Crescimento exponencial

1. Ecologia de Populações
Prof. Dr. Harold Gordon Fowler
popecologia@hotmail.com
Crescimento Populacional
Exponencial

2. Cada ser vivo faz duas coisas…

3. Todo ser vivo reproduz.
Qualquer espécie é capaz de ter um
crescimento populacional
exponencial sob algum conjunto
de condições possíveis

4. Populações mudam no
tempo…
Podem crescer ou diminuir.
– Até serem extintas.
Reagem “instantaneamente” a mudanças
ambientais.
Populações crescem pela multiplicação.
– Não usam a adição.

5. Mudanças do tamanho populacional
Aumentando Diminuindo
Oscilando

6. Populações crescem de
formas diferentes:
Crescimento Aritmético (?)
Crescimento Exponencial (iteroparidade)
Crescimento Geométrico (semelparidade)
Crescimento Logístico (ambos)

7. Crescimento populacional
de populações isoladas
Taxa de
Crescimento crescimento
populacional = X Número de
populacional bruto indivíduos
por unidade por indivíduo por
de tempo unidade de tempo

8. Crescimento Exponencial
Tamanho da População
A quantidade de
crescimento depende do
número de indivíduos na
população.
Tempo

9. Número de filhotes nascidos
Ano

10. Populações crescem
rapidamente
Com recursos suficientes
Crescimento Exponencial
Curva de forma de J

11. A Curva J
PUXADOR:
Inteligência (Negentropia) Fase
Hiperbólica
MOTOR:
Compressão de MEET
DINÂMICA:
Desenvolvimento Evolutivo
RESTRIÇÃO:
Alguns aspectos de sistemas HP
pós-emergência e pós-limites
Componentes de Primeira não podem ser entendidos
guiados por sistemas pre-
Ordem são substratos singularidade
hierárquicas limitados pelo = Emergência
crescimento (Curvas S e B) Singularidades
EP = Ponto Exponencial
Crescimento Hiperbólicos da HP = Ponto Hiperbólico
Segunda Ordem com as Fase Exponencial
Singularidades de Emergência e
uma Singularidade de Limite
EP
Exemplos: Linear-Appearing Phase
Phi de Chaisson
Calendário Cósmico de Sagan
Szathmary’s Megatransitions

12. Crescimento Exponencial
Exemplo:
– 10,000 aves numa população
– 1500 nascimentos e 500 mortes por
ano
– 1500/10.000 - 500/10.000 = 0,10 ou
10%
– Expressada como um aumento de 10%
por ave por ano

13. Outro tipo de crescimento?
Crescimento Geométrico
O crescimento exponencial examina o
crescimento num período comprido de
tempo.
As vezes precisamos examinar o
crescimento em períodos mais longos de
tempo.

14. Premissas do Modelo de
Crescimento Exponencial
A taxa reprodutiva é constante por
indivíduo
O número de indivíduos que reproduzem
é proporcional ao tamanho
populacional
O ambiente não apresente limites

15. Premissas do Modelo Exponencial
As taxas de natalidade e mortalidade são constantes no
tempo
• Nenhuma competição para recursos limitantes
• (nenhuma dependência de densidade)
• Nenhuma mudança aleatória no tempo
Nenhuma estrutura de idade ou tamanho, e nenhuma
diferença nas taxas de mortalidade e natalidade dos
indivíduos
População fechada. Sem emigração ou imigração.
Não existem tempos de retorno (para modelos contínuos).
Nenhuma estrutura genética.

16. Premissas do Modelo Exponencial
As mudanças da população são proporcionais ao
tamanho atual da população (∆ per capita)
∆ x número de indivíduos -->∆ da população;
Taxa constante de ∆; taxas constantes de
natalidade e mortalidade
Nenhuma limitação de recursos
Todos os indivíduos são iguais (sem estrutura etária
ou de tamanho)

17. Crescimento Exponencial
de Populações
As populações crescem pela
multiplicação, como os juros da
poupança
Descreve populações nas quais os
indivíduos se adicionam
continuamente (bactéria, alguns
insetos)

18. Crescimento Exponencial
Na equação exponencial os indivíduos
são continuamente adicionados a
população (gerações sobre-postas)
Usa equações diferenciais
Também pressupõe nenhuma taxa
específica a idade para natalidade ou
mortalidade

19. Crescimento Exponencial
Nos modelos de crescimento
exponencial, os nascimentos,
mortes, emigrações e imigrações
acontecem continuamente
– Representa uma boa aproximação para
a maioria das populações biológicas

20. Crescimento Exponencial
O tamanho da população cresce por
incrementos que aumentam durante
os intervalos sucessivos
Quanto maior a população, mais
indivíduos existem para reproduzir

21. A Equação “BIDE”
Nt+1 = Nt + B + I - D - E
B = número de nascimento por unidade de tempo
D = número de mortes por unidade de tempo
I = número de imigrantes por unidade de tempo
E = número de emigrantes por unidade de tempo
Os modelos simples tem premissa de população fechada
(geralmente não real):
Nt+1 = Nt + B – D
Nt+1 – Nt = B – D
∆N = B - D

22. Como as populações mudam de tamanho?
Ganhos e perdas de individuos
Nt+1 = Nt + ganhos - perdas
Tamanho da Tamanho da população
População há No tempo “t”
Um t atrás
N novo = N anterior + nascimentos - mortes + imigração - emigração
Nt+1 = Nt + B - D + I - E
intrínseca Troca com outras
populações

23. Como as populações mudam de tamanho?
Ganhos e perdas de individuos
Nt+1 = Nt + ganhos - perdas
Tamanho da Tamanho da população
População há No tempo “t”
Um t atrás
N novo = N anterior + nascimentos – mortes
Nt+1 = Nt + B – D
intrínseca Para simplificar
Vejamos os processos
intrínsecos

24. Como as populações mudam de tamanho?
Nt+1 = Nt + B - D
Nt+1 - Nt = B - D
Mudança populacional = nascimentos – mortes
A população cresce se: B>D
A população diminua se: B<D

25. Crescimento Exponencial
Sob condições simples, com ambiente constante e
sem migração, a mudança no tamanho
populacional (N) no tempo (t) dependerá da
diferença entre a taxa individual de nascimento
(b0) e de mortalidade (d0), :
dN/dt = (b0 - d0) / N0
Onde: b0 = taxa instantânea de natalidade, nascimentos por
indivíduo por período temporal (t).
d0 = taxa instantânea de mortalidade, mortes por
indivíduo por período temporal , e dN0 = atual tamanho
populacional.

26. Crescimento exponencial
A mudança do tamanho populacional no tempo =
nascimentos – mortes
ΔN/ Δt = B – D
Pode ser representado como o número médio de
nascimentos e mortes por indivíduo (per
capita, simbolizado com a letra minúscula).
ΔN/ Δt = bN – dN

27. Crescimento Exponencial
•O modelo contínuo é equivalente a uma equação de diferencia discreta com
um unidade infinitamente pequena de tempo.
•O tempo é tratado como contínuo de modo que mudança do tamanho da
população pode ser descrita por uma equação diferencial:
dN/dt = B – D
= bN – dN onde b e d são as taxas per
= (b – d) N capita de natalidade e
= rN mortalidade.
dN/dt = rN
onde r é a taxa instantânea de aumento
As unidades de r são indivíduos/(individuos * tempo)
r > 0, aumento exponencial
r = 0, nenhuma mudança
r < 0, cai exponencialmente

28. Modelos de Crescimento
Populacional
A taxa de crescimento populacional é igual a
taxa de natalidade (B) menos a taxa de
mortalidade (M)
N = número de indivíduos, T= tempo
Ignora a emigração e a imigração
Mudança do tamanho populacional =∆ N/ ∆T = B-M
O crescimento zero da população ocorre quando a
taxa de natalidade é igual a taxa de mortalidade

29. Crescimento exponencial
A mudança do tamanho da população (N) durante um
intervalo de tempo é
número de nascimentos – número de mortes, ou
∆N = B - D
∆t (sem imigração ou emigração)
Se b (taxa de natalidade) é o número médio de
filhotes produzidos durante um período de tempo
pela população, e d (taxa de mortalidade) é o
número médio de mortes para a população,
∆N = bN – dN ou ∆N = (b – d)N
∆t ∆t

30. Um modelo de compartimentos com fluxos e estoques
Se existe coisas num compartimento (como indivíduos de uma população ou
Moléculas num lago) e uma propriedade de conservação, então:
Nt = Nt-1 + ENTRADA - SAIDA.
ENTRADA = nascimentos + imigração ignorada
Nt- Nt
1
t
SAIDA = mortes + emigração ignorada
N/t = Nt - Nt-1 = ENTRADA - SAIDA = Nascimentos - Mortes
assuming no migration)
Se examinamos os processos e esses são mais fáceis de visualizar se
convertemos o número absoluto de Bs e Ds,
em as taxas per capita (por individuo) b e d: B = bN e D = dN, então
N/t = Nt - Nt-1 = Nascimentos - Mortes = bN - dN = N (b - d)
Se t diminua e
Se (b - d) = r = taxa instantânea per capita de crescimento populacional
Então temos a forma diferencial dN/dt = rN

31. Derivamos dN/dt = rN, onde r = taxa instantânea per capita de crescimento
populacional. (e também a taxa de juros compostos)
a taxa de mudança de N is proporcional a N;
quanto maior N mais rápido o aumento; retroalimentação + e N ‘explode’!
Podemos arranjar de nova a forma dN/N = r dt, e depois integrar ambos os lados:
Nt = N0 ert , o modelo de crescimento exponencial
(conveniently, er = , the geometric growth rate)
Ao arranjar de novo Nt = N0 ert para isolar t = ln(Nt/N0)/r e observamos que o
tamanho populacional dobra a cada td = ln(2)/r = 0.69/r unidades de tempo
A população humana dobrou entre 1930 e 1975 (45 anos).
qual foi a r média? 45 = 0.69/r r = 0.69/45 = 0.0153 = 1.53% por ano
A r do homem não é constante, aumenta e o tempo de dobrar diminua!!!!!

32. Dinâmica Populacional
Se uma população aumenta, diminua ou fica
estável depende de quatro fatores
– 1.) taxa de natalidade
– 2.) taxa de mortalidade
– 3.) Imigração
– 4.) Emigração

33. Processos Demográficos
Nascimento (Natalidade) [+]
Morte (Mortalidade) [-]
Imigração [+]
Emigração [-]

34. Potencial Biótico
O potencial biótico de qualquer
população é exponencial, ainda quando
a taxa de aumenta fica constante
O número de indivíduos acelera
rapidamente
crescimento
Taxa de
Tempo

35. Potencial Biótico

36. Potencial Biótico
Taxa máxima de aumento por indivíduo
sob condições ideais
Varia entre espécies devido a três
parâmetros:
1. A idade que cada geração começa
reproduzir
2. A freqüência da reprodução
3. Quantas proles nascem cada vez

37. Potencial Biótico
Taxa de crescimento de
uma populações sem
qualquer resistência
ambiental.
Capacidade inata de
crescimento de
qualquer população é
exponencial.
– Ainda mantido a mesma
taxa, o número na
população acelera com o
aumento do tamanho
população.

38. Potencial Biótico
Crescimento Exponencial
– A taxa pela qual uma população de
uma espécie aumentará sem limites
sobre a taxa de crescimento.
A capacidade inata de crescimento de
qualquer população é exponencial.
– Ainda ao ficar constante a taxa, o aumento
atual de números acelera ao aumentar o
tamanho populacional.

39. Potencial Biótico
Mosca domestica, Musca domestica
Sete gerações por ano na média
120 ovos por fêmea na média
Premissas
– A fêmea reproduz e depois morre
– A metade da prole é fêmea
– Nenhuma mortalidade da prole
– Começa com uma fêmea grávida
Quantas moscas estarão na população ao fim de
um ano. Precisa calcular o tamanho
populacional para cada geração

40. Potencial Biótico
Mosca domestica, Musca domestica
Geração tamanho populacional
1. 120
2. 7,200
3. 432,000
4. 25,920,000
5. 1,555,200,000
6. 93,312,000,000
7. 5,598,720,000,000
O crescimento fenomenal é a expressão do potencial
biótico da mosca domestica
As moscas fazem isso?

41. Crescimento Populacional
– A taxa de crescimento aumenta ao aumentar
o tamanho populacional
População Taxa de
crescimento
(N) (dN/dt) é a
tangente
Tempo (t)

42. Como a maioria das
populações crescem?
Duas forças opostas
afeita o tamanho
populacional
– Potencial biótico:
a capacidade de
reprodução de uma
população.
– Resistência ambiental
Consiste de fatores que
limitam o crescimento.

43. Crescimento Exponencial

44. O modelo de crescimento
exponencial
O modelo de crescimento exponencial descreve
o crescimento populacional sob as condições
ideais sem limites de alimento, espaço e
outros
recursos
Essas condições raramente existem, e se
existem duram pouco tempo.

45. Crescimento Exponencial
O modelo exponencial descreve o crescimento
populacional num ambiente sem limites
É informativo estudar o crescimento
populacional numa situação ideal para
entender a capacidade de espécies de
aumentar e as condições que podem
facilitar esse tipo de crescimento

46. Crescimento Exponencial
Populações não reguladas aumentam de forma
exponencial:
Crescimento exponencial
Da poupança com uma taxa
Crescimento por uma Anual de juros compostos de
5%
porcentagem fixa, em Tempo (anos) Capital
vez de uma quantidade 0 (nascimento) R$ 1.000
fixa. 10 R$ 1.629
30 R$ 4.322
50 R$ 11.467
Similar a crescimento 60 R$ 18.679
de capital num conta 70 R$ 30.426
de poupança 80 R$ 49.561

47. Entendimento de Exponenciais
Tenta pensar e resolver uma pergunta
simples:
– Você foi oferecido dois empregos iguais por
uma hora por dia por quatorze dias.
– O primeiro emprego paga R$ 10,00 por hora.
– O segundo emprego começa pagando somente
R$ 0,01 por dia, mas a taxa dobra cada dia.
– Qual emprego você aceitaria?

48. Entendimento de
Exponenciais
Emprego 1 Emprego 2
90
80 Agora, quanto você
70 ganharia se fica no
emprego por mais
60 duas semanas?
50 O emprego 2 tem
40 um crescimento O que acontece se esse
lento ( tempos de tipo de crescimento
30 retorno) antes do ocorra numa
20 que o crescimento população?
10 exponencial
começa!
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

49. Pode ignorar o crescimento
exponencial?
Prefere um milhão de reais ou um
centavo?
– Um centavo divide uma vez por dia.
– Em um mês teria 5 milhões de reais.

50. Conceitos Básicos de Taxas
São obtidas pela divisão da mudança ocorrida em certa
quantidade pelo período decorrido durante a mudança;
ΔN/Δt = taxa média de mudança no número de organismos
em relação ao período de tempo – taxa de crescimento;
ΔN/(NΔt) = taxa média de mudança no número de
organismos em relação ao período de tempo por organismo
– taxa específica de crescimento;
dN/dt = taxa de mudança do número de organismos por
tempo em determinado momento;
dN/(Ndt) = taxa de mudança do número de organismos por
tempo em determinado momento;
- na curva de crescimento a reta tangente em qualquer
ponto é a taxa de crescimento.

51. As taxas de crescimento
populacional são relacionadas
diretamente ao tamanho corporal
O crescimento populacional aumenta
inversamente com o tempo médio de
geração:
O tempo médio de geração aumenta
com o tamanho corporal.

52. Crescimento Sem Limites
As populações freqüentemente ficam
constantes independente do número de
filhotes nascidos
Porém, o modelo de crescimento
exponencial se aplica as populações sem
limites a crescimento
r = (b-d) + (i-e)
r = taxa de aumento da população; b = taxa
de natalidade; d = taxa de mortalidade; i
= imigração; e = emigração

53. Crescimento populacional
de populações isoladas
As populações crescem quando a taxa de
natalidade > a taxa de mortalidade, mais
fica igual quando igual e diminua quando
a taxa de natalidade < a taxa de
mortalidade
r é a taxa máxima de crescimento

54. Crescimento Exponencial
dn/(dt*N) = r 1200
Crescimento Populacional
Onde r é a taxa 1000
instantânea de 800
mudança
número
600
A forma integrada 400
Nt = N 0 ert
200
0
0 2 4 6 8 10 12
tempo

55. Crescimento Exponencial
O Modelo: xn+1 = rxn
A Solução: xn = x0rn
xn r >1 0<r<1
n
r < -1
-1 < r < 0

56. Crescimento Exponencial
de Populações
Equação: N(t) = N(0)ert
N(0) = população no tempo 0
e = base do logaritmo natural (2.72)
r = taxa exponencial de crescimento
– se r > 0, a população cresce
– se r < 0, a população diminua
– se r = 0, a população fica estável
t = tempo

57. Crescimento exponencial
A diferencia entre a taxa de natalidade e a taxa
de mortalidade é a taxa per capita de crescimento
r=b-d
A equação de crescimento pode ser representada
como
∆N = rN ou dN = rN
∆t dt
O crescimento exponencial ocorre quando os
recursos não tem limites e a população é pequena,
que é rara. A r é máxima (rmax) e é chamada a
taxa intrínseca de aumento.

58. Crescimento Populacional
Taxa de natalidade = proporção adicionada a
população
Taxa de mortalidade = proporção que morre
Taxa de imigração = proporção que imigra
Taxa de emigração = proporção que emigra
r = (b-d) + (i-e)
O que foi o valor de r para na população de
mosca domestica?
– 7200/120-120/120 = 60-1 = 59 (5,900%)
– rmax

59. Crescimento Exponencial
Podemos expressar ΔN/ Δt como r 
taxa de crescimento populacional per
capita
Se r é + então a população cresce, se r é –
então a população decai, se r = 0 então a
população de crescimento zero e é
estável.

60. Crescimento Exponencial
A diferença entre as taxas de natalidade e
mortalidade (b0 - d0) é r, a taxa intrínseca de
crescimento natural, ou o parâmetro Malthusiano.
Teoricamente é o número máximo de indivíduos
adicionado a população por individual per time.
Resolvendo a equação diferencial obtemos a
formula de estimar o tamanho populacional em
qualquer tempo:
N = N0ert
onde e = 2.718... (base de logaritmos naturais).

61. Crescimento Exponencial
A equação demonstra que se as taxas de mortalidade e
natalidade são constantes, a população crescerá
exponencialmente. Se transforme a equação aos
logaritmos naturais (ln), a curva exponencial vira linear
e a tangente será r:
ln(N) = ln(N0) + ln(e)rt e
r = [ln(N) - ln(N0)] / t
onde ln(e) = 1. A taxa de crescimento populacional, r, é
básica para a dinâmica de populações, principalmente
na comparação de espécies e populações diferentes.

62. Derivação da equação para
mudanças nas taxas de
mortalidade e natalidade
dado
dn/dt = rN
se
r = b - d
onde:
b = taxa de natalidade
d = taxa de mortalidade
então
dn/dt = (b - d)N

63. O crescimento exponencial
Crescimento Populacional
dn/(dt*N) = r 1200
Onde r é a taxa 1000
instantânea de 800
mudança
números
600
A forma integrada
Nt = N0ert
400
200
0
0 2 4 6 8 10 12
tempo

64. Mudanças do tamanho populacional (N)
Uma população sem limitação de
recursos alcança sua taxa máxima de
crescimento:
N
= rmaxN
t
A forma mais simples ocorre se os
Isso é o crescimento
indivíduos reproduzem e morrem numa
exponencial
taxa constante. Mas, essas condições
geralmente não acontecem.

65. Mudanças do tamanho populacional (N)
Podemos substituir r = (b - d) para
obter:
N
= rN
t
Por exemplo…
N1=1000 N2=1500
rN=500; r=0.5

66. Crescimento Exponencial
O que é r?

67. O que é r?
A taxa máxima de crescimento de uma
população é a taxa intrínseca de
aumento e é representada por “r”.
A taxa intrínseca de aumento sob
condições ideais e a potencial biótico da
população

68. O que é r?
Reprodução bruta por indivíduo por unidade de tempo
Variável combina as taxas per capita de natalidade e
mortalidade (sob a premissa que ambas são
constantes)
Pode ser usada para calcular a taxa de crescimento de
uma população
A taxa intrínseca de aumento pode ser resolvido por:
ln N t  ln N o
r
t

69. O que é r?
r = Parâmetro Malthusiano
Continua e não Discreta
Equação Diferencial
– Intervalo muito pequeno de tempo

70. O que é r?
70
Uma população:
– cresce quando r > 0
– É constante quando r = 0
se r é zero, a população não muda de tamanho
– diminua quando r < 0
r pode ser negativa se a população diminua
Assim, a taxa de aumento ou declínio de uma
população pode mudar no tempo.

71. Características de r
Pode ser somada e mudada pelo
escalamento
– Exemplo, se r = 0.101 dia, o que o valor
de r por hora?
(0.101/24 = 0.0042)
Qual é o valor de  por hora?
Abundância  r

72. Características de r
r = 0.0, abundancia estável
r > 0.0, abundancia aumenta
r < 0.0, abundancia diminua
= er
r = ln()

73. A taxa de
crescimento
populacional
depende do
valor de r,
específica ao
ambiente e
espécie.

74. O valor de r é único ao conjunto de
condições ambientais que influencia as
taxas de natalidade e mortalidade
…mas existem algumas expectações gerais
do padrão:
rmax elevada para organismos em
ambientes perturbados
rmax baixa para organismos em habitats
mais estáveis

75. Crescimento Exponencial
• O modelo mais simples
dN=riN
dt
• Taxa constante de crescimento  crescimento
exponencial
• Premissas:
• População fechada (sem imigração ou emigração)
• Recursos sem limites
• Nenhuma estrutura genética
• Nenhuma estrutura de idades ou tamanhos
• Crescimento contínuo sem tempos de retorno

76. Crescimento Exponencial
• t = tempo
• N = tamanho da população
• dN =taxa (instantânea) da mudança do
dt tamanho da população
• r = taxa máxima intrínseca de crescimento
(1/vez)
= b-d (taxa de natalidade – taxa de
mortalidade)

77. Crescimento Sem Limites
Potencial biótico: e = i e não existem
limites ao crescimento populacional e
por isso:
dN=riN
dt
N é o número de indivíduos na
população, dN/dt é a taxa de mudança
no tempo; ri é a taxa intrínseca de
aumento natural da população =
capacidade de crescimento

78. O crescimento populacional é medido
pela taxa per capita de aumento
Se ignoramos a imigração e emigração
A taxa de crescimento (per capita) é a taxa de
natalidade menos a taxa de mortalidade
Taxa de
crescimento = rN
dN=riN
dt

79. Crescimento Per Capita
da População
Expressado a base de por indivíduo ( per capita):
taxa de natalidade =B= bN
onde b = taxa média de nascimentos
N = número de indivíduos.
Taxa de mortalidade =M = mN
onde m = taxa média de mortes,
N = número de indivíduos.

80. Crescimento Per Capita da
População
O crescimento populacional per capita é:
∆N/∆T = bN-mN
Taxa per capita de aumento = r = b-m, por isso:
∆N/∆T = rN
se r> 0, população cresce, se r<0, população diminua

81. Crescimento Exponencial
Quando a taxa per capita de aumento, r, é
máxima usamos o termo rmax.
∆N/∆T = dN/dT = rmax N
A taxa de crescimento populacional fica
constante, mas o número de indivíduos muda

82. dN/dt = riN
Onde:
N = número de indivíduos na população
dN/dt = a taxa de mudança de números na
população no tempo
r = taxa intrínseca de aumento da
população (capacidade intrínseca para
crescer)
r é difícil calcular e é considerada aqui
como a diferença entre a taxa de
natalidade e a taxa de mortalidade

83. Crescimento Exponencial
Curva de forma de J
R =N/t = (b-d)N
Crescimento exponencial
N/t = rmaxN
– Mensura o crescimento ótimo da
população
rmax = taxa intrínseca de aumento

84. Crescimento Exponencial
O crescimento exponencial continuo é caracterizado
pelas mudanças que ocorrem instantaneamente, ou o
tempo entre as observações fica curto. O crescimento
continuo da população é definida pela equação
diferencial.,
dN/dt = riN
Onde dN/dt é a taxa de mudança populacional
num instante e r e a taxa instantânea de
mudança per capita

85. Crescimento Exponencial
Podemos integrar essa equação usando
calculo, assim escrevendo de outra
forma de modo que somente N apareça
no lado esquerdo
(1/N)dN = rdt

86. Crescimento Exponencial
– Nascimentos excedem as mortes
– As taxas de natalidade e mortalidade são
independentes do tamanho da população
– Ignoramos a migração
N t = rt N 0

87. Efeito de Mortalidade
Populações crescem exponencialmente se a
taxa per capita de mortalidade é menor do
que a taxa per capita de natalidade
25% de
mortalidade
entre
divisões

88. Crescimento Exponencial 88
de Populações
O crescimento exponencial resulta numa
curva continuamente acelerada de aumento
(ou uma curva desacelerada contínua de
diminuição).
A taxa pela qual os indivíduos são adicionados
a população é:
dN/dt = rN
Essa equação incorpora dois princípios:
– A taxa exponencial de crescimento (r)
expressa o aumento da população em base
“por individuo”
– A taxa de aumento (dN/dt) varia em
proporção direta a N

89. N/T=bN-dN
onde:
b é a taxa per capita de natalidade
d é a taxa per capita de mortalidade
ignorando a imigração e emigração.
N/T=rN
(define r como a taxa instantânea de
crescimento da população; (r=b-d)
Pode ser integrada para produzir a equação
de crescimento exponencial.

90. Crescimento Exponencial
N(t)=N0 ert
onde
r é o parâmetro de crescimento
exponencial
N0 é a população inicial
t é o tempo transcorrido
r=0 se a população não muda, r>0 se a
população aumenta, e r<0 se a
população decresce.

91. Crescimento Exponencial
Para equações que aumentam
exponencialmente, use a formula:
N(t)=N0 ert
Onde No = a população inicial, t = tempo, r é a
taxa intrínseca de aumento, e Nt = a população
no tempo t

92. Crescimento Exponencial de 92
Populações
Uma população que exibe um crescimento exponencial
apresenta uma curva suave de aumento populacional
como função do tempo.
A equação que descreve esse crescimento é:
N(t)=N0 ert
onde:N(t) = número de indivíduos após t unidades de tempo
N(0) = tamanho inicial da população
r = taxa exponencial de crescimento
e = base de logaritmos naturais
(aproximadamente 2.72)

93. Crescimento Exponencial
Tamanho Populacional (N)
Tempo (t)

94. Crescimento exponencial
Tamanho Populacional (N)
r>0
r=0
r<0
Tempo (t)
Curva continuamente acelerando de aumento
Tangente varia com o tamanho populacional
(N) (fica mais aguda ao aumentar a população).

95. Calculo do crescimento
populacional no futuro
∆N/∆T = dN/dT = rmax N
N(t)=N0 ert
onde N(t) = número no tempo t, e N(0)=
número no tempo 0

96. Calculo do
crescimento
populacional
no futuro
Nt = N0ert
N0 = tamanho inicial da
população
Nt = tamanho da população no
tempo t
e  2.7171
r = taxa intrínseca de
crescimento
t = tempo

97. Calculo do crescimento
populacional no futuro
dN/dt = rN
Integramos a equação
diferencial
onde e é ≈ 2.718
N(t)=N0 ert
Exemplo: N0 = 100, r = 0.1398, t = 10 anos
N10 = 100(e0.1398)10 = 405 indivíduos

98. Duas equações de tamanho populacional
Discreta: Continua:
Nt = λ t N0 N(t)=N0 ert
λ= e r
ln(λ) = r

99. O crescimento exponencial e99
geométrico são relacionados.
As equações exponencial e geométrica
descreve os mesmos dados de forma
igual.
Esses modelos são parecidos porque:
= e r
e
loge  = r

100. N(t + 1) = N(t)λ
N(1) = N(0) λ , N(2) = N(1)λ
…por isso... N(2) = N(0) λ2
e… N(t) = N(0)λt
[lembre: N(t) = N(0)ert]
O que implica: er = λ ou ln λ = r

101. Crescimento Exponencial e
Geométrico
Integrando com o tempo
com C sendo o constante da integração.Se C = ln N0,
obtemos
ou
R e G são equivalentes por meio da
transformação logarítmica

102. Taxas Por Individuo de 10
Crescimento Populacional
2
A taxa por indivíduo ou per capita de crescimento
de uma população são funções das taxas de
natalidade (b ou B) e mortalidade (d ou D):
r = b – d (tempo contínuo)
e
 = B - D(tempo discreto)
 Ainda que essas taxas são por indivíduo ou per
capita não tem sentido a base do indivíduo, tem
sentido ao nível da população.

103. 1500 Taxa elevada de
crescimento
1000
Tamanho populacional
Taxa baixa de
de crescimento
Crescimento zero
500 da população
r=0
Taxa negativa de
crescimento
r = -0.05
0
0 5 10 15 20
Tempo (anos)

104. Comparação do crescimento
exponencial e geométrico:
Geométrico Exponencial
Tamanho populacional (N)
Tempo (t)
Tempo (t )

105. Padrões variados de mudança 10
populacional
5
Uma população:
–cresce quando  > 1 ou r > 0
–É constante quando  = 1 ou
r=0
–diminua quando  < 1 (mas >
0) ou r < 0

106. Taxa Taxa Taxa
Tamanho populacional (N)
Tempo Tempo
Taxa de crescimento geométrico
Taxa de crescimento exponencial

107. Qual magnitude tem  e r?
Espécie  r
E. coli 3,11 *1023 (dia) 58,7
Tribolium castaneum 1,11 (dia) 0,101
Rattus norvegicus 221,9 (ano) 5,402
Tapirus americana 1,44 (ano) 0,365
Pantera concolor 1,04 (ano) 0,039
Tabebuia 1,03 (ano) 0,027

108. Crescimento Populacional
– A taxa de crescimento medida por duas formas:
Taxa de crescimento populacional = mudança do
tamanho populacional por unidade de tempo
Taxa per capita de crescimento (r) = taxa de
natalidade –taxa de mortalidade por individuo (=
taxa intrínseca de aumento natural)
– Modelo de crescimento exponencial
Crescimento sem limites (premissa: r constante)
dN
 rN Tamanho populacional
dt
(número total de indivíduos na população)
Taxa per capita de crescimento
(contribuição de cada indivíduo ao crescimento)
Taxa de crescimento populacional
(mudança do tamanho populacional no tempo)

109. Taxa Intrínseca de
Crescimento
Método A
Simplificando, usamos anos como unidade temporal.
Mas, o mesmo pode ser dias, semanas, ou minutos.
O número de indivíduos de idade x no ano t é igual
ao número de indivíduos recém nascidos (x=0) x anos
antes multiplicado pela sua sobrevivência (lx) até a
idade x:

110. Taxa Intrínseca de
Crescimento
Método B
A taxa intrínseca de aumento populacional pode ser
estimado como o logaritmo do único eigenvalor real e
positivo do matriz de transição. A teoria dos
eigenvalores é o tópico central na álgebra linear. È
usado para reduzir problemas multi-dimensionais em
problemas de uma só dimensão. Estimamos o eigenvalor
usando o programa sem detalhar o algoritmo. O único
eigenvalor real e positivo da matriz é igual à =1.176.
Por isso, r = ln() = 0.162 próximo a valor estimado pelo
Método A..

111. Crescimento Exponencial
Reprodução sem pulsos
dN/dt = rN ----> Nt = Noert ---->
ln Nt = ln No + rt
r = ln (Nt/No)/t = taxa intrínseca de
aumento = taxa per capita de
aumento
r = ln (Nt/No)/T = ln Ro/T

112. Taxa Intrínseca de
Crescimento
Verifique o resultado

113. Curva em forma de J ou de
crescimento exponencial
CRESCIMENTO
EXPONENCIAL
Tempo de
Tamanho
Populacional retorno
DOBRA
TEMPO

114. Onde o modelo exponencial pode funcionar?
•No laboratório.
•Na natureza, mas tipicamente durante períodos relativamente curtos.
•Populações colonizadoras, especialmente com poucos predadores.
•Espécies invasoras, surtos de pragas
•Populações recuperando de declínios catastróficos.
•O Homem (capacidade de aumentar a ‘capacidade de suporte’).
As populações de mamíferos não aumentam sem limites por muito
tempo.

115. Ocorre na natureza?
Sim
Espécies invasoras
Habitat uniforme
Sem predadores
Sem doença
Área sem limites

116. A introdução de lebres a
Austrália.

117. Invasão

118. Invasão
Fase 1
r = 0.036 /ano

119. Invasão
Fase 2
r = 0.126 /ano
Fase 1
r = 0.036 /ano

120. Enhydra lutris num ambiente rico
em recursos:
N =600; aumentando 10%/ano (K ~ 2400)

121. Quando o modelo de
crescimento exponencial
funciona bem?
•Estrategistas r
•Recursos nos
limitados
•Nichos vazios

122. Populações de muskox na Ilha Nunivak
(de Akcakaya et al.)
Gráfico semi-logaritmico do
tamanho populacional no
tempo é linear se a população
cresce exponencialmente

123. Qual é o valor do modelo de crescimento exponencial?
Gotelli:
O modelo de crescimento exponencial é a pedra
fundamental da biologia de populações.
Turchin:
O crescimento exponencial é a primeira lei da dinâmica
populacional.
A lei exponencial é similar as leis da física, como a lei de
inércia de Newton’.
Toda população tem o potencial de aumento exponencial.

124. Crescimento Exponencial
Conhecido como o primeiro “principio” da
dinâmica populacional, porque é uma
propriedade fundamental de todos os
sistemas populacionais

125. A POPULAÇÃO
CRESCE ATÉ A
Tamanho da População
ETERNIDADE?
Tempo

126. Problema:
Uma população de
camundongos, Mus
musculus, consiste de
371 indivíduos no
começo de 2011.
No mesmo ano, 115
indivíduos morrem, 201
nascem, 37 imigram e 75
emigram.
Qual é a população no
começo do ano 2012?

127. Resposta
N(t) =371
N(t+1) = N(t) + B - D + I -E
N(t+1) = N(t) + 201 (natalidade) - 115
(mortalidade) - 75 (emigração) + 37
(imigração) = 371+48 = 419

128. Pergunta
A maritaca introduzida aumenta a uma
taxa de 25% por ano no estado de São
Paulo. Se a população atual consiste de
10,000 indivíduos, qual será a população
em vinte anos?
– Nt = Noert= 10,000*2.7180.25*20 =
1,484,131 maritacas

129. PROBLEMA!
A ratazana (Rattus norvegicus) tem uma taxa
intrínseca de crescimento de:
0.015 individuo / individuo*dia
Se sua casa foi infestada por 20 ratazanas.
 Em quanto tempo a população dobra?
 Quantos ratazanas teria após de 2 meses?
O modelo é mais sensível a N0 ou r?

130. Pergunta!
Qual é o nome do primeiro tipo de
crescimento populacional?
Qual é sua formula?
O que demonstra o crescimento
exponencial?

131. Perguntas
Por que as populações mudam de tamanho?
Quais fatores determinem as taxas de
crescimento ou declínio populacional?
Como esses variam entre as espécies?