ejemplos de exponentes y radicales

2. Objetivo general.
Al terminar esta Unidad resolverás
ejercicios y problemas en los que apliques
las leyes de los exponentes y de los
radicales.

3. En general, el número b a la n-ésima potencia, lo que se
escribe como bn
, y se lee b elevado a la n, donde n es un
número natural, significa:
... ( factores)n
b b b b b n= ∗ ∗ ∗ ∗
En esta expresión, al número b se le conoce como la
base y al número n como el exponente.
Así, en la expresión 32
, el 3 es la base y el 2 es el
exponente. La expresión 32
se lee tres elevado a la dos,
o tres al cuadrado, y significa:
( )2
3 3 3 2 factores= ∗

4. Un signo negativo que precede directamente a
una expresión que está elevada a una potencia
tiene el efecto de hacer negativa a toda la
expresión. Entonces,
2
x− significa ( )x x− ∗
y no ( ) ( )x x− −
Conviene observar que, de acuerdo con las Reglas de los
Signos que se expusieron en la Unidad 1, cuando 0x ≠
( )
2
x− siempre será una cantidad positiva mientras que
2
x− siempre será una cantidad negativa.

6. 3
5 5 5 5= ∗ ∗1.) 125= (3 factores)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
5
2 2 2 2 2 2− = − − − − −2.) 32= −
(5 factores)
20
1 1 1 1 ... 1= ∗ ∗ ∗ ∗3.) 1= (20 factores)
2
3 3 3
4 4 4
− − −    
= ÷  ÷ ÷
    
4.)
9
16
= (2 factores)

7. • Ley I.- Cuando se multiplican dos potencias de
la misma base, su resultado es la misma base
elevada a una potencia igual a la suma de las
potencias de los factores.
• En otra palabras, para multiplicar expresiones
exponenciales de la misma base, se conserva la
base común y se suman los exponentes.
Exponentes
( )( )m n m n
a a a +
=

9. 3 5 3 5
x x x +
∗ = 8
x=1.)
2.)
2 4 2 4
3 3 3 +
× =
6
3=
3.)
( ) ( ) ( )
2 5 2 5
3 3 3a a a
+
∗ = ( )
7
3a=

10. • Para cualquier número real, a, distinto de
cero, y cualquier número natural m:
• Si a es cualquier número distinto de cero,
entonces:
Exponentes
1m
m
a
a
−
=
0
1a =

12. 3
3
1
2
2
−
=1.)
1
2 2 2
=
∗ ∗
1
8
=
4
4
1
x
x
−
=2.)
1
x x x x
=
g g g
0
3 1=3.)
3
3
1 1
1x
x
−
=4.)
3
= x

13. 3
3
1 1
1
1 x
x
= ÷
3
1
1
x
= g
3
x=
Para entender mejor está última expresión, es
conveniente recordar que para dividir dos números
basta con multiplicar al dividendo por el inverso del
divisor, de modo que

14. 2
3
2
3
1
1
x
y x
y
−
−
=5.)
Como en el ejemplo anterior, esta expresión se puede simplificar para dejar
2 3
2
3
1 1 1
1 x yx
y
= ÷
3
2
1
1
y
x
=
3
2
y
x
=
( ) ( )
3
0 0 3
1
3 3
y
x x y
−
=6.)
( ) 3
1
1 y
= 3
1
y
=

15. • Ley II.- Cuando se dividen dos potencias de la
misma base, su cociente es la misma base
elevada a una potencia igual a la diferencia
entre la potencia del dividendo y la del divisor.
• Es decir, para dividir expresiones exponenciales
de la misma base, se conserva la base común y
se resta al exponente del dividendo el
exponente del divisor.
m
m n
n
a
a
a
−
=

17. 7
7 4
4
x
x
x
−
=1.)
3
x=
2 7 2 7
5 5 5 −
÷ =2.)
5
5−
= 5
1
5
=
3 4 3 ( 4)
a a a− − − − −
÷ =3.)
3 4
a− +
=
1
a=
a=

18. • Ley III.- Cuando una potencia de una
base se eleva a otra potencia, el resultado
es un término de la misma base con un
exponente igual al producto de las dos
potencias.
• Lo anterior indica que para elevar una
potencia de una base a otra potencia, se
conserva la base y se multiplican los dos
exponentes.
( )
nm m n
a a= g

20. ( )
23 3 2
2 2=1.) g 6
2= 64=
( ) ( ) ( )3 3 33
x x −−
=2.)
9
x−
= 9
1
x
=
( ) ( )( )6 2 62
5 5
− − −−
=3.)
12
5=

21. • Ley IV.- Cuando un producto de dos o
más factores se eleva, todo a la vez, a
una potencia, el resultado es el mismo
producto pero con cada factor elevado a
la potencia dada.
• Ley V.- Cuando un cociente se eleva, todo a la
vez, a una potencia, el resultado es el mismo
cociente pero con el dividendo y el divisor
elevados a la potencia dada.
( )
m m m
ab a b=
m m
m
a a
b b
 
= ÷
 

23. 1.) Para elevar el producto 3xy
a la cuarta potencia, es decir para obtener ( )
4
3xy
se eleva a la cuarta potencia cada uno de los
factores y se tiene
( )
4 4 4 4
3 3xy x y= g g 4 4
81x y=
2.) Para elevar el cociente
2
5
al cuadrado, es decir para obtener
2
2
5
 
 ÷
 
se elevan al cuadrado el dividendo y el divisor
y queda 2 2
2
2 2
5 5
 
= ÷
 
4
25
=

24. 3.) Para elevar el cociente al cubo,
es decir para obtener ,
se elevan al cubo el dividendo y el
divisor para obtener
y, como tanto en el numerador como en el
denominador se tienen productos, se
aplica la ley para elevar un producto a una
potencia y queda
2
3
a
b3
2
3
a
b
 
 ÷
 
( )
( )
33
3
22
3 3
aa
b b
 
= ÷
 
( )
( )
3 3 3
3 3 3
2 2
33
a a
bb
=
3
3
8
27
a
b
=

25. La raíz cuadrada principal o positiva de un
número positivo n, que se escribe , es el
número positivo que al multiplicarse por sí
mismo da como resultado n.
Si en lugar de buscar un número que al
multiplicarse por sí mismo dé como resultado n,
se busca un número que elevado a la tercera,
cuarta o quinta potencia dé como resultado n,
se dice que dicho número es la raíz tercera (o
cúbica), cuarta o quinta de n, y así
sucesivamente.
n
Radicales

26. • Al símbolo que sirve para indicar una raíz,
se le llama signo
radical.
• El número o expresión dentro del signo
radical es el radicando y al número que
sirve para indicar la raíz se le llama índice.
m
n
Signo radical
radicando
índice

27. Si 0n ≠ , se define: 1
n n
a a=
De este modo, una base elevada a un exponente
fraccionario en el que el numerador es 1, es
equivalente a una expresión en notación radical,
en la que la base es el radicando y el denominador
del exponente es el índice.

28. • Las leyes enunciadas anteriormente para
exponentes enteros, son también válidas
para exponentes fraccionarios. Por tanto,
de acuerdo con la ley para elevar una
potencia a otra potencia, se tiene:
( )
1 m
n m m n n
a a a= =
,
( ) ( )1 mm m
n n n
a a a= =
puesto que
1 1 m
m m
n n n
   
= = ÷  ÷
   

30. 1.) 1
2
3 3=
2.)
1
55
x x=
3.) 1
4 4
a a=

31. 1.) ( )
1
3 2 2 3
62 62=
2
3
62=
2.) ( )
1
3 3 nn
y y=
3
n
y=
3.) ( ) ( )
66 1
3 3
8 8=
6
3
8=
2
8=
4.)
( ) ( )
55 1
4 4
7 7=
5
4
7=

32. • Como ya se indicó, las leyes expuestas
para exponentes enteros son ciertas
cualesquiera que sean la base y los
exponentes m y n, tanto si son positivos
como negativos o nulos, enteros o
fraccionarios.
• Para el caso de los exponentes
fraccionarios, las leyes quedan así:
,

33. Ley I.- puesto que, al
tomar común denominador,
Ley II.-
Ley III.- puesto que
,
( )( )1 1 1 1
n m
m n m n mn
a a a a
+
+
= =
1 1 n m
m n mn
+
+ =
1
1 1
1
n mm
m n mn
n
a
a a
a
−
−
= =
( )
1
1 1n
m mn
a a=
1 1 1
m n mn
  
= ÷ ÷
  

34. Ley IV.-
,
Objetivo 9.
Ley V.-
( )
1 11
m mm
a b a b=g g
11
1
mm
m
a a
b b
 
= ÷
 

35. ,
• Para el caso de los radicales es necesario tener
en cuenta que el índice del radical es el
denominador de un exponente fraccionario. Por
ello, las leyes de exponentes cuando se
enuncian y escriben para la notación radical
son:
• Ley I.- Cuando se multiplican dos raíces del
mismo radicando, su resultado es una raíz con
el índice igual al producto de los índices de los
factores, y el mismo radicando elevado a la
suma de los índices originales.
mn n mm n
a a a +
=

36. • Ley II.- Cuando se dividen dos raíces del
mismo radicando, su cociente es una raíz
con el índice igual al producto de los
índices de los factores, y el mismo
radicando elevado a la diferencia del
índice del divisor menos el del dividendo.
m
mn n m
n
a
a
a
−
=

37. • Ley III.- Cuando a una raíz de un radicando se
le toma otra raíz, su resultado es una raíz del
mismo radicando y un índice igual al producto
de los dos índices de los radicales aplicados.
• Ley IV.- Cuando se toma una raíz de un
producto de uno o más factores, su resultado es
el producto de las raíces de cada factor.
n m nm
a a=
m m m
ab a b=

38. Objetivo 9.
• Ley V.- Cuando se toma una raíz de un
cociente, su resultado es el cociente de la
raíz del dividendo entre la raíz del divisor.
m
m
n
a a
b a
=
OBJETIVOS

40. 1.)
4
27
4
27
=
2.) 84
66 =
3.)
5 3
5 72
5 3
5 75 2
a
aa
a
aa ∗
=
5 3
5 9
a
a
= 5
3
9
a
a
= 5 6
a=

41. Conclusión
Muchas expresiones algebraicas se pueden simplificar aplicando las
leyes de los exponentes y los radicales.
En general, la simplificación consiste en efectuar las operaciones que
estén indicadas y escribir los resultados con potencias que no incluyan
exponentes negativos ni fraccionarios y con los radicales en la forma
simple que se definió anteriormente.
Para ello, los factores que tengan exponentes negativos se trasladan
del numerador al denominador de la expresión y los exponentes
fraccionarios se convierten en expresiones escritas en forma de
radicales.
En caso de necesidad, se racionalizan las expresiones resultantes
como se ha indicado antes.

43. 1.) Para simplificar la expresión
basta con tomar en cuenta que y trasladar el
factor al denominador para dejar
2.) Para simplificar la expresión
primero se elimina el exponente negativo
después, se toma en cuenta la ley
para elevar un cociente a una potencia para que
quede
2 2 3
3 x y−
−
2
3 9=
3
y−
2
2 2 3
3
9
3
x
x y
y
− −
− =
2
2
3
y
z
−
 
 ÷
 
2
22
2
1
3
3
y
z y
z
−
 
= ÷
   
 ÷
 
2 2
2 42
1 1
33
yy
zz
=
 
 ÷
 
4
2 2
2 4
1 9
3
z
y y
z
=

44. 3.) Para simplificar la expresión
se eleva cada factor a la potencia
correspondiente
y luego se efectúan las operaciones
indicadas para obtener
43 2
x y x
y z
  
 ÷ ÷
   
43 2 3 8 4
3 4
x y x x y x
y z y z
     
= ÷  ÷ ÷ ÷
      
3 8 4 3 4 8
3 4 3 4
x y x x x y
y z y z
  
= ÷ ÷
  
7 8
3 4
x y
y z
=
7 5
4
x y
z
=