math

1. Conrad Wolfram
Teaching Kids real math with computers
.Έχουμε ένα ουσιαστικό πρόβλημα με τη διδασκαλία μαθηματικών ,Βασικά κανείς δεν
.είναι ικανοποιημένος Όσοι τα διδάσκονται ,θεωρούν ότι είναι αποκομμένα βαρετά και
.δύσκολα ,Όσοι προσπαθούν να τα χρησιμοποιήσουν πιστεύουν ότι δεν ξέρουν
.αρκετά ,Οι κυβερνήσεις συνειδητοποιούν ότι είναι σημαντικά για τις οικονομίες μας αλλά
.δεν ξέρουν πώς να διορθώσουν την κατάσταση Και οι δάσκαλοι είναι επίσης
.απογοητευμένοι Κι όμως τα μαθηματικά είναι περισσότερο σημαντικά για τον κόσμο 'απ
.ότι ήταν σε οποιοδήποτε άλλο σημείο της ανθρώπινης ιστορίας Έτσι από τη μία πλευρά
έχουμε μειούμενο ενδιαφέρον ,για τη διδασκαλία μαθηματικών και από την άλλη πλευρά
,έχουμε ένα κόσμο που είναι περισσότερο μαθηματικός ,περισσότερο ποσοτικός από
.ποτέ
, ,Ποιο είναι το πρόβλημα γιατί υπάρχει αυτό το χάσμα και πώς μπορούμε να το
;διορθώσουμε Πιστεύω πως η απάντηση .μας κοιτάζει κατάματα Η χρήση
.υπολογιστών Πιστεύω ότι η σωστή χρήση υπολογιστών είναι η λύση για την
.αποτελεσματική διδασκαλία μαθηματικών ,Για να το εξηγήσω αυτό επιτρέψτε μου πρώτα
να μιλήσω για λίγο σχετικά με το πώς είναι τα μαθηματικά στον πραγματικό χρόνοκαι πώς
.είναι στην εκπαίδευση Στον πραγματικό κόσμο τα μαθηματικά δεν χρησιμοποιούνται
.απαραιτήτως από μαθηματικούς ,Χρησιμοποιούνται από γεωλόγους ,μηχανικούς
,βιολόγους -όλων των ειδών άνθρωποι που χρησιμοποιούν μοντέλα και
.προσομοιώσεις .Στην πραγματικότητα είναι πολύ δημοφιλή Αλλά στην εκπαίδευση τα
-πράγματα είναι διαφορετικά , -απλουστευμένα προβλήματα πολλοί υπολογισμοί κυρίως
.με το χέρι Πολλά πράγματα που μοιάζουν απλά ,και εύκολα στον πραγματικό κόσμο είναι
.δύσκολα όταν τα μαθαίνεις :Και κάτι ακόμα σχετικά με τα μαθηματικά τα μαθηματικά
-μερικές φορές μοιάζουν με μαθηματικά -όπως σε αυτό το παράδειγμα και μερικές φορές
-όχι " ;"όπως Είμαι μεθυσμένος Και μετά έχεις μια απάντηση που είναι ποσοτική στο
.σύγχρονο κόσμο .Δεν θα το περίμενες πριν από μερικά χρόνια Αλλά τώρα μπορείς να
-μάθεις τα πάντα , ' , -δυστυχώς το βάρος μου είναι κάπως μεγαλύτερο απ αυτό αλλά τα
.πάντα για το τι συμβαίνει
,Για αυτό ας κάνουμε ένα βήμα πίσω και ας ρωτήσουμε γιατί διδάσκουμε
;μαθηματικά ;Ποιος είναι ο σκοπός της διδασκαλίας μαθηματικών ,Και συγκεκριμένα γιατί
;διδάσκουμε μαθηματικά γενικά Γιατί είναι τόσο σημαντικό μέρος της εκπαίδευσης και
;υποχρεωτικό μάθημα :Λοιπόν πιστεύω για τρεις λόγους τεχνικές δουλειές επομένως είναι
,βασικά για την ανάπτυξη των οικονομιών μας .αυτό που ονομάζω καθημερινή ζωή Για να
,λειτουργήσεις στον κόσμο σήμερα ,πρέπει να έχεις ποσοτική αντίληψη πολύ
' .περισσότερο απ ότι πριν από μερικά χρόνια ,Να υπολογίσεις την υποθήκη σου να
, .κρίνεις τα στατιστικά νούμερα της κυβέρνησης τέτοια πράγματα ,Και τρίτον αυτό που θα
ονόμαζα , .λογική εκπαίδευση του μυαλού λογική σκέψη Με το πέρασμα των
ετών εισάγαμε τόσα πολλά στην κοινωνία για να μπορούμε να επεξεργαστούμε και να

2. . .σκεφτούμε λογικά Είναι μέρος της ανθρώπινης κοινωνίας Είναι πολύ σημαντικό να τα
.γνωρίσουμε .Τα μαθηματικά είναι ένας σπουδαίος τρόπος για να το επιτύχουμε αυτό
.Οπότε ας κάνουμε μια άλλη ερώτηση ;Τι είναι τα μαθηματικά Τι εννοούμε όταν λέμε ότι
,κάνουμε μαθηματικά ;ή ότι διδάσκουμε μαθηματικά Λοιπόν νομίζω έχει να κάνει με
, ,τέσσερα βήματα γενικά μιλώντας .ξεκινώντας από το να θέτουμε τη σωστή ερώτηση Τι
; ;θέλουμε να ρωτήσουμε Τι προσπαθούμε να βρούμε Και αυτό είναι το πιο μπερδεμένο
,πράγμα στον κόσμο .πέρα από κάθε άλλο μέρος της ενασχόλησης με τα μαθηματικά Ο
,κόσμος κάνει τη λάθος ερώτηση , ,και περιέργως λαμβάνει τη λάθος απάντηση για αυτό
, .το λόγο αν όχι για άλλους Επομένως το επόμενο πράγμα είναι να πάρουμε αυτό το
πρόβλημα και να το μετατρέψουμε από ένα πρόβλημα του πραγματικού κόσμου σε ένα
.μαθηματικό πρόβλημα .Αυτό είναι το δεύτερο στάδιο ,Όταν το κάνουμε αυτό ακολουθεί το
.υπολογιστικό βήμα Το μετατρέπουμε σε κάποιου είδους .μαθηματική απάντηση Και
, .φυσικά τα μαθηματικά έχουν μεγάλη δύναμη να το κάνουν αυτό ,Και τελικά το
.μετατρέπουμε ξανά σε πρόβλημα του πραγματικού κόσμου Απαντήσαμε στην
;ερώτηση - .Και επίσης επαλήθευση σημαντικό βήμα .Τώρα ακολουθεί το τρελό βήμα Στη
,διδασκαλία μαθηματικών 80ξοδεύουμε περίπου το τοις εκατό του χρόνου διδάσκοντας
.μαθητές πως να κάνουν το τρίτο βήμα με το χέρι ,Και όμως αυτό είναι ένα βήμα που
,μπορούν να κάνουν οι υπολογιστές καλύτερα από κάθε άνθρωπο που έχει εξασκηθεί για
.χρόνια ,Αντί για αυτό πρέπει να χρησιμοποιούμε υπολογιστές για να κάνουμε το τρίτο
βήμα και να χρησιμοποιούμε τους μαθητές για να αφιερώνουμε περισσότερη
προσπάθεια , -στο να μαθαίνουν πώς να κάνουν τα βήματα ένα δύο και τέσσερα να
, ,αντιλαμβάνονται τα προβλήματα να τα εφαρμόζουν και ο δάσκαλος να τους εξηγεί πώς
.να το κάνουν αυτό
, :Βλέπετε το βασικό σημείο εδώ .τα μαθηματικά δεν είναι υπολογισμοί Τα μαθηματικά είναι
.ένα πολύ ευρύτερο πεδίο από τους υπολογισμούς Τώρα είναι κατανοητό ότι αυτό έχει
περιπλακεί . :για αιώνες Υπήρχε μόνο ένας τρόπος να κάνουμε υπολογισμούς με το
.χέρι Αλλά τις τελευταίες δεκαετίες .αυτό άλλαξε ολοκληρωτικά Είχαμε τη μεγαλύτερη
μεταβολή από κάθε αρχαίο πεδίο που θα μπορούσα να φανταστώ ποτέ με τους
.υπολογιστές ,Οι υπολογισμοί ήταν συνήθως το περιοριστικό βήμα και όχι συχνά δεν
.είναι Επομένως σκέφτομαι με όρους του γεγονότος ότι τα μαθηματικά απελευθερώθηκαν
.από τους υπολογισμούς Αλλά η απελευθέρωση των μαθηματικών δεν πέρασε στην
.εκπαίδευση ακόμα , , ,Βλέπετε αντιμετωπίζω τους υπολογισμούς κατά μια έννοια ως τη
.μηχανή των μαθηματικών .Είναι η αγγαρεία Είναι αυτό που θέλεις να αποφύγεις αν
, ' .μπορείς που θα θελες να κάνει μια μηχανή ,Είναι το μέσο για ένα σκοπό όχι
.αυτοσκοπός Και η αυτοματοποίηση μας επιτρέπει .να έχουμε αυτή τη μηχανή Οι
.υπολογιστές μας επιτρέπουν να το κάνουμε αυτό Και αυτό δεν είναι μικρό
.πράγμα ,Υπολόγισα ότι μόνο σήμερα σε όλο τον κόσμο 106ξοδέψαμε περίπου ζωές
μέσης διάρκειας .διδάσκοντας ανθρώπους πώς να κάνουν υπολογισμούς με το χέρι Αυτό
.είναι ένα εκπληκτικό ποσό ανθρώπινης προσπάθειας 'Γι αυτό καλύτερα να βεβαιωθούμε
- , , .και με την ευκαιρία δεν διασκέδασαν μαθαίνοντας οι περισσότεροι 'Γι αυτό καλύτερα
να βεβαιωθούμε ότι ξέρουμε για ποιο λόγο το κάνουμε αυτό και ότι έχει ένα πραγματικό
.σκοπό

3. Νομίζω θα πρέπει να θεωρούμε ότι οι υπολογιστές θα κάνουν τους υπολογισμούς και θα
.κάνουμε υπολογισμούς με το χέρι μόνο όταν έχει νόημα να το διδάξουμε Και νομίζω ότι
.υπάρχουν μερικές περιπτώσεις : .Για παράδειγμα νοητική αριθμητική Εξακολουθώ να το
, .κάνω κυρίως για να κάνω εκτιμήσεις ,Οι άνθρωποι λένε αυτό είναι ακαθόριστα
,αληθές , , , .και εγώ λέω μμμ δεν είμαι βέβαιο θα το σκεφτώ χονδρικά Είναι πιο γρήγορο
.και πιο πρακτικό 'Γι αυτό νομίζω η πρακτικότητα είναι μια περίπτωση όπου αξίζει να
.διδάσκουμε στους ανθρώπους να κάνουν υπολογισμούς με το χέρι Και μετά υπάρχουν
κάποια θέματα αντίληψης ,όπου μπορεί να βοηθήσει ο υπολογισμός με το χέρι αλλά
.νομίζω ότι δεν είναι πολλά Κάτι που ρωτάω συχνά είναι τα αρχαία Ελληνικά και πώς
.σχετίζονται , ,Βλέπετε αυτό που κάνουμε τώρα είναι να αναγκάζουμε τον κόσμο να μάθει
.μαθηματικά .Είναι ένα βασικό μάθημα Δεν λέω ότι αν οι μαθητές ενδιαφέρονται για τον
υπολογισμό με το χέρι ή θέλουν να ακολουθήσουν τα ενδιαφέροντά τους σε οποιοδήποτε
-αντικείμενο όσο παράξενο και αν είναι . -θα πρέπει να το κάνουν Αυτό είναι το σωστό οι
.άνθρωποι να ακολουθούν το συμφέρον τους ,Με ενδιέφεραν τα αρχαία Ελληνικά αλλά
δεν νομίζω ότι θα πρέπει να αναγκάσουμε ολόκληρο τον πληθυσμό να μάθει ένα
.αντικείμενο όπως τα αρχαία Ελληνικά .Δεν νομίζω ότι χρειάζεται Επομένως διαχωρίζω
ανάμεσα σε αυτό που αναγκάζουμε τους ανθρώπους να κάνουν και το αντικείμενο που
είναι κάτι σαν γενική τάση , ,και το αντικείμενο που κατά μια έννοια ο κόσμος μπορεί να
ακολουθήσει ως προσωπικό ενδιαφέρον .και ίσως ακόμα και να αναγκαστεί να το κάνει
;Λοιπόν τι προβλήματα έχει ο κόσμος με αυτό , ,Ένα από αυτά είναι λένε ότι πρέπει να
.μάθεις τα βασικά πρώτα Δεν πρέπει να χρησιμοποιήσεις τη μηχανή μέχρι να μάθεις τα
.βασικά του μαθήματος , ;Και η συνήθης ερώτησή μου είναι τι εννοείτε βασικά Βασικά
;τίνος Τα βασικά της οδήγησης ;είναι η συντήρηση ή ο σχεδιασμός του Τα βασικά της
;γραφής είναι να μάθεις πώς να ξύνεις ένα μολύβι .Δεν νομίζω Νομίζω ότι πρέπει να
διαχωρίσουμε τα βασικά του τι προσπαθείς να κάνεις από το πώς γίνεται και τον
.εξοπλισμό του πώς γίνεται Και η αυτοματοποίηση σου επιτρέπει να κάνεις αυτό το
.διαχωρισμό ,Πριν από εκατό χρόνια είναι αλήθεια ότι η οδήγηση απαιτούσε πολλές
γνώσεις σχετικά με τη μηχανή του αυτοκινήτου και τη λειτουργία της ανάφλεξης και άλλα
.παρόμοια Αλλά η αυτοματοποίηση στα αυτοκίνητα ,επέτρεψε το διαχωρισμό και έτσι η
οδήγηση είναι ξεχωριστή από τη μηχανική λειτουργία του αυτοκινήτου ή τη συντήρησή
.του 'Γι αυτό η αυτοματοποίηση επιτρέπει αυτό το διαχωρισμό -και επίσης επιτρέπει στην
,περίπτωση της οδήγησης -και πιστεύω επίσης και στα μαθηματικά στο μέλλον ένα
.εκδημοκρατισμένο τρόπο για να το κάνουμε αυτό Μπορεί να επεκταθεί σε ένα πολύ
μεγαλύτερο αριθμό ανθρώπων .που μπορούν να δουλέψουν με αυτό
' .Γι αυτό υπάρχει κάτι ακόμα που προκύπτει με τα βασικά ,Ο κόσμος μπερδεύει κατά την
,άποψη μου τη σειρά που εφευρέθηκαν τα εργαλεία με τη σειρά με την οποία πρέπει να
.χρησιμοποιηθούν για τη διδασκαλία Έτσι μόνο και μόνο επειδή το χαρτί εφευρέθηκε πριν
,από τους υπολογιστές δεν σημαίνει απαραίτητα ότι κατανοείς τα βασικά ενός
αντικείμενου χρησιμοποιώντας χαρτί αντί για υπολογιστή για τη διδασκαλία
.μαθηματικών .Η κόρη μου μού έδωσε μια ιστορία σχετικά Της αρέσει να ζωγραφίζει
.χάρτινους υπολογιστές , " ,Της είπα μια μέρα Όταν ήμουνα στην ηλικία σου δεν έκανα
.τέτοιες ζωγραφιές ;Ξέρεις γιατί - ,Και μετά από ένα δύο δευτερόλεπτα σκέψης "είπε Δεν

4. ;"είχες χαρτί ,Αν έχεις γεννηθεί μετά την εφεύρεση των υπολογιστών και του χαρτιού δεν
,έχει σημασία με ποια σειρά τα διδάσκεσαι .απλά θέλεις να έχεις το καλύτερο εργαλείο
" ".Ένα άλλο επιχείρημα είναι ότι οι υπολογιστές απλουστεύουν τα μαθηματικά ,Ότι αν
,χρησιμοποιείς υπολογιστή ,χρειάζεται απλά να πατάς κουμπιά χωρίς να σκέφτεσαι αλλά
,αν το κάνεις με το χέρι .είναι διανόηση ,Αυτό με ενοχλεί πρέπει να
.ομολογήσω Πιστεύουμε αλήθεια ότι τα μαθηματικά που διδάσκονται οι περισσότεροι στο
σχολείο σήμερα είναι κάτι περισσότερο από την εφαρμογή διαδικασιών για προβλήματα
;και λόγους που δεν καταλαβαίνουν .Δεν νομίζω ,Και το χειρότερο είναι αυτά που
.μαθαίνουν δεν είναι καν πρακτικά χρήσιμα πλέον 50 ,Μπορεί να ήταν πριν από χρόνια
. , .αλλά όχι πλέον Όταν τελειώσουν το σχολείο θα χρησιμοποιούν υπολογιστή Για να είμαι
,ξεκάθαρος νομίζω ότι οι υπολογιστές μπορούν να βοηθήσουν με αυτό το
,πρόβλημα . ,κάνοντας το περισσότερο εννοιολογικό Φυσικά όπως κάθε σπουδαίο
εργαλείο οι υπολογιστές μπορεί να χρησιμοποιηθούν εντελώς ασυλλόγιστα όπως το να
,μετατρέψουμε τα πάντα σε έκθεση πολυμέσων όπως το παράδειγμα που είδα για τη
,λύση μια εξίσωσης με το χέρι -όπου ο υπολογιστής δίδασκε έδειχνε στο μαθητή πώς να
.χειριστεί και να λύσει το πρόβλημα με το χέρι .Αυτό είναι τρελό Γιατί να
χρησιμοποιήσουμε υπολογιστές για να δείξουμε σε ένα μαθητή πώς να λύσει ένα
,πρόβλημα με το χέρι ;όταν ο υπολογιστής θα μπορούσε να το λύσει Το κάνουμε
.ανάποδα
.Να σας δείξω .ότι μπορείς επίσης να κάνεις τα προβλήματα πιο δύσκολα Συνήθως στο
,σχολείο .κάνεις πράγματα όπως η λύση δευτεροβάθμιων εξισώσεων Αλλά όταν
,χρησιμοποιείς υπολογιστή .μπορείς απλά να αντικαταστήσεις Μπορείς να την κάνεις
. .εξίσωση τετάρτου βαθμού Να γίνει πιο δύσκολη από πλευράς υπολογισμού Οι ίδιες
-αρχές .πιο δύσκολοι υπολογισμοί Και τα προβλήματα στον πραγματικό κόσμο φαίνονται
.τρελά και τρομερά έτσι .Γίνονται πιο δύσκολα ,Δεν είναι απλά απλοποιημένα πράγματα
.που βλέπουμε στα σχολικά μαθηματικά .Και σκεφτόμαστε τον κόσμο Αλήθεια πιστεύουμε
πως η μηχανική και η βιολογία και όλα αυτά που έχουν ευεργετηθεί από τους
υπολογιστές και τα μαθηματικά μειώνονται με κάποιο τρόπο όταν χρησιμοποιούνται
;υπολογιστές . .Δεν το νομίζω Το αντίθετο μάλιστα Επομένως το πρόβλημα που έχουμε
στην εκπαίδευση μαθηματικών δεν είναι ότι οι υπολογιστές μπορεί να το
,απλοποιούν .αλλά ότι ήδη έχουμε απλοποιημένα προβλήματα τώρα Ένα άλλο πρόβλημα
που αναφέρουν οι άνθρωποι είναι ότι οι δύσκολες υπολογιστικές μέθοδοι διδάσκουν
.κατανόηση ,Έτσι αν διδαχτείς πολλά παραδείγματα -βρίσκεις τη λύση μπορείς να
.καταλάβεις τα βασικά της συστηματικής δουλειάς Νομίζω ότι υπάρχει κάτι σε αυτό το
,επιχείρημα πολύ έγκυρο αυτό είναι ότι πιστεύω ότι η κατανόηση των διαδικασιών είναι
.σημαντική Αλλά υπάρχει ένας φανταστικός τρόπος να το κάνουμε αυτό στον σύγχρονο
.κόσμο .Ονομάζεται προγραμματισμός
Ο προγραμματισμός είναι ο τρόπος που οι περισσότερες διαδικασίες γράφονται
,σήμερα και είναι επίσης ένας σπουδαίος τρόπος για να τραβήξουμε την προσοχή των
μαθητών περισσότερο .και να ελέγξουμε αν πραγματικά καταλαβαίνουν Αν θέλεις

5. πραγματικά να ελέγξεις αν καταλαβαίνεις μαθηματικά τότε γράψε ένα
.πρόγραμμα Επομένως ο προγραμματισμός είναι ο τρόπος με τον οποίο νομίζω ότι
.μπορούμε να κάνουμε αυτό ,Για να ξεκαθαρίσω αυτό που εννοώ είναι ότι έχουμε μια
μοναδική ευκαιρία να κάνουμε τα μαθηματικά περισσότερο πρακτικά και περισσότερο
.εννοιολογικά ταυτόχρονα Δεν μπορώ να σκεφτώ κάποιο άλλο μάθημα όπου αυτό έγινε
.δυνατό πρόσφατα Είναι συνήθως επιλογή κάποιας μορφής μεταξύ του επαγγελματικού
.και του διανοητικού Αλλά νομίζω ότι μπορούμε να τα κάνουμε και τα δύο
.ταυτόχρονα .Και ανοίγονται τόσες πολλές δυνατότητες Μπορείς να κάνεις πολύ
.περισσότερα προβλήματα Πιστεύω αυτό που κερδίζουμε πραγματικά από αυτό είναι ότι
οι μαθητές κερδίζουν αντίληψη και εμπειρία .πολύ περισσότερο από πριν Και εμπειρία σε
-δυσκολότερα προβλήματα ,η δυνατότητα να μπορείς να παίξεις με τα μαθηματικά να
,αλληλεπιδράσεις .να τα νιώσεις Θέλουμε ανθρώπους που μπορούν να νιώθουν τα
.μαθηματικά ενστικτωδώς .Οι υπολογιστές μας επιτρέπουν να το κάνουμε αυτό
Ένα άλλο πράγμα που μας επιτρέπουν να κάνουμε είναι να αλλάξουμε τη σειρά στο
.πρόγραμμα μαθημάτων ,Παραδοσιακά είναι με βάση τη δυσκολία υπολογισμού αλλά
τώρα μπορούμε να αλλάξουμε τη σειρά με βάση τη δυσκολία κατανόησης των
,εννοιών .ανεξάρτητα από τη δυσκολία υπολογισμού Έτσι ο λογισμός παραδοσιακά
.διδάσκεται αργά ;Γιατί ,Λοιπόν επειδή είναι δύσκολο να κάνεις τους υπολογισμούς αυτό
.είναι το πρόβλημα Αλλά στην πραγματικότητα πολλές από τις έννοιες προσαρμόζονται
.σε μια πολύ νεαρότερη ηλικιακή ομάδα Αυτό είναι ένα παράδειγμα που έφτιαξα για την
.κόρη μου , .Πολύ πολύ απλό Μιλούσαμε για το τι συμβαίνει όταν αυξάνεις τον αριθμό των
πλευρών σε ένα πολύγωνο .σε ένα πολύ μεγάλο αριθμό .Και φυσικά γίνεται κύκλος Και
, ,με την ευκαιρία επέμενε πολύ στο να μπορεί να αλλάξει το χρώμα σημαντικό
.χαρακτηριστικό για αυτό το παράδειγμα Μπορείτε να δείτε ότι αυτό είναι ένα πρώιμο
βήμα στα όρια και το διαφορικό λογισμό και στο τι συμβαίνει όταν οδηγείς τα πράγματα
-στα άκρα .και πολύ μικρές πλευρές και μεγάλο αριθμό πλευρών Πολύ απλό
.παράδειγμα Αυτή είναι μια αντίληψη του κόσμου που συνήθως δεν δείχνουμε στους
.μαθητές για πολλά χρόνια μετά από αυτό ,Και όμως είναι μια πολύ σημαντική πρακτική
.αντίληψη του κόσμου Έτσι ένα από τα εμπόδια που έχουμε στο να προωθήσουμε αυτή
την ατζέντα .είναι οι εξετάσεις , ,Τελικά αν οι εξετάσεις γίνονται με το χέρι είναι κάπως
δύσκολο να αλλάξουμε το πρόγραμμα μαθημάτων σε βαθμό που θα είναι δυνατή η χρήση
υπολογιστών .κατά τη διάρκεια των μαθημάτων
-Και ένας από τους λόγους που είναι τόσο σημαντικό και είναι πολύ σημαντικό να έχουμε
.υπολογιστές στις εξετάσεις ,Και τότε θα μπορούμε να κάνουμε ερωτήσεις πραγματικές
,ερωτήσεις ; --όπως ποιό είναι το καλύτερο συμβόλαιο ασφάλειας ζωής πραγματικές
.ερωτήσεις που αντιμετωπίζουν οι άνθρωποι στις καθημερινές τους ζωές ,Και βλέπετε δεν
.είναι κάποιο απλοποιημένο μοντέλο εδώ Αυτό είναι ένα πραγματικό μοντέλο όπου
.μπορούμε να ζητήσουμε το βέλτιστο αποτέλεσμα ;Πόσα χρόνια ασφάλειας χρειάζομαι Τι
γίνεται με αυτό στις πληρωμές ;και στον τόκο κλπ Δεν λέω ότι αυτό είναι το μόνο είδος
ερωτήσεων ,που πρέπει να ρωτάμε στις εξετάσεις αλλά νομίζω είναι ένα πολύ σημαντικό
είδος που για την ώρα αγνοούμε τελείως και είναι πολύ σημαντικό για την πραγματική
.κατανόηση των μαθητών

6. Επομένως πιστεύω στη σημαντική αλλαγή που πρέπει να κάνουμε στη διδασκαλία
.μαθηματικών με υπολογιστές Πρέπει να βεβαιωθούμε ότι μπορούμε να προχωρήσουμε
τις οικονομίες μας και τις κοινωνίες μας με βάση την ιδέα ότι οι άνθρωποι μπορούν
. .πραγματικά να αισθανθούν τα μαθηματικά Αυτό δεν είναι κάτι εξτρά Και η χώρα που το
κάνει πρώτη ,θα βρίσκεται μπροστά από τις άλλες κατά τη γνώμη μου στο να έχει μια
,καινούρια οικονομία ,μια βελτιωμένη οικονομία .μια βελτιωμένη όψη Στην
,πραγματικότητα μιλάω για τη μετακίνηση από αυτό που αποκαλούμε οικονομία της
γνώσης ,σε αυτό που μπορεί να αποκαλούμε οικονομία της γνώσης υπολογιστών όπου
τα ανώτερα μαθηματικά απαρτίζουν κάθε πράξη .όπως η γνώση σήμερα Μπορούμε να
,τραβήξουμε την προσοχή περισσότερων μαθητών με αυτό και μπορεί να το
.διασκεδάσουν ,Και πρέπει να καταλάβουμε .αυτή δεν είναι μικρή αλλαγή Προσπαθούμε
να γεφυρώσουμε το χάσμα μεταξύ των μαθηματικών του σχολείου και των μαθηματικών
.του πραγματικού κόσμου Και ξέρετε αν προσπαθήσεις να περπατήσεις για να
,γεφυρώσεις το χάσμα τελικά τα κάνεις χειρότερα από αν δεν είχες προσπαθήσει καθόλου
- .μεγαλύτερη καταστροφή ,Όχι αυτό που προτείνω ,είναι ότι πρέπει να πηδήξουμε πρέπει
να αυξήσουμε την ταχύτητά μας ώστε να είναι μεγάλη και πρέπει να πηδήξουμε από τη
-μία πλευρά στην άλλη ,φυσικά έχοντας υπολογίσει τις διαφορικές εξισώσεις πολύ
.προσεχτικά
Επομένως θέλω να δω ,ένα εντελώς ανανεωμένο αλλαγμένο πρόγραμμα
μαθηματικών ,χτισμένο από τη βάση ,βασισμένο στη χρήση υπολογιστών υπολογιστών
.που σήμερα βρίσκονται σχεδόν παντού Οι υπολογιστικές μηχανές βρίσκονται παντού και
.θα βρίσκονται πραγματικά παντού σε λίγα χρόνια Τώρα δεν είμαι καν σίγουρος ότι
θέλουμε να λέμε αυτό το μάθημα μαθηματικά αλλά είμαι βέβαιος ότι θα είναι το βασικό
.μάθημα του μέλλοντος .Ας το κάνουμε ,Και ενώ το κάνουμε ,ας το διασκεδάσουμε για
, , TED.εμάς για τους μαθητές και εδώ για το

7. Επομένως πιστεύω στη σημαντική αλλαγή που πρέπει να κάνουμε στη διδασκαλία
.μαθηματικών με υπολογιστές Πρέπει να βεβαιωθούμε ότι μπορούμε να προχωρήσουμε
τις οικονομίες μας και τις κοινωνίες μας με βάση την ιδέα ότι οι άνθρωποι μπορούν
. .πραγματικά να αισθανθούν τα μαθηματικά Αυτό δεν είναι κάτι εξτρά Και η χώρα που το
κάνει πρώτη ,θα βρίσκεται μπροστά από τις άλλες κατά τη γνώμη μου στο να έχει μια
,καινούρια οικονομία ,μια βελτιωμένη οικονομία .μια βελτιωμένη όψη Στην
,πραγματικότητα μιλάω για τη μετακίνηση από αυτό που αποκαλούμε οικονομία της
γνώσης ,σε αυτό που μπορεί να αποκαλούμε οικονομία της γνώσης υπολογιστών όπου
τα ανώτερα μαθηματικά απαρτίζουν κάθε πράξη .όπως η γνώση σήμερα Μπορούμε να
,τραβήξουμε την προσοχή περισσότερων μαθητών με αυτό και μπορεί να το
.διασκεδάσουν ,Και πρέπει να καταλάβουμε .αυτή δεν είναι μικρή αλλαγή Προσπαθούμε
να γεφυρώσουμε το χάσμα μεταξύ των μαθηματικών του σχολείου και των μαθηματικών
.του πραγματικού κόσμου Και ξέρετε αν προσπαθήσεις να περπατήσεις για να
,γεφυρώσεις το χάσμα τελικά τα κάνεις χειρότερα από αν δεν είχες προσπαθήσει καθόλου
- .μεγαλύτερη καταστροφή ,Όχι αυτό που προτείνω ,είναι ότι πρέπει να πηδήξουμε πρέπει
να αυξήσουμε την ταχύτητά μας ώστε να είναι μεγάλη και πρέπει να πηδήξουμε από τη
-μία πλευρά στην άλλη ,φυσικά έχοντας υπολογίσει τις διαφορικές εξισώσεις πολύ
.προσεχτικά
Επομένως θέλω να δω ,ένα εντελώς ανανεωμένο αλλαγμένο πρόγραμμα
μαθηματικών ,χτισμένο από τη βάση ,βασισμένο στη χρήση υπολογιστών υπολογιστών
.που σήμερα βρίσκονται σχεδόν παντού Οι υπολογιστικές μηχανές βρίσκονται παντού και
.θα βρίσκονται πραγματικά παντού σε λίγα χρόνια Τώρα δεν είμαι καν σίγουρος ότι
θέλουμε να λέμε αυτό το μάθημα μαθηματικά αλλά είμαι βέβαιος ότι θα είναι το βασικό
.μάθημα του μέλλοντος .Ας το κάνουμε ,Και ενώ το κάνουμε ,ας το διασκεδάσουμε για
, , TED.εμάς για τους μαθητές και εδώ για το