2 ano matrizes 2010

[object Object],[object Object],Ana Carlos Pedro 2006 80 75 72,5 2007 76 82,5 78

[object Object],[object Object],[object Object]

[object Object],[object Object],ou A = 80 75 72,5 76 82,5 78 80 75 72,5 76 85,2 78 A =

[object Object],A = -> 1ª linha -> 2 ª linha 1ª coluna 2ª coluna 3ª coluna ,[object Object],80 75 72,5 76 82,5 78

[object Object],[object Object],a ij i indica a linha do elemento j indica a coluna do elemento

[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],80 75 72,5 76 82,5 78 A =

[object Object],[object Object],a mn ... a m3 a m2 a m1 ... a 23 a 13 ... ... ... ... ... ... a 2n a 22 a 21 a 1n a 12 a 11 A = ,[object Object]

[object Object],A = ,[object Object],[object Object],[object Object],6,2 8,3 9 7,4 8 7,3 8,7 6,5 7,2 8,1 6,9 7

[object Object],a 32 a 31 a 22 a 21 a 12 a 11 A = ,[object Object],a 11 = 3. 1 – 1 = 2 a 12 = 3. 1 – 2 = 1 a 21 = 3. 2 – 1 = 5 a 22 = 3. 2 – 2 = 4 a 31 = 3. 3 – 1 = 8 a 32 = 3. 3 – 2 = 7 A = 2 1 5 4 8 7

[object Object],b 22 b 21 b 12 b 11 B = b 11 = 2. 1 + 1 = 3 b 12 = 2 1 = 2 b 21 = 2. 2 + 1 = 5 b 22 = 2. 2 + 2 = 6 B = b ij = 2i + j, se i ≥ j j i , se i < j 3 2 5 6

[object Object],É uma matriz nula 2 x 3. O = O = É uma matriz nula 2 x 2. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

[object Object],[object Object],É uma matriz linha 1 x 3. É uma matriz coluna 2 x 1. – 1 2 5 3 6

[object Object],é matriz quadrada de ordem 2. é matriz quadrada de ordem 3. 0 3 – 2 5 3 0 – 3 7 2 – 5 1 4 0

[object Object],[object Object],[object Object],Diagonal secundária (i + j = 4) Diagonal principal (i = j) a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33

[object Object],[object Object]

[object Object],A = B = ,[object Object],2 1 5 4 8 7 2 1 8 4 5 7

[object Object],= 2 x = 4 y + 1 = 5 x + z = –1 t – y = 3 ⇒ 2 x = 2 2 ⇒ x = 2 ⇒ y = 4 ⇒ 2 + z = –1 ⇒ z = –3 ⇒ t – 4 = 3 ⇒ t = 7 2 x – 1 y + 1 3 4 x + z 5 t – y

[object Object],M = x 2 – 1 = 0 x 2 – x – 2 = 0 x 2 – y 2 = 0 x + y = 0 ⇒ x = ± 1 ⇒ x = –1 ou x = 2 ⇒ x = –1 e y = 1 ⇒ x = –y x 2 – 1 x 2 – x – 2 x 2 – y 2 x + y

[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object]

[object Object],[object Object],[object Object],[object Object]

[object Object],+ = N = 3N = = 2 – 1 1 3 4 5 – 5 – 2 2 + 4 – 1 + 5 1 – 5 3 – 2 3 -7 10 -1 8 -5 0 4 -2 9 -21 30 -3 24 -15 0 12 6 6 4 – 4 1

[object Object],A = B = ⇒ Ana Carlos Pedro 2006 80 75 72,5 2007 76 82,5 78 2006 2007 Ana 80 76 Carlos 75 82,5 Pedro 72,5 78 80 75 72,5 76 82,5 78 78 72,5 82,5 75 76 80

[object Object],A = (a ij ) m x n ⇒ A t = (a ji ) n x m A = – 5 1 0 – 1 3 2 A t = ⇒ 2 – 1 1 3 0 – 5

[object Object],A oposta da matriz A = , é a matriz – A = 0 3 – 2 5 0 – 3 2 – 5

[object Object],[object Object],[object Object],é matriz identidade de ordem 2. é matriz identidade de ordem 3. I 2 = I 3 = 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1

[object Object],[object Object],M = N = Traço de M é –2. Traço de N é 3/2. 3 0 0 – 5 ½ 0 0 0 0 0 0 0 2

[object Object],A = x + 2y = 0 x – y + 6 = 0 ⇒ x = –4 ⇒ x + 2y = 0 2x – 2y + 12 = 0 x (2) + 3x + 12 = 0 e y = 2 O traço da matriz é: x – 2y + x + y = 2x – y = –10 x – 2y x – y + 6 x + 2y x + y

[object Object],N = A é simétrica ⇔ A = A t Exemplo 1 – 3 5 – 3 2 – 1 5 – 1 6

[object Object],P = m + n = –1 m – 2n = 2 ⇒ m + n = –1 m – 2n = 2 p + 2 = 5 ⇒ 2m + 2n = –2 m – 2n = 2 + 3m = 0 ⇒ m = 0 e n = –1 ⇒ p = 3 3 m + n 2 – 1 1 5 m – 2n p + 2 0

[object Object],N = A é anti-simétrica ⇔ A = –A t Exemplo 0 3 – 5 – 3 0 – 1 5 1 0

[object Object],Q = 0 0 0 2 – 5 – 3 .... .... 5 – 2 .... 3 .... .... ....

[object Object],A = B = Exemplos 3 1 0 – 5 ½ 7 3 0 – 2 1 0 0 2

[object Object],Custo do produto (R$) Custo da embalagem (R$) A B E 1 2 3 E 2 3 4 E 3 4 6 A B E 1 60 80 E 2 100 130 E 3 120 160

[object Object],P = E = ,[object Object],60 80 100 130 120 160 2 3 3 4 4 6

[object Object],P = E = 1,5 . P = 1,5 .160 1,5 .120 1,5 .100 1,5 .60 1,5 .130 1,5 .80 = 240 180 150 90 195 120 1,5 . P + E = + = 246 184 153 92 199 123 60 80 100 130 120 160 2 3 3 4 4 6 90 120 150 195 180 240 2 3 3 4 4 6

[object Object],Preço de venda (R$) A B E 1 92 123 E 2 153 199 E 3 184 246

[object Object],N = M = 3.M = 3 .2 3 .3 3 .1 3 .–2 = – 2.M = – 2 .4 – 2 .3 – 2 .0 – 2 .2 = – 2 1 3 2 2 0 3 4 – 6 3 9 6 – 4 0 – 6 – 8

[object Object],N = M = 3M –2N + I 2 = 3.M + (–2.N) + I 2 = – 1 3 3 – 9 = + + = – 2 1 3 2 2 0 3 4 – 6 3 9 6 – 4 0 – 6 – 8 1 0 0 1

[object Object],B = A = A matriz X deve ser do mesmo tipo de A e B. X = 3.X – A = 2B ⇒ 3. – = 2. – 5 0 – 1 4 1 – 3 2 1 x y z t x y z t – 5 0 – 1 4 1 – 3 2 1

3.X – A = 2B ⇒ + = ⇒ 3t – 4 3z + 1 3y 3x + 5 = 3x + 5 = 2 3y = –6 3z + 1 = 4 3t – 4 = 2 ⇒ x = –1 y = –2 z = 1 t = 2 ⇒ X = 3x 3y 3z 3t 5 0 1 – 4 2 – 6 4 2 2 – 6 4 2 – 1 – 2 1 2

[object Object],B = A = Equações como essa podem ser resolvidas, também, como se fossem equações algébricas . Veja . 3.X – A = 2B ⇒ 3.X = A + 2B ⇒ X = 1 3 A + 2B = + = 6 3 – 6 – 3 (A + 2B) – 5 0 – 1 4 1 – 3 2 1 – 5 0 – 1 4 2 – 6 4 2

[object Object],B = A = Equações como essa podem ser resolvidas, também, como se fossem equações algébricas . Veja . 3.X – A = 2B ⇒ 3.X = A + 2B ⇒ X = (A + 2B) 1 3 X = = 1 3 2 1 – 2 – 1 – 5 0 – 1 4 1 – 3 2 1 – 3 – 6 3 6

[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object]

[object Object],Peso por bimestre em cada colégio 1º B 2º B 3º B 4º B Tales 1 2 3 4 Platão 2 2 3 3

[object Object],Nota de cada aluno por bimestre André Pedro 1º B 6 9 2º B 5 8 3º B 7 6 4º B 8 5

[object Object],André: 1 .6 + 2 .5 + 3 .7 + 4 .8 = 6 + 10 + 21 + 32 = 69 Pedro: 1 .9 + 2 .8 + 3 .6 + 4 .5 = 9 + 16 + 18 + 20 = 63 André Pedro 1º B 6 9 2º B 5 8 3º B 7 6 4º B 8 5 1º B 2º B 3º B 4º B Tales 1 2 3 4 Platão 2 2 3 3

[object Object],André: 2 .6 + 2 .5 + 3 .7 + 3 .8 = 12 + 10 + 21 + 24 = 67 Pedro: 2 .9 + 2 .8 + 3 .6 + 3 .5 = 18 + 16 + 18 + 15 = 67 André Pedro 1º B 6 9 2º B 5 8 3º B 7 6 4º B 8 5 1º B 2º B 3º B 4º B Tales 1 2 3 4 Platão 2 2 3 3

[object Object],Pontos de cada aluno por colégio André Pedro Tales 69 63 Platão 67 67

[object Object],Matriz dos pesos: A = Matriz das notas: B = Matriz dos pontos: C = c 12 = 1 .9 + 2 .8 + 3 .6 + 4 .5 c 12 = 9 + 16 + 18 + 20 c 12 = 63 C = A.B 1 2 3 4 2 2 3 3 6 9 5 8 7 6 8 5 69 63 67 67

[object Object],A é matriz m x n B é matriz n x p iguais ⇒ existe AB AB é do tipo ⇒ m x p

[object Object],B = A = A é matriz 2 x 3 B é matriz 3 x 2 iguais ⇒ existe AB AB é do tipo ⇒ 2 x 2 AB = – 3 1 0 2 4 – 2 – 1 2 3 5 – 2 6 x 11 x 12 x 21 x 22

[object Object],B = A = Cálculo de x 11 : x 11 = –3 .(–1) + 1 .3 + 0 .(–2) = 3 + 3 + 0 = 6 Cálculo de x 12 : x 12 = –3 .2 + 1 .5 + 0 .6 = –6 + 5 + 0 = –1 – 3 1 0 2 4 – 2 – 1 2 3 5 – 2 6

[object Object],B = A = Cálculo de x 21 : x 21 = 2.(–1) + 4.3 + (–2).(–2) = –2 + 12 + 4 = 14 Cálculo de x 22 : x 22 = 2.2 + 4.5 + –2 .6 = 4 + 20 – 12 = 12 – 3 1 0 2 4 – 2 – 1 2 3 5 – 2 6

[object Object],B = A = Conclusão: AB = = – 3 1 0 2 4 – 2 – 1 2 3 5 – 2 6 x 11 x 12 x 21 x 22 6 – 1 14 12

[object Object],B = A = Vamos analisar primeiro de que tipo é a matriz X. A é matriz 2 x 2 X é matriz m x n existe AX ⇒ m = 2 AX é do tipo ⇒ 2 x n AX 2 x n = B 2 x 1 ⇒ n = 1 X = 2 – 1 1 1 5 4 x y

[object Object],2x – y = 5 x + y = 4 B = A = AX = B ⇒ . = x + y 2x – y 4 5 = ⇒ x = 3 y = 1 ⇒ X = 2 – 1 1 1 5 4 x y 2 – 1 1 1 5 4 3 1

[object Object],AB = A = B = . = – 2 + 3 – 1 + 1 6 – 6 3 – 2 = 1 0 0 1 BA = . = – 2 + 3 3 – 3 – 2 + 2 3 – 2 = 1 0 0 1 ,[object Object],1 1 2 3 3 – 1 – 2 1 1 1 2 3 3 – 1 – 2 1 3 – 1 – 2 1 1 1 2 3

[object Object],AA –1 = A –1 A = I n

[object Object],A = Caso exista, A –1 ela será de ordem 2. A –1 = AA –1 = I 2 ⇒ . = ⇒ b – 3d 2b – 5d a – 3c 2a – 5c = 2 – 5 1 – 3 a b c d 2 – 5 1 – 3 a b c d 1 0 0 1 1 0 0 1

[object Object],A = Resolvendo os sistemas encontramos a = 3, b = –5, c = 1 e d = –2. Logo ⇒ 2a – 5c = 1 a – 3c = 0 e 2b – 5d = 0 b – 3d = 1 A –1 = = 2 – 5 1 – 3 a b c d 3 – 5 1 – 2

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