7. 6
คณิตศาสตร์
เมทริกซ์
เมทริกซ์จัตุรัสยังอาจแบ่งประเภทย่อยๆได้เป็น
4.1 เมทริกซ์เอกลักษณ์(Identity matrix) คือ เมทริกซ์ จัตุรัส (หรือเมทริกซ์ทแยงมุม) ที่มีตัวเลขบนเส้นทแยงมุมเป็น 1 ซึ่ง สมมติให้เส้นทแยงมุมนั้นลากจากสมาชิกบนซ้ายไปยังสมาชิกขวาล่าง (เฉียงลง) ส่วนสมาชิกที่เหลือเป็น 0 ทั้งหมด เขียนแทนด้วย สัญลักษณ์ In หรือเพียงแค่ I (ไอ) ส่วนทางกลศาสตร์ควอนตัมจะ
4.2 เมทริกซ์สามเหลี่ยม (Triangular matrix) คือ เมทริกซ์ซึ่ง มีสมาชิกที่อยู่เหนือหรือใต้เส้น
คณิตศาสตร์
เมทริกซ์
7
การดาเนินการบนเมทริกซ์
1. การเท่ากันของเมทริกซ์
เมทริกซ์ A และ B จะเท่ากันกันได้ ก็ต่อเมื่อ
- A และ B ต้องมีมิติเท่ากัน (m = p และ n = q)
- สมาชิกที่อยู่ในตาแหน่งเดียวกันต้องมีค่าเท่ากัน (aij = bij)
2. การบวก-ลบเมทริกซ์
การบวก-ลบ เมทริกซ์ทาได้โดยนาสมาชิกที่ตาแหน่งเดียวกันมา บวก-ลบ กัน ซึ่งเราจะบวก-ลบ เมทริกซ์ ได้เมื่อ เมทริกซ์ที่นามาบวก-ลบ กัน มีมิติเท่ากัน
8. คณิตศาสตร์
เมทริกซ์
8
3. สมบัติเกี่ยวกับการบวกของเมทริกซ์
กาหนด A , B และ C เป็นเมทริกซ์มิติm x n
1. สมบัติปิดของการบวก A , B เป็นเมทริกซ์มิติ m x n แล้ว A + B เป็น เมทริกซ์มิติ m x n
2. สมบัติการสลับที่ของการบวก A + B = B + A
3. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มของการบวก (A + B) +C = A + (B + C)
4. สมบัติการมีเอกลักษณ์ของการบวก จะมีเมทริกซ์ 0 ซึ่งทาให้
A + 0 = 0+ A = A เรียก 0 ว่า เอกลักษณ์ของการบวกของเมทริกซ์
5. สมบัติการมีอินเวอร์สของการบวก สาหรับเมทริกซ์ A จะมีเมทริกซ์ -A ซึ่งทาให้
A + (-A) = (-A) + A = 0 เรียก -A ว่า อินเวอร์สของการบวกของ A
คณิตศาสตร์
เมทริกซ์
9
4. การคูณเมทริกซ์ด้วยจานวนจริง
การคูณเมทริกซ์ด้วยจานวนจริงทาได้โดย นาสมาชิกทุก ตาแหน่งในเมทริกซ์คูณด้วยจานวนจริงนั้น
5.การคูณเมทริกซ์ด้วยเมทริกซ์
กาหนด A = [a ] ij m n และ B = [b ] ij p q เป็นเมทริกซ์
- เมทริกซ์ A และ B จะคูณกันได้เมื่อ n = p (จานวนหลักของ A เท่ากับ จานวนแถวของ B)
- เมทริกซ์ผลคูณ A x B จะเป็นเมทริกซ์มิติ m x q
- สมาชิกแถวที่ i หลักที่ j ของเมทริกซ์ผลคูณ A x B จะหาได้โดยการ นาสมาชิกในแถวที่ i ของ
A มาคูณกับสมาชิกในหลักที่ j ของ B เป็นคู่ๆ แล้วนามาบวกกัน
9. 10
กาหนด A , B และ C เป็นเมทริกซ์
1. สมบัติปิดของการคูณ A , B เป็นเมทริกซ์แล้ว A x B ยังคงเป็นเมท ริกซ์
2. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มของการคูณ (A x B) x C = A x (B x C)
3. สมบัติการมีเอกลักษณ์ของการคูณ จะมีเมทริกซ์ I ซึ่งทาให้
A x I = I x A = A เรียก 0 ว่า เอกลักษณ์ของการบวกของเมทริกซ์
4. สมบัติการมีอินเวอร์สของการคูณ สาหรับเมทริกซ์ A จะมีเมทริกซ์ A-1 ซึ่งทาให้
A x A-1= A-1 x A = I
เรียก A-1ว่า อินเวอร์สของการบวกของ A (มีเฉพาะบางเมทริกซ์)
5. สมบัติการแจกแจง A x (B + C) = A x B + A x C
ข้อควรระวัง ! เมทริกซ์ไม่มีสมบัติการสลับที่และสมบัติการมีอินเวอร์สสาหรับ การคูณ ดังนั้น สมบัติที่เป็นจริงบางประการในระบบจานวนจริง จะไม่เป็นจริง ในเมทริกซ์
คณิตศาสตร์
เมทริกซ์
6.สมบัติเกี่ยวกับการคูณของเมทริกซ์
11
คณิตศาสตร์
เมทริกซ์
7.ทรานสโพสของเมทริกซ์
ทรานสโพสของเมทริกซ์ก็คือ การสร้างเมทริกซ์ใหม่โดยการ เปลี่ยนจากแถวเป็นหลักนั่นเอง
สมบัติของทรานสโพสของเมทริกซ์
กาหนด A = [a ] ij m n และ B = [b ] ij m n เป็นเมท ริกซ์ และ k เป็นจานวนจริงใดๆ
1. (A )t t = A
2. (A บวก/ลบ B)t = At บวก/ลบ Bt
3. (kA)t = kAt
4. (AB)t = Bt x At
5. (Am)t = (At)m
6. (A-1)t = (At)-1
11. คณิตศาสตร์
เมทริกซ์
2. ไมเนอร์ และ ตัวประกอบร่วมเกี่ยวของเมทริกซ์
กาหนด A = [a ij ] n x n เป็นเมทริกซ์จัตุรัส เมื่อ n มากกว่าหรือ เท่ากับ 2
ไมเนอร์ (minor) ของ aij คือ ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ที่ได้จากการ ตัดแถวที่ i และหลักที่ j ของ A ออก เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ Mij(A)
ตัวประกอบร่วมเกี่ยว (cofactor) ของ aij เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ Cij(A) โดย
สมบัติของไมเนอร์
1. Mij(kA) = kn-1 x Mij(A)
2. Mij(At) = Mji(A)
14
เมทริกซ์
15
3. เมทริกซ์ผกผัน
กาหนด A = [a ij ] n x n เป็นเมทริกซ์จัตุรัส เมื่อ n มากกว่าหรือเท่ากับ 2
เมทริกซ์ผกพัน (adjoint matrix) ของ A เขียนแทนด้วย สัญลักษณ์ adj(A) โดย
สมบัติของเมทริกซ์ผกพัน
1. adj(A) x A = A x adj(A) = det(A) x I
2. adj(kA) = kn-1 x adj(A)
3. adj(A-1) = [adj(A)]-1
4. adj(AB) = adj(B)adj(A)
5. adj(At) = [adj(A)]t
คณิตศาสตร์
12. 16
2.1 ในกรณีที่เลือกแถวที่ i ของเมทริกซ์ A จะได้ว่า
det(A) = ai1Ci1(A) + ai2Ci2(A) +... + ainCin(A)
2.2 ในกรณีที่เลือกหลักที่ j ของเมทริกซ์ A จะได้ว่า
det(A) = a1jC1j(A) + a2jC2j(A) + ... + anjCnj(A)
คณิตศาสตร์
เมทริกซ์
4. ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์มิติ n
สาหรับเมทริกซ์มิติ n x n (n มากกว่าหรือเท่ากับ 2 ) เราสามารถหา ดีเทอร์มิแนนต์ได้ โดยวิธีการกระจายโคแฟกเตอร์ตามแถวหรือหลัก ซึ่งมี ขั้นตอนดังนี้
1. เลือกแถวหรือหลักของเมทริกซ์ An x n ขึ้นมา 1 แถว
2. หาค่าดีเทอร์มิแนนต์ตามสูตร โดยแบ่งออกเป็นสองกรณี
เมทริกซ์
17
กาหนด A และ B เป็นเมทริกซ์จัตุรัสมิติ n x n และ k เป็นจานวนจริงใดๆ
1. det(At) = det(A)
2. det(kA) = kn det(A)
3. det(AB) = det(A) x det(B)
4. det(Am) = [det(A)]m
5. det(A-1) = 1/det(A)
6. det(I) = 1 , det(0) = 0
7. det(adj(A)) = [det(A)]n-1
8. det(A) = 0
9. ถ้า A เป็นเมทริกซ์ สามเหลี่ยมแล้ว det(A) จะ เท่ากับผลคูณของสมาชิกใน แนวเส้นทแยงมุมหลัก
(A และ B ต้องเป็นเมทริกซ์ จัตุรัสที่มีมิติเท่ากัน)
(เมื่อ A-1หาค่าได้)
เมื่อ
- มีบางแถว (หรือบางหลัก) ของเมท ริกซ์เป็นศูนย์ทั้งหมด
- มีบางแถว (หรือบางหลัก) ของเมท ริกซ์ซ้ากัน
- มีบางแถว (หรือบางหลัก) ของเมท ริกซ์เป็น k เท่าของอีกแถว (หรือ หลัก)
5. สมบัติของดีเทอร์มิแนนต์
คณิตศาสตร์
13. 18
กาหนด A เป็นเมทริกซ์จัตุรัสมิติ n x n แล้ว เมทริกซ์ผกผันของเมทริกซ์ A คือ
1. เมทริกซ์ผกผันของเมทริกซ์มิติ 2 x 2
กาหนด
แล้ว
เมทริกซ์ผกผัน (อินเวอร์สการคูณ) ของเมทริกซ์ A คือ
2. เมทริกซ์ผกผันของเมทริกซ์มิติ n x n
คณิตศาสตร์
เมทริกซ์
เมทริกซ์ผกผัน
19
กาหนด A, B เป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐาน m เป็นจานวนเต็มบวก และ k เป็นจานวนจริงใดๆ
1. A x adj(A) = adj(A) x A = det(A) x I
2. (kA)-1 = 1/k(A-1)
3. (A-1)t = (At)-1
4. (A-1)m = (Am)-1
5. (A x B)-1 = B-1 x A-1
6. det(A-1) = 1/det(A)
คณิตศาสตร์
เมทริกซ์
3. สมบัติของเมทริกซ์ผกผัน
15. 22
พิจารณาระบบสมการเชิงเส้น 3 ตัวแปร 3 สมการ
ax + by + cz = m
dx + ey + fz = n
gx + hy + iz = p
ซึ่งเราสามารถเขียนเป็นสมการเมทริกซ์ได้เป็น
เมทริกซ์
คณิตศาสตร์
2. การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้เมทริกซ์ผกผัน
การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้เมทริกซ์ผกผัน
จะอยู่ในรูป A x X = B โดยเราเรียกเมทริกซ์ A ว่า เมทริกซ์ สัมประสิทธิ์ ( Coefficient Matrix) เรียก เมทริกซ์ B ว่า เมทริกซ์ค่าคงตัว และเรียกเมทริกซ์ X ว่า เมทริกซ์ตัวแปร ซึ่งสามารถหาคาตอบของสมการ เมทริกซ์นี้ได้จาก X = A-1 x B (เมื่อ A-1 หาค่าได้)
เมทริกซ์
คณิตศาสตร์
23
3.การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้กฎของคาร์เมอร์
กาหนดระบบสมการเชิงเส้น n ตัวแปร n สมการ โดย AX = B (A เป็นเมทริกซ์สัมประสิทธิ์ X เป็นเมทริกซ์ตัวแปร และ B เป็นเมท ริกซ์ค่าคงตัว) เป็นสมการเมทริกซ์ซึ่งสัมพันธ์กับระบบสมการดังกล่าว ถ้า det(A) ไม่เท่ากับ 0
16. คณิตศาสตร์ เมทริกซ์
24
4.การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้ Row-Operation
พิจารณาการแก้ระบบสมการเชิงเส้น 2 ตัวแปร 2 สมการ เทียบ
กับการดา เนินการกับเมทริกซ์ที่สร้างขึ้นใหม่ (เรียกเมทริกซ์นี้ว่า เมทริกซ์
แต่งเติม : augmented matrix)
จบบทเรียนแล้วจ้า
อย่าลืมทาแบบฝึกหัดด้วยนะ
คณิตศาสตร์ เมทริกซ์
25
แบบฝึกหัดเสริมสร้างความรู้
ลองทาๆ
ไม่ยากๆ
แก้สมการ
ง่ายนิดเดียว
4. ถ้า = จงหา x, y, z
5. ถ้า = จงหา x, y
6. จงหาจา นวนจริง x และ y ที่ทา ให้ A = B เมื่อกา หนดให้
A = และ B =
2 4 1
3 x 2 y
2 4 z
3 1 5
4 1
x y 5
4 x y
3 5
4
2 1 3
x y
x
1
0 3
y