Crescimento geométrico

1. Ecologia de Populações
Prof. Dr. Harold Gordon Fowler
popecologia@hotmail.com
Mudança Geométrica de
Populações

2. Objetivos
Crescimento em ambientes sem limitações
Crescimento Aritmético dn/dt = c
Nt+1 = ct + Nt
Crescimento Geométrico Nt+1 =  Nt
Crescimento Exponencial Nt+1 = Ntert
dN/dt = rN
Premissas do Modelo
Crescimento em ambientes com limitações
Crescimento Logístico dN/dt = rN (K - N)/K
B-D taxas de nascimentos e mortes
Premissas do Modelo

3. Populações crescem de
formas diferentes:
Crescimento Aritmético (?)
Crescimento Exponencial (iteroparidade)
Crescimento Geométrico (semelparidade)
Crescimento Logístico (ambos)

4. “Uma população tende aumentar
geometricamente se seu crescimento não
tem controle
A oferta de alimento aumenta somente
aritmeticamente
Porque a população aumenta mais
rapidamente do que a oferta de alimento,
o aumento da população causa miséria e
pobreza humana”
Malthus, 1798

5. A Teoria de Crescimento
Populacional de Malthus
Thomas Malthus publicou suas
idéias sobre o efeito da
população sobre a oferta de
alimento em 1758. argumento
está baseado em dois princípios:
A população cresce a uma taxa
geométrica (1, 2, 4, 16, 32, ...).
A produção de alimentos cresce a
uma taxa aritmética (1, 2, 3,
4,...).

6. A Teoria de Crescimento
Populacional de Malthus
A conseqüência desses dois princípios é que eventualmente
a população excede a capacidade da agricultura para
prover subsistência para os novos membros da
população. A população aumentaria até alcançar um
limite de crescimento. O crescimento futuro seria
limitado quando:
– Controles preventivos – retarda do casamento (redução da taxa
de fertilidade), aumento do custo de alimento, etc.
– Controles positivos - inanição, guerras, doenças, aumentariam a
taxa de mortalidade.
As idéias de Malthus tem apoio nos governos
ocidentais porque destaca o problema de muitas
pessoas para se alimentar em vez da distribuição
desproporcional dos recursos;

7. Postulados do modelo Malthusiano:
O alimento é necessário à subsistência do
homem;
A paixão entre os sexos é necessária e
deverá permanecer aproximadamente em
seu estado permanente;
Malthus afirma que a capacidade do homem
de se reproduzir é muito maior que a
capacidade do planeta de produzir meios
para sua subsistência.

8. A Teoria de Crescimento
Populacional de Malthus
A população cresce
exponencialmente….
De população excede a
capacidade de suporte…
A população sofre uma
retro-alimentação negativa–
controles preventivos ou
positivos

9. Crescimento Aritmético
Imagine uma espécie na qual todos os
nascimentos acontecem de uma vez
(natalidade).
Todas as mortes ocorrem no intervalo
antes dos nascimentos (mortalidade).
No mesmo intervalo, indivíduos podem sair
da população por emigração, e entrar por
imigração.
Isso é o crescimento aritmético
Algumas espécies exibem esse tipo de
crescimento, como pastos e gafanhotos.

10. Crescimento Aritmético
Crescimento Populacional
60
50
40
números
30
20
10
0
0 2 4 6 8 10 12
tempo

11. Crescimento Linear
Crescimento Populacional
dn/dt = c 60
Onde c é o número de 50
indivíduos adicionados
em cada unidade 40
de tempo
números
30
A forma integrada
20
Nt = ct + N0 10
0
0 2 4 6 8 10 12
tempo

12. Premissas do crescimento
linear
Número constante de indivíduos ou
objetos adicionados a cada unidade de
tempo
O número adicionada não é proporcional ao
tamanho populacional

13. Dois Modelos de Crescimento 13
Populacional Explosivo
Devido as diferencias nas historias vitais
entre as espécies, existe uma
necessidade para dois modelos
diferentes (expressões matemáticas)
de crescimento populacional:
– Crescimento exponencial: apropriado
quando indivíduos jovens são adicionados
continuamente a população
– Crescimento geométrico: apropriado
quando indivíduos jovens são adicionados a
população a um tempo particular do ano ou
em outro intervalo discreto de tempo

14. Populações crescem pela 14
multiplicação.
Uma população aumenta em proporção a seu
tamanho, de forma análoga a taxa de
interesse da poupança sobre o principal:
– A uma taxa anual de aumento de 10%:
uma população de 100 adiciona 10
indivíduos em 1 ano
uma população de 1000 adiciona 100
indivíduos em 1 ano
– Permite crescer sem controle, um
crescimento de taxa constante que
rapidamente aproximaria a infinidade

15. Crescimento Geométrica
Aumento populacional
– Porcentagem fixa do tamanho populacional
ao começo do período
Exemplo de crescimento exponencial é o
crescimento geométrico -
– Crescimento por dobrar a população
– Porcentagem fixa é 200%

16. Crescimento Geométrico de uma
folha de papel
Número de dobras Espessura
–1 0.020 cm
–2 0.040 cm
–3 0.080 cm
–4 0.160 cm
–5 0.320 cm
–6 0.640 cm
–7 1.280 cm
–8 1.540 cm

17. Crescimento Geométrico de uma
Folha de Papel
Número de dobras Espessura
12 3.175 cm
20 0.381 m
35 4828 km
42 617988 km
(chega a Lua)
50 149668992 km
(chega a Sol)

18. Began at 4 yrs Began at 6 yrs

19. Crescimento Geométrica
Contagem de indivíduos - Densidade populacional
Reprodução de séries temporais - Censos populacionais
MODELAGEM: Determinar os PROCESSOS que influenciam a VARIAÇÃO
do número de indivíduos entre dois instantes de tempo consecutivos
Gerações separadas
Tempo discreto
Semelparidade
Iteroparidade sazonal

20. Crescimento Geométrico:
Indivíduos adicionados uma vez por ano
(reprodução sazonal)
Usa equações de diferencia
Pressupõe nenhuma taxa específica a idade
para natalidade ou mortalidade

21. Crescimento Geométrico (modelo discreto)
•Se uma população aumenta ou diminua a cada ano por
uma proporção constante (z)
•Se a população aumenta por 25% entre anos, então z = 0.25.
Nt + 1 = Nt + zNt
Nt + 1 = (1 + z) Nt
Se 1 + z = λ.  é a taxa finita de aumento.
**** Nt + 1 = λ Nt ****
•Se λ = 1.25, então a população aumenta 25% por ano

22. Crescimento Geométrico
Crescimento geométrico
Muitas vezes é útil examinar o
crescimento populacional em períodos
curtos de tempo.
O crescimento exponencial analisa a taxa
de crescimento durante um período
comprido de tempo.

23. O crescimento geométrico
compara unidades diferentes
de tempo.
Ao comparar uma “unidade” de tempo a
“unidade” de tempo anterior resulta numa
razão.
A letra grega “λ” representa essa razão.
Podemos usar essa razão para comparar duas
espécies:
– Veado campineiro (λ=1.05) e pardal (λ=1.02).

24. O crescimento geométrico
compara unidades diferentes
de tempo.
Quando você compara uma “unidade” de tempo à
“unidade” anterior do tempo você obtêm uma
razão.
Lambda grega “λ” representa essa razão.
Pode usar essa representação para comparar
duas espécies:
– Saúva limão (λ=1.05) e saúva mata pasto (λ=1.02).

25. Crescimento Geométrico
O crescimento geométrico discreto se
caracteriza por mudanças durante um período
fixo de tempo . Como exemplo, a equação
Nt= Nt-1G
É a equação do crescimento populacional
discreto porque o número num tempo dado
(t) se calcula do número presente numa
unidade temporal discreta anterior (t-1).

26. Crescimento Geométrico
G é a taxa anual de crescimento. G = 1+ B -D é a
taxa finita per capita de mudança, e B e D são as
taxas per capita de natalidade e mortalidade,
respectivamente. Essa equação é uma equação de
diferenças porque o crescimento se calcula pela
diferença entre as densidades populacionais em
dois pontos no tempo. A equação pode ser
resolvida para qualquer período de tempo sob a
condição de que G é constante;
N t= N 0 G t

27. Crescimento Geométrico
A equação do crescimento geométrico é:
G = N
G = taxa de crescimento da população
= taxa de mudança finita da população
N = tamanho populacional

28. Crescimento Geométrico
A população aumenta por um fator
constante a cada geração
Decore:
– G = N
Exemplo: bactéria dobrando
– Aumento pelo fator de dois a cada geração

29. O jogo de xadrez do Rei
§ A curva de crescimento de forma de J
descrita pela equação G = N, é típica
do crescimento geométrico
l G = a taxa de crescimento populacional
l  = taxa de mudança finita da população
l N = o tamanho populacional

30. Crescimento Geométrico
G = N
G = taxa de mudança finita da população
= -18.1% ou - 0.181
N = 86,500
G = - 0.181
(86,500) =
70,844 peixes

31. Como fica o modelo
nesses casos?
Se xn é a quantidade de interesse após n
intervalos de tempo.
Um modelo discreto será a regra, ou conjunto
de regras, que descreve como xn muda
entre os intervalos de tempo.
O modelo descreve como xn+1 depende de xn
(e tal vez de xn-1, xn-2, …).

32. Como fica o modelo
nesses casos?
Em geral: xn+1 = f(xn, xn-1, xn-2, …)
Somente examinaremos:
xn+1 = f(xn)

33. Iteração de Modelos
Discretos
Dado uma equação de diferenças e uma condição
inicial, x0, podemos calcular os iterações x1, x2
…, dessa forma:
x1 = f(x0)
Dado a equaçãoxdiscreta xn+1 = f(xn)
2 = f(x1)
podemos fazer = f(x2)
x3 previsões sobre as
características das
.
. iterações?
.

34. Um paradigma de
modelagem
O valor futuro = Valor atual + Mudança
xn+1 = xn + G xn
Meta da modelagem é encontrar uma
aproximação razoável para G xn que
reproduz um conjunto de dados ou um
fenômeno observado.

35. Exemplo: Crescimento de
Leveduras
Dados de um experimento medindo o crescimento de uma
cultura de leveduras:
Tempo (horas) biomassa mudança de biomassa
n xn Gpn = xn+1 - Gxn
0 9.6 8.7
1 18.3 10.7
2 29.0 18.2
3 47.2 23.9
4 71.1 48.0
5 119.1 55.5
6 174.6 82.7
7 257.3

36. Mudança na População é
Proporcional a População
Mudança da biomassa versus biomassa
Dxn
Change in biomass
100
50
xn
50 100 150 200
Biomass

37. Mudança na População é
Proporcional a População
Qual é o tangente que melhor ajusta os dados?
Mudança da biomassa
Dxn Dxn = xn+1 - xn ~ 0.5xn
100
50
xn
50 100 150 200
Biomassa

38. O Modelo
Do gráfico podemos estimar que
Gxn = xn+1 - xn ~ 0.5xn
E obtemos
xn+1 = xn + 0.5xn = 1.5xn
O modelo: xn+1 = 1.5xn

39. A Solução
A solução encontrada pela substituição:
xn+1 = 1.5(1.5xn-1)
= 1.5[1.5(1.5xn-2)]
= … = (1.5)n+1 x0
Solução: xn = (1.5)nx0
Esse modelo prevê que aumentará para
sempre --- crescimento explosivo.

40. Exemplo: Crescimento de Leveduras
Tempo (horas) Biomassa Mudança de biomassa
n xn Dxn = xn+1 - Dxn
0 9.6 8.7
1 18.3 10.7
2 29.0 18.2
3 47.2 23.9
4 71.1 48.0
5 119.1 55.5
6 174.6 82.7
7 257.3 93.4
8 350.7 90.3
9 441.0 72.3
10 513.3 46.4
11 559.7 35.1
12 594.8 34.6
13 629.4 11.5
14 640.8 10.3
15 651.1 4.8
16 655.9 3.7
17 659.6 2.2
18 661.8

41. Biomassa de levedura
aproxima um nível
populacional estável
Biomassa de levedura
700
100
5 10 15 20
Tempo em horas
The limiting yeast biomass is approximately 665.

42. Refinando O Modelo
O modelo original:
Gxn = 0.5xn xn+1 = 1.5xn
Observação dos dados: a mudança da biomassa
fica menor ao limitar mais os recursos, e
particularmente quando xn aproxima o valor de
665.
O modelo novo: Gxn = k(665- xn) xn
xn+1 = xn + k(665- xn) xn

43. Testando o Modelo
Nossa hipótese é Gxn = k(665-xn) xn ou seja a
mudança da biomassa é proporcional ao
produto (665-xn) xn com uma
proporcionalidade constante k.
Gráfico de Gxn versus (665-xn) xn para
verificar se existe uma proporcionalidade
razoável
Se existe, podemos usar o gráfico para
estimar k.

44. Testando o Modelo
Mudança da biomassa
100
10
50,000 100,000 150,000
(665 - xn) xn
Our hypothesis seems reasonable, and the constant of
Proportionality is k ~ 0.00082.

45. Comparando o Modelo
aos Dados
O modelo novo: xn+1 = xn + 0.00082(665-xn) xn
Biomassa de levedura
700 Experimento
Modelo
100
5 10 15 20
Tempo em horas

46. Crescimento Populacional
N = número de indivíduos na população
N(t) = N no tempo t
N(t + 1) = N no tempo t + 1
Δ N = N(t + 1) - N(t)
Mas, os padrões e direções de mudança de
populações dependem de taxas
demográficas

47. Crescimento Populacional
4 maneiras que uma população pode
mudar de tamanho (modeloo BIDE):
Aumentam tamanho populacional
–nascimentos (B)
–imigração (I) Diminuem o tamanho populacional
–mortes (D)
–emigração (E)
ΔN=B+I-D-E
As populações fechadas não tem
imigração ou emigração, então,
– I = 0 e E = 0, e
– Δ N = B – D

48. Dinâmica Populacional
Modelo de diferencia do crescimento
geométrico com uma quantidade finita
de tempo
∆N/ ∆t = taxa de ∆ = (bN - dN) = GN,
onde b = taxa finita de natalidade ou taxa per
capita de natalidade / unidade de tempo
G = b-d, GN = taxa finita de crescimento

49. Dinâmica Populacional
Por que importa?
– A dinâmica anterior pode nos informa sobre a dinâmica
atual e futura
Nt+1 = Nt + NoB + NoI - NoD - NoE
– Simples, mas …
– Modelos – Simplificações da Realidade
– são representações matemáticas de como as populações
mudam no tempo (dinâmica).
– São ideais
– Simples suficiente para ser interpretada e suficiente
complexos para serem reais
– Capturam as propriedades gerais
– ignoram a variação aleatória
– Lidando com a incerteza, com a meta de sua redução
Manejo adaptativo

50. Um dos padrões mais fundamentais de populações é sua
Abundancia no Tempo.
O crescimento ou declínio populacional depende dos processos demográficos de
Nascimentos, Imigração, Mortes e Emigração. (BIDE)
Esses processos demográficos dependem de interações ecológicas, como a
competição por recursos, predação, doenças e outras, e de detalhes da estrutura
populacional, como a proporção de fêmeas maduras e características da historia
vital como a idade da primeira reprodução, filhotes por ninhada, e outras.
Usamos modelos de crescimento populacional para descrever os padrões passados
e prever padrões futuros.
Começamos com a fissão binária simples de bacteria.

51. Crescimento geométrico
Começamos com 1 bactéria
no tempo t = 0: N0 = 1,
e a cada unidade de tempo a
bactéria sofre fissão binária
e o número de bactéria dobra.
Então
N0 = 1
2 N0 = N1 = 2 = 2 1
2 N1 = N2 = 4 = 2 2
2 N 2 = N3 = 8 = 2 3
… 2 Nt-1 = Nt = N0 2t …
Exemplo, 1 unidade de tempo = 20 minutos; 36 horas = 108 unidades de tempo,
e N108 = 12108 = suficiente para cobrir a Terra!
A taxa de crescimento geométrica por unidade de tempo é  = ( Nt / Nt-1 ).
Exemplo de bactéria,  = 2 por 20 minutos. = 20min
Qual seria  per hora? hr = 2(60/20) = 23 = 8 por hora
Qual seria  por minuto? min = 2(1/20) = 20.05 = 1.035 por minuto

52. MODELAGEM DA VARIAÇÃO DO NÚMERO DE INDIVÍDUOS DE UMA POPULAÇÃO
Variação do número
de indivíduos de uma
Número de Número Número Número de
população entre dois
=
- -
nascimentos de mortes + de imigrantes emigrantes
instantes de tempo
(B) (D) (I) (E)
consecutivos
I B D E
D
P = B +I-D-E População aberta
População fechada I=0eE=0
I B D E
D
P = B -D

53. GERAÇÕES SEPARADAS
DINÂMICA INDEPENDENTE DA DENSIDADE
Fração média de sobrevivência Fração média de sobrevivência
1000 ovos no de ovos para larva =0,92 920 de larva para pupa =0,25 230
início do ano t larvas pupas
Fração média de
sobrevivência
de pupa para
adulto =0,20
Fim do ano t
Mortalidade
Início do Início do ano t+1
ano t
46
1000 ovos X 0,92=920 larvas adultos
920 larvas X 0,25 =230 pupas
Fecundidade média de 100
230 pupas X 0,2 = 46 adultos ovos por adulto
Combinando-se as frações de sobrevivência:
0,92 X 0,25 X 0,2 = 0,046
fração de sobrevivência total média 4600
ovos
1000 x 0,046 x 100 = 4600

54. UM MODELO DE DINÂMICA POPULACIONAL INDEPENDENTE
DA DENSIDADE
Et 1  R Et
Número de ovos Sobrevivência total Número de ovos
no início do ano t+1 média de ovos para no início do ano t
adultos vezes a
fecundidade
Após T períodos
ET  RT E0
Número de ovos
Número de ovos iniciais
após T períodos
Dinâmicas possíveis ??

55. 60
50 R 1
POPULAÇÃO
40
30
20
10
0
0 2 4 6 8 10
TEMPO
CRESCIMENTO ILIMITADO

56. 200
180
160
R 1
POPULAÇÃO 140
120
100
80
60
40
20
0
0 2 4 6
TEMPO
EXTINÇÃO
DECRESCIMENTO EXPONENCIAL

57. Premissas
Nenhuma imigração ou emigração
– Mudaremos isso depois
Taxa constante de natalidade e
mortalidade
– Nenhuma especificidade de sexo, tempo,
ou espaço
A taxa de mudança é independente da
abundancia
O crescimento ocorre em passos
discretos

58. Modelo Geométrico de
Populações
Ingredientes
– Lambda () = taxa de mudança finita da
população (aumento ou diminuição)
A mudança proporcional de abundancia
durante um intervalo de tempo
=  

59. Taxa Finita de aumento
Nt + 1 = λ Nt
λ= Nt + 1/Nt Razão sem dimensão,
sem unidades
•Por exemplo, se o tamanho populacional de lobos guarás na área
de estudo é 150 esse ano e o tamanho populacional é 200 no ano
seguinte, então  é igual a 1.33
(200/150).
•Se λ = 1.33, então a população aumenta 33% por unidade de
tempo (ano)
λ > 1, aumento exponencial
λ = 1, sem mudança — população estacionária
λ < 1, declínio exponencial

60. Crescimento Geométrico:
N(t) = N(0)λt
Intervalos múltiplos de
tempo.
N(t+1) = N(t) λ
Demonstra o
crescimento num
intervalo de tempo.

61. Mudança Exponencial
Em cada passo muda por um fator
constante
– Multiplicar pelo constante (geométrico)
Não é a mudança aritmética – mudança por
uma diferencia constante (adicionar um valor
constante)
Nt+1 = Nt  (exemplo: 2011 a 2012)
Nt+2 = Nt  
Nt+2 = Nt 2
Nt+2/ Nt = 2 ….  = raiz quadrado de
(2) ou a raiz t e não /2

62. Crescimento Geométrico de Populações
Equação: N(t + 1) = N(t)λ
λ = taxa geométrica de crescimento =
N (t  1)
N (t )
Isso e a mudança proporcional da
população
– se λ = 1.5, a população aumentará em 50%
– se λ = 0.5, a população diminuirá em 50%

63. No
Mudança Exponencial de Gado
= 1.44 ; N1 = 10
Ano Abundância

64. 1/N(dN/dtv)
dN/dtv
Abundância Abundância

65. Tamanho da População (adultos)
Ano
 = 1.04

66. Representação Gráfica da
Mudança Exponencial de
No = 10 e  = 1.2
Abundância (N)
Ln(N)
Tempo > Tempo >

67. Como interpretar ?
 = 1.00, abundancia é constante
 > 1.00, abundancia aumenta
– Taxa = ( - 1.0)*100%
 < 1.00, abundancia diminua
– Taxa = ( - 1.0)*100%

68. Crescimento Geométrico:
N >1eg>0
N0  =1eg=0
<1eg<0
tempo

69. Como prever o tamanho populacional no futuro?
Por exemplo, quantos serão em dois anos?
Nt + 2 = λ Nt + 1
Nt + 1 = λ N t
Nt + 2 = λλ Nt
Nt + 2 = λ2 Nt
Nt = λt N0 Onde N0 é o tamanho inicial da
população.
Exemplo: N0 = 100, λ = 1.15, t = 10 anos
N10 = (1.1510)100 = 405 indivíduos

70. Crescimento Geométrico de 70
Populações
O crescimento geométrico resulta em
padrões sazonais de aumento e
decremento.
A equação que descreve esse padrão de
crescimento é:
N(t + 1) = N(t)
onde: N(t + 1) = número de indivíduos após de uma
unidade de tempo
N(t) = tamanho populacional inicial
 = razão da população a qualquer tempo a
uma unidade de tempo anterior, de forma que
λ = N(t + 1)/N(t)

71. Modelo de projeção do crescimento
geométrico (para prever o tamanho
populacional futuro)
Nt+1 = Nt + GNt
= (1 + G)Nt
Se  (lambda) = (1 + G), então
Nt+1 =  Nt
 = Nt+1/Nt
∆ proporcional diferente do a ∆ finito
como anterior
Taxa proporcional de ∆/tempo
 = taxa finita de aumento, proporcional
/unidade de tempo

72. Crescimento Geométrico de 72
Populações
Para calcular o crescimento de uma população
sobre muitos intervalos de tempo, N(t),
multiplicamos o tamanho original da população,
N(0), pela taxa de crescimento geométrico ()
pelo número apropriado de intervalos de tempo
t:
N(t) = N(0)  t
Para uma população que cresce a uma taxa
geométrica de 50% por ano ( = 1.50), uma
população inicial de N(0) = 100 cresceria à
N(10) = N(0)  10 = 5.767 em 10 anos.

73. Crescimento geométrico em vários
intervalos do tempo:
N1 =  N0
N2 =  N1 = ·  · N0
N3 =  N2 = ·  ·  · N0
N t =  t N0
As populações crescem por multiplicação
em vez de adição (como taxas de juros
compostos)
Se conhecemos  e N0, podemos resolver
para Nt.

74. Exemplo do crescimento geométrico
(Nt =  t N 0)
Se  =1.12 (12% / unidades de tempo) N0 = 100
N1 = (1.12) 100 112
N2 = (1.12 x 1.12) 100 125
N3 = (1.12 x 1.12 x 1.12) 100 140
N4 = (1.12 x 1.12 x 1.12 x 1.12) 100 157

75. N(t)=N(0)t
t é o tempo transcorrido em
gerações
prova:
N(t)=N(t-1)
N(t)= * l N(t-2)
N(t)= *  *  N(t-3) ….

76.  é um parâmetro do
crescimento aritmético e
descreve a quantidade de
crescimento populacional por
geração
N(t+1)/N(t) = 
¨ se  =1 a população é constante,
se  <1 a população decresce,
¨ se  >1 a população cresce

77. Crescimento Geométrico
Reprodução em pulsos e gerações
sucessivas se diferem em tamanho
por uma razão constante
Nt = N0λt
λ = Nt+1/Nt = taxa geométrica de
aumento
λ = Ro com reprodução em pulsos

78. Tempo de Dobrar
Em quanto tempo a população dobra?
Nt = λt N0
λt = Nt/N0
Se Nt/N0 = 2, o que é t?
λt = 2
t ln(λ) = ln(2)
t = ln(2)/ln(λ) t = ln(2)/r
(crescimento contínuo)

79. Observação: Akcakaya et al. usam ‘R’ em vez de λ para
a taxa finita de aumento em modelos discretos.
Nt = R t N0

80. Crescimento Geométrico
(ambiente constante)
Se novos recrutas chegam a taxa per capita positiva  por geração,
ou seja,
se f(N(t))=N(t) então
N(t+1)=( + )N(t).
Ou seja, N(t)= ( +)t N(0).
O número reprodutivo básico demográfico é
Rd=/(1-)
Rd, uma quantidade sem dimensões, representa o número médio de
descendentes produzidos por uma população pioneira pequena
(N(0)) durante a vida.
Rd>1 implica que a população invade a uma taxa geométrica.
Rd<1 resulta na extinção.

81. Dinâmica Transitória
A dinâmica transitória pode ser simulada
por um processo de iteração da equação
exponencial de previsão

82. Dinâmica Transitória
Quando os logaritmos da densidade
populacional são representado em
gráficos contra o tempo, existe uma
relação linear com a tendência igual a
taxa per capita de mudança, R. A
dinâmica transitória não é estável
porque a população não retorna a
densidade prévia, mas ou cresce para
atingir uma densidade nova ou declina
até a extinção.

83. Se R > 0 (ou os nascimentos são maiores
que as mortes), a população cresce
exponencialmente:

84. Se R > 0 (ou os nascimentos são maiores
que as mortes), a população cresce
geometricamente:

85. Se R < 0 (ou natalidade menor que
mortalidade), a população diminua
geometricamente aproximando o zero, ou
se extingue:

86. Se R < 0 (ou natalidade menor que
mortalidade), a população diminua
geometricamente aproximando o zero, ou
se extingue:

87. Dinâmica Transitória
Pode existir uma solução estável sob a
condição não provável de que R = 0 (ou a
mortalidade é exatamente igual que a
natalidade), causando a população a ficar
em equilíbrio (sem mudança):

88. Problema
Uma população de
esperanças cresce
a uma taxa de
23% por ano.
No começo do ano
2011, a população
foi 144 indivíduos.
Qual seria a
população no
começo de 2021?
As gerações são discretas, ou não sobre-põem

89. Resposta
t=10 (10 anos são 10 gerações
para uma espécie anual).
N(t+1)/N(t)=
  =1.23 (1.23 é 1.00 mais 23%)
N(t)=N(0)t;
N(t)=144*(1.23)10=144*7.93
N(t)=1141

90. Problema
Uma espécie de aranha reproduz no fim de verão e
deixa somente ovos para sobreviver o inverno.
Uma população local da aranha aumentou de
5000 à 6000 num um ano.
1. Essa espécie tem gerações que sobrepõem?
Explique.
2. Qual seria as  para essa população?
3. Prevê o tamanho populacional após 3 anos.
4. Qual é uma premissa que precisa aceitar na
previsão do tamanho populacional futuro?

91. Quando usar modelos de
tempo discreto
Os modelos discretos descrevem
fenômenos ou eventos biológicos
considerando tempo em intervalos
fixos, ou discretos.

92. Quando usar modelos de
tempo discreto
Exemplos:
O tamanho de uma população de insetos no ano i;
A proporção de indivíduos numa população com um
gene particular na geração i;
O número de células numa cultura de bactéria no dia
i;
A concentração de um gás tóxico no pulmão depois
respirar i vezes;
A concentração de uma droga na sangue após a
dosagem i.

93. Outras Características de 
Não pode ser mudado por escalamento
/2 NÃO
Não pode ser somado
– Geométrico
As vezes representada como R
– R = ( - 1)