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Teorema de Pitágoras e Relações Trigonométricas
- 1. Triângulo retângulo Professora: Julya Matemática – 9º A
- 2. Teorema de Pitágoras • Pitágoras, um dos maiores filósofos da Europa antiga, era filho de um gravador, Mnesarco. Nasceu por volta de 572 anos a.c., em Samos, uma ilha do mar Egeu, ou, segundo alguns, em Sidon, na Fenícia. Muito pouco se sabe sobre a sua juventude, a não ser que conquistou prêmios nos Jogos Olímpicos.
- 3. Teorema de Pitágoras • Fundou a escola pitagórica que teve grande influência no desenvolvimento da Filosofia e da ciência, em especial da Matemática. • Por volta do ano 500 a.C., quando estava no auge, a escola foi fechada, sob a acusação de apoiar a aristocracia, contrária ao governo. • Pitágoras refugiou-se em Metaponto (colônia Grega no Sul da Itália), porém a escola pitágorica sobreviveu por cerca de dois séculos.
- 4. Teorema de Pitágoras • A julgar por alguns relatos históricos, deve-se a Pitágoras(ou talvez a algum membro de sua escola) a primeira demonstração do teorema de Pitágoras (daí o nome), hoje comumente enunciado assim. O quadrado da hipotenusa de um triângulo retângulo é igual à soma dos quadrados dos catetos.
- 5. Teorema de Pitágoras • De acordo com esse teorema, podemos escrever essa relação da seguinte maneira: a2 = b 2 + c2
- 6. Teorema de Pitágoras • Veja como podemos verificar essa relação: • Sobre cada lado de um triângulo retângulo, desenhamos um quadrado.
- 7. Teorema de Pitágoras Note que a soma das áreas dos dois quadrados menores é igual à área do quadrado maior
- 8. Teorema de Pitágoras • Utilizando algumas relações métricas estudadas anteriormente, podemos demonstrar o Teorema de Pitágoras. • Observe o triângulo ao lado: • Nesse triângulo, sabemos que: c2 = a . n b2 = a . m
- 9. Teorema de Pitágoras • Adicionando as relações 1 e 2 membro a membro temos: c2 + b2 = a . n + a . m • Colocando, no segundo membro o fato comum em evidência: c2 + b2 = a .( n + m ) • Como m + n = a c2 + b2 = a . a • Dessa forma, em um triângulo retângulo: c2 + b 2 = a 2
- 10. Teorema de Pitágoras • Agora, utilizando o Teorema de Pitágoras. Veja como podemos obter os valores de x e y nos triângulos a seguir:
- 11. Relações Trigonométricas no triângulo retângulo • Estudamos anteriormente as relações métricas no triângulo retângulo, ou seja, aquelas que envolviam as medidas de seus lados. • Vamos estudar agora outras relações que envolvem não somente as medidas dos lados, mas também as medidas dos ângulos internos do triângulo retângulo.
- 12. Relações Trigonométricas no triângulo retângulo • A parte da geometria que estuda os métodos para calcular as medidas dos lados e dos ângulos de um triangulo retângulo chama-se trigonometria.
- 13. Relações Trigonométricas no triângulo retângulo • Observe o triângulo retângulo abaixo e alguns de seus elementos:
- 14. Relações Trigonométricas no triângulo retângulo • Em um triângulo retângulo podemos determinar três razões envolvendo as medidas dos catetos e da hipotenusa. Essas razões são chamadas razões trigonométricas e recebem o nome de seno, cosseno e tangente.
- 15. Relações Trigonométricas no triângulo retângulo • Tomando como referência o ângulo B no triângulo abaixo, temos:
- 16. Relações Trigonométricas no triângulo retângulo • Tomando como referência o ângulo C no triângulo abaixo, temos:
- 17. Relações Trigonométricas no triângulo retângulo • Exemplo :
- 19. Tabela Trigonométrica • Exemplos de uso da tabela: • Consultando a tabela para encontrar as razões trigonométricas de um ângulo dado. • Seja o ângulo de 35º. Então:
- 20. Tabela Trigonométrica • Consultando a tabela para determinar o valor de um elemento desconhecido do triângulo. Vamos calcular o valor de x no triângulo abaixo: