Métodos para la estimación de los parámetros de la ecuación de crecimiento de Von Bertalanffy

1. Crecimiento
Aplicación a problemas: Caso para poblaciones de peces, modelo
Von Bertalanffy.
Carlos Cáceres Martínez. Ecología Marina Ingeniería en Pesquerías

2. Crecimiento
El crecimiento de un pez puede definirse como el
cambio de peso en función del tiempo, que es el
resultado neto de dos procesos: el aumento del peso
del cuerpo (anabolismo) y la disminución del peso
(catabolismo).
dW/dt = HWd – kWm
dW/dt velocidad de crecimiento
W peso del organismo
H coeficiente de anabolismo
K coeficiente de catabolismo
d y m son los límites mas bajos de anabolismo y
catabolismo

3. Temperatura ambiente
O2
Tamaño de las dW/dt kWm
HWd
branquias
Síntesis de Degradación
Proteínas de Proteínas
Excreción I Metabolismo
Excreción II
Actividades variadas: nado, Pool de
respiración, alimentación, Aminoácido
regulación osmótica, Alimento s
reproducción
Ambiente Biótico
Modelo del crecimiento de peces basado en los postulados de Von Bertalanffy
(1951) y demostración del role de la respiración y por ende dependiente de la
superficie de las branquias.

4. Condiciones del Modelo
• El crecimiento es el resultado de dos
procesos antagónicos
• El crecimiento se detiene en donde el
catabolismo es igual al anabolismo
• El catabolismo tiene lugar en todas las
células vivientes , entonces el es
proporcional al peso del pez
• El anabolismo de los peces es
proporcional a la respiración

5. Condiciones del Modelo 2
• En los peces la respiración es
proporcional a una superficie;
• Por consiguiente esta limitado por esa
superficie
• Esta superficie aumenta
proporcionalmente al cuadrado de la
longitud (L2: crecimiento isométrico en
relación a la superficie.

6. Condiciones del Modelo 3
• El hecho de que la respiración Lebistes
reticulatus (gupy), aumente con el peso de
acuerdo con una potencia 2/3 y con la
longitud de acuerdo con una potencia 2
constituye una demostración del hecho
de los primeros postulados;
• Las desviaciones en relación a esta regla
de 2/3 ocurren pero n o en los peces

7. Condiciones del Modelo 4
El coeficiente k de la ecuación
(dW/dt = HWd – kWm)
representa la proporción de la masa del
cuerpo que es degradada por unidad de
tiempo. Siempre y cuando esta constante
pueda ser identificada de manera general,
como un factor proporcional de la masa e
inhiba el crecimiento.

8. Las Branquias y
su superficie
¿No aumentan de manera
proporcional a su longitud?
Por ello tengo limitada la talla y el peso
Máximo a alcanzar y estas se definen como L∞ y W∞

9. Si los postulados anteriores se cumplen podemos aplicar
como descriptor del crecimiento el modelo desarrollado por
Modelo de von Bertalanffy
Lt=L∞ [1-e -k(t-t0)]
Lt Longitud al tiempo t
L∞ Longitud máxima de la especie
k constante de crecimiento
t Tiempo correspondiente a Lt
t0 Tiempo cero

10. Método de cálculo para las
estimaciones de L∞ y t0
A) Recta de Gulland
El procedimiento usando la recta de
Gulland es muy simple, requerimos de
disponer de pares de datos (Li, ti),
separados por intervalos de tiempo iguales
T:
Trazamos los incrementos de Li en función
de Li
La recta de ajuste corta los ejes L en Li =
L∞ y la pendiente a= -(1-e-kT)

11. Recta de Gulland
∆Li
a= -(1-e-kT)
L∞
Li 1

12. Método de cálculo para las
estimaciones de L∞ y t0
B) Recta de Ford Walford
Disponemos también de pares de datos (Li,
ti), separados por intervalos de tiempo
iguales T:
Trazamos Li+1 en función de Li
La recta de ajuste corta la bisectriz en un
punto de las ordenadas (o abscisas) L∞, y
su pendiente es a= e-kT

13. Recta de Ford Walford
Li+1
a= e-kT
L∞ Li

14. Método de cálculo para las
estimaciones de L∞ y t0
C) Uso de la ecuación diferencial
Disponemos de datos separados por
intervalos de tiempo muy pequeños, que
pueden considerarse iguales.
Trazamos ∆Li/∆ti en función de
Li = ½(Li+ Li+1)
La recta de ajuste corta el eje de Li en L∞
y la pendiente a=-k

15. Uso de la ecuación diferencial
∆Li/∆ti
a=-k
L∞
Li

16. Determinación de t0
Determinación de t0
Conociendo k y L∞, podemos a partir de la
ecuación general de crecimiento deducir
una relación entre Li y ti, de la que
solamente tenemos una incógnita t0:
log(L∞-Li)/ L∞ = -kti+t0
Trazamos log(L∞-Li)/ L∞ en función de ti:
La recta de ajuste tiene por pendiente a=-k
y corta el eje de las abscisas en ti=t0

17. Determinación de t0
log(L∞-Li)/ L∞
ti
a=-k

18. Ejercicio: Talla de la merluza del
Atlantico (Merluccius merluccius)
merluccius)
Edad Años Talla (x) cm Peso (x) gr
1 6.6 9 Estime usando los
2
3
16.5
24.9
118
380
tres procesos la
4 32 775 curva de
5 38 1,262
6 43 1,802 crecimiento.
7
8
47
50.9
2,359
2,909
Con los
9
10
54
56.6
3,434
3,922
resultados
11 58 4,346 presente una
12 60.6 4,770
13 62.1 5,107 gráfica que
14
15
63.1
64
5,444
5,702
contenga la curva
16 66.5 5,961 de crecimiento.