Pressentación proyecto aula

Guaranda,
2016
Ing. Alexandra
Arguello
PROYECTO AULA
«La confianza en sí
mismo es el primer
secreto de éxito»
Ralph Waldo Emerson
+.+.+....…
LA META

¿Quién Soy Yo?
Alexandra Maribel Arguello P.
Ser humano, Educadora
(Títulos obtenidos en la Universidad de la vida)
La asignatura que les voy a impartir es: Matemática financiera I

¿CUÁLES SON LAS EXPECTATIVAS CON
RESPECTO AL TRATAMIENTO DE LA
ASIGNATURA ?
InquietudesExpectativas

¿PARA QUE SIRVE EL SILABO DE LA
ASIGNATURA?
El programa de la asignatura es un medio curricular o herramienta de 8
a 10 paginas, en el están sistematizados los contenidos que se van a
tratar en el ciclo, tratamiento con el que se generaran conocimientos .
Un programa de una asignatura sirve como:
Carta de presentación ante los estudiantes
Carta de presentación ante Autoridades y Organismos
de la Universidad
Método para concertar ideas de los contenidos de la
asignatura
Herramientas para comparar resultados con los
planteados, tomar medidas correctivas
Para discutir conceptos, aportar ideas y generar conocimientos
significativas

¿POR QUÉ ESCRIBIR EL PLAN DE LA ASIGNATURA?
UN PLAN ES
LA LLAVE
DEL ÉXITO
DEL
DOCENTE
Los docentes se COMPROMETEN
El gobierno lo REQUIERE
Las autoridades gubernamentales lo DESEAN
Los profesionales lo SUGIEREN
Los estudiantes lo VALORAN
Las autoridades universitarias lo NECESITAN
Los especialistas lo RECOMIENDAN
La razón EXIGE

ANTES DE EMPEZAR ANALICEMOS
¿Qué SIGNIIFICA ser visionario?
Ing. Alexandra A.c

EMPECEMOS - EJERCICIO DE LOS 5 POR QUES
Individualmente, escriba lo que usted quiere ser en el GRUPO y posterior hace la
pregunta ¿Por que? 5 veces
Ejemplo Individualmente, escriba lo que usted quiere ser en el GRUPO y
posterior hace la pregunta ¿Por que? 5 veces
¿Por qué) Por que existe la oportunidad de formarme y me
apasiona el tema
¿Por qué? Por que cuando recibimos información de
conocimientos podemos ser parte de una sociedad
humanista
¿Por qué? Por que quiero conocer los cambios históricos de la
generación de conocimientos que han mejorado la
educación
¿Por qué? Por que hoy la sociedad piensa en la rentabilidad
descuidando la solidaridad
¿Por qué? Por que hace falta una conciencia para conectarnos
entre la naturaleza y el ser humano
Hacer grupos de 3 personas y presentarse de esta manera: Hola, soy Dolly
Montesuma, mi compromiso es x---- Los otros dan retroalimentación
Ejemplo Hola, soy Alberto Bravo, mi compromiso es generar conciencia entre
la naturaleza y el ser humano
1
2
3

EL TRIUNFADOR
“El mayor obstáculo a vencer para alcanzar el éxito,
es uno mismo” Jefferson Pérez. Tricampeón Olímpico
ecuatoriano
El emprendedor no solo necesita una excelente idea
que sea viable, sino también que le apasione, ya que
esa pasión le ayudará a llevar adelante las tareas
que se proponga.
La riqueza es creada cuando esas innovaciones
resultan en:
Nueva Demanda.
Nuevos Conocimientos
Nuevos Métodos
Nuevos beneficiarios
Nuevas formas de organización

¡EMPECEMOS¡
Ing. Alexandra A.

INTRODUCCIÓN
¿Por qué nos interesa aprender
matemática financiera?
Útil, y divertida
Útil
-Sirve en el ámbito profesional
-Las empresas tienen
problemas financieros ámbito
privado
-Finanzas personales
Divertida
Porque cada hora que usted
invierta en aprender
matemática financiera
resolverá problemas de la vida
real.
Aranzábal, J. M. (2008). Curso de Matemática Financiera. India: Gopsons Papers Ltd.
Ing. Alexandra A.

Dinero
•En la economía moderna
existe, parafraseando a
Quevedo, un poderoso
caballero llamado Don
dinero (Aranzábal, 2008).
Test de Matemática
Financiera
Ing. Alexandra A.

Operación Financiera .- «Es un intercambio temporal de
capitales» (Aranzábal, 2008).
Capital Financiero.-Es el valor económico de un bien en
un momento en el que tiene disponible.
Matemática Financiera.- «Sirve para valorar, mover el
dinero en el tiempo» (Aranzábal, 2008).En conclusión la
matemática financiera es aquella que valora el dinero
durante la operación.
Ing. Alexandra A.

Prestación.-
Capitales que
constituyen el
origen de la
operación
Contraprestaci
ón.-Capitales
entregados a
cambio de
prestación
Ley financiera.-
modelo que se
va emplear
para mover el
dinero ,
fórmulas
Tiempo.-
duración que
tarda la
operación
Elementos de una operación financiera
Aranzábal, J. M. (2008). Curso de Matemática Financiera. India: Gopsons Papers Ltd.
Ing. Alexandra A.

CONDUCTA DE ENTRADA
Ing. Alexandra A.

PORCENTAJETantoporciento
Proporcionalidad
que se establece
en relación con
cada cien
unidades .
Consiste en
relacionar una
cantidad con
respecto a 100 y
se expresa:
Símbolo
%
Fracción de
un número
1%=
1
100
=
0.01
Armando Zambrano .
Matemática financieraIng. Alexandra A.

¿CÓMO HACER LA CONVERSIÓN?
Porcentaje a
Decimal
Decimal a
Porcentaje
Fracción a
Porcentaje
Tanto por ciento
fraccionario
96% =
96
100
= 0.96
2.6% =
2.6
100
= 0.026
0.5% =
0.5
100
= 0.005
0.87
0.87 × 100
= 87%
0.046
0.046 × 100
= 4.6%
3
7
= 0.4
0.4 × 100 = 40
14
26
= 0.53
0.53𝑥100% = 53
1
1
8
% = 1,125%
=
1,125
100
= 0,01125
Tapia, Y. O. (s.f.). Matemática Financiera.Ing. Alexandra A.

EJERCICIOS EN CLASE
Porcentaje a
Decimal
Decimal a
Porcentaje
Fracción a
Porcentaje
Fracción
porcentaje
1. 9%
2. 55%
3. 0.7%
4. 124%
1. 0.436
2. 0.003
3. 0.02
4. 3.6
1.
8
9
2.
6
7
3.
1
4
4.
5
2
𝟏. 1
1
9
% =
2. 10
2
16 % =
3. 11
2
8 % =
4. 9
5
16 % =

¿CÓMO CALCULAR PORCENTAJES?
• Se trata de encontrar el valor
resultante en este caso se utiliza
la regla de tres simple o se
multiplica directamente la
cantidad por el porcentaje
expresado en forma decimal
Dado un
porcentaje
respecto de
una cantidad
•
• Se dan en los siguientes casos:
• El descuento por compra al contado
• El descuento por compra al contado con
la aplicación de impuestos.
• Cálculo de porcentaje del precio de
costo
• Cálculo del porcentaje sobre el precio de
venta
Aplicaciones
Armando Zambrano .

EJEMPLOS
B es el P% de S
Donde :
B: Tanto por ciento de la cantidad total
P:Porcentaje
S:Cantidad Total
1.-Determine el 19% de 250
B=?
P=19%
S=250
Solución: La palabra «de» significa multiplicación
19
100
x 250 = 47.5 ⟹ 47.5 𝑒𝑠 𝑒𝑙 19% 𝑑𝑒 250
0.19𝑥250 = 47.5
Tapia, Y. O. (s.f.). Matemática Financiera.
Ing. Alexandra A.

2.-¿Qué porcentaje de 600 es 75?
Solución: La palabra «es» significa «igualdad»
𝑥
100
600 = 75 B= 75 P=? S= 600
600𝑥
100
= 75
600𝑥 = 7500
𝑥 =
7500
600
𝑥 = 𝟏𝟐. 𝟓% 75 es el 12.5% de 600
3.- ¿38 es el 5% de qué número?
Solución:
5
100
x = 38
0.05𝑥 = 38
𝑥 =
38
0.05
= 𝟕𝟔𝟎
Tapia, Y. O. (s.f.). Matemática Financiera.
Ing. Alexandra A.

TRABAJO EN CASA
1.-En una encuesta a 900
estudiantes de bachillerato
sobre sus pasatiempos
favoritos se obtuvo la
siguiente información:
a) ¿Cuántos prefieren
películas?
b) ¿Cuántos prefieren
internet?
c) ¿Cuántos prefieren
escritura.

2.- Exprese en porcentaje las partes sombreadas de la figuras :
3.-El total de puntos de un examen de matemática es 80 .Para contestar
correctamente el 75% del examen. ¿Cuántos puntos debe haber obtenido?.
4. Realice las trasformaciones que se pide:

Porcentaje a
Decimal
Decimal a
Porcentaje
Fracción a
Porcentaje
Fracción a
porcentaje
1. 23%
2. 76%
3. 12%
4. 13%
5. 18%
6. 27%
7. 8%
8. 6%
9. 5%
10. 4%
1. 7,436
2. 5.233
3. 11,02
4. 3,6
5. 1,135
6. 4,56
7. 22,56
8. 0,076
9. 23,45
10. 9,5
1.
4
9
2.
5
7
3.
3
4
4.
7
2
5.
9
2
6.
17
2
7.
13
5
8.
15
9
9.
17
2
10.
7
5
𝟏. 3
1
9
% =
2. 13
2
16 % =
3. 15
2
8 % =
4. 𝟏9
5
16 % =
𝟓. 5
1
9
% =
𝟔. 7
2
16
% =
7. 17
2
8 % =
8. 𝟏9
5
14 % =

APLICACIONES
Las aplicaciones más comunes del porcentaje se dan en los siguientes casos:
a.- Descuento por compra al contado
Si queremos calcular el valor de una factura de venta de una cocina cuyo precio de
lista es de 345 sobre el cual se esta ofreciendo el 13% de descuento por venta al
contado, lo realizamos por dos métodos:
Primero método:
345 - 44.85=300.15
Segundo Método:
345(1-0.13)=300.15
b.-Descuento por compra al contado con aplicación de impuestos
Para calcular el valor de la factura de venta de una cocina cuyo precio de lista es de
$480, sobre el aval se ofrece el 15% de descuento por compra al contado y además
se le debe aplicar el 10% de impuestos a las ventas, el procedimiento es el
siguiente:
480 -72=408 +40.80= 448.80 Primer método
480(1-0.15)=408(1+0.10)=448.80 Segundo Método Armando Zambrano .
Matemática financiera
Ing. Alexandra A.

c.- Calculo de porcentaje del precio de costo
Un comerciante desea obtener una utilidad o beneficio del 20% sobre el
precio de costo de un producto que adquirió en $25000, calcular el precio
de venta :
Primer método
𝑃𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑛𝑡𝑎 = 𝑃𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜 + 𝑢𝑡𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑
𝑃𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑛𝑡𝑎 = 25000 + 25000 0,20
𝑃𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑛𝑡𝑎 = 25000 + 5000
𝑃𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑛𝑡𝑎 = $30000
Segundo método
𝑃𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑛𝑡𝑎 = 25000 1 + 0,20 = $30000
Porcentaje sobre el precio de costo
25000 = 100%
5000 = 𝑋
Porcentaje sobre el precio de venta
30000 = 100%
5000 = 𝑋

TALLER EN CLASE
1. Determine:
5% 𝑑𝑒 500
5
1
2
% de 800
7
1
8
% 𝑑𝑒 1000
2. ¿Qué porcentaje de
500 𝑒𝑠 25?
800 𝑒𝑠 44?
3. ¿De qué cantidad es
15 del 20%
80 del 0,5%

4. Una empresa ofrece a venta refrigeradores cuyo precio de lista es $650.000, con
un descuento de 12% por venta al contado y con el 5% de impuesto a las ventas.
a) Calcular el valor de la factura
b) Calcular el descuento efectivo

TRABAJO EN CASA
Determine:
11
1
16
% de 20.000
8
1
4
% de 25.000
50
1
2
% de 30.000
200% de 48.000
315
1
16
% de 200
0,5
1
8
% de 1.000.000
9
2
8
% de 10.000

2. ¿Qué porcentaje de
20.000 𝑒𝑠 2.212,50?
200 𝑒𝑠 500?
1000 𝑒𝑠 71,25?
0,25 𝑒𝑠 0,005?
3. ¿De qué cantidad es
820 el 11
1
16
%
1,15 el 2,5%
43.00 el 9
1
8
%
1,15 el 2,5%

4. Una distribuidora comercial ofrece en promoción cocinas cuyo precio de lista es
de $2000.000, con un descuento del 15
1
8
% por venta al contado pero aplica el 5%
de impuesto a las ventas sobre el precio de lista.
a) Calcular el valor de la factura
b) Calcular el descuento efectivo
c) El porcentaje real que se aplica al cliente
5. Un comerciante compra mercadería por un valor de $180.000, y la vende en
$270.000.
a) Calcular la utilidad
b) El porcentaje de ésta en relación con el precio de costo
c) El porcentaje en relación con el precio de venta
6.- Una empresa distribuidora de gas compra este producto a $20 el kilogramo y lo
vende con una utilidad del 25
1
2
% del precio de costo.Calcular el precio de venta del
kg de gas.

LOGARITMOS
De los logaritmos se
estudiara la parte que
tiene aplicación en la
resolución de problemas
de matemáticas
financieras
CÁLCULO DE n e i
El calculo de (1+i)n contiene dos variables n e
i, exige la aplicación de logaritmos, i significa
la tasa de interés, y n es el número de
periodos , dentro de la metodología de los
logaritmos es bueno explicar la esencia de
sus elementos, así: log 𝑎 𝑁 = 𝑥 ⟹ 𝑎 𝑥 donde:
a=base, N=número , x= solución
Ing. Alexandra A.

Logaritmo
log 𝑎 𝑁 = 𝑥
Logaritmo
de base a
De un
número
Natural
Es el
exponente
X
Al que se
eleva la
base
Villalobos, J. L. (2009). Matemáticas Financieras . México: Prentice Hall.
DEFINICIÓN
Ing. Alexandra A.

EJEMPLOS
Calcular utilizando la definición de logaritmo:
log2 64 + log2 1/4 − log3 9 − log2 2
1. Resolvemos cada termino aplicando la
definición:
log2 64 = 𝑋 ⇔ 2 𝑥 = 26 → 𝑥 = 6
log2 1/4=X ⇔ 2 𝑥
= 2−2
→ 𝑥 = −2
log3 9 = 𝑋 ⇔ 3 𝑥=32 → 𝑥 = 2
log2 2=X ⇔ 2 𝑥 = 21/2 → 𝑥 = 1/2
2.- Sustituimos los valores obtenidos y
resolvemos:
6 + −2 − 2 −
1
2
= 6 − 2 − 2 −
1
2
2 −
1
2
=
𝟑
𝟐
http://www.vadenumeros.es/primero/propiedades-de-los-logaritmos.htm

Entonces tenemos:
log10 100 = 2
PROPIEDADES DEL LOGARITMO
 El logaritmo de base de un número uno es igual a cero log10 1 = 0
 El logaritmo de base de un número de la misma base es igual a uno
log3 3 = 1
 El logaritmo de un producto de dos o más números positivos es igual a la
suma de los logaritmos de dichos números
log(A)(B)=logA +logB
 El logaritmo del cociente de dos números positivos es igual al logaritmo
del numerador menos el logaritmo del denominador
log(A)/(B)=logA – logB
 El logaritmo de una potencia de un número positivo es igual al producto
del logaritmo de un numero multiplicado por el exponente de la potencia.
𝑙𝑜𝑔𝐴 𝑛=nlogA
Armando Zambrano .

PROPIEDADES DEL LOGARITMO
 El cologaritmo de un numero es igual al logaritmo de su recíproco, se
expresa «colog».Se utiliza para calcular el logaritmo de un número
decimal menor que 1, o cuando el signo menos aparece delante de un
logaritmo.
TALLER EN CLASE
Aplique las PROPIEDADES DE LOS LOGARITMO:
1. log1023 1 =
2. log1023 1023 =
3. log3 5 + log3 6 =
4. log2 30 − log2 15 =
5. log3 𝑋5 =
6. 𝐴 =
𝑋𝑌𝑍
𝑇
=
7. 𝐵 = 𝑋 𝑌. 𝑍=
8. 𝐶 =
4𝜋𝑟3
3
=
Ing. Alexandra A.

CÁLCULO DE i Y n
Cálculo de i:
(1 + 𝑖) 𝑛
Contiene dos
variables i y n exige la
aplicación de
logaritmos
i=tasa de interés
n=número de
periodos
Aplicando logaritmos
vamos a determinar:
(1 + 𝑖)18
=3,379932
1.-Igualamos a logaritmo
los dos miembros.
2.- Aplicamos la
propiedad de logaritmo.
3.- luego resolvemos las
operaciones indicadas
4. Cuando tenemos ya
realizada las operaciones
del lado derecho
aplicamos el anti log.
Armando Zambrano .

SOLUCIÓN
Aplicando logaritmos
1 + 𝑖 18 = 3,379932
log 1 + 𝑖 18
= log3,379932
18 log 1 + 𝑖 = log 3,37993
Log 1 + 𝑖 =
3,379932
18
log 1 + 𝑖 =
0,528907962
18
log 1 + 𝑖 = 0,029383777
1 + 𝑖 = antilogaritmo0,29383777
1 + 𝑖 = 100,029383777
1 + 𝑖 = 1,06999998
𝑖 = 1,06999998-1
𝑖 = 0,07
𝑖 = 7%

Aplicando calculadora
1 + 𝑖 18/18
= 3,379932 1/18
𝑖 = 1,07 − 1
i= 0,07
i=7%

TALLER EN CLASE
Calcule i por los dos métodos :
1 + 𝑖 −20 = 0,214548

(1 + 0,07) 𝑛
=3,379932
1.-Aplicamos logaritmos a
los dos miembros .
2.- Aplicamos la propiedad
de logaritmos.
3.-Efectuamos las
operaciones.
Cálculo
de n
Armando Zambrano .

TALLER EN CLASE
1 + 0,017 𝑛
= 5,20

TRABAJO EN CASA
a. 1 + 𝑖 115 = 2,147109
b. 1 + 𝑖 70
= 3,99558
c. 1 + 𝑖 −75
= 0,042783
d. 3,24 + 1 + 𝑖 50 = 6,345242-1
e. 1 + 𝑖 35
= 28,666723
Determine i:
Calcule n:
a. 1 + 0,05 𝑛 = 63,254353
b. 1 + 0,0125 𝑛
= 2,107181
c. 1 + 0,09125 𝑛
= 158,345924
d. 1 + 0,081222 𝑛
= 0,0000841
e. 1 + 0,12125 𝑛 = 0,001041

PROGRESIONES O SUCESIONES
Sucesiones
Tienen múltiples
aplicaciones en
diversas áreas
como la
ingeniería
economía,
estadística.
Definición
Es un conjunto
ordenado de
números
llamados
términos.
𝑎 𝑛 en donde n
indica la
posición del
término.
𝑎1 ,𝑎2 ,..𝑎 𝑛
Ejemplo
Las ventas anuales de las
exportaciones de la
empresa Productos
salineros S.A es
de:6.80,7.25.8.30,8.60,9.7
0,
10.25, 12.45 millones de
dólares.
Ing. Alexandra A.

EJEMPLOS

TALLER EN CLASE
Encuentre los primeros cinco términos de la
sucesión dada por:
𝑎 𝑛=4𝑛+𝑛2
Suponiendo que los términos de una sucesión
están dados por la fórmula:
𝑎 𝑛=3𝑛+2
a.- Cuáles son los primeros cinco términos .
b. Que lugar ocupa el número 2177 en la sucesión.
c. Qué características observa en los términos de una
sucesión
Ing. Alexandra A.

TRABAJO EN CASA
1.- Obtenga los términos séptimo y vigésimo tercer término de las progresiones
dadas:
1. 𝑎 𝑛 = 5 − 𝑛
2. 𝑎 𝑛 = 2𝑛 −1
3. 𝑎 𝑛 = 1 +
𝑛
2
4. 𝑎 𝑛 = 2 +
1
𝑛
5. 𝑎 𝑛 = 𝑛 𝑛 − 3
6. 𝑎 𝑛 = 5
2.- ¿Qué término es el 180 en la progresión dada por :
𝑎 𝑛 = 5𝑛 −10

PROGRESIÓN ARITMÉTICA
Sucesión de números llamados términos, en la que
cualquier término posterior al primero puede obtenerse
del anterior, sumándole o restándole un número
constantes llamado diferencia común ( d)
4;8;12;16;20;……………………..
80;74;68;62;………………………
d=último termino – el anterior término
Fórmula : 𝑢 = 𝑎 + 𝑛 − 1 𝑑
U=último término
a=primer término
n=número de términos
d=Diferencia común
Ing. Alexandra A.

EJEMPLOS
1.-Los primeros términos de la progresión 𝑎 𝑛 = 5𝑛 + 1 son :
2.- Encuentre el vigésimo término de la progresión aritmética si se tiene:
115;112;109;106;…………………
TRABAJO EN CASA
Obtenga el término indicado en las progresiones aritméticas:
a. 1,-3……….el décimo
b. 4,1………..el vigésimo
c. −10, −5 … … … … . el octavo
d. 4,7…… el trigésimo
e. 100,80…….el noveno
f. -5,3……. El duodécimo
Ing. Alexandra A.

SUMA DE PROGRESIÓN ARITMÉTICA
Consiste en
sumar varios
términos de una
progresión
aritmética.
𝑆 =
𝑛
2
(𝑎 + 𝑢)
FÓRMULA
S=suma de progresión
Aritmética
a=primer término
u=último término
Ing. Alexandra A.

TAREA EN CASA
1.- Encontrar la suma de los treinta primeros términos de la
progresión aritmética: 15;21;27;33
𝑆 =
𝑛
2
(𝑎 + 𝑢) 𝑢 = 𝑎 + 𝑛 − 1 𝑑
2.- Se desea encontrar la suma de los 20 términos de la
serie aritmética : −8 + −4 … … … … … … …
3.- Por la compra de un equipo de computo, La señora
Martha paga al final del primer año $50.000, al del segundo
año $45.000; al final del tercer año $40.000.¿Cuánto
pagara por la maquinaría si hace 10 pagos?
Ing. Alexandra A.

TRABAJO EN CASA
Encuentre el término número 20 y la suma de los 20 primeros términos de las
progresiones:
a) 3;5;7;9……..
b) -75;-60-45……………….
c) 3;-1;-5……………………
d) -3;2;7;12…………………..
e) 0;-3;-6………………
f) O;1/2;1;11/2;………………
g) -2;-23/4;-32/4;……………………………….
h) Una persona se
compromete a pagar en
forma ascendente durante
36 meses una deuda por la
compra de un automóvil; el
primer pago es de $500; el
segundo de $510, el tercero
de $520 y así
sucesivamente. ¿Cuánto
habrá pagado en total
durante los 36 meses
Ing. Alexandra A.

PROGRESIÓN GEOMÉTRICA
Es una sucesión de números tales que cada uno de ello
se deduce del anterior multiplicándolo o dividiéndolo
por una cantidad constante llamada razón.
980; 490; 245; 122,5; 61,25; … … … …
3; 9; 27; 81; … … … … … … … … … . .
𝑢 = 𝑎𝑟 𝑛−1
u=último término
a=primer término
r=razón común
Ing. Alexandra A.

TALLER EN CLASE
1.-Encontrar el décimo término de una progresión
geométrica :
1000;1500;2250;3375………………………….
2.-Encuentre el cuarto término de la siguiente progresión
geométrica:
-3,2…………
Ing. Alexandra A.

SUMA DE LA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA
𝑆 1 − 𝑟 = 𝑎 − 𝑎𝑟 𝑛
𝑆 =
𝑎 − 𝑎𝑟 𝑛
1 − 𝑟
𝑠𝑒 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑟 < 1
𝑆 =
𝑎𝑟 𝑛
− 𝑎
𝑟 − 1
𝑠𝑒 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑟 > 1
Ing. Alexandra A.

TRABAJO EN CASA
Encuentre el décimo término y la suma de los 10 primeros términos de las
siguientes progresiones geométricas:
a) 2;4;8;16…..
b) 3;15;75………..
c) --2;--6;--18…………….
d) 1;3;9……….
e) --2;4;--8;16………
Ing. Alexandra A.

ECUACIONES
Ecuaciones de primer
grado
•Una ecuación es una
igualdad donde por
lo menos hay un
número
desconocido,
llamado incógnita o
variable.
Sistema de
ecuaciones
•A un conjunto de
ecuaciones
•Resolver un sistema
de ecuaciones
consiste en
encontrar los valores
desconocidos de las
variables que
satisfacen todas las
ecuaciones
Ecuaciones de
segundo grado
•Es una ecuación que
tiene la forma de
una suma algebraica
de términos cuyo
grado máximo es
dos, la expresión
canónica general de
una ecuación
cuadrática de una
variable es
• 𝑎𝑥2
+bx+ c=0, para
a≠0

EJEMPLOS
ECUACIONES 2 2𝑥 − 3 = 6 + 𝑥
3𝑥 − 4𝑦 = −6
2𝑥 + 4𝑦 = 16
5x2 + 9x + 4 = 0

TRABAJO EN CASA
1. Obtenga el término que se indica en las progresiones aritméticas dadas.
a) 1, 5,… el octavo
b) −20, 3,… el trigésimo
c) 5, −2,… el décimo primero
d ) 7, 7/3,… el vigésimo tercero
2.- Es el vigésimo séptimo término de la sucesión aritmética −3, 10,…
a) 179 b) 423 c) 255 d ) 335 e) Otra
3.- Un empleado deposita en una cuenta bancaria $250 la primera quincena,
$265 la segunda, y así sucesivamente incrementa sus depósitos en $15 cada
quincena. Sin considerar intereses,
determinar:
a) ¿Cuánto deposita la quincena número 27?
b) ¿En qué quincena deposita $955?
c) ¿Con cuántos depósitos logra acumular $12,670 en su cuenta?
d ) ¿Cuánto dinero tiene luego de 40 depósitos quincenales?

INTERÉS
«Es la cantidad pagada
por el uso del dinero
obtenido en préstamo o
la cantidad producida
por la inversión del
capital”(F.Ayres,1971)
«El dinero se invierte
siempre en forma
productiva; es decir
siempre está ganando
interés”
(L.Portus,1975)
El interés esta
directamente
relacionado con el
tiempo y la tasa de
interés.

DEFINICIÓN
Interés es el pago por el uso del dinero ajeno, se denota
con I.
Numéricamente hablando, los intereses son la diferencia entre 2 cantidades:
el capital y el monto.
Si al transcurrir el tiempo una cantidad de dinero, C, se incrementa hasta otra,
M, entonces el interés es I = M − C, donde C es el capital, y M el monto del
capital.
Dependiendo del caso y de las circunstancias, el capital también tiene el
nombre de principal, valor presente o valor actual. De igual manera, algunos
sinónimos del monto del capital son valor futuro, montante, valor acumulado o
simplemente monto.
Al número de días u otras unidades de tiempo que transcurren entre las fechas inicial y
final en una operación financiera se le llama plazo o tiempo.

EJEMPLO
Intereses, capital, monto
La licenciada Adriana invierte $4,000 y al término de un año recibe
$4,500 por su inversión.
El valor presente es C = $4,000, el monto es M = $4,500 y los intereses
son la diferencia de
M y C:
I = 4,500 − 4,000
I = $500

TASA DE INTERÉS
“Es la razón de interés devengado al capital en
la unidad de tiempo”(E.Ayers)
Conclusión: Esta dada como un porcentaje se
emplea en las operaciones . Se representa
con la letra i.

INTERÉS SIMPLE
Se denomina interés simple cuando un
capital genera interés por un determinado
tiempo.

FORMAS PARA CALCULAR EL INTERÉS
SIMPLE
El interés simple está en función directa de capital, la
tasa de interés y el tiempo. El interés simple se calcula
con la siguiente fórmula:
𝐼 = 𝑐. 𝑖. 𝑡
I=Interés simple
C=capital
t=tiempo
i= tasa de interés

EJEMPLO
El interés simple que gana un capital de $5000 al
12% anual, desde el 15 de marzo hasta el 15 de
agosto del mismo año. Para tal fin, lo primero que
tenemos que hacer es calcular el tiempo que
transcurre entre las dos fechas, tomando las dos
fechas extremas.

CÁLCULO DEL NÚMERO DE DÍAS
El número de días en el año también puede variar:
Año comercial: 360 días
Año calendario: 365 días
Año Bisiesto: 366 días

APROXIMADO
Forma Aproximada.- Se acostumbra poner el año 360
días, dividido en 12 meses de 30 días cada uno. Ejemplo:
Del 15 de marzo al 15 de agosto hay 150 días:
Meses Días
Marzo 15
Abril 30
Mayo 30
Junio 30
Julio 30
Agosto 15
TOTAL 150 días

EXACTO
Se toma como referencia el número de días de calendario es
decir, meses de 30 y 31 días, año de 365 0 366 días, según
corresponda.
Meses Días
Marzo 16
Abril 30
Mayo 31
Junio 30
Julio 31
Agosto 15
TOTAL 153 días

DATOS
C=$5000
i=12%=0,12
te=153
ta=150
a. Tiempo exacto año calendario
b. Tiempo exacto año comercial
c.-Tiempo aproximado año calendario
d.- Tiempo aproximado año comercial
𝑰 = 𝒄. 𝒊. 𝒕
𝐼 = 5000 ∗ 0.12 ∗
153
365
= $251,51
𝐼 = 5000 ∗ 0.12 ∗
153
360
= $255
𝐼 = 5000 ∗ 0.12 ∗
150
365
= $246,58
𝐼 = 5000 ∗ 0.12 ∗
150
360
= $250
Se puede observar que el mayor
interés se genera con el tiempo
exacto en el año comercial
VARIACIÓN DEL CÁLCULO DEL INTERÉS

TALLER EN CLASE
1.-Calcule el interés exacto y ordinario de un capital de $20.000 al
9% de interés anual, desde el 10 de abril hasta el 15 de
septiembre del mismo año.
2.- Calcule el interés que gana un capital de $7500 a una tasa de
interés del 12% anual durante 180 días, año calendario y
comercial.

TRABAJO EN CASA
1.- Calcule el interés que gana un capital de $10.000 a una tasa de
interés del 4.5% anual desde el 15 de junio hasta el 15 de diciembre
del mismo año, según las siguientes opciones y luego comente los
diferentes resultados: a)Con el tiempo aproximado y el año
comercial, c)con el tiempo aproximado y el año calendario , d) con el
tiempo exacto y el año calendario.
2.- Calcule el interés que gana un capital de $20500, a una tasa de
interés del 15% anual, desde el primero de marzo al primero de
septiembre del mismo año, siguiendo los cuatro métodos.

VARIACIÓN DE LA TASA DE INTERÉS EN
FUNCIÓN DEL TIEMPO
Se refiere a las tasas más
empleadas de acuerdo al tiempo.
anual
semestral
trimestral,
cuatrimestral
Quimestral
bimestral
mensual

EJEMPLOS
1.- Tasa de interés anual.- se utiliza para el tiempo exacto o aproximado:365 o
360 días, respectivamente:
Ejemplo .- Calcular el interés que gana un capital de $100.000 al 12% de
interés anual durante 180 días.
Solución:
Datos
c=100000
i=12% =0,12
I=?
t=180
𝐼 = 𝑐. 𝑖. 𝑡
𝐼 = (100.000)(0,12)
180
360
I=$6000

2.- Tasa de interés semestral.-se utiliza para el tiempo de 180, 181,182
días del semestre.
Ejemplo .- Calcular el interés que gana un capital de $100000 al 6% de
interés semestral durante 180 días:
Solución:
Datos
c=100000
i=6% =0,06
I=?
t=180
𝐼 = 𝑐. 𝑖. 𝑡
𝐼 = (100.000)(0,06)
180
180
I=$6000

3.- Tasa de interés trimestral.- se utiliza para el tiempo de 90, 91,o 92 días
Ejemplo .- Calcular el interés que gana un capital de $100000 al 3% de
interés trimestral durante 180 días:
Datos
c=100000
i=3% =0,03
I=?
t=180
𝐼 = 𝑐. 𝑖. 𝑡
𝐼 = (100.000)(0,03)
180
90
I=$6000

4.-tasa de interés mensual.- Se utiliza para el tiempo de 30, 0 31 días del mes
.
Ejemplo.- Calcular el interés que gana un capital de $100.000 al 1% de
interés mensual durante 180 días.
Datos
c=100.000
i=1% =0,01
I=?
t=180
𝐼 = 𝑐. 𝑖. 𝑡
𝐼 = (100.000)(0,01)
180
30
I=$6000

4.-tasa de interés diaria.- Se utiliza directamente.
Ejemplo.- Calcular el interés que gana un capital de $100.000 al 0,033333% de
interés mensual durante 180 días.
Datos
c=100.000
i=0,033333% =0,000333
I=?
t=180
𝐼 = 𝑐. 𝑖. 𝑡
𝐼 = (100.000)(0,000333)(180)
I=$5999,94

CONCLUSIÓN
La tasa de interés siempre debe estar en
relación con el tiempo; generalmente, si la tasa
es anual, el tiempo estará dividido en 360 días;
si es semestral, 180 días; si es trimestral, 90
días; cuatrimestral 120 días, bimestral 60 días,
si es mensual, 30 días.

CÁLCULO: DEL CAPITAL, DE LA TASA DE INTERÉS, DEL TIEMPO, DEL MON TO A
INTERÉS SIMPLE. CALCULO DEL MONTO A INTERÉS SIMPLE. GRÁFICA DE
TIEMPOS Y VALORES
Para el cálculo del capital se toma como base la fórmula del interés simple.
𝐼 = 𝑐. 𝑖. 𝑡
𝑐. 𝑖. 𝑡 = 𝐼
𝑐. 𝑖 =
𝐼
𝑡
CÁLCULO DEL CAPITAL
Fórmula .cálculo del capital, cuando la tasa es anual y el tiempo
en años
Fórmula . Cálculo del capital cuando la tasa es anual y el
tiempo en días.

Fórmula . Cálculo del capital cuando la tasa es semestral y el
tiempo en días.
Fórmula . Cálculo del capital cuando la tasa es trimestral y el
tiempo en días.
Fórmula . Cálculo del capital cuando la tasa es mensual y el
tiempo en días.

Fórmula . Cálculo del capital cuando la tasa es diaria y el
tiempo en días.
Ejemplo: Calcule el capital producido a un interés de $18000 a una tasa de
interés del 20% anual en 180 días.
Datos:
c=?
i=20 %=0,20 anual
t=180 días

TALLER
1.- Calcule el capital de $3250 a una tasa de
interés del 12% anual en cinco años
interés de 14% semestral desde el 15 de
mayo al 7 julio.
3.- Determine el capital de un interés de
$4560 a una tasa del 13% trimestral desde
el 18 de febrero al 18 de junio.

TRABAJO EN CASA
interés del 12% diaria en cinco años
interés de 14% bimestral desde el 24 de abril
al 7 agosto , tiempo exacto y tiempo
aproximado.
3.- Determine el capital de un interés de
$4560 a una tasa del 11% mensual desde el
18 de marzo al 18 de junio, tiempo exacto y
aproximado.

CÁLCULO DE LA TASA DE INTERÉS
Para el cálculo de tasa de interés se toma como base la fórmula del
interés simple.
𝐼 = 𝑐. 𝑖. 𝑡
𝑐. 𝑖. 𝑡 = 𝐼
𝑐. 𝑖 =
𝐼
𝑡
Fórmula . Cálculo de la tasa de interés anual y el tiempo en
años
Fórmula . Cálculo de la tasa de interés anual y el tiempo en
días
Fórmula . Cálculo de la tasa de interés semestral y el tiempo en
días

CÁLCULO DE LA TASA DE INTERÉS
Fórmula . Cálculo de la tasa de interés es trimestral y el tiempo
en días
Fórmula . Cálculo de la tasa de interés es mensual y el tiempo
en días
Fórmula . Cálculo de la tasa de interés es diaria y el tiempo en
días
Ejemplo: ¿A qué tasa de interés anual se coloca un capital de $180.000
para que produzca $18.000 en 180 días?
Datos
c=180.000
I=18000
t=180 días
i=?anual

TASAS DE INTERÉS
Las tasas de interés no permanecen constante por grandes periodos por lo que es
necesario fijar tasas de referencia de las cuales las más utilizadas son:
 Tasa de Interés Interbancaria de Equilibrio (TIIE)
 Costo Porcentual Promedio de Capitalización ( CPP)
 Costo de Capitalización a Plazo (CCP)
Estas tasas de interés se aplican cuando se realizan operaciones financieras y
comerciales.
Tasa de interés activa.- Son las tasas que los bancos cobran por los diferentes tipos
de crédito, a los usuarios de éstos.
Tasa de interés pasiva .- Son las tasas de interés que los bancos pagan a los
ahorradores e inversionistas.

Tasa de Interés interbancaria de equilibrio.- Es el punto de equilibrio entre las
tasas de interés pasivas y activas. Se obtienen a partir de la información que
proporciona diariamente el banco central del Ecuador.
Costo Porcentual Promedio de Capitalización.- Mide el costo que reconocen los
banco para cubrir sus pasivos.
Costo de Capitalización a plazo - Es la estimación mensual del costo de
capitalización a plazo por concepto de la tasa de interés de los pasivos a plazo.

IMPORTANTE
 Las tasas de interés son aquellas que se tranzan en el mercado. El BCE calcula
semanalmente las tasas de interés en función de la información que remiten las
instituciones financieras los días jueves de cada semana.
 Las tasas de interés activas y pasivas resultan de cálculos promedios ponderados
dentro del sistema.
 La tasa Activa Referencial es igual al promedio ponderado semanal de las tasas de
operaciones de crédito de entre 84 y 91 días, otorgadas por todos los bancos
privados, al sector corporativo.
 Tasa Pasiva Referencial, igual a la tasa nominal promedio ponderada semanal de
todos los depósitos a plazo de los bancos privados, captados a plazos de entre 84 y
91 días.

TALLER EN CLASE
1.- A qué tasa de interés anual se coloca un capital de $180.000 para que
produzca $18.000 en 123 días?
2.- Determine a que tasa de interés semestral se coloca un capital de $4230
para que produzca $568 en 57 días
3.- A qué tasa de interés trimestral se coloca un capital de $5389 para que
produzca $1230 en 156 días.
4.- A qué tasa de interés trimestral se coloca un capital de $4389 para que
produzca $1220 desde el 13 de mayo al 25 de diciembre en tiempo exacto y
aproximado.

CÁLCULO DEL TIEMPO
Para el cálculo del tiempo se toma como base la fórmula del interés simple.
𝐼 = 𝑐. 𝑖. 𝑡
𝑐. 𝑖. 𝑡 = 𝐼
𝑐. 𝑡 =
𝐼
𝑖
Fórmula . Cálculo del tiempo
𝑡
360
=
𝐼
𝑐. 𝑖
⇒ 𝒕 =
𝑰. 𝟑𝟔𝟎
𝒄. 𝒊
Fórmula . Cálculo del tiempo en días y la tasa de
interés anual.
𝑡
180
=
𝐼
𝑐. 𝑖
⇒ 𝒕 =
𝑰. 𝟏𝟖𝟎
𝒄. 𝒊
interés semestral.

CÁLCULO DEL TIEMPO
𝑡
90
=
𝐼
𝑐. 𝑖
⇒ 𝒕 =
𝑰. 𝟗𝟎
𝒄. 𝒊
interés trimestral.
𝑡
30
=
𝐼
𝑐. 𝑖
⇒ 𝒕 =
𝑰. 𝟑𝟎
𝒄. 𝒊
interés mensual.
Ejemplo: ¿En qué tiempo un capital de $85.000 ganará un interés de $2.550 al
9% anual.?
Datos.
c=85.000
I=2550
i=9%=0,09
𝒕 =
𝑰. 𝟑𝟔𝟎
𝒄. 𝒊
𝒕 =
(𝟐.𝟓𝟓𝟎)(𝟑𝟔𝟎)
(𝟖𝟓.𝟎𝟎𝟎)(𝟎,𝟎𝟗)
=120 días

TRABAJO EN CASA
1.- Por cada $1000, el deudor deberá pagar $200 de interés en un año.
2.- Un pequeño comerciante invierte $1000, después de un año recibe la cantidad de
$1200 por su inversión. Calcular:
a. El Interés
b. La tasa de interés
3.- La señora Gómez solicitó un préstamo a la Cooperativa San José Ltda. De $6500 a
9% anual durante un año. Calcular el interés simple a pagar.
4.- El señor Godínez compra un automóvil para su negocio y pacta pagarlo en dos
años, con una tasa de interés del 36% .El automóvil cuesta $98500, determine el
interés simple que pagará.
5. ¿Cuál es la tasa de interés por un préstamo de $15000 a un año, si se pagaron
intereses de $3000?.
6. ¿Qué interés produce un capital de $8500 con 15% anual durante el mes de
marzo?. Determiné:
a. Interés simple comercial tiempo exacto
b. Interés simple comercial tiempo aproximado
c. Interés simple real y tiempo exacto
d. Interés simple real y tiempo aproximado

TRABAJO EN CASA
1.- Calcule el interés que gana un capital de $7500 a una tasa de interés del 12%
anual durante 180 días.
2.- Calcule el interés que gana un capital de $10000 a una tasa de interés anual
del 4,5% desde el 15 de junio hasta el 15 de diciembre del mismo año
determine:
a. Con el tiempo aproximado y el año comercial
b. Con el tiempo exacto y año comercial
c. Con el tiempo aproximado y año calendario
d. Con el tiempo exacto y el año calendario
3.- En qué tiempo se incrementará en $205 un capital de $50000 colocado al
10
1
4
% anual?
4.- ¿En qué tiempo se convertirá en $54500 un capital de $50000 colocado a una
tasa de interés del 1,5% mensual?

TRABAJO EN CASA
5.- A que tasa de interés anual se colocó un capital de $4000 para que se convierta
en $4315 en 210 días.
6.- ¿A qué tasa de interés mensual un capital de $1850 se incrementará una cuarta
parte más en 300 días?
7.- Cuál fue el capital que colocado a una tasa de interés del 9% anual, durante 180
días, produjo un interés de $1125 ?

CÁLCULO DEL MONTO A INTERÉS SIMPLE
Es la suma del capital original más los intereses generados en el
transcurso del tiempo. Se representa con la letra M entonces por
definición :
𝑀 = 𝑐 + 𝐼 𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑎 𝑓ó𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟é𝑠 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑠𝑒𝑟í𝑎:
𝑀 = 𝑐 + 𝑐. 𝑖. 𝑡 𝑠𝑒 𝑜𝑏𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑒𝑙 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑚ú𝑛
𝑴 = 𝒄(𝟏 + 𝒊. 𝒕) Fórmula
Ejemplo: Calcule el monto de un capital de $1.500 al 1,8% mensual
durante 180 días.
Datos
M=?
c= 1.500
i=1,8%=0,018
𝑴 = 𝒄(𝟏 + 𝒊. 𝒕)
𝑴 = 𝟏. 𝟓𝟎𝟎(𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟏𝟖.
𝟏𝟖𝟎
𝟑𝟎
)=1.662

TALLER EN CLASE
1. Calcular el monto de un préstamo de $13000 con 26% de interés simple
durante dos años.
2. ¿Qué monto hay que pagar al ISFA por un crédito a corto plazo de $8500 con
9% anual, después de un año y 6 meses.
3. Esmeralda recibe un préstamo de Sofía para adquirir calzado para su negocio
con un valor de $25600.Acuerda pagar la deuda cuatro meses después con una
tasa de interés de 32% anual. ¿Cuánto deberá pagar Esmeralda después de
cuatro meses?
4. Un comerciante deposita $35000 en un fondo de inversión, que da un
rendimiento de 1,5% mensual. Para comprar más mercadería, decide retirar su
depósito 28 días después. ¿Cuánto le entregarán al retirar capital e intereses?

CÁLCULO DEL VALOR ACTUAL A INTERÉS SIMPLE
Valor actual o valor presente de un documento o deuda es el capital
calculado en una fecha anterior a la del vencimiento del documento,
deuda o pago. Se representa con la letra C.
Se deduce de la fórmula del monto a interés simple: 𝑴 = 𝑪(𝟏 + 𝒊. 𝒕)
de la cual se despeja C
𝑴 = 𝑪(𝟏 + 𝒊. 𝒕)
𝑪(𝟏 + 𝒊. 𝒕) = 𝑴
C=
𝑴
(𝟏+𝒊.𝒕)
Ejemplo: Si se desea conocer el valor actual de un documento de $100
con vencimiento en 180 días, 60 días antes de su vencimiento,
considerando una tasa de interés del 18% anual.
Datos
C=?
M=100
t=60 días
i=0,18
𝐶 =
100
1 + 0,18
60
360
= $97,09

GRÁFICA DE TIEMPOS Y VALORES
Es necesario conocer la gráfica de tiempos y valores , la
misma que consiste en una línea recta en la cual se
colocan los siguientes datos:
2 de enero
Fecha de suscripción
15 de marzo
Fecha de
negociación
2 de julio
Fecha de
vencimiento
Valor nominal
Valor actual Monto
Esta gráfica es muy importante para el planteamiento
y resolución de problemas de valor actual y otros tipos
de problemas en matemática.

CASOS DE CÁLCULO DE VALOR ACTUAL
Existen dos casos :
1.- Cuando se conoce el valor al vencimiento o monto
Calcule el valor actual, al día de hoy, de un documento de $150.000 que
vence en 210 días de plazo, considerando una tasa de interés del 18%
anual.
Datos:
M=150.000
t=210 días
i=18%=0,18
𝐶 =
𝑀
1 + 𝑖𝑡
𝐶 =
150.000
1 + (0,18)
210
360
= 135.746,61
En el mismo ejercicio, se considera el cálculo del valor actual, 90 días
antes de su fecha de vencimiento.

𝐶 =
150.000
1 + (0,18)
90
360
= 143.540,67
Solución Gráfica

2.- Cuando hay necesidad de calcular el monto.
El 15 de marzo se suscribió un documento de $1800 con vencimiento en
180 días plazo al 1% mensual .Debemos calcular su valor actual al 12 de
agosto del mismo año, considerando una tasa de interés del 18% anual.
Se plantea la gráfica:
Meses Días
Marzo 16
Abril 30
Mayo 31
Junio 30
Julio 31
Agosto 31
Septiembre 11
Total días 180

CONSTRUCCIÓN DE LA GRÁFICA
𝑴 = 𝟏𝟖𝟎𝟎(𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟏.
𝟏𝟖𝟎
𝟑𝟎
)
𝑴 = $1908,
𝐶 =
1908
1 + (0,18)
30
360
= $1879,80
Meses Días
Agosto 19
Septiembre 11
Total días 30

TALLER EN CLASE
1.- Calcule el valor actual, al día de hoy, de un documento de $180.000 que
vence en 310 días de plazo, considerando una tasa de interés del 11% anual.
2.- El 17 de marzo se suscribió un documento de $1600 con vencimiento en 120
días plazo al 3% semestral .Debemos calcular su valor actual al 12 de junio del
mismo año, considerando una tasa de interés del 15% anual.
3.- Determine el valor de un préstamo de 2500 con vencimiento dentro de 9
meses: a) el día de hoy, b) dentro de tres meses, dentro de siete meses, dentro
de un año suponiendo un rendimiento del 6% anual.
4.Halle el interés Simple ordinario y exacto de:
$9000 durante 120 días al 5% diario

TRABAJO EN CASA
Fotocopias entregadas a los señores estudiantes

EL INTERÉS SOBRE SALDOS DEUDORES
En muchas entidades
financieras y tiendas
comerciales operan con
crédito
Se utiliza
este
mecanismo
Sobre los saldos que
van quedando
después de deducir
cada cuota que se
paga

Otros establecimientos
comerciales utilizan el
método de
acumulación de
intereses o método
Lagarto
Denominado así por el exceso
de interés que se cobra .Este
acumula los intereses
durante todo el periodo de la
deuda, es decir calcula un
monto y luego se divide entre
el número de pagos

COMPARACIÓN DE LOS DOS MÉTODOS
Calculemos las cuotas mensuales que debe pagar el cliente. Una cooperativa de
ahorro y crédito que otorga un préstamo por $6000 a 12 mese plazo, al 1% mensual
sobre saldos deudores.
MÉTODO LAGARTO:
Datos
C=6000
n=12meses *30=360 días
i= 1% mensual
M=c(1+i.n)
M=6000(1+0.01*(360/30))
M=$6720
Cuota será: 6720/12=560

Método sobre saldos deudores
Valor de la cuota sin intereses:
6000
12
= $500
Interés pagadero en la primera cuota:
I=(6000)(0,01)(1)= $60
Entonces seria 500 + 60 = 560 Es decir el valor de la cuota
más el Interés en la primera cuota coincide con la del método «
Lagarto» PRIMERA CUOTA
Segunda Cuota: Se reduce el capital en $500 y queda un saldo
de $5500 en consecuencia el interés será:
I= 5500(0,01)(1)=55

Periodo deuda Interés Capital Cuota
1 6000 60 500 560
2 5500 55 500 555
3 5000 50 500 550
4 4500 45 500 545
5 4000 40 500 540
6 3500 35 500 535
7 3000 30 500 530
8 2500 25 500 525
9 2000 20 500 520
10 1500 15 500 515
11 1000 10 500 510
12 500 5 500 505
total 390 6000 6390
Cuota fija mensual 532,5
Total de la cuota/ número de
periodos
cuota fija mensual 532,5
Aplicando progresión aritmética :
primera cuota más la ultima cuota /2

TALLER EN CLASE
1.- Una empresa comercial vende televisiones LCD cuyo precio es de $1500 , con una
cuota inicial del 20% de interés anual, y el saldo a 15 meses de plazo. Tiene que
calcular la cuota fija mensual si se considera una tasa del 22% de interés anual
2.- Una empresa comercial vende automóviles cuyo precio de lista es de $6000, con
una cuota inicial del 25%de interés anual , y el saldo a 30 mese de plazo. Calcule por
los métodos visto en clases.

DESCUENTO
.
,.
Es decir es la
diferencia entre el
valor del documento
antes de la fecha en
que vence y su valor
al vencimiento
Según las condiciones
convenidas en los
documentos financieros
Es una operación en la
que consiste en adquirir
letras, pagares o
documentos financieros
con ciertas deducciones al
valor en la fecha de
vencimiento

REDESCUENTO
Operación mediante la cual el Banco Central, o un Banco privado,
descuenta a otros bancos comerciales documentos, letras de cambio
o pagares, descontados por ellos con anterioridad a una determinada
tasa de interés, mayor o menos, dependiendo de la política de
restricción o aumento de operaciones crediticias y el dinero circulante.

DOCUMENTOS DE CRÉDITO
LETRA DE CAMBIO.- Documento de crédito consistente en una orden escrita por una
persona denominada «girador», encarga a otra llamada «girado» o aceptante , que pague a
una tercera persona «tenedor», una determinada cantidad de dinero a cierta fecha.
Es común que solo haya dos personas involucradas: el girador puede coincidir con el
tenedor.
Tenedor o beneficiario es la persona a cuyo favor se emite la letra de cambo.
Este documento es susceptible de transferir, mediante el endoso correspondiente.
Este documento si no especifica un plazo para el pago se considera como cancelable a la
vista.
PAGARE.-Titulo que da al tenedor del documento el derecho incondicional de recibir una cantidad de dinero en
determinada fecha. Se emite y negocia con descuento , según el tipo de interés y la fecha de su vencimiento. Los
siguientes datos son fundamentales para el manejo de estos documentos.
a.-Valor nominal: valor del documento, sin intereses , a la fecha de suscripción.
b.-Valor al vencimiento o Monto. Valor del documento , con intereses a la fecha de vencimiento, si no se considera
intereses, coincide con el valor nomina .
c.- Fecha de suscripción: Fecha en la cual se suscribe el documento
d.-Fecha de vencimiento: Fecha en la que vence el plazo del documento
e.- Fecha de negociación o descuento: Fecha en la que se descuenta, compra o vende el documento.
f.- Plazo: Duración en días del documento
g.- Valor de negociación.- Valor actual a la fecha del descuento, compra o venta del documento
h.- Interés.- Suma de dinero que se obtiene o se paga sobre el capital

OTROS DOCUMENTOS FINANCIEROS
Pólizas de acumulación.- Son planes donde
inviertes dinero.
Certificados de inversión. –Son documentos
destinados a la inversión de excedentes de
capital. Esta dirigido a clientes que requieren
asesoría profesional al invertir n dólares.
Certificados de ahorro.- Es una cuenta
renovable automáticamente a la fecha de
vencimiento y se renovará por el mismo
termino de tiempo y a la tasa de interés y
porcentaje de rendimiento anual prevaleciente
en la entidad financiera.
Certificados financieros.-Son instrumentos
financieros aceptados en depósitos, por un
periodo especifico de tiempo que devenga
intereses.
Bonos de estabilización monetaria.- Constituye
el instrumento de control monetario que tenía
vigencia cunado el BCE tenia la facultad de
emitir dinero.
Notas de crédito.-Son documentos que se
emiten por la modificación en las condiciones
de la transacción originalmente pactadas, es
decir, para anular operaciones, aceptar
devoluciones y conceder descuentos o
bonificaciones.
Documentos de renta variable.- Son
documentos que no tienen predeterminado ni
su valor, plazo ni rendimiento.
Acciones emitidas por las empresas.- La
empresa emite una o mas clases de acciones
co las designaciones, preferencia, privilegios,
facultades con valor nominal o sin valor
nominal.

DESCUENTO RACIONAL
Descuento simple , es la diferencia entre el Monto y el valor presente. Se representa
con la letra Dr . Se interpreta también como el interés simple de valor actual.
 Para calcular el descuento racional, se debe conocer primero el valor actual y
luego restarlo del monto. Quedando estructurado la fórmula como:
𝐷𝑟 = 𝑀 − 𝐶
𝐷𝑟 = 𝑀 − 𝑀. (1 + 𝑖. 𝑡)−1
Fórmula del descuento racional.
Este tipo de descuento puede darse en dos tipos:
1.- Cuando el documento no gana intereses desde la emisión
2.- Cuando es necesario calcular el monto

CUANDO EL DOCUMENTO NO GANA
INTERESES DESDE LA EMISIÓN
 Cuando el valor nominal coincide con el monto.
Ejemplo:
- Calcule el descuento racional de un documento de $250 suscrito el 30
de junio a 180 días plazo, si se descontó el 30 de noviembre del mismo
año con una tasa de interés del 24% anual.
Datos:
Fecha de suscripción: 30 de junio
Fecha de negociación: 30 de noviembre
Fecha de vencimiento:?
Dr= M-C
Dr=M-M(1+it)-1

TALLER EN CLASE
- Calcule el descuento racional de un documento
de $250 suscrito el 15 de junio a 180 días plazo,
si se descontó el 15 de noviembre del mismo año
con una tasa de interés del 24% anual.
- Calcule el descuento racional de un documento
de$265 si se descuenta 60 días antes de la fecha
de vencimiento la misma que es de 120 días con
una tasa de interés del 16% semestral.

CUANDO ES NECESARIO CALCULAR EL
MONTO
 El documento genera interés :
Ejemplo:
Calcule el valor total de una letra de cambio de $100 a 180 días de plazo,
suscrita el 31 de marzo del 2014 al 18% anual desde su suscripción, si se
descuento el 29 de julio del mismo año al 21% anual.

DESCUENTO BANCARIO
 Se utiliza en operaciones comerciales
 Consiste en cobrar los intereses por anticipado
 Su calculo se realiza sobre el monto o valor al vencimiento
 Se emplea una tasa de descuento para diferenciarla de la tasa de interés que se aplica al
calculo del valor actual.
 Notación: Db
 Se aplica al valor nominal del documento a la fecha de su vencimiento
 Se expresa como porcentaje
 Cuando se descuenta una letra se recibe una suma inferior al valor nominal, cuando no
genera intereses desde la fecha de suscripción.
 Si gana intereses desde la fecha de suscripción, se debe proceder a calcular el mono al
vencimiento del descuento.

FÓRMULA DEL DESCUENTO BANCARIO
𝐷𝑏 = 𝑀. 𝑑. 𝑡
Donde:
Db=Descuento bancario o bursátil
M= Valor del documento a la fecha de vencimiento
d=Tasa de descuento
t= Tiempo en días, comprendido entre la fecha de
descuento y la fecha de vencimiento

Calcule el descuento bancario que un banco aplica a un cliente que
descuenta un pagaré de $800 en el dia de hoy, a 120 días plazo,
considerando una tasa de descuento del 12% anual.
Datos:
M=800
d=0,12
t=120
𝐷𝑏 = 𝑀𝑑𝑡
𝐷𝑏 = 800 0,12
120
360
= $32
El descuento que aplica el banco es de $32,00

2.- CUANDO GENERA INTERÉS Y SE CALCULA EL MONTO:
Calcule el descuento bancario de un documento de $350, suscrito el 15
de marzo 180 días plazo , si éste se descuenta el 15 de junio del
mismo año a una tasa del 18% anual
Grafica:
Cálculo del tiempo:
15 de marzo
Fecha de suscripción
15 de junio
Fecha de descuento
11 de septiembre
Fecha de
vencimiento
PLAZO
Marzo 16
Abril 30
Mayo 31
Junio 30
Julio 31
Agosto 31
Septiembre 11
Total 180 días
Tiempo de descuento
Junio 15
Julio 31
Agosto 31
Septiembre 11
Total 88 días

TRABAJO EN CASA
Una póliza de $4000 suscrita el 15 de mayo a 180 días de plazo, con una tasa de
interés del 6% anual desde su suscripción, es descontada el 3 de septiembre del
mismo año a una tasa del 9% anual. Calcule:
a) Grafico
b) La fecha de vencimiento
c) EL monto
d) Numero de días comprendidos entre la fecha de descuento y a fecha de
vencimiento
e) El valor actual a la fecha de descuento
f) El descuento racional

VALOR ACTUAL CON DESCUENTO
BANCARIO, VALOR EFECTIVO
Es la cantidad de dinero que recibe el solicitante del
préstamo después de haber descontado anticipadamente los
interés del monto y se calcula:
C= M-Db
C= Valor efectivo
M= Monto
Db= Descuento Bancario

EJEMPLO
Un documento financiero de $10.000, suscrito el 7 de
junio a 180 días plazo con una tasa del 6% anual
desde su suscripción, es descontado el 20 de
septiembre del mismo año a una tasa del 12% anual.
Calcular:
a)El gráfico; b) la fecha de vencimiento c) el monto; d)
número de días comprendidos entre la fecha de
negociación o descuento y la fecha de vencimiento; e)
el valor actual; f) Descuento racional; g) Descuento
Bancario h) Valor efectivo.

TRABAJO EN CASA
Una póliza de $4000 suscrita el 15 de mayo a 180 días de plazo, con una tasa de
interés del 6% anual desde su suscripción, es descontada el 3 de septiembre del
mismo año a una tasa del 9% anual. Calcule:
a) Grafico
b) La fecha de vencimiento
c) E monto
d) Numero de días comprendidos entre la fecha de descuento y a fecha de
vencimiento
e) El valor actual a la fecha de descuento
f) El descuento racional

ECUACIONES DE VALOR
CARACTERISTICAS
•Se utilizan para la resolución
de problemas de
matemática financiera.
•Consiste en reemplazar un
conjunto de obligaciones
con diferentes fechas de
vencimiento, previo acuerdo
entre el acreedor y deudor.
•Se reemplaza dos o mas
deudas por una sola y
también para el calculo del
monto en una serie de
depósitos y para calcular el
valor actual de una serie de
pagos,
•Relacionan las diferentes de
vencimiento con una fecha
denominada fecha focal.
DEFINICIÓN
•Son simplemente igualdades
entre entradas y salidas de
capitales financieros ,
siempre y cuando se haya
homogenizado sus fechas de
vencimiento por un tiempo
común.
APLICACIONES
•Reemplazo de un conjunto
de obligaciones o deudas
por un solo pago .
•Comparación de ofertas
para comprar o vender .
•Cálculo del monto de una
serie de depósitos sucesivos
a corto plazo.
•Cálculo del valor actual de
una serie de pagos sucesivos
a corto plazo.

APLICACIONES
1.- REEMPLAZO DE UN CONJUNTO DE OBLIGACIONES O DEUDAS POR UN SOLO
PAGO:
Consiste en llevar todas las obligaciones a la fecha focal.
Se debe construir el diagrama de grafica en donde refleje las fechas y los montos.
EJEMPLO:
La empresa “Cybert Tronic” tiene las siguientes obligaciones:
M1=$5000 a 60 días plazo
M2=$7.000 a 120 días plazo
La empresa desea reemplazar sus obligaciones por un solo pago a 180 días plazo
considerado una tasa de interés del 18% anual. Calcule el pago único.

TRABAJO EN CLASE
1.- Aplicando una tasa de interés del 18% anual, calculemos
el valor del nuevo pagaré para una empresa que debe tres
pagarés y desea quedarse con un solo pagaré, con
vencimiento en 210 días de plazo .El valor de cada uno de los
pagarés, es uno de $8000 a 90 días plazo , otro de$10000 a
120 días plazo y el tercero por $15000 a 180 días plazo.
2.- Calcule el valor único que debe pagar una empresa que
desea quedarse con una sola deuda, con vencimiento en 180
días y una tasa de interés del 1,5% mensual. La empresa
debe :$500 con vencimiento 90 días al 1% mensual desde su
suscripción;$700 con vencimiento en 120 días y $900 con
vencimiento en 210 días al 15% anual, desde su suscripción.

RECORDATORIO
Las ecuaciones de valor se utilizan, como se expresó
anteriormente para la solución de problemas que se
consolidan varias deuda, que pueden ser anteriores o
posteriores a las fechas de pago inicialmente
convenidas. Si son anteriores a la fecha focal deben
calcularse como monto; si su vencimiento es posterior,
deben calcularse como valor actual.

OTRO EJEMPO
Determine el valor de la deuda el día de hoy de una empresa que tiene las
siguientes deudas:$8000 a 90 días plazo; $15000 a 150 días de plazo; $30000 a
210 días plazo y $50000 a 270 días plazo; la empresa desea reemplazar sus
deudas por una sola de vencimiento el día de hoy con una tasa de interés del 12%
anual

APLICACIONES
2.- COMPARACIÓN DE OFERTAS PARA COMPRAR O VENDER
En este tipo de aplicación se toma como fecha focal el tiempo cero.
EJEMPLO:
El Señor Martínez propietario de un terreno en venta recibe tres ofertas:
La primera: es de $100.000 al contado y $100.000 a un año plazo.
La segunda: $80.000 al contado y dos letras de $60.000 a cinco años y seis meses
de plazo, respectivamente.
La tercera: $20.000 al contado, una letra de $80.000 a tres meses plazo y otra
letra de $100.000 a nueve meses plazo .¿Cuál de las tres ofertas le conviene
aceptar, si se considera una tasa de interés del 2% mensual?

TRABAJO EN CASA
El Señor José Alvarado necesita comprar un edificio por el cual tiene
las siguientes ofertas:
La primera: es de $100.000 al contado y $100.000 a un año plazo.
La segunda: $80.000 al contado y dos letras de $60.000 a cinco años
y seis meses de plazo, respectivamente.
La tercera: $20.000 al contado, una letra de $80.000 a tres meses
plazo y otra letra de $100.000 a nueve meses plazo .¿Cuál de las tres
ofertas le conviene aceptar, si se considera una tasa de interés del
15% cuatrimestralmente?

APLICACIONES
3.- CÁLCULO DEL MONTO DE UNA SERIE DE DEPÓSITOS SUCESIVOS A CORTO PLAZO
En este caso se da cuando el caso de una serie de depósitos sucesivos de igual
valor a corto plazo, se utiliza la fecha focal al termino de los depósitos.
EJEMPLO:
La empresa Luz y Vida realiza depósitos de $500 mensuales durante tres meses, en
el Banco del Fomento que reconoce una tasa de interés del 2% mensual, Calcule el
monto que se acumulará al final de los tres meses.

TRABAJO EN CLASE
Calcule el monto que acumulará al final de los tres meses una empresa que realiza
depósitos de $500 mensuales durante tres meses en una institución financiera que
reconoce una tasa de interés del 2% mensual, liquidados en forma anticipada
.Teniendo en cuenta que los interés se liquidan por anticipado.

APLICACIONES
4.- CÁLCULO DEL VALOR ACTUAL O PRESENTE DE UNA SERIE DE PAGOS SUCESIVOS
A CORTO PLAZO
En este caso se da cuando generalmente sus pagos son iguales se toma como
fecha focal el tiempo cero.
EJEMPLO:
La empresa Luz y Vida realiza pagos de $500 mensuales durante tres meses, en el
Banco del Fomento para cancelar dicha deuda, con un incremento del 3% mensual.

FÓRMULAS DEL INTERÉS COMPUESTO Y
MONTO
𝑴 = 𝒄(𝟏 + 𝒊) 𝒏
𝐼 = 𝑐 (1 + 𝑖) 𝑛
−1
Características
 Mismas variables que el interés simple
 La variable n en el interés simple es un factor
mientras que en el interés compuesto es una
potencia.
 En el interés simple la formula básica es la del
interés y la formula básica en el interés compuesto
es la del monto
Hugo Palacios Gomero
Fundamentos Técnicos de la Matemática Financiera

EJEMPLO
María invierte su capital de $2000 a una tasa de interés del 3% anual durante
cuatro años .Determine:
a. Por capitalizaciones sucesivas el Interés compuesto y monto
b. Determine el Interés Simple, Monto simple, Interés Compuesto, Monto
Compuesto

TALLER EN CLASES
1.-Por capitalizaciones sucesivas o continuas halle el interés
producido por un capital de $2400 a una tasa del 10% de
interés capitalizable anualmente durante 5 años verificar el
resultado utilizando la fórmula básica del interés compuesto.
2.- Se depositan $500 en un banco en una tasa de interés del
18% anual capitalizable mensualmente. ¿Cuál será el monto
en 2 años?
3.-María tiene un capital de $41.981 el cual invierte al 6%
anual. ¿Cuánto tendría dentro de tres años?.
Hacerlo a mano y a Excel

DEBER
1.- Se depositan $5000 en un banco en una tasa de interés del 18% anual
capitalizable mensualmente. ¿Cuál será el monto en 3 años?
2.- José Francisco invierte su capital de $4850 a una tasa de interés del 16%
anual capitalizable semestralmente .¿Cuál será el monto en 1 año?
3.- Kerly deposita en el banco Pichincha $3200 por el cual le van a pagar una
tasa de interés del 23% anual capitalizable trimestralmente .¿Cuánto tendrá
luego de dos años?
Determinar:
a) En Excel la tabla solo del interés compuesto y con la verificación de las
fórmulas
b) En una hoja a mano solo las fórmulas con el reemplazo de los datos
respectivamente.

FORMULAS COMPLEMENTARIAS
DEL INTERÉS COMPUESTO
ANTECEDENTES
1. Permiten calcular las
variables como: capital,
tasa de interés y tiempo
2. Nacen de la formula básica
del interés simple

MÉTODOS DE CÁLCULO :
Directo.- Más utilizado
Logaritmos.- Fue el
procedimiento más empleado
hasta hace unos años.
Tablas financieras.- Tablas de
valores que previamente
calculadas.

FORMULAS DEL CAPITAL, TASA Y TIEMPO
POR CALCULO DIRECTO

POR LOGARITMOS


EJEMPLO
1.- Hallar por cálculo directo y logaritmos el monto producido
por un capital de $6000 al 12% convertible anualmente en
5 años.
𝑀 = 𝐶(1 + 𝑖) 𝑛
𝑀 = 6000(1 + 0.12)5
𝑀 = 6000(1.762341683)
𝑀 = 10574,1
𝑙𝑜𝑔𝑀 = 𝑙𝑜𝑔𝐶 + 𝑛𝑙𝑜𝑔(1 + 𝑖)
𝑙𝑜𝑔𝑀 = 𝑙𝑜𝑔6000 + 5𝑙𝑜𝑔(1 + 0.12)
𝑙𝑜𝑔𝑀 = 3.77815125 + 5𝑙𝑜𝑔(1.12)
𝑙𝑜𝑔𝑀 = 3.77815125 + 5(0.049218022)
𝑙𝑜𝑔𝑀 = 3.77815125 + 0.246090113
𝑙𝑜𝑔𝑀 = 4.024241363

𝑙𝑜𝑔𝑀 = 4.024241363
𝑀 = 104.024241363
𝑀 = $10574.1
TALLER EN CLASE
1.- Halle por cálculo directo y logaritmos el monto producido por un capital de
$8000 al 13% convertible anualmente en 3 años.
2.- Fernanda necesita conocer el monto producido por un capital de $3467 a
una tasa de interés del 15% convertible anualmente en 7 años.
1.- Hallar por cálculo directo y logaritmos el capital que al 15% de interés
capitalizable anualmente en 6 años se convierte en $13415,75.
2.- Por cálculo directo y logaritmos un capital de $9000 en 8 años con
capitalización anual se transforma en $19292,30 hallar la tasa de interés que
se aplica en la operación.
TRABAJO EN CASA A MANO

La fórmula del monto también puede ser aplicada en periodos de
capitalización menores a un año: semestral, trimestral, bimestral,
mensual, diaria.
𝑴 = 𝒄(𝟏 +
𝒋
𝒎
) 𝒎.𝒏
M=monto
C=capital
J=tasa de interés nominal capitalizable varias veces
m=Número de capitalizaciones en el año
n=Número de años

DIFERENCIA ENTRE LAS TASAS DE
INTERÉS
i=tasa efectiva j=tasa nominal
Se capitaliza una sola vez en el año Capitalizable varias veces en el año
𝑀 = 𝐶(1 + 𝑖) 𝑚𝑡
Si la tasa de interés se capitaliza
semestralmente:
𝑴 = 𝒄(𝟏 +
𝒋
𝒎
) 𝒎.𝒏
𝑴 = 𝒄(𝟏 +
𝒋
𝟐
) 𝟐.𝒏

DIFERENCIA ENTRE LAS TASAS DE
INTERÉS
i=tasa efectiva j=tasa nominal
Se capitaliza una sola vez en el año Capitalizable varias veces en el año
𝑀 = 𝐶(1 + 𝑖) 𝑚𝑛
Si la tasa de interés se capitaliza
semestralmente:
Quimestralmente:
𝑴 = 𝒄(𝟏 +
𝒋
𝒎
) 𝒎.𝒏
𝑴 = 𝒄(𝟏 +
𝒋
𝟐
) 𝟐.𝒏
𝑴 = 𝒄(𝟏 +
𝒋
𝟐, 𝟒
) 𝟐,𝟒.𝒏

cuatrimestralmente trimestralmente bimestralmente
Mensualmente quincenalmente Diaria
𝑴 = 𝒄(𝟏 +
𝒋
𝟑
) 𝟑.𝒏
𝑴 = 𝒄(𝟏 +
𝒋
𝟔
) 𝟔𝒏
𝑴 = 𝒄(𝟏 +
𝒋
𝟒
) 𝟒.𝒏
𝑴 = 𝒄(𝟏 +
𝒋
𝟏𝟐
) 𝟏𝟐.𝒏 𝑴
= 𝒄(𝟏 +
𝒋
𝟐𝟒
) 𝟐𝟒.𝒏.
𝑴
= 𝒄(𝟏 +
𝒋
𝟑𝟔𝟎
) 𝟑𝟔𝟎.𝒏

EJEMPLO
Calculemos el monto de un capital de $20000 a interés compuesto durante 25
años y 9 mese, si la tasa de interés es del 9% anual capitalizable de la siguiente
forma :
Datos:
M=20000
n=25 años 9 meses = 25 años +9/12=25,75
i=9%=0,09
Tasa efectiva :
𝑀 = 𝐶(1 + 𝑖) 𝑚𝑛
𝑀 = 20000(1 + 0.09)(1)(25.75)
M=20000(9.19882426)
M=183.976,49
Tasa semestralmente: t
𝑀 = 𝐶(1 +
𝑗
𝑚
) 𝑚𝑛
𝑀 = 20000(1 +
0.09
2
)(2)(25.75)
M=20000(9.64914778)=$192.982,96

TALLER EN CLASE
Aplique con las demás tasas de interés .
TRABAJO EN CASA
Calcule el monto de un capital de $45000 a interés
compuesto durante 15 años y 7 meses, si la tasa de
interés es del 11% anual capitalizable con todas las
formas de capitalización estudiadas.

MONTO COMPUESTO CON PERÍODOS DE
CAPITALIZACIÓN FRACCIONARIOS
Esto sucede cuando el tiempo de pago no coincide con el periodo de
capitalización:
Por ejemplo si el tiempo de pago de una obligación es 4 años y 9 meses y la
tasa de interés del 14% capitalizable semestralmente, se tiene que :
Datos
n=4años y 9 meses = 4+9/12 =4.75 años
m=2
Es decir 4.75*2 =9.5 semestres
O también:
𝑛 =
4 12 + 9
6
=
57
6
= 9.5 semestres
Para el calculo del monto existen con períodos de capitalización menores se
realiza por dos métodos:

MÉTODO MATEMÁTICO
Se utiliza la fórmula del monto compuesto con tasa de interés nominal .
𝑀 𝑚 = C(1 +
𝑗
𝑚
)
𝑛.𝑚
Calcule el monto de una obligación de $4000 a interés compuesto durante 6
años y 3 meses de plazo, con una tasa de interés del 7% anual capitalizable
semestralmente .
Datos
C=4000
n=6años 3 meses =6+3/12=6.25
m=2
i=7%=0.07
𝑀 𝑚 = 4000(1 +
0.07
2
)
6.25 ∗(2)

𝑀 𝑚 = 4000(1 +
0.07
2
)
6.25 ∗(2)
𝑀 𝑚 = 4000(1 +
0.07
2
)
12.5
𝑀 𝑚 = 4000(1.035) 12.5
𝑀 𝑚 = 4000(1.035) 12.5
𝑀 𝑚 = 4000(1.53728494)
𝑀 𝑚 = 4000(1.53728494)
𝑴 𝒎 = 𝟔𝟏𝟒𝟗. 𝟏𝟒

MÉTODO COMERCIAL
Utiliza la formula básica del monto compuesto para los
enteros y la formula básica del monto del interés simple
para el excedente del periodo de capitalización.
𝑀 𝐶 = C(1 +
𝑗
𝑚
)
𝑛.𝑚
(1+i.n)
𝑛 =
6 12 + 3
6
=
72
6
+
3
6
= 12 +
1
2
𝑀 𝐶 = 4000 ((1 +
0.07
2
)
12
(1+0.35*
1
2
)
𝑀 𝐶 = 4000 (1.51106866) (1.075)
𝑀 𝐶 = $6150.05

TALLER EN CLASE
1-Calcule el monto de una obligación de $5000 a interés compuesto durante
7 años y 6 meses de plazo, con una tasa de interés del 7% anual
capitalizable cuatrimestralmente.
2.- Calcule el monto de una obligación de $8000 a interés compuesto
durante 9 años y 8 meses de plazo, con una tasa de interés del 7% anual
capitalizable trimestralmente.

VALOR ACTUAL A INTERES COMPUESTO
«la expresión valor actual significa el valor de un pago
futuro en una fecha determinada antes del
vencimiento»( Moore.pag124)
« Valor actual, valor en el momento presente de los
beneficios o de los costos del futuro, actualizados al
costo de oportunidad o de sustitución del capital» (
Dávalos Arcentales ,pag. 519)
Es el valor de un documento, bien o deuda antes de la
fecha de su vencimiento , considerando determinada
tasa de interés (zambrano).

 El valor actual es muy utilizado en las matemáticas financieras porque
permite conocer el valor en determinado momento.
 El valor actual o presente se determina a partir de la fórmula de monto en
interés compuesto.
 FÓRMULAS
Cuando de capitaliza una sola vez :
𝐶 = 𝑀(1 + 𝑖)−𝑛
Cuando se capitaliza varias veces en el año :
𝐶 = 𝑀(1 +
𝑗
𝑚
)−𝑚.𝑛

APLICACIONES
Negociaciones de documentos
Determinar mejores alternativas de compra y
venta de bienes a crédito
Para la compra y venta de documentos
financieros

GRÁFICA DEL VALOR ACTUAL
El valor actual se puede calcular en cualquier fecha comprendida
entre a fecha de suscripción y la fecha de vencimiento.
Dos casos:
1. Cuando el documento no gana interés y el valor nominal
coincide con el monto.
2. Cuando el documento gana interés y se requiere calcular el
monto.

PRIMER CASO.- CUANDO EL DOCUMENTO NO GANA
INTERÉS Y EL VALOR NOMINAL COINCIDE CON EL MONTO.
1.-¿Cuál será el valor actual de un pagaré
cuyo valor al vencimiento, al final de 4 años,
es de $3500, considerando una tasa de
interés del 12% anual capitalizable
semestralmente?
2.- ¿Cuál es el valor presente de $98000 en
14 meses a una tasa de interés del 32%
capitalizable bimestralmente.

TRABAJO EN CASA A MANO
1.-¿Cuánto desea depositar el alumno Juan Flores si desea
tener un monto de $25000 dentro de tres años, a una tasa
de interés del 22% anual, capitalizable mensualmente?
2.- Determine el monto a pagar dentro de tres años por un
préstamo concedido de $25600 con una tasa anualizada de
14% capitalizable mensualmente.
3,- Encuentre el monto acumulado que se deposita en una
cuenta de inversión de $1000000 durante 5 años si latas
de interés es del 24% capitalizable trimestralmente.

SEGUNDO CASO.- CUANDO EL DOCUMENTO GANA
INTERÉS Y SE REQUIERE CALCULAR EL MONTO
¿Cuál es el valor actual de un documento cuyo
valor nominal es de $5000 a 6 años de plazo
con el 4% de interés anual, capitalizable
semestralmente, desde su suscripción, si se
vende dos años antes de la fecha de
vencimiento, considerando una tasa del 5%
anual, capitalizable semestralmente ?

TALLER
1.- ¿Cuál es el valor de un pagaré cuyo valor nominal
es de $4000 a 5 años plazo con el 5% de interés
anual, capitalizable trimestralmente, desde su
suscripción, si se vende un año antes de la fecha de
vencimiento, considerando una tasa del 5% anual,
capitalizable trimestralmente .
2.- Calcule el valor de un documento financiero cuyo
valor nominal es de $8750 a 7 años plazo con un
interés del 7% anual capitalizable quimestralmente ,
desde su suscripción, si se vende 3 años antes de la
fecha de vencimiento , considerando una tasa del 8%
anual capitalizable quimestralmente.

PRECIO DE UN DOCUMENTO
En el segundo caso puede darse, en tres situaciones:
1. Cuando se negocia a la par .- la tasa de negociación
es la misma que la nominal y el precio se mantiene
sin variaciones.
2. Cuando se negocia con premio.- la tasa de
negociación es menor que la nominal y el precio
sube.
3. Cuando se negocia con castigo.- la tasa de
negociación es mayor que la nominal y el precio
baja.

Ejemplo:
1.-Después de 2 años de la fecha de suscripción se negocia un
documento de $3000 con vencimiento en 5 años y una tasa de
interés del 2.1% anual, capitalizable semestralmente desde la
suscripción. Calculemos su valor actual o precio en las siguientes
alternativas: a) con una tasa del 1.8% anual, capitalizable
trimestralmente; b) con una tasa del 2.1% anual, capitalizable
semestralmente, y c) con una tasa del 2.4% efectiva.
2.- Luego de 5 años de la fecha de suscripción se negocia un
documento financiero de $ 4500 con vencimiento de 7 años y una
tasa de interés del 3.5% anual capitalizable cuatrimestralmente
desde la suscripción. Calcule el valor actual en las siguientes
alternativas: a) con una tasa del 3.9% efectiva; b) con una tasa del
3.5% anual capitalizable cuatrimestralmente, y c) Con una tasa del
1.3% anual capitalizable quimestralmente.

VALOR ACTUAL CON TIEMPO
FRACCIONARIO
El valor actual, al igual que el monto a interés
compuesto, también puede calcularse con
periodos de capitalización no enteros, es decir,
fraccionarios .
Ing. Alexandra A.

EJEMPLO:
El valor actual de un documento al final de 7 años será de $3400.Queremos calcular,
su valor actual, luego de transcurridos 3 años y 4 meses de la fecha de suscripción,
considerando una tasa del interés del 14% capitalizable semestralmente. Utilicemos
la forma matemática y la comercial.
Armando Zambrano
TALLER
1.-El valor actual de un documento financiero al final de 5 años será de $4.500
,se quiere calcular el valor actual, luego de transcurrido 3 años y 4 meses de la
fecha de vencimiento considerando una tasa de interés del 12% capitalizable
trimestralmente .Utilice la forma matemática y comercial.
2.- EL valor actual de un pagaré de $2000 dólares con una tasa de interés del
11% capitalizable cuatrimestralmente a 5 años plazo, se requiere calcular el
valor actual luego de 4 años 7 meses de la fecha de suscripción, considerando
una tasa de 7% anual capitalizable cuatrimestralmente .Utilice la forma
matemática comercial.

ECUACIONES DE VALOR A INTERÉS
COMPUESTO
Son igualdades matemáticas que permiten
sustituir un conjunto de obligaciones financieras
por un nuevo conjunto de obligaciones financieras
disponibles en diferentes tiempos.
Aplicación.- Nos permite renegociar las deudas,
además diferir, negociar, anticipar el pago de
deudas .

CARACTERÍSTICAS
1. La más importante es la fecha focal, que es una fecha a la que se lleva a
todas las cantidades uniformes .
2. Si la cantidad es anterior a la fecha focal el calculo se lo hará como
monto y si la cantidad es posterior a la fecha focal el valor se lo hará
como valor actual.
3. Las operaciones financieras (deudas) son invariables , las alternativas
para el pago son múltiples.
4. Conviene utilizar el diagrama lineal donde se ubican tiempos y
unidades.
5. Si no esta dada la fecha focal se considera como tal la fecha del último
pago.

GRÁFICA
𝑆 = 𝑀1(1 + 𝑖)3
+𝑀2(1 + 𝑖)1
+𝑀3(1 + 𝑖)−2
El primer valor (M1) acumulara interés durante 3 periodos; el segundo
valor acumulará interés durante 1 periodo y el tercer valor (M3) deberá
calcularse como valor actual por -2 períodos.

EJEMPLO:
Una empresa tiene las siguientes obligaciones: $900
a 12 meses de plazo; $1300 a 18 meses plazo y
$1800 a 24 meses de plazo. Desea reemplazarlas
por un solo pago el día de hoy , ¿Cuál será el valor
de ese pago, considerando una tasa de interés del
15% capitalizable semestralmente.

TALLER EN CLASE
1.- Una empresa tiene las siguientes obligaciones: $850
a 12 meses de plazo; $1300 a 24 meses plazo y $1800
a 36meses de plazo. Desea reemplazarlas por un solo
pago el día de hoy , ¿Cuál será el valor de ese pago,
considerando una tasa de interés del 15% capitalizable
trimestralmente.

TRABAJO EN CASA
1. Una empresa tiene las siguientes obligaciones: $950 a
12 meses de plazo; $1200 a 24 meses plazo y $1300 a
36meses de plazo. Desea reemplazarlas por un solo
pago, ¿Cuál será el valor de ese pago, considerando una
tasa de interés del 11% capitalizable trimestralmente.
2. La empresa Martínez SA. tiene las siguientes
obligaciones: $950 a 12 meses de plazo; $1200 a 24
meses plazo y $1300 a 36meses de plazo. Desea
reemplazarlas por un solo pago, ¿Cuál será el valor de
ese pago, considerando una tasa de interés del 11%
capitalizable cuatrimestralmente.

COMPARACIÓN DE OFERTAS
En cualquier empresa, es frecuente
tener que seleccionar la mejor oferta, en
condiciones similares, tanto para
comprar como para vender uno o más
bienes o servicios. En este caso se
estudiara como las ecuaciones de valor
ayudan a seleccionar la oferta más alta
para el vendedor o la más baja para el
comprador, a largo plazo tomando como
fecha focal el tiempo cero.

EJEMPLO:
María desea vender una propiedad y recibe 3
ofertas: a)$4000 al contado y $6000 a 5 años
de plazo; b)$2300 al contado, 4000 a 3 años
de plazo y $3700 a 5 años de plazo; y c) 3000
al contado, una letra de $5000 a 30 meses y
otra letra de $2000 a 60 meses plazo. ¿Cuál de
las tres ofertas le conviene aceptar,
considerando que el rendimiento del dinero es
del 12% anual, capitalizable trimestralmente?

TALLER EN CLASE
1.- Que cantidad debe pagarse en un trimestre para saldar una
deuda de tres pagos mensuales de $1000 dada una tasa del
12% capitalizable mensualmente. b)tomando como fecha focal
el día de hoy, c)fecha focal el primer mes .
2.- José desea vender una propiedad y recibe 3 ofertas: a)$2000
al contado y $3000 a 5 años de plazo; b)$2300 al contado,
4000 a 3 años de plazo y $4700 a 5 años de plazo; y c) 3000 al
contado, una letra de $4000 a 30 meses y otra letra de $1000
a 72 meses plazo. ¿Cuál de las tres ofertas le conviene aceptar,
considerando que el rendimiento del dinero es del 11% anual,
capitalizable cuatrimestralmente?

TRABAJO EN CASA
1.-Una persona debe pagar $30000 dentro de tres meses y $17400 a pagar
dentro de seis meses. La persona acuerda liquidar sus deudas con un pago
único en el quinto mes y con una tasa del 16,7% convertible mensualmente
.Calcular el valor del pago único.
2.- La señora López debe pagar $3000 dentro de tres meses , 3500 dentro de
cuatro meses y 4000 dentro de seis meses .La señora López acuerda con su
acreedor a liquidar sus deudas mediante un pago único en el quinto mes y con
una tasa de 24% convertible mensualmente .¿Calcular el valor del pago único?
3.- Wilmer desea vender una casa y recibe 3 ofertas: a)$2000 al contado y
$3000 a 4 años de plazo; b)$2300 al contado, 4000 a 3 años de plazo y
$4700 a 4 años de plazo; y c) 3000 al contado, una letra de $4000 a 30 meses
y otra letra de $1000 a 48 meses plazo. ¿Cuál de las tres ofertas le conviene
aceptar, considerando que el rendimiento del dinero es del 11% anual,
capitalizable cuatrimestralmente?

REEMPLAZO DE LAS OBLIGACIONES POR
DOS PAGOS IGUALES
Cuando se quiere reemplazar las obligaciones por dos
pagos iguales, se debe escoger la fecha de pago de
cualquiera de dos pagos como fecha focal.
EJEMPLO:
La compañía América tiene las siguientes deudas: $1000 a 15
meses de plazo; $1500 a 21 meses de plazo ; $2000 a 27
meses de plazo , con una tasa de interés del 12% efectiva
desde la suscripción; y $3000 a 33 meses plazo; la empresa
desea reemplazar todas desde la suscripción; la empresa
desea reemplazar todas sus deudas por 2 pagos iguales a 24 y
36 meses, a una tasa de interés del 36% anual capitalizable
trimestralmente. Calcular el valor de dichos pagos.

TRABAJO EN CASA
1.- Una empresa ALFA tiene las siguientes
deudas:$2500 a 21 meses de plazo; $3000
a 27 meses de plazo; $3500 a 42 meses de
plazo; $4000 a 63 meses plazo, con una tasa
de interés del 9% efectiva; $5000 a 75
meses de plazo. La empresa desea
reemplazar sus deudas por pagos iguales a
los 24 y 60 meses. Calcule el valor de dichos
pagos, considerando una tasa de interés del
12% anual capitalizable trimestralmente.

2.- Una empresa tiene las siguientes deudas: $2500 a 21
meses de plazo; $3000 a 27 meses de plazo; $3500 a 42
meses de plazo; $4000 a 63 meses de plazo , con una
tasa de interés del 9% efectiva; $5000 a 75 meses de
plazo .La empresa desea reemplazar sus deudas por dos
pagos iguales a los 24 y 60 meses .Calculemos el valor de
dichos pagos, considerando una tasa de interés del 12%
anual capitalizable trimestralmente.
Los dos ejercicios llevando a las dos fechas focales.

ANUALIDADES O RENTAS
Una anualidad es
una serie de
pagos periódicos
iguales, (Portus
,1975)
El valor de cada
pago periódico
recibe el nombre de
renta o
simplemente,
anualidad (J.H
Moore,1973)

ANUALIDADES
ANTECEDENTES.- Se asocia con los elementos del interés
compuesto
CONCEPTO.- Se llaman anualidades a las cantidades que se
depositan o se pagan a intervalos regulares de tiempo con el
objeto de construir un capital o de cancelar una deuda.
APLICACIÓN E IMPORTANCIA .- Se emplea para cancelar todo
tipo de deuda que sea de su naturaleza, (crédito, prestamos ,
adquisición de bienes y servicios, impuestos, arriendos,
sueldo , jubilaciones .
Es importante recalcar que cada que estamos haciendo una
actividad estamos aplicando anualidades.

ELEMENTOS
R=cantidad que se paga o se deposita con el propósito de
cancelar deudas
i=J/m tasa de interés por periodo de interés
n=Tiempo en numero de pagos
S=El monto de la anualidad
A=El valor presente de la Anualidad
PR=Periodo de Renta , es el intervalo periódico entre dos
pagos consecutivos.
PA= Periodo de la anualidad .- Entre el inicio y final de la
operación
RA= Renta Anual.- es el valor de la sumatoria en los pagos
de unidad de tiempo

Clasificación de anualidades
Según el tiempo
Eventuales o
contingentes
Aquellas en las
que al comienzo
y el fin de serie
de pagos o
depósitos son
imprevistos y
depende de
algunos
acontecimiento
s externos tales
como: los
seguros de vida,
de accidentes ,
incendios.
Ciertas
Aquellas en
las que sus
fechas inicial
y terminal se
conocen por
estar
establecidas
en forma
concreta,
como son las
cuotas de
prestamos
hipotecarios,
quirografario
s
Según la forma de
pago
Ordinarias o
vencidas
Son aquellas
en las que el
depósito, o
renta y la
liquidación
de intereses
se realizan al
final de cada
periodo
Ejemplo:
pago de
cuotas
mensuales
por deudas a
plazo.
Anticipadas
Aquellas en
las que el
deposito, el
pago y la
liquidación
de los
interés se
hacen al
principio de
cada
periodo
Diferidas
Aquellas
cuyo plazo
comienza
después de
transcurrido
determinado
intervalo de
tiempo
establecido
es decir
prestamos
con periodos
de gracia
Simples
Aquellas cuyo
periodo de
pago coincide
con el periodo
de
capitalización,
ejemplo si la
capitalización
es semestral
los pagos
serán
semestrales.
Generales
Aquellas
cuyos
periodos de
pago y de
capitalización
no coinciden

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