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GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 3a série – Volume 3

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1

GRANDEZAS, INTERDEPENDÊNCIA: UM PANORAMA
SOBRE FUNÇÕES

Página 3

Pessoal.

Páginas 4 - 9
1.
(I) O comprimento C de uma circunferência
é uma função de seu raio x: C = 2x.
(III)

(II) A área A de um quadrado é uma função
de seu lado x: A = x2.

(V)

(III) A massa m de uma substância radioativa
diminui com o tempo, ou seja, é uma função do
tempo de decomposição t: m = f(t). Para certa
substância, tem-se m = mo2-0,1t, onde mo é a
massa inicial e t o tempo de decomposição em
horas.
(II)

1


(IV) Uma pequena bola é presa a uma mola
perfeitamente elástica. Afastada da posição (I)
O de equilíbrio, a uma distância a, a bola
oscila em torno da mola, deslocando-se em
uma superfície lisa, horizontal. A distância x
da bola até o ponto O depende do instante t
considerado, ou seja, é uma função de t:
x = f(t). No caso, temos x = a.cos(kt), onde
k é uma constante que depende da
elasticidade da mola e da massa da bola.

(V) Mantendo-se constante a temperatura, a (IV)
pressão P de um gás no interior de um
recipiente de volume variável V é uma
função de V: P = f(V). No caso, temos
k
P= , onde k é uma constante.
v

2.

Escolhendo o sistema de coordenadas XOY indicado na figura, a parábola será o gráfico
da função f(x) = ax2 + c, com a < 0. Como as hastes são igualmente espaçadas, os
comprimentos das hastes serão os valores de f(x) para x1 = 5, x2 = 10 e x3 = 15. Como a
flecha do arco de parábola é f = 5, segue que c = 5 e f(x) = ax2 + 5. Como o ponto B tem
abscissa x = 20 e ordenada y = 0, segue que: f(20) = 0 e, então, 0 = a . 202 + 5, ou seja,
1 1 2
a=– . Logo, f(x) = – x  5 e os valores procurados são:
80 80
75
y 1  f(x 1 )  f(5)   4,69 m ;
16
2


15
y 2  f(x 2 )  f(10)   3,75 m ;
4
35
y 3  f(x 3 )  f(15)   2,19 m .
16

3. Um retângulo de perímetro de 24 m pode ser bem “magrinho”, tendo área muito
pequena. Chamando de x e y os lados de um retângulo, seu perímetro será p = 2x + 2y e
sua área será A = xy. Como devemos ter p = 24, a cada valor de x escolhido
corresponderá um valor para y, ou seja, y é uma função de x. No caso, temos y = 12 – x.
A área do retângulo é uma função de x e y, mas, como y = 12 – x, segue que a área A é
uma função de x: A = f(x) = x . (12 – x) = 12x – x2. Essa função é um trinômio de 2o
grau que se anula para x1 = 0 e para x2 = 12. Seu gráfico é uma parábola com a
concavidade voltada para baixo, ou seja, a função área apresenta um valor máximo no
(x 1  x 2 )
ponto de coordenadas (u; v), sendo u = e v = f(u).
2
Logo, u = 6 e Amáx = f(6) = 36. O retângulo de perímetro de 24 m e área máxima é, pois,
o quadrado de lado 6 m; a área máxima é igual a 36 m2.

4.
a)

A população N é uma função do tempo t, contado a partir da fundação:
N = f(t)= 3 000 . 100,1t. O gráfico de f(t), neste caso, é o de uma função exponencial
crescente, cujo valor inicial (para t = 0) é 3 000.

3


3
b) O valor de N para t = 15 é N = f(15) = 3 000.100,1.15 = 3 000.10 2  94 868

habitantes.
c) O valor de N será 216 000 para um valor de t tal que f(t) = 216 000, ou seja,
3 000 . 100,1t.= 216 000. Logo, 100,1t = 72 e 0,1t = log 72. Consultando uma tabela de
logaritmos ou usando uma calculadora, obtemos log 72 = 1,86, seguindo daí que o
valor de t pedido: t  18,6 anos.

5.
a) A função m = f(t) = 60 . 2-0,25t é uma exponencial decrescente, a partir do valor
inicial 60.

b) O valor de f(t) para t = 8 é: m = f(8) = 60 . 2-0,25 . 8 = 15 g.
c) Expressando t em termos de m, ou seja, escrevendo t como uma função de m,
obtemos sucessivamente:
m m m
60 . 2-0,25t  m 2-0,25t  – 0,25t  log2 ( ) t = – 4 . log2 ( ).
60 60 60
d) Para saber após quanto tempo a massa m será igual a 12 g, podemos usar a
expressão de m em função de t ou a expressão de t em função de m obtida no item c:
12 1
t   4 . log 2 ( )   4 . log 2 ( )  4 . log 2 5.
60 5
Usando uma calculadora, obtemos o valor log25  2,32; segue que t  9,28 h.

6.
a) Sabemos que para t = 0, x = 10 e que para t = 4, temos x = 10 (primeiro retorno à
posição inicial), resulta, então: 10 = 10.cos(k.4).

Logo, cos(4k) = 1, o que implica: 4k  2 ou seja, k .
2
4


Note que, para t = 8, também temos 10cos(k.8) = 10, e cos(8k) = 1; também temos
8k = 4 (segundo retorno à posição inicial).

 
b) Sendo x  10 . cos  t  , calculemos os valores de x para os valores indicados
2 
de t:

t 1  x  10  cos  0 cm
2

t2  x  10  cos (  2)  10 cos   10 cm
2

t 3  x  10  cos (  3)  0 cm
2
10  10 5 1
t  x  10  cos (  )  10  cos ( )  10   5 cm
3 2 3 3 2
 
c) O gráfico da função x  f (t )  10 . cos t  é mostrado a seguir:
2 

Páginas 9 - 11
1. Analogamente ao que foi feito no exemplo, temos:
• as raízes da equação polinomial de grau 4 representada pela igualdade f(x) = 0 são
x = 0, x = –1, x = 2 e x = 3;
• sendo a equação de grau 4, ela terá no máximo 4 raízes reais, ou seja, o gráfico
somente cortará o eixo x nos pontos correspondentes às 4 raízes mencionadas;
• notamos, mesmo sem efetuar os cálculos, que o coeficiente do termo em x4 é
positivo e igual a 1, ou seja, quando os valores de x crescem muito, os valores de f(x)
são “dominados” pelos valores de x4, ou seja, tornam-se cada vez maiores; o mesmo

5


ocorre quando x se torna muito pequeno (–1 000 000, por exemplo), uma vez que o
maior expoente de x é par;
• segue o esboço do gráfico de f(x):

Construindo efetivamente o gráfico usando um software, obtemos:

6



CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS: UM OLHAR “FUNCIONAL”

Páginas 14 - 18
1. (a), (b), (c) e (d).

2. (a), (b), (c).

7


3.

4.

8


5.

6.

7.

9


Páginas 18 - 19
1.

2.

1
Note que o valor de g(x) para x = 0 é igual a , ou seja, é o inverso do valor de f(x)
3
para x = 0, que é 3.

10



AS TRÊS FORMAS BÁSICAS DE CRESCIMENTO OU
DECRESCIMENTO: A VARIAÇÃO E A VARIAÇÃO DA
VARIAÇÃO

Desafio!

Páginas 21 - 23
A forma padrão de crescimento ou decrescimento é: f(x) = ax + b.
a) No país A, os preços mantiveram-se constantes.
b) No país B, os preços variaram tendo como gráfico uma reta inclinada com inclinação
positiva.
c) No país D, os preços cresceram tendo o gráfico encurvado para cima, o que significa
taxas crescentes.
d) No país C, os preços decresceram tendo como gráfico uma reta com inclinação
negativa.
e) No país F, os preços cresceram tendo o gráfico encurvado para baixo.
f) No país E, os preços decresceram tendo o gráfico encurvado para cima.
g) No país J, os preços inicialmente tiveram um gráfico retilíneo. Depois, seguiram uma
curva voltada para baixo.
h) No país G, os preços decresceram tendo o gráfico encurvado para baixo.
i) No país H os preços inicialmente tiveram um gráfico voltado para cima. A partir de
certo ponto, o gráfico encurvou-se para baixo.
j) No país I, os preços decresceram segundo um gráfico voltado para baixo. Depois,
segundo um gráfico voltado para cima.

Páginas 27 - 30
1. O aluno aqui fará a correção do desafio proposto no inicio desta Situação de
Aprendizagem. É importante que você, professor, esteja atento a qualquer dúvida que
poderá surgir.

11


2.
a) Temos f(x) > 0 para x entre x2 e x7 e para x entre x10 e x12.
b) Temos f(x) < 0 para x entre x1 e x2 e para x entre x7 e x10.
c) A função f(x) é constante para valores de x entre x4 e x5 e para x entre x8 e x9.
d) A função f(x) é crescente para x entre x1 e x4, e para x entre x9 e x12.
e) A função f(x) é decrescente para x entre x5 e x8.
f) A função f(x) cresce a uma taxa constante nos intervalos em que o gráfico é um
segmento de reta ascendente, ou seja, para x entre x1 e x3 e para x entre x10 e x11.
g) A função f(x) decresce a uma taxa constante no intervalo em que o gráfico é um
segmento de reta descendente, ou seja, para x entre x6 e x7.
h) A função f(x) cresce a taxas crescentes no intervalo em que é crescente e o
gráfico é encurvado para cima, ou seja, para x entre x9 e x10.
i) A função f(x) cresce a taxas decrescentes nos intervalos em que é crescente e o
gráfico está encurvado para baixo, ou seja, para x entre x3 e x4 e para x entre x11 e
x12.
j) A função f(x) decresce a taxas crescentes no intervalo em que é decrescente e o
gráfico é encurvado para baixo, ou seja, para x entre x5 e x6.
k) A função f(x) decresce a taxas decrescentes no intervalo em que é decrescente e
o gráfico é encurvado para cima, ou seja, para x entre x7 e x8.

3. (a), (b), (c) , (d) e (e).
• O gráfico da velocidade v como função do tempo t é uma semirreta, com início
no ponto (0; 40) e com inclinação negativa e igual a –10. Como v diminui 10 m/s a
cada segundo, após 4 s a velocidade será igual a 0, ou seja, a semirreta corta o eixo x
(ver figura a seguir).
• O gráfico da altura h em função do tempo t é um arco de parábola, iniciando no
ponto (0; 45), com a concavidade para baixo. Seu ponto de máximo coincide com o
instante em que a velocidade é igual à 0, ou seja, ocorre para t = 4 s. A altura
máxima é o valor de h(t) para t = 4, ou seja, é h(4) = 125 m.
• A pedra leva 4 s subindo até a altura máxima e igual tempo descendo até a
posição de partida; logo, após 8 s estará de volta à posição inicial.
• O instante em que ela toca o solo é o valor de t para h = 0, ou seja, é a raiz da
equação 0 = 45 + 40t – 5t2. Resolvendo, encontramos t = 9 s.
12


Todos esses resultados estão sintetizados nos seguintes gráficos:

f) Observando os gráficos e especialmente as concavidades, concluímos que as três
afirmações são verdadeiras.

Páginas 31 - 32
1. Para construir o gráfico de f(x), sabemos que ele é uma parábola com a concavidade
para cima, pois o coeficiente de x2 é positivo (igual a 1), e temos as raízes da equação
f(x) = 0, que são x = –1 e x = 5. Sabemos ainda que o vértice da parábola se encontra

13


no ponto médio do segmento determinado pelas raízes, ou seja, no ponto em que
x = 2.
Logo, temos:

Observando o gráfico, concluímos:
a) f(x) > 0 para x > 5, ou então para x < –1;
f(x) < 0 para x entre –1 e 5.
b) f(x) é crescente para x > 2;
f(x) é decrescente para x < 2.
c) Para x > 2, f(x) cresce a taxas crescentes (concavidade para cima);
para x < 2, f(x) decresce a taxas decrescentes (concavidade para cima).

2. Basta notar a concavidade do gráfico em cada caso.

Concluímos que:
a) f(x) cresce a taxas crescentes;
b) g(x) decresce a taxas decrescentes;
c) h(x) cresce a taxas decrescentes;
14


d) m(x) decresce a taxas decrescentes.

Páginas 33 - 34
1.

a) No intervalo considerado, temos:
 
f(x) é crescente para x entre 0 e e para x entre 3 e 2;
2 2
 
f(x) é decrescente para x entre e3 ;
2 2
g(x) é crescente para x entre  e 2;
g(x) é decrescente para x entre 0 e .

b) Notamos que o valor máximo de f(x) ocorre no ponto x = e o valor mínimo
2

ocorre no ponto x = 3 ; nesses pontos, temos g(x) = 0. Analogamente, o valor
2
máximo de g(x) ocorre nos pontos x = 0 e x = 2, e o valor mínimo, no ponto x = ;
nesses pontos, temos f(x) = 0.
c) Notamos que o gráfico de f(x) passa de voltado para baixo a voltado para cima
no ponto x = , em que g(x) assume o valor mínimo. Analogamente, o gráfico de

15



g(x) passa de voltado para baixo a voltado para cima no ponto x = , máximo para
2

f(x), e volta a se tornar voltado para baixo no ponto x = 3 , mínimo de f(x).
2

16



OS FENÔMENOS NATURAIS E O CRESCIMENTO OU
DECRESCIMENTO EXPONENCIAL: O NÚMERO ℮

Página 36 - 37
1.

Notamos que, quando x aumenta uma unidade, a partir de x = 0, a variação em f(x) é
igual, sucessivamente, a 2, 6, 18, 54, 162,..., ou seja, a taxa de variação unitária, que é
igual a f(x+1) – f(x), é igual ao dobro do valor de f(x):
f(1) – f(0) = 2f(0) = 2 f(2) – f(1) = 2f(1) = 6
f(3) – f(2) = 2f(2) = 18 f(4) – f(3) = 2f(3) = 54
f(5) – f(4) = 2f(4) = 162 e assim por diante.
A taxa de variação unitária de f(x) = 3x é, portanto, igual a 2f(x).
Chamando, como anteriormente, a taxa unitária de f1(x) e calculando seu valor para
um x qualquer, temos, de fato: f1(x) = f(x + 1) – f(x) = 3x+1 – 3x = 3x . (3 – 1) = 2 . 3x.

2.
a) f1(1) = f(2) – f(1) = 4 000 – 2 000 = 2 000;
f1(2) = f(3) – f(2) = 8 000 – 4 000 = 4 000.
b) O aumento citado é igual a f(7) – f(6) = 1 000 . (27 – 26) = 1 000 . 26. (2 – 1) =
= 1 000 . 26 = f(6), ou seja, a taxa de variação unitária para t = 6 é igual ao valor de
f(6).

17


Página 37
1.
a) f1(2) = f(3) – f(2) = 600 . 103 - 600 . 102 = 540 000.
b) O aumento pedido é igual a:
f(8) – f(7) = 600 . (108 – 107) = 600 . 107. (10 – 1) = 600 . 107. 9 = 9 . f(7),
ou seja, a taxa de variação unitária para t = 7 é igual a 9 vezes o valor de f(7).

Páginas 44 - 45
1.
a) Se os juros são simples, então o capital C1 ao final do ano será 12% maior, ou
seja, C1 = 1,12 . 1 000 = R$ 1 120,00.
b) Se os juros são distribuídos (1% ao mês) e incorporados ao capital mês a mês,
temos:

• ao final do 1o mês: C 1 = 1,01 . 1 000;
12

• ao final do 2o mês: C 1 = (1,01)2 . 1 000;
12

• analogamente, ao final do 12o mês: C1 = (1,01)12 . 1 000 , ou seja,
C1 = 1,1268 . 1 000 ≈ R$ 1 126,80.
c) Se os juros são incorporados continuamente ao capital, temos: C = 1 000 . ℮0,12t.
Ao final do primeiro ano, ou seja, para t = 1, temos C1 = 1 000. ℮0,12, ou seja,
C1 = 1,1275 . 1000 = R$ 1 127,50.

2.
a) Se os juros são incorporados ao capital apenas ao final de cada ano, temos:
C(t) = Co . (1,12)t, com t em anos.
Para termos C(t) = 2Co, devemos ter: 2 Co = Co (1,12)t.
ln 2
Daí, segue que (1,12)t = 2 e, portanto, t . ln(1,12) = ln 2, ou seja, t = .
ln (1,12)
18


Consultando uma tabela ou usando uma calculadora, obtemos: t  6,12 anos, ou seja,
o capital dobrará de valor somente após o sexto ano. Se os juros somente são
incorporados ano a ano, somente poderá ser resgatado o capital após completar o
sétimo ano.
b) Se os juros são incorporados ao capital ao final de cada mês, temos:
C(t) = Co (1,01)t, com t em meses.
Para termos C(t) = 2Co, devemos ter: 2Co = Co . (1,01)t, ou seja, 2 = (1,01)t.
Daí, segue que t . ln(1,01) = ln 2, de onde obtemos: t  69,66 meses  5,8 anos. Se os
juros somente são incorporados mês a mês, o capital dobrado somente poderá ser
resgatado após 5 anos e 10 meses.
c) Se os juros são incorporados continuamente ao capital, temos:C(t) = Co. ℮0,12t,
com t em anos. Para termos C(t) = 2Co, devemos ter 2Co = Co. ℮0,12t.
Daí, segue que 2 = ℮0,12t, ou seja, 0,12 . t = ln 2, de onde obtemos t ≈ 5,78 anos.

Páginas 45 - 46
1.
a) Supondo que m(t) = mo.2bt, ou seja, m(t) = 60.2bt, e sabendo que quando t = 4
1 1
temos m = 30, resulta: 30 = 60.24b, ou seja, 24b= . Em consequência, 4b = log 2   .
2 2
1
Como log22 = 1, segue que 4b = –1, pois log 2   = log21 – log22 = –log22 = –1.
2
Segue que b = –0,25 e, então, m(t) = 60.2– 0,25t.
b) Supondo m(t) = mo . ℮at, ou seja, m(t) = 60 . ℮at, e sabendo que quando
1
t = 4, temos m = 30, resulta: 30 = 60 . ℮4a, ou seja, ℮4a = . Em consequência,
2
1
4a = ln  . Obtendo o valor de ln 2 em uma calculadora, obtemos ln 2  0,6932, de
2
onde segue que 4a = –0,6932, ou seja, a = –0,1733. Assim, a função obtida é
m(t) = 60.℮– 0,1733t
.

19


c) Calculando 2-0,25, com uma calculadora (ou uma tabela de logaritmos), obtemos
0,8409. Calculando ℮-0,1733, obtemos o mesmo valor, 0,8409, o que significa que (2-
0.25 t
) = (e-0,1733)t, ou seja, as duas expressões para a função m(t) são equivalentes.
d) Em qualquer uma das expressões para m(t), substituindo t por 8 obtemos a
massa restante após 8 h: m(8) = 60. 2-0,25.8 = 60.2-2 = 15 g.
e) Para saber após quanto tempo a massa será reduzida a 12 g, basta determinar o
valor de t em qualquer uma das expressões:
 12 
12 = 60 . e-0,1733t, ou seja, –0,1733t = ln  , isto é, –0,1733t = –ln 5.
 60 
Recorrendo a uma calculadora (ou a uma tabela de logaritmos), obtemos
ln 5 = 1,6094; segue que t = 9,29 h, ou seja, aproximadamente, 9h17.

Página 47
1.

Os gráficos de f(x) e de g(x) são simétricos em relação ao eixo y, uma vez que os
valores de f(x), quando trocamos x por –x, coincidem com os valores de g(x).
Os gráficos de m(x) e h(x) também são simétricos em relação ao eixo y. Notamos
que, para x = –2, a função m(x) assume o mesmo valor que a função h(x) para x = 2.
Naturalmente, o domínio de h(x) é o conjunto dos números reais positivos, enquanto
o domínio de m(x) é o conjunto dos números reais negativos.

20


a) Observando os gráficos e lembrando o significado da taxa de variação unitária,
notamos que ela é crescente em f(x), o que faz com que o gráfico resulte encurvado
para cima; f(x) é crescente a taxas crescentes.
b) No gráfico de h(x) = ln x, notamos que a taxa de variação unitária é decrescente,
o que faz com que o gráfico seja encurvado para baixo; h(x) é crescente a taxas
decrescentes.
c) O gráfico de m(x) representa uma função decrescente e notamos que as taxas de
variação são crescentes em valor absoluto; m(x) decresce a taxas crescentes.
d) O gráfico de g(x) representa uma função decrescente e notamos que as taxas de
variação são decrescentes em valor absoluto; g(x) decresce a taxas decrescentes.

2.

21

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