O documento discute a modelagem matemática da dinâmica populacional de coelhos e raposas como um sistema predador-presa. Ele apresenta as equações de Lotka-Volterra para modelar as taxas de crescimento das populações de coelhos e raposas e mostra como elas geram oscilações periódicas nas populações ao longo do tempo. O documento também discute a introdução de fatores como a saturação da população de coelhos para estabilizar as flutuações.

1. Coelhos, Raposas e a Modelagem
Matemática
Prof. Dr. Harold Gordon Fowler
popecologia@hotmail.com
Ecologia de Populações

2. Modelagem Matemática da
Dinâmica Populacional
Como cresce uma população?
Deixamos “x” para representar a população. Se a população x(t) no
tempo t muda para x + Δx no intervalo temporal [t, t + Δt].
Então a taxa de crescimento é
x
x(t ) t

3. Modelagem Matemática da
Dinâmica Populacional
Para a população de raposas
Começamos com a premissa que a população da raposa não chega a
ser muito grande, assim podemos ignorar a saturação populacional
Para o crescimento sem limites
x
 a( s  s0 ) x(t )
t
A única presa da raposa é o coelho; assim s é proporcional a
população de coelhos
A população de coelhos e representada por “y”
x
 a(by (t )  s0 ) x(t )
t
 cx (t ) y (t )  dx(t )
 (cy  d ) x

4. Tempo População Taxa de Crescinmento
0,1
1 10
2 11
3 12,1
4 13,31
5 14,641
1200
6 16,105
7 17,716
1000
8 19,487
9 21,436
10 23,579 800
11 25,937
12 28,531 600
13 31,384
14 34,523 400
15 37,975
16 41,772 200
17 45,95
18 50,545
0
19 55,599
1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49
20 61,159
21 67,275
22 74,002
23 81,403
24 89,543
25 98,497
26 108,35
27 119,18
28 131,1

5. Modelagem Matemática da Dinâmica
Populacional
Para a população de coelhos, a premissa básica é o crescimento
sem limites se os coelhos estão sendo consumidos pelas raposas –
ainda temos outra premissa de que o número de coelhos
consumidos é proporcional a população de raposas
y
 f y (t )  g x(t ) y (t )
t
 ( f  gx) y

6. Modelagem Matemática da Dinâmica
Populacional
A taxa de crescimento depende de vários fatores, como
A oferta per capita de alimento – chamado “s”
Uma quantidade mínima de alimento, s0, é necessário para suster a
vida
x
 a( s  s0 )
x(t ) t
A taxa de crescimento é proporcional a s – s0
x
 a( s  s0 ) x(t )
t
Deixamos que “a” seja a coeficiente de crescimento

7. As Equações de Predador – Presa Lotka e
Volterra
População de raposas – x
x
 (cy  d ) x
t
População de coelhos – y
y
 ( f  gx) y
t
onde c, d, f, g são parâmetros constantes

8. Tempo Raposa Coelho c 5E-06
1 35000 70000 d 0,3
2 36750 80500 f 0,5
3 40517 91166 g 1E-05
4 46831 99812
5 56153 102975 120000
6 68219 96639
7 80716 79033
100000
8 88397 54757
9 86080 33732
10 74774 21561 80000
11 60403 16220
12 47181 14532
13 36455 14942 60000
14 28242 16966
15 22165 20657 40000
16 17805 26407
17 14814 34909
18 12956 47192 20000
19 12126 64674
20 12410 89169 0
Raposa
21 14220 122688 1 3 5 7 9 11 13 15 17 Coelho
19
22 18676 166586
23 28630 218767
24 51357 265518

9. A saturação da população de coelhos:
Tempo Raposa Coelho c 0,000005
1 50000 60000 d 0,3
2 50000 60000 f' 0,0000125
3 50000 60000 g 0,00001
4 50000 60000 rab-sat 100000
5 50000 60000
6 50000 60000 62000
7 50000 60000
8 50000 60000 60000
9 50000 60000 58000
10 50000 60000
11 50000 60000 56000
12 50000 60000 54000
13 50000 60000
14 50000 60000 52000
15 50000 60000 50000
16 50000 60000
17 50000 60000 48000
18 50000 60000
46000
19 50000 60000
20 50000 60000 44000
Raposa
21 50000 60000 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19
22 50000 60000 Coelho
23 50000 60000
24 50000 60000

10. Tempo População Oferta de alimento 8
1 10 Oferta mínima de alimento 5
2 11 coeficiente de crescimento0,0333
3 12,1
4 13,31 População
5 14,64
6 16,104
1200
7 17,715
8 19,486 1000
9 21,434
10 23,578 800
11 25,935
12 28,528 600
13 31,381
400
14 34,519
15 37,97
200
16 41,767
17 45,943 0
18 50,537 1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49
19 55,59
20 61,149
21 67,263
22 73,988
23 81,386
24 89,524

11. Modelagem Matemática da
Dinâmica Populacional
O crescimento infinito é real?
Se a população alcança a saturação em x0
O coeficiente de crescimento é proporcional a x0 – x
x
 b( x0  x(t ))(s  s0 ) x(t )
t
 bx0 ( s  s0 ) x(t )  b( s  s0 ) x(t ) 2
Podemos interpretar o termo x2 como um número proporcional ao
número médio de encontros entre x indivíduos. Por isso mensura
um tipo de fricção social.

12. Tempo População Oferta de alimento 8
1 10 Oferta mínima de alimento 5
2 11 coeficiente da saturação 1000
3 12,099 da população 0,00003367
4 13,306
5 14,632
6 16,089
7 17,688
8 19,443 600
9 21,369 500
10 23,481
11 25,797 400
12 28,335 300
13 31,117
14 34,162 200
15 37,495 100
16 41,14
17 45,125 0
18 49,477 1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49
19 54,227
20 59,408
21 65,052
22 71,195
23 77,875
24 85,129

13. Modelagem da Dinâmica Populacional
Começamos com a população de raposas
Se a população de raposas não cresce muito de forma que
podemos ignorar a “saturação populacional”
O modelo de crescimento sem limites é
x
 a( s  s0 ) x(t )
t
Agora, se a única fonte alimentar da raposa é o coelho, então s é
proporcional a população de coelhos
A população de coelhos é representada por “y”
x
 a(by (t )  s0 ) x(t )
t
 cx (t ) y (t )  dx(t )
 (cy  d ) x

14. Modelagem Matemática da
Dinâmica Populacional
Como no caso da população de coelhos, temos como premissa que
existe crescimento exponencial quando os coelhos estão sendo
consumidos pelas raposas – ainda temos a premissa do que o
número de coelhos é proporcional a população de raposas
y
 f y (t )  g x(t ) y (t )
t
 ( f  gx) y

15. As Equações de Predador – Presa
Lotka e Volterra
População de raposas – x
População de coelhos – y
x
 (cy  d ) x
t
y
 ( f  gx) y
t
onde c, d, f, g são parâmetros constantes

16. Tempo RaposasCoelhos c 5E-06
1 35000 70000 d 0,3
2 36750 80500 f 0,5
3 40517 91166 g 1E-05
4 46831 99812
5 56153 102975 120000
6 68219 96639
7 80716 79033
100000
8 88397 54757
9 86080 33732
10 74774 21561 80000
11 60403 16220
12 47181 14532
13 36455 14942 60000
14 28242 16966
15 22165 20657 40000
16 17805 26407
17 14814 34909
18 12956 47192 20000
19 12126 64674
20 12410 89169 0
Raposas
21 14220 122688 1 3 5 7 9 11 13 15 17 Coelhos
19
22 18676 166586
23 28630 218767
24 51357 265518

17. Introduzimos uma saturação para a população de coelhos:
Tempo Raposas Coelhos c 0,000005
1 50000 60000 d 0,3
2 50000 60000 f' 0,0000125
3 50000 60000 g 0,00001
4 50000 60000 saturação 100000
5 50000 60000
6 50000 60000 62000
7 50000 60000
8 50000 60000 60000
9 50000 60000 58000
10 50000 60000
11 50000 60000 56000
12 50000 60000 54000
13 50000 60000
14 50000 60000 52000
15 50000 60000 50000
16 50000 60000
17 50000 60000 48000
18 50000 60000
46000
19 50000 60000
20 50000 60000 44000
Raposas
21 50000 60000 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19
22 50000 60000 Coelhos
23 50000 60000
24 50000 60000

18. Interações entre Predadores
e Presas: Sumário
As interações predador e presa são freqüentemente
dramáticas, como as interações entre coelhos e
raposas
O modelo simples de predação de Lotka e Volterra
gera flutuações de predador e presa
Os modelos gráficos identificam os fatores que
estabilizam e desestabilizam a interação predador e
presa
Importância da predação na natureza evidenciada por:
– Diversidade, ubiqüidade de adaptações anti-
predador
– Evidencia que os predadores controlam as presas,
sob condições específicas
– Impacto de predadores e presas que interagem
sobre os ciclos populacionais