es continua en el punto x = a cuando la tasa de variación se aproxima a 0 al aproximarse a 0 el incremento de la variable x: 13. Continuidad de funciones MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 14. LÍMITE DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Javier Fernández

15. Se llama discontinuidad inevitable en un punto cuando existen los límites laterales en él y son distintos. 15.Discontinuidad evitable MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 14. LÍMITE DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Javier Fernández

16. Una discontinuidad es evitable en un punto cuando existen los límites laterales en él pero no coinciden con el valor de la función en el punto o la función no está definida en dicho punto. 16.Discontinuidad evitable MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 14. LÍMITE DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Javier Fernández