1. 6
),
*---r
* rre-
51-q1#
m
ffi
.
,i
'_I
lr
!
AKAAN
]R
.i:--
' . b
- ... &.-
.
: :r:iw$. .. .:!l
!1. t.i
'I{.
; I,T
Dr
",. &" |&,,.-
Peier Srtudojrr,
. Halso:'r
B"$c"
A
6e?' {. ;*".'re@*p+ ii
j|tll|lB. ffi {:ffir;i;..-.i." Iraffiw, @-'-t
Penerhlt : 1""tr88K,'!'Y
a
ff -,-,*** * -
-;"
{-a {}"r AY k'12'{ *s.

2. IT4ILIK
PERpr rgT46AAN
-tnenon
l'" to'n r,M u rr
Nomor , 6'4 ,87 tpDl f ll,,gy
!1:'^ ' :il,tss j
Y
i
7.-'****
i
f,
I
I
I
f
MEKANIKA KLASIK
oleh :
Dr. Peter Soedojo, B.Sc.
Drs. Harsojo
Uniuersitas Godjah Mada
Yogyakarta.
Edisi Pertama
Cetakan Pertama, 7985
A 1985, Liberty Yoggakarta.
Dilorang mereproduksi isi buku ini baik sebagian moupun
seluruhnya dalam bentuk dan atau alason apapun jugo,
tanpa izin tertutis dari penerbit.
Penerbit :
LIBERTY YOGYAKARTA
Jayengprawiran 21, 23,
Yogyokarta.
Distributor :
. Toko Buku BINA USAHA
Jalon Colombo 2-A, Telp. (0274) 86803,
Yogyakorta.
Toko Buku DOMINAN
Jolan Jagalan 4, Telp. (0274) 889A4
Yogyakorta
Toko Buku MULIA
Jalon Gandasuli No. 5. Telp. (021) 354553
Jakorta Pusot
Toko Buku BINA IISAHA
Jalan Kramat Raya 78 (Senen)
Telp. (021) 341117, Jakarto Pusat
H. FRANKIM
d/a Wisma Liberty,
Jl. PeJepah Hijou 3 TL 2 No. 27
Kelapo Gading Permai 2,
Jakarta Utara.
Ftr
i4
?-a,
I
I

3. 111
, KATA PENGANTAR
sesuai dengan jufu.rlya,. buku ini nemuat dasar-dasar pemikiran dalamrnekanika klasik yang teoi-h aitltit-beratkan pada segi analittk serta kon-sepsional, bukannya pada segi ketrampilan tetnis peilecahrn-ro.r.
Itbkanika klasik tidak hanya mencerminkan keterbatasan mekanika titikmaterinya Newton dalam memecahi<an masalah sistem mekanis yang rumit, te-tapi juga memberikan.dasar yang fundamental dalarn pengembangan fisika mo-dern' Maka buku ini dihar"pi.rn"r"rperluas cakrawala fisika maupun mekani-ka bagi para mahasiswa iurlsan risika ,"up"n urgi prr" guru fisika di Se_kolah Menengah Atas.
Akhirul kata, semoga
rikan sumbangan yarig beraiti
di Indonesia.
buku sesederhana ini bermanfaat serta membe_
kepada khasanah pengajaran ilmu pengetahuan
segala kekutangan, kekhilafan, dan kelemahan btrku ini, kiranya meru-
P"f'" tantangan bagi- para penulis iainnya di kemudian hari untuk menutisbuku semacam yang ieUitr memaclai dan rebih ,urfr""".
l_,
Penulis,
-'t
.,
-i*re<ilE;*aBiaj -:t:1

4. iv
DAFTAR ISI
PENDAHULUAN
I. MEKAiIIKA TITIK l.,tAlERI
Hukur kekekalan tenaga mekanik
Gerakan di dalan sistem koordinat yang berputar .
Gerakan di permukaan bumi
Bandul Foucolt
5. Gaya sentral
6. Hukum-hukum
II. MEKA}'IIKA SISTEM
1. Titik berat
1.
)
3.
4.
Halaman
53
55
1
3
3
5
9
10
15
20
29
29
30
31
32
34
36
40
55
55
57
59
67
69
70
7t
76
1Keppler
MATERI
2. Hnkun kekekalan inpuls ..... ..,.. i........
3. Tenaga kinetik sisten materi ...... .......
4, Iqpuls putar sistem nateri .....
5. Momen gaya sistem materi ... ,...
6. Tumbukan t,.., r....
7. Hamburan ..
8. Massa tereduksi t... .. o...
III . MEKANIKA SISTEM Ir,lEKAl'lIS ...,,.,.,. ,,...,...,,....,,
1. Pendahuluan .,
2, Azas usaha semu ,....
3. Azas DrAlembert -u_r_,,.. .. i.. .. ... ,.
4. Persamaan tagrange ...,,
1
a
5. Azas Hamilton .
6. Penjabaran azas Hamilton dari azas DrAlenbert
7, Penjabaran persamaan tagrange dari azas Hanilton .....
'8. Ruang fase dan persamaan Hamilton
9. Koordinat siklik dan cara Routh
10. Penjabaran persamaan Hamllton dari azas variasi Hamil-
ton .
tt
!
11.
t2.
L3.
t4.
15.
16.
L7.
18.
Transformasi kanonik dan perisanaan
Azas action terkecil (Least action
Hamil ton-Jacobi 81
91
94
98
to2
103
104
principle)
Variabel action dan variabel sudut
Invariansi integral Poincare ...
Kurung tagrange (Lagrange bracket) ...
HIXf I::i:'. :::::::.::::::1. :: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
Teorema Liouville
'a
IV. MEKANIKA BENDA IEGAR
1. Pendahuluan
2. Transformasi orthogonal .....
3, Teorema Euler ... r. ..,,. .... t
4. Sudut-sudut Euler .... !
5. Pararpter Cayley-Klein . ....,
6. Rotasi kecil
109
113
113
113
118
t2t
t24
130

5. 7.
8.
9. Tenaga kinetik rotasi
10. Persamaan gerak Euler
11. Persamaan Euler dengan
Impuls putar henda tegar dan tensor enersia
Elipsoida momental (Elipsoida. inersial)
Halanan
133
136
138
139
145
148
sudut-sudut Euler
t:
12. Gerakan pusingan i
_/

6. +
+
PENDAHULUAN
Ilmu pengetahuan alam yang paling primitif ialah mekanika, yakni ilmu
yang membahas tentang gerakan. Demikianlah makamekanikamenjadi dasar ilmu
pengetahuan alam unumnya dan ilmu fisika khususnya.
Pada hakekatnya ilmu mekanika boleh dikatakan dinulai sejak Aristoteles
(384 s.M. - 322 s.M.) memikirkan gerakan-gerakan dengan bumi dianggap te-
tap tidak bergerak. Akan tetapi pemmusan mekanika baru dikemukakan lama
kemudian oleh lsaac Newton (1,642 .- 1727) di mana ia mengemukakan konsep ga-
ya dan massa dalam hubungannya dehgan percepatan. Kecuali itu Newton juga
merumuskan gaya gravitasi dari hukum-hukum yang dikemukakan oleh Johannes
KeppLer (1571 - 1630); Keppler rnengemukakan hukun-hukumnya tentang gerakan
planet-planet berdasarkan data-data pengamatan Tycho Brahe (1546-1601) gu-
runya.
Sampai sejauh itu Newton hanya merumuskan mekanika untuk titik materi. Lln-
tuk sistem mel<anika umumnya, yang lebih rumit, mekanikanya Newton kurang
atau bahkan tidak berdaya sarna sekali. Maka muncullah kemudian pengembang-
an mekanika lebih lanjut dari karya tokoh-tokoh seperti Johan Bernoulli
(1667 - I74S), Jean Le Ron D'Alembert (1717 - 1783), Josenh [,ouis Lagrange
(1736 - 1813), William Rorvan Hamilton (1805 - 1865) dan lain-1ain; -teori-
teori mekanika umum yang dikembangkan oleh tokoh-tokoh tersebut dikenal se-
bagai mekanika klasik. Mekanika klasik ini memang terlalu berkepanjangan
apabila diterapkan untuk memecahkan masaalah-masaalah mekanika yang seder-
hana" Akan tetapi di lain pihak, mekanika klasik ternyata kemudian menja-
di dasar mekanika modern seperti mekanika statistik, mekanika gelonbang,
mekanika kwantum, teori medan dan lain sebagainya dalam fisika modern.
Dengan timbulnya teori relativitas yang dittmtaskan oleh Albert Einstein
(1879 - 1955), untuk titik materi yang bergerak dengan sangat cepat, nassa
nya dipandang tidak tetap dan timbullah mekanika relativistik.
Unsur-unsur mekanika ialah ruang, waktu dan materi. Kalaupembicaraarl-
nya hanya menyangkut jenis-jenis gerakan, maka hanya unsur-unsur ruang dan
waktu saja yang terlibatkan; bagian mekanika yang membicarakan tentang je-
nis gerakan demikian eli.sebut kinematika" Kalau pembahasannya yang menyang-
kut penyebab gerakan rnaka kecuali unsur ruang dan waktu unsur materi, ymg
dinyatakan oleh massadl'a jr.rga terlibat; bagian mekanika yang membahas hal
demikian disebut dinamika. Adapun statika ialah bagian mekanika yang mem-
bahas hal kesetimbangan.
Kcnsep kinematika yang berhubungan dengan ruang ialah tempat yang dapat dii
nyatakan dengan koordinat-koordinat di dalam suatu sistem koordj-nat yarrg
dipilih, sedangk,ln yang berhubungan dengan rtrang dan waktu ialah kecepatan
dan percepatan,
Kecepatan didef:ni-sikan sebagai jarak yang ditempuh per satuan waktu atau
tepatnya diferensial koordinat terhadap waktu, sedangkan percepatan adalah
penambalran kecepatan per satuan waktu atau tepatnya diferensial kecepatan
terhadap waktu.
thtuk memudahkan anali-sa, tempat titik materi lazimnya dinyatakan dengan
vektor koordinat r misalnya.
I

7. 2
Vektor koordinat ini adalah vektor yang pangkalnya di pusat sistem koordi-
nat dan ujtmgnya di tempat titik materi berada. Dengan demikian kecepatan
didefinisikan sebagai v = dr/4t dan percepatan didefisinisikan sebagai a =
dv / dt - d(*' / dt) /-at : d'r / dt'"
Jelaslah bahwa dimensi kecepatan adalah dimensi panjang [1] misatnya diba-
gi dimensi waktu It] misalnya, sehingga satuanlya misalnya meter/detik dan
dimensi percepatan adalah dimensi kecepatan [vJ aiUagi dimensi waktu It]
yakni [1] dibagi It]2 sehingga satuannya misalnya meter/detik'.
Ukuran banyaknya gerakan ditinjau dari usaha yang diperlukan untukme-
nimbulkan atau mengubah gerakan adalah sebanding dengan ukuran kwantitatif
materi yaAg bergerak" Maka dalam dinamika timbul konsep impuls atau mombn-
tun yang didefinisikan sebagai massa kali kecepatan. JelasIah bahwa dimen-
si impuis adalah dimensi massa [n] misalnya kali dinensi kecepatan [v]yak-
ni [*l [v] = ['n] [1] / lt7.
Adapnn apa yang menyebabkan gerakan atau lebih umum yang mengubah banyak-
nya gerakan, disebut gaya. Gaya didefinisikan sebagai perubahan impuls
per satuan waktu atau tepatnya diferensial impuls terhadao waktu yakni
d(m v) / dt. Hal ini dikemukakan oleh Isaac Newton.
Dalam mekanika di samping besaran-besaran kecepatan, perceDatan, im-
pu1s, dan gaya, dikenal pula besaran-besaran tenaga kinetik, tenaga poten-
sial, usaha, dan daya. Namun bagaimanapun dimensi besaran-besaran tersebut
selaiu dapat dinyatakan seLragai fungsi dimensi ketiga unsur mekanika tt]
[t] dan [m1.
Dengan dernikian setiap besaran mekanika selalu dapat dinyatakan sebagai
fungsi 3 besaran mekanika lain yang dipilih.
Ilnu fisika boleh dikatakan pengembangan lebih lanjut dari pada mekanika
di mana unsur-unsurnya kecuali unsur-unsur mekanika, ruang, waktu da: mas-
sB, juga misalnya suhu dalam ilmu panas, kuat penerangan dalam ilmu optik,
keras bunyi dalam ilmu suara, dan arus listrik dalam elektromagnetika. Ja-
di kalau un-sur-unsur mekanika tidak lebih dari 3 buah, maka unsur-tmsur fi-
sika tidak lebih dari 7 buah di mana di dalamnya termasuk ketiga unsur-un-
sur mekanika..
Dari uraian di bab pendahuluan ini, jelaslah bahwa mekanika klasik k:-
cuali merupakan mekanika umum selengkapnya, juga mendasari pengertian po-
kok bagi mekanika modern khususnya dan ilmu fisika nodern ulnumnya.
t
tI
{.
I
$
*
l+,ql
lr
!
!
1
tt
t
.
t
I
I

8. 1.
I. IEKANIKA TiTIK I,IATERI
Hukum_Kekelan Tenaga Mekanik
Kita tinjau suatu titik materi
medan gaya seperti tertera di gambar
yang bergerak dari
I.L. di bawah ini.
A ke B di dalan
I
-.>
Gambar I. 1.
Usaha di dalam nedan gaya konservatif"
Increment usaha sepanjang increment lintasan dr yang tidak sejajar gaya
j di titik A, diberikan olel.r
dU=1.i5=Fdrcos0
sehingga usaha total yang dilakukan oleh titik materi dari A ke B ada-
1ah
uo, =ot. * = or't (TJ) . g
Apabila v ((c, kecepatan cahaya, maka gerakannya
m dipandang tetap; dengan demikian integral itu
UAB=*
dv
dt
fB a,
Ad. *=*
non relativistik dan
menj adi
^B
{
J v.dv
A
L2t2
= 7*rB - 7mvA
di mana vn dan vo masing-m4sing adalah kecepatan di titik-titik A dan B.
Dengan meftdefiniBikan mv' sebagai tenaga kinetik, rnaka usaha yang te-
Iah dilakukan itu sama dengan penambahan tenaga kinetik yang diperoleh
yakni A K misalnya.
Jikalau medan gayanya adalalr sedemikian hingga usaha' yang dilaku-
kan dalam gerakannya dari satu titik ke titik lain tidak tergantungpada

9. 4
lintasannya melainkan hanya tergantung pada letak kedua titik itu, maka
di setiap titik dapat dikaitkan suatu besaran skalar V misalnya yang se-
demikian hingga usaha itu sama dengan perubahan I'rarga V tersebut yakni
A V = V - V-^
Titik *At"titsyang telah melakukan usaha dapat dikatakan telah berkurang
potensinya untuk melakukan usaha lebih lanjut; maka V 1alu disebut te-
naga potensial.
Jadi untuk medan gaya yang demikian berlaku hubungan
U--AV=AK
yang berarti pula
V+K=tetap
atau conserved; medan gaya yang menyebabkan berlakunya hubungan di atas
disebut medan gaya konservatif.
Jadi di dalam medan gaya yang konservatif, tenaga mekanik yaitu jurnlah
tenaga potensial dan tenaga kinetik, adalah tetap. Pernyataan ini dike-
na1 sebagai hukum kekekalan tenaga mekanik.
Jelaslah bahwa di dalam medan gaya konservatif
lintasan tertutup yakni sepanjang liniasan dari suatu
titik itu lagi, adalah no1 sebab misalnya titik itu ia
tentu AU = VO - VL = 0.
Dalam elektromagneti-ka kita kenal rumus curl H , j yrLni usaha oleh me-
dan magnet H sekeliling lintasan tertutup sama dengan _jumlah arus 1is-
trik i yang dlcakup lintasan ittt.
Medan gaya demikian sudah tentu tidak konservatif dan karena usaha se-
keliling lintasan adalah tertentu, maka medan gaya demikian disebut me-
dan gaya rotasional"
Selanj utnya dari hubungan-hubungan
dU = F" dr = F dx + F dy + F dz
_-:xy,z
dv= 3V dx+'uor* { dz
Dx Dy Dz
serta mengingat dU = - dV di atas, maka
F =-DV,p=- Du, F =- 3V
*a*YDyzDz
atau secara singkat, menurutkan kalkulus. vektor,
, usaha sepanjang
titik kembali ke
1ah A maka sudah
t
a
*
l.
P=-VVatauF=
Jadi untuk medan gaya
gradian potensial"
Seandainya dalam
hukum kekekalan tenaga
- grad V (1)
yang konservatif, gaya dapat dinyatakan sebagai
gerakannya, titik materi mengalami gesekan, maka
mekanik tidak lagi berlaku, sebab ada bagian

10. i
l '.al:
:r
tenaga mekanik yang terdesipasi menjadi panas sehingga tenaga kine-
tik yang diperolel"r tidak lagi sebanyak, melainkan lebih sedikit daripa-
da, berkurangnya tenaga potensial.
Percobaan menunjukkan bahwa banyaknya panas yang timbul karena adanya
gesekan selalusebanding dengan tenaga mekanik yangterdisipasi. Jadi pa-
nas dapat dipandang sebagai bentuk tenaga dan tenaga total terdiri atas
tenaga mekanik dan tenaga panas. Jadi bagaimanapun juga tenaga total se-
lalu tetap atau keka1" Pernyataan demikian dikenal sebagai hukum keke-
kalan tenaga" Dalam Termodinamika hukum kekekalan tenaga ini terumuskan
pula sebagai hukum termodinamika ke I.
2" Gerakan di dalam Sistem Koordinat yang Berputar
Kita tinjau suatu titik materi m yang massanya m, yang bergerak di
dalam bidang sistem koordinat dua dimensi "
Karena secara umum tempat titik materi hendak kita nyatakan dengan vek-
tor tempat r bukannya dengan koordinat-koordinat x dan y, maka untuk
mempelajari-gerakannya akan lebih mudah kalau dipakai sistem koordinat
polar. Untuk itu gerakannya hendak kita uraikan menjadi komponen-kompo-
nen radial dan tangensial; yang dimaksud dengan komponen tangensial ia-
lah komponen yang tegak lurus radial pada arah rnembesarnya sudut 0 di
dalam sistem koordinat po1ar.
Jadi d.ilihat dari sistem koordinat yang tetap, kita boleh dikatakanmen-
dirikan sistem koordinat Cartesian lain yang berputar mengikuti perpu-
taran .titik materi tersebut. Agar jelasnya kita perhatikan gambar I.2.
Gambar I.2.
Gerakan di dalam sistem koordinat yang berputar.
Misalkan vektor-vektor satuan di dalam sistem koordinat yang berputar
itu ialah ? dan G dengan ? yang dibuat se1a1u berimpit dengan vektor
tempat r. -
Jadi teilpat titik materi akan ternyatakan sebagai r = r l.
't
d

11. 6
Demikianlah maka kita jabarkan rumus-rumus $ecepatan dan percepatan se-
bagai berikut. untuk singkatnya kita tulis *- dengan titik di atasnya,
dr dt
dt
Maka kecepatan dan percepatannya diberikan oleh
,
r=':*'ra'aa
AA'
r = r 3 * r r * I r * rr
Dengan memperhatikan ganbar I.3. di bawah ini
Gambar I. 3.
Increment vektor-vektor satuan.
dr dan d3
J
jelaslah bahwa
d? = l+l
ds=ds
sebab ? = 1 dan 3 - 1.
Selanjutnya di gambar I.3. terlihat bahwa vektor
3 dan vektor d3 adalah pada arah - ?.
=?d0 =
=sdU=
d0
d0
di adalah pada arah

12. Jadi kita dapatkan
q=S d0dan*=-t
sehingga selanjutnya
! =c6=6cd", 3=
3 =63-6'3
ut)
3 =-0?- 0-3
Dengan demikian persanaan-persamaan urntuk kecepatan dan percepatannya
menj adi
Dengan menuliskan 0
d0
. . lt
+ (20r + 0r)
ari persamaan (
2^m0J rr+ zm
a
hukun Newton ke
tA
1*ruors'
(2)
(3)
II. menjadi
(4)
(s)
-r6=-6f
+0r3
.)
o-r)?
=rrI
ot
I = rr
I = (I- s
3)
[dr
f=*i=rni?-
(f
Untuk titik materi yang bergerak berputar dengan kecepatan sudut w yang
tetap, sudah tentu o = 0 dan r = 0, sehingga gaya yang membuatnya ber-
putar melingkar beraturan denikian adalah
2n
P=-m(rJfr
Gaya ini adalal'r pada arah radial menuju ke pusat dan dikenal sebagai ga-
ya sentripetal.
Kalau titik materi tersebut kecuali bergerak melingkar dengan kecepatan
sudut tl) yang tetap juga bergerak secara radial dengan kecepatan v yang
tetap, maka gaya yang rnenggerakkannya demikian diberikan oleh.
)
fi=-ru-r! + 2mov3. (6)
Suku kedua ruas kanan persamaan (6) adalah pada arah tegak lurus arah
radial dan disebvt gaya koriolis. Gaya koriolis dernikian nisalnya yang
dialami oleh angin di permukaan bumi yang bergerak dari daerah sedang
ke daerah katulrstiwa; gaya koriolis pada angin ini disebabkan oleh ro-
tasi bumi.
Marilah kita.perhatikan persamaan (2); suku pertana ruas kananper-
sanaan itu yaitu r f adalah kecepatan pada arah radial dilihat dari sis-
tem koordinat yang Eerputar, yakni u* rnisalnya. Dernikianlah pula ' suku
pertama ruas kanan persanaan (3) yaitu i ? adalah percepatan radial di-
lihat dari sistem koordinat yang berputar, yakni a* misalnya.

13. V
8
Tetapi sebenarnya vektor kecepatan dan vektor percepatan tidaklah ter-
gantung pada letak titik pusat sistem koordinat. Jadi terhadap senba-
rang titik pusat sistem koordinat yang manapur di bidang sistem koordi-
nat yang berputar itu, titik materi m tampak bergerak dengan kecepat.
an y* dan percepatan 4*,
Jadi dengan menuliskan r ? dengan v* dan i ! dengan a* dalam persanaan
(3) kita dapatkan hubungan'antara kecepatan dan percepatan di sistenko-
ordinat tetap dengan yang di sistem koordinat yang berputar.
Dengan nendefinisikan vektor rotasi ro sebagai vektor yang arahnya sama
dengan arah ? x 3 yaknl- pada arah bergerak maju atau nundurnya sekrup
yang diputar-menlikuti perputaian sistem koordinat yang berputar, maki
vektor 3 adalah pada arah g x I, sehingga persamaan (2) dan persamaan
(3) di a?as dapat ditrtirk"n-sebigai p"rllrrrn vektor ieiengtairnya yang
menghubungkan kecepatan dan percepatan di kedua sistem koordinat, dalam
bentuk
=v*+ (7)
l
:_ tD
r
r
0txr
=a*+2uxv*+(rjxr+oJ
Kecepatan v* dan percepatan a*
an transport.
Persamaan (7) dan persamaan (8) tak lain menyatakan hubungan antara ke-
cepatan dan percepatan yang sesungguhnya yaitu sebagaimana dilihat dari
sistem koordinat yang tetap, dengan kecepatan dan percepatanyangterli-
hat dari sistem koordinat yang berputar.
Kita tinjau sekarang suatu titik yang
dinat yang berputar dengan kecepatan sudut
tik ini v* = 0 dan a* = 0 sehingga
x o xi (8)
lazim disebut kecepatan dan percepat
tinggal diam di sistem koor-
uJ yang tetap. Makauntukti -
rxS
' = I * 3 *:
Titik tersebut terlihat dari sistem koordinat yang tetap akan tampakme-
lingkar beraturan dengan percepatan g x g x r yakni sebesar ri't pada
arah nenuju ke pusat sistem koordinat. '?
Percepatan ini tak ,lain ialah yang kita kenal sebagai percepatan sen-
tripetal. Adapun untuk titik yang bergerak dengan kecepatan v* yangte-
tap di sistem koordinat yang berputar, yang berarti pula a* I 0, dili-
hat dari sistem koordinat yang tetap akan terlihat bergerafi dengan per-
cepatan
t - 2u x v* +ulx(rx
yang berarti di samping dengan percepatan sentripetal juga dengan per-
cepatan ? g "
v" yang arahnya tegak lurus arah,kecepatannya v* dan oa-
da arah Seiputalnya sistem koordinat yang berputar. Dercepatafi ini tak
lain ialah yang kita kenal sebagai percepatan koriolis.
I
u,l
:

14. 3.
9
Dari hukum Newton ke II, F = m a dan hukum Newton ke II1, rezlksi =
aksi, suatu titik materi yang senula diam, apabila dipaksa untuk berpu-
tar mengikuti perputaran sistem koordinat, akan memberikan gaya reaksi
enersial sebesar m uJ2 r pada arah menjauhi pusat sistem koordinat yang
berputar" Gaya tersebut yang disebut gaya sentrjfugal, akan menyebabkan
titik materi itu terpelanting ke arah radial apabila tidak dipegang te-
tap di sistem koordinat yang berputar. Jadi untuk mempertahankan titik
materi itu tetap tinggal diam di sistem koordinat yang berputar, diper-
lukan gaya sentripetal untuk melawan gaya sentrifugal tersebut. Demiki-
anlah pula suatu titik rnateri yang semula bergerak lurus dari titik pu-
sat sistem koordinat 0, apabitra sekarang dipaksa untuk berputar meng-
ikuti perputaran sistem koordinat yang berputar, yang berpusatkan di 0 ,
akan memberikan gaya reaksi enersial yang kecuali gaya sentrifugal juga
gaya sebesat 2 m o v* pada arah melawan perputaran.
Akibatnya titik materi itu tidak lagi bergerak sepanjang garis lurus,
melainkan akan terpelanting melengkung. Jadi untuk mempertahankan gerak
annya yang lurus sepanjang arah radial dengan kecepatan v* yang tetap
di sistem koordinat yang berputar, diperlukan gaya sentripetal dan gaya
koriolis sebesar 2 m r.o v*.
Gerakan di Permukaan Bumi
Sistem koordinat di permukaan bumi sebenarnya adalah sistem koor-
dinat yang berputar mengikuti rotasi bumi pada porosnya. l,faka rumus -
rumus mekanika di permukaan bumi kalau dikehendaki lebih tepat harus di-
koreksi seperlunya.
Misalnya rumus hukum Newton ke II
f =' 2* * 2'3 * v* + mLrlx
Jadi dilihat dari muka bumi , Eaya
f*=*g*=f -2rg*v*-mLuxurx:r (10)
Suku-suku kedua dan ketiga ruas kanan tak lain ialah suku-suku koreksi
koriolis dan sentrifugal.
Denikianlah maka persamaan gerak untuk benda jatuh bebas tepatnya dibe-
rikan oleh
B = n g = m a* + 2' nxrx v* + m(])x(r)x r*g
yang menghasilkan percepatan sebagaimana terlihat dari muka bumi sebe-
SAI
a*=g (11)
Pada hakekatnya suku sentrifugal o x 0l x r adalah cukup kecil dibanding
kan dengan suku-suku yang laj:,. tr6ngafr rnefrgingat bahwa o = 2r/ 2a janr,
dan jari-jaribumi r= 6,38x 108 cm, kitahitungutxuJxr= 3138cn/
detik sedangkan g kira-kira sebesar 980 cm / detik2.
Jadi koreksi sentrifugal ini kira-kira hanya 3.38,/ 980
..yakni sekitar
0 ,34eo saj a.
di permukaan bumi yang tepat adalah
g" I (e)
F akan terasakan sebagai
ra - 2ux v* -(.0 xulxr

15. 10
Dengan mengabaikan efek sentrifugal, persamaan (11) rnenjadi
e*=g-2p*y* (tz)
Yang menunjukkan bahwa benda yang jatuh bebas, jatuhnya tidak tepat me-
nuju ke pusat bumi, meskipun gaya tarlk bumi, yakni gaya berat atau ga_
ya gravitasi, adalah ke arah pusat buni.
Lebih lanjut pengintegralan percsamaan (12) terhadap t akan menberikan
ke cepatan
y.=yl+gt-2 ux f v*' d.t
-J
ta
=y;* gt-zy{q;*gt- 2g*.,f y.or1 dt
= Y; * gt - 22 * (I; * Y;t * , gr2 - 2 w -. .[ r* dt)
=Y;*gt-2ux(I;.!t*',gtz) (13)
karena suku dengan o x gJ x adalah cukup kecil dan dapat diabaikan. Ada
pun v* dan a* adalafi halga-harga v* dan a* pada saat i = 0.
Akhiiilya pefr$integralan persamaan- (13) m6nghasitkan
r* = rJ * Y;t *rt - 2y * ,/ ,:; * y;t + L4t2) dt
=r*+vIt+t;pt2-2ux (r*t+Lv'2 t 3'
io -o 'P- '-o :t + u 8t-) (14)
di mana r* adalah I'rarga r* pada saat t = 0.
-o
Jadi adanya efek koriolis menimbulkan suku dengan 2 u x selaku suku ko-
reksi koriolis"
4" Bandul Foucolt
Pada tahun 1851 Foucolt melakukan percobaan untuk meyakinkan ada-
nya rotasi bumi pada porosnya, dengan suatu bandul yang cukup berat di-
gantungkan pada tali panjang agar dapat tahan berayun-ayun berjam-jan.
Karena adanya rotasi bumi, tentunya berayun-ayunnya bandul bersama ta-
linya tidak akan berada di suatu bidang vertikal yang tetaptertentu; ar-
tinya, bandul akan berayun-ayun sambil berputar. Kita hendak rnenyeli -
diki bentuk lintasan bandul itu. Kita tinjau bandul Foucolt yang berada
di daerah yang lintang tempatnya {Q. Kita perhatikan gambar I"4 dan gan-
bar I.5.

16. 11
utara utara
!/I
I
;r.
t,.l
I
rl Gambar I.4.
Efek koriolis terhadap ayunan bandul.
Z
Gambar I"5.
Diagram untuk menganalisa ayunan bandul.
Kita ambil sistem koordinat Cartesian dengan sumbu x pada arah tinur-
barat dan sumbu Y pada arah utara-selatan sedangkan surnbu Z adalah pada
arah vertikal.
Bandul yang massanya m berayun-ayun di sekitar titik setimbang 0. Letak
massa m terhadap titik setimbang 0 dinyatakan dengan vektor tempatp.i
misalkan panjang tali itu adalah 1 dan gaya tegangan tali adalah T; Ea-
ya tegangan tali T ini adalah gaya reaksi daripada komponen gaya berat
mg pada arah sepanjang tali ke bawah
Jelaslah bahwa gaya yar'g menggerakkan bandul ialah komponen gaya berat
yang pada arah tegak lurus arah tali, yaitu mg sin or seperti yang ter-
tera di gambar I.5.
ti
x r t..Q
-(- L
I
I
I
rI
I
I
I

17. l2
Karena jarak bandul ke pusat bumi yakni *p jauh melebihi nanjang tali 1,
maka ot z a. Lagi pula untuk o, yang cukup kecil, sinozi sehingga mg
sin cx,t x mg sin o, : mg t"
Gaya yang mengayunkan bandul sebesar ng p/ 1 ini adalah pada arah yang
berlawanan dengan arah p sehingga gaya tersebut dapat ditulis sebagai
-(me/r)p
Dengan demilian persamaan geraknya diberikan oleh
a*=-9p -2trtxv*- le
Tanpa suku kedua, yakni suku k,oreksi koriolis, persamaan ini tak lain
ialah persamaan gerak bandul ttrnggal yang menghasilkan getaran harmonik
yangperiodenyaT=2rF
Selanjutnya dari gambar I.4 kita dapatkan
I -xj*yi*rt
di mana t, i, dan t, ialah
koordinai Xl v dan-Z.
Dari aljabar vektor, kita
1
(r)xv*=
vektor-vektor satuan sepanjang sumbu - sumbu
{-:
ix
fi
$
x
I
l
$
I
fi
i
I
I
t
dapat
v* v*
xy
menul is
J
OJ
v
8l
url,l
";l
Dari gambar I.4 jelaslah bahwa sumbu X tegak lurus ul sehinggatrl* = 0,
sedang 0,, = - lrt cos Q dan 0, = 0 sin t{" . .
Adapun v* , v* dan v* tak ISin ialah x, y dan z.
Karena ayunannya cukup keciI, gerakan bandul boleh dikatakan berada di
bidang datar, maksddnya komponen gerakan ke atas dan ke bawahnya boleh
diabaikan yang berarti vl = z x 0.
Dengan mengingat ha1-l-ralztersebut, kita peroleh
g *y* = (- uri sin q) i . (r,r i sin Q) I . (, i cos Q) !
dan akhirnya persamaan di atas menghasilkan
I=-$**2urlsin{g
'i=-fv-2urisinQ
$
&
( 1s)

18. n
L3
Lagi, tanpa suku kedua, suku koreksi koriolis, persamaan (15) ini tak
lain ialah persamaan getaran harmonik yang periodenya
]r;oi lfr-lmolrly
diuraikan menjadi komponen-komponen pada arah-arah
Persamaan (15) di atas menghubungkan gerakan-gerakan sepanjang sumbu X
dan sepanjang sumbu Y yang berarti menentukan bentuk lintasan bandul.
Untuk meneliti bentuk lintasannya, kita gabungkan kedua persalnaan (15)
. . di atas dengan menuliskan
rdi mana i =V -_l,ryakni dengan mengingat resultante simpangan yang di-
berikan oleh V (*' * y').
Dengan penulisan demikian, akan kita peroleh
ii=-(2oisintp),1 -+u (16)
Persamaan ini menyerupai persamaan getaran teredarn dengan suku periama
ruas kanan selaku suku redaman.
Maka kita cobakan penyelesaian dalam bentuk
u=Aetrt
Ini akan memberi-kan
)t -- ? Itri = tr A e^ dan ii = )." A e
Apabila harga-harga ri dan ir' iri kita masukkan ke persamaan (16), naka
,,._) akan kita dapatkan
)
l.'=-(2oisintQ)),-+
yang Ialu menghasilkan
.rl
l--u-risinQ+ icx
dengan
.))o
cL,= /(^' sin'(Q. f )
yang dengan mensubstitusikannya ke penyelesaian di atas menghasilkan
iult sin 0 + i o, tu=Aere-
yang 1a1u menghasilkan penyelesaian umum,dalam bentuk
u = e -i tlt sin Q (r"i o t * be-i u t,

19. 14
Selanjutnya dengan nengingat
+ iote-
penye lesaian
U=U
dengan
u =[a+b)o'
Dengan menuliskan
u=x+i
cos0tlisinot
atas menjadi berwujud
(l)tsinq
v
o
cos0t
Gambar I.6.
Lintasan ayunan bandul di
cos cr t + i(a - b) sin o t
=
di
-ie
oo
x = (a+b)
o
Yn=(a-b)sinctt
maka u^ dapat dipandang menyatakan letak suatu titik di dalam diagram
kompleX Argand yang koordinat-koordinatnya ialah xo dan ro. Untuk jelas-
nya kita perhatikan gambar I.6.
,!,
1 atan
-(r)t sin
permukaan bumi.

20. 15
Dari persamaan di atas terlihat bahwa variasi x dan y_ terhadap waktu
senantiasa menurutkan hubungan o '
2
.x o
(a + b)-
yakni memenuhi persamaan
Jadi titik u bergerak sepanjang lintasan elipso
2n
I =- 0
01elr karena sebenarnya uJ cukup kecil , maka u=/
, * ,n.l!vg
yakni hampir sama denganperiode ayunan bandul yang Lazimkita kenal itu.
Lebilt lanjut, persamaan (17) menunjukkan bahwa lintasan bandul yang se-
benarnya, yakni yang diberikan oleh u, adalah lintasan titik u yang ber
putar dengan kecepaian sudut - osin tp. o'
Dengan mengamati gambar I.6 kita perhatikan bahwa dilihat dari sistem
koordinat X - Y yang tetap di permukaan buni, lintasan bandul adalah
elips yang berputar pada sumbu Z pada arah barat ke utara ke timur ke
selatan. Dengan perkataan lain bandul akan berayun sepanjang elips san-
bil berputar sekeliling sumbu vertikal menurutkan perputaran elips lin-
tasannya" Adapun periode perputaran itu menurut persamaan (17) diberi-
kan oleh
Tl = ( 18)
trt sin Q
Untuk bandul yang berada di sebelah selatan katulistiwa, arah perputar-
an itu adalah sebaliknya, yakni pada arah dari barat ke selatan ke ti-
rnur lalu ke utara. HaI ini ternyatakan pula dari negatifnya harga sin {Q
karena Q. O,sehingga kecepatan sudutnyapun yang diberikan oleh -ttl sintp
berharga berlawanan dengan kecepatan sudut untuk t[ fang positif yakni
untuk tempat di sebelah utara katulistiwa "
Di daerah katulistiwa, Q = 0 se[ingga T' =(u) yang berarti bandul ti-.
dak berputar, sedangkan di daerah kutub, Q = 90" sehingga Tr = 2tr/a= 24
jam yakni paling pendek kalau dibandingkai dengan periode putaran tmtuk
di daerah lainnya.
5" Gaya Sentral
Yang dimaksudkan dengan gaya sentrit iatah gaya yang selalu menuju
ke atau mengarah dari suatu pusat, dan besarnya hanya tergantung pada
jaraknya dari pusat itu.
Dengan mengambil pusat tersebut sebagai pusat sistem koordinat, Eaya
sentral itu dapat ditulis sebagai
I
2
yo
-1
(a + b)z
e1 ips "
dengan periode
sehingga
ob
T
il
t
2r
.n. a
= F(r) ? ( 1e)

21. Jadi menurut persamaan
i- (r-
dan
16
(3) percepatannya ialah
r62)t
6r=o
(20)
(21)
dengan r x ki-
12 adalah tetap, misalnyasamade-
(22)
I
3
20r+
Dari persamaan (20), dengan mengalikan kedua ruasnya
ta dapat l[.
sebab ? x ?
Akan tetapi di lain pihak
(:*
(r*
karena 0. Jadi kita dapat menarik kesimpularr bahwa
= tetap
Ini berarti bahwa vektor yang tegak lurus g dan;! adalah tetap. Tetapi
bidang lintasan adalah bidang yang mengandung vektor koordinat r dan
vektor kecepatan i yang berarti bidang lintasan itu tegak lurus vektor
I x I yang menurut di atas adalah.tetap. Dengan demikian makasudahten-
tu ini berarti bahwa bidang lintasannya tetap atau dengan perkataan lain
lintasannya adalah koplanar yakni ada di bidang datar tertentu,
Dari persamaan {21) dengan mengingat bahwa persamaan (21) itu da-
pat pula dituliskan sebagai
o)
(0r')-0
r*i=9
=9
..dfXf=--
dt
d
=-- dt
a
r)-rxr
:)
TXf=
rxr
t
kita dapat menarik kesimpulan bahwa 6
ngan suatu tetapan h; atau dirumuskan
2
r =h=tetap
1d
i'a?
0
Kita perhatikan bahwa ruas kiri persamaan (22) tersebut adalah rnomen da-
ripada kecepatan sehingga kalau dikalikan massa m menjadi suatu impuls
putar. Maka liendak kita selidiki apakah memang impuls putar, yakni mo-
men daripada impuls, untuk gerakan titik materi oleh gaya sentral ada-
Iah tetap.
Adapaun impuls putar terhadap suatu titik pusat koordinat, didefinisi -
kan sebagai

22. l7
I=:**f
Jadi dengan mengingat persamaan (2) impuls putar itu ialah
x(i'?*.6e)H=m r
=mrlx(it*r6e)
Dengan mengingat bahwa ? x i = 0, maka impuls putar itu adalah
.?
I=*0r-?xC
Untuk gaya sentral, berlaku persamaan (22) sehingga
I=*h?x3=ml
dengan h ialali suatu vektor yang besarnya I'r dan arahnya pada arah i x 3
yang belarti sejajar arah sumbu putar.
Demikianlah maka karena r x r adalah tetap dan h adalah tetap, maka be-
sarnya maupun arahnya imfru1s-putar oleh gaya sentral adalah tetap; atau
singkatny, I = tetap.
Berikut ini hendak kita selidiki persamaan gerak oleh gaya sentral.
Kerapkali persamaan gerak tebih mudal, dijabarkan dari hukum kekekalan
tenaga mekanik.
Untuk gerakan oleh gaya sentral, kiranya persamaan geraknya akan lebih
mudah dipelajari apabila dipakai sistem koordinat po1ar. Di dalam sis-
tem koordinat polar, persamaan gerak itu tentunya akan berwujud hubung-
an fungsional antara koordinat r dan 0 dan waktu t dengan tenaga total
yang tetap tertentu dan tenaga potensial V = V(r) selaku parameter - pa-
rameternya"
Kita mulai dengan menjabarkan tenaga kinetik
K = ti * u2 = L, mv.u = >,
^|"|
, G: * ,6 e) . (i I * ,6
=11 irz *nr02
atau
^ _2
K ='i nit * y ft Z
r
ciengan mengingat ?.3 = 0 karena ? | 3 d* mengingat pulapersamaan (22).
Perlu aipeitrattkafr 6ahwa i / lvl-
"
-
l;l , dan i.-ini'ialai perubahan -ia
rak radial per satuan waktu, blkannya ftecepatan
Selanjutnya dari hukum kekekalan tenaga mekanika
K.
3)
(23)
(24)
il,iluro PrrPultrlaes
tawc Timur
A. 1993
',
199'
E = K + V(r)

23. 18
dan persamaan (24) di atas kita peroleh
2E
m
yang la1u menghasilkan
dr=dt
dan
t
T=
2V [r)
m
)
h-
--zI
(2s)
(26)
2Y (r)
m,
dr
2E
m
l'r
)
r
di mana r ialah harga r pada saat t = 0, yakni berhubungan dengan ke-
dudukan afta1 titik niteri. Persamaan (zoj ini menghubun[-ian kidudukan
titik materi r dengan waktu t, dengan menyatakan t sebagai fungsi r.
(Bukannya r sebagai fungsi t).
Lebih lanjut dengan menuliskan
persamaan (25)
dr dr d0
=_dr d0 dt
bersama persamaan (22) nenghasilkan
{f=
yang 1a1u memberikan
0=0 +
o
12
Adapun bentuk lintasannya akan
ra variabel-variabel r dan 0 "
oleh dengan substitusi.
(27)
(28)
h
2
r
diberikan oleh huburgan fungsional anta-
Hubungan ini ternyata lebih mudah diper-
dr
d0
2E
m
2v (r)
m
dr
2E_
m
2v(g _
m
1
U=-
r

24. 19
Dengan substitusi ini, kita menulis
dr= 1
--2 du
u
dan
d0
yang bersama persamaan
7do
(27) menghasilkan
dudr
du1
ao= -h-
Dari persamaan ini kita peroleh harga nol
kian rupa hingga
untuk $6'-, x*tni
(2e)
yang sedemi -
2V(r) .2 2
m
yang berarti
u=u
atau
2r. _ 2v G)
mm (30)
Adapun $$ = o berarti perubahan u terhadap perubahan Q adarah nol, arti
nya ditdftpat itu perubahan tidak nempengamhi u yang berarti tidakmem
pengaruhi r"
Ini berarti bahwa di tempat hal ini terjadi, arah lintasannyaadalahte-
gak lurus arah radial.
Seandainya lintasannya berbentuk elips seperti terlukis pada gambar I.7
maka tempat di mana hal tersebut terjadi, yakni yang disebut apses, ada
Aphelion Perihelion
Gambar I " 7.
Aphelion dan perihelion
2E
m
1
+-
o- h

25. 20
lah di sebelah menyebelah titik fokus elips sepanjang
Apses untuk lintasan elips demikian disebut perihelion
tltik fokus dan aphelion untuk yang satu lainnya.
Contoh gaya sentral yang kita jumpai sehari-hari
tik, gaya elektrostatik dan gaya gravitasi. Gaya-gaya
rut dapat dituliskan dalam bentuk
F--kr=-kr?
-kt=+..--Tf L-
r
p=-
6. Hukum-hukum SePPler
Gerakan planet-p1anet, termasuk bumi, sekeliling matahari, tak lain
disebabkan otLh gaya tarik matahari yang adalah gaya sentral dengan ma-
tahari selaku PusatnYa
Johannes Keppler (1571 - 1630) adalah orang yang pertama-tama merumus -
kan lintasar,- planet-planet sekeliling matahari yang kemudian dikenal se-
bagai hukum-hlkum Keppler I, II dan III yang hendak kita bicarakan ber-
ikut ini.
Kita selidiki gerakan oleh gaya gravitasi untuk mempelajari gerakanpla-
net-planet sek6li1i-ng matahari. Sebagaimana besar gaya gravitasi-ituber
banding terbalik dengan kwadrat jarak dan pada arah ke pusat, maka be-
gitu juga halnya dengan percepatan gravitasi, Jadi percepatan gravitasi
itu berbentuk
( 31)
persamaan (31) ini bersama persamaan (20) memberikan
k^
-z:r
sumbu panjangnya.
r:ntuk yang dekat
ialah gaya elas-
itu bertufut - tu-
(32)
I
..a
-z:r
:2arU =--Z
'r
yang dengan mengingat persamaan (22) serta dengan substitusi
U=
menjad, ., z )
il .h'u'=-au"
Untuk menyatakan r sebagai fungsi u dan Q, kita tulis
f=
dr
m
1
r
dr dr
dt do
d0 I
?rr= u1'=

26. yang dengan persamaan (22)
,1
i-
o cl-
hu" - ?$=
Selanjutnya
27
dan substitusi
du
-au
adi"6=
menberikan
1
U=-
r
_d;-E=
.2
=-hu
dO
'E=
)
du
--:
do'
menj adi
)?
fl u= -
hu2 Su ,- n
di
a
2
du
;6)
sehingga persamaan (31)
l'2u2 d2u
-
do2
atau
au
)
du
62.
Persamaan (53) ini
tum-nya adalah
(33 )
semilatus fec_
persamaan irisan kerucut yang
di bawah ini.
a
u--,
h'
adalah
)
c _ h'
T
Untuk jelasnya, kita perhatikan gambar I.,g
Persamaan irisan
koordinat polar,
Gambar I. g.,
Semi_latu-s rectum elips.
ferucyt, misalnya elips pada gambar
tertuliskan sebagar
ecos0
S
1+r
I.8 dalam sistem

27. 22
atau su = 1 + e coso
yang menghasilkan
(34)
&1do2*'= s
Irisan kerucut itu adalah elips apabila eksentrisitas e dalarn persamaan
(34) lebih kecil daripada 1 dan hiperbola bilanana e lebih besar dari-
pada 1 serta parabola jikalau e = 1 dan lingkaran bilamana e = 0"
Lhtuk menyelidiki gerakannya lebih lanjut, kita berpaling ke persamaan
(28), yakni persanaan gerak di dalam sistem koordinat polar.
Terlebih dahulu kita tuliskan tenaga potensialnya sebagai berikut
Jadi
43
a
-7r
* i !. t'at
r
+ rdr.)
a
m-7
r
a
m-2
r
11__l
'2 '1
?. (r edo
dr
dv = _
I.{.
r'zv2 - vr = - J,1
Dengan mengingat persamaan (36) persamaan ini lalu menjadi
rt2
Y2-vt=- J -m
t1
/
1
/'
t1
,/"
t1
,2
I.{" _r
t1
?" a (.?)
r^Z
Ti.{'
+?dr)
=_rna(

28. 23
Sebab
1? = I dO dan
3"9 = o sedangkan ?.f
*un:"1r.1j.:lrrn rungi.lkrn v = o or, =--j,'1 = V untuk rl = " kita perolelr
rrav=-mr
.sehingga persamaan (27) meniadi
- 1.
dan mengambil Lo - (4
z
serta
do= dr h
x_ 2
r
yang
Integral ini
2E
-+m
u= 1
r
["
u
dengan substitusi
ro
J do =
0
o
o
akan menghasilkan
di atas Ialu menberikan
a
--o ,zh
a
ITo-o =-o s1n
sln
yakni
(3s)
persamaan
Apabila untuk u
du - odiambilhargaudiapses
aE = 0, maka persamaan (29) memberikan
2E 2a ))_+__h_u-=0mr
)tr
atau #*r^u-h2u2=11
yang menghasilkan
..= p .f-i"{

29. Di perihelion, untuk r_ nya
mengingat u_ - 1/r6 Ue9arti
yakni o
u =a- +
oz
n
sedangkan di aphelion
berharga keci 1, yang dengan
diambil yang berharga besir,
2
a
;r+
24
diambil yang
untuk uo nya
2E
--. z
mh
(36)
(s7)
gambar
a
U---
o ,2n
2
a2E
.4 )
h rnh-
Selanjutnya dengan mengambi_l 0^ = 0 untuk perihelion (perhatikanI.8), persamaan (40) bersama pSrsarrrn ijoi-r""ghasi1kan
l.
'i'-1i=+1
l.?,? )
=in.1
lr*1
a
u--f-
h-
_1
- s1n _t
T
2 t
atau s1n
yang lalu memberikan
cos0=
dan selanjritnya
)
h-
U=a
o+I-"2
a
+
l',4
2E
--
mll
a
u---t
l)
a
:Tl'l
2E
+ --a
mh-
1+ 1+ 2Eh2
___z cos
ma
(38)

30. Persamaan (38) ini
tum
s
dan eksentrisitas
E-L--
Lebih lanjut dari
E=
_1-
atau
2
V=
25
tak lain ialah persamaan
)
h'
=-a
(34) dengan semilatus . rec-
(3e)
- 2Eh2
r+ -'2ma
Dari persamaan (39) ini jelaslah bahwa lintasannya adalah eliptik apa-
bila E < 0 yakni tenaga totalnya adalah negatif, hiperbolik bilamana E
> 0, parabolik jika E = 0 dan lingkaran kalau
2
ma
"'T
2h'
hukum kekekalan tenaga mekanik
')
mv- + '(r)
2amv -m r
2E 2a+-
dan mengingat ketergantungan bentuk lintasan akan E di atas ternyatalah
bahwa lintasan akan berbentuk
2a
-r.
2a
r
Lintasan yang berbentuk hiperbola dan parabola,y berarti titik materi tak
kan kembali mengulangi lintasannya semula. Dengan perkataan 1ain, titik
materi takkan kembali apabila kecepatannya cukup besar sedemikian hing-
ga
u2,
Batas kecepatan
kan oleh
2
V=
elips apabila
"'
. ?
hiperbola apabila v2 >
parhbola apabila v2 =
2a
T
di mana titik materi takkan kembali yakni yang diberi-
2g atauv=i 4 (40)
1ur

31. 26
{
il
F
disebut kecepatan hilang (escape velocity)
Kita uji sekarang kebenaran hukum-hukum Kepp1er"
Hukum-hukun ,itu adalah sebagai berikut
19 Lintasan planet-planet sekeliling matahari, berbentuk elips dengan
matahari di salah satu titik fokusnya.
29- Luasan yang disapu oleh vektor radius planet terhadap matahari per
satuan waktu adalah tetap"
39 Kwadrat periode mengelilinginya matahari, (periode revolusi) seban-
ding dengan pangkat tiga jarak rata-rata planet dari matahari"
Menurut Newton, Eaya tarik antara benda-benda angkasa berbanding lurus
dengan massa masing*masing benda dan berbanding terbalik dengan kwadrat
jarak antara kedua benda dan tetapan kesebandingan itu adalah universal,
artinya sama untuk semua benda.
Secara matematis hukum Newton tentang gravitasi tersebut daoat dirumus-
kan sebagai
!'=-"ryrr
? iatatr satuan vektor sepanjang vektor
|ang lain; dan G ialah apa yang disebut
temyata besarnya ialah
G = 6,67 x 1o-8 dyr" .*'1gr^ 2
Dari persamaan (41) yang menyatakan bahwa gaya gravitasi itu adalah ga-
ya sentral menuju ke pusat dan berbanding terbalik dengan kwadrat jaralg
jelaslah bahwa menurut pembahasan di atas^lintasan itu memang daoatber-
bentuk elips, sebagaimana hukum Keppler 19 mengatakan.
Adapun hukum Keppler 2e- dapat dibuktikan dengan pertolongan gambar I.9.
sebagai berikut
Gambar I "9 "
Elemen luasan yang disapu vektor radius.
(41)
koordinat satu benda terhadap
tetapan gravitasi universal yang
't

32. 27
Dari gambar I,9 terlihat bahwa elemen luasan dL, yang disapu oleh vek-
tor radius misalnya dari A ke B holeh dikatakan sama dengan luas A MAB
dengan panjang AB kira-kira sebesar rdO. Dengan perkataan lain
dL= (rdO) x r = ,rr2d}
Jadi luasan yang disapu oleh vektor radius per satuan waktu adalal"r
dL_, 2 d0 , .2
&:>rT-
*"=Lr-0
yang dengan mengingat persamaan
dL: ''>zll
ctt
yakni tetap sebab h ada14h tetap"
Akhirnya hukum Keppler 39 akan ierbuktikan dengan nenerapkan persamaan
(26) untuk menghitung periode revolusi planet. .l
Dari persamaan (36) dan (37) dengan mengingat u = : , kita peroleh ja-
rak antara aphelion dan perihelion R misalnya, yakfii
(27) dapat ditulis sebagai
ft=
2E
* ---T
mh-
ma
=_ _
E
yang 1a1u memberikan tenaga total
-maL--R (42)
Selanjutnya, di atas telah kita jabarkan bahwa tenaga potensialnya yang
memenuhi persamaan (31) diberikan oleh
v = -.: (4s)
Substitusi persamaan-persamaan (42) dan (43) ke persamaan (26) dengan
batas integrasi dari perihelion ke perihelion lagi (1ihat ganbar I.9.)
memberikan periode
,2
'1--1 dr
a
-)h-
/t1
(44)
2a
+
R
2a
r
rdi
h
-z
r
jika r
1 ion,
- dan
_t
yaKn]-
2
a
r, berturut-turut adalah harga perihelion dan di aphe-

33. 28
tl = (4s)
(46)
a
:Tlr
a
-+
')
l"r
-
2E
+-
.2mh
,2
a- 2E
-t*--hmh
Penyelesaian persamaan (44) dengan mengingat persamaan-persamaan ( 45 )
dan (46) akhirnya menghasilkan
2r
G
-2 4tr2 -3I =
-f
a
bila i yakni setengah jarak antara perihelion dan aphelion kita pandang
sebagai jarak rata-rata antara^planet dan matahari. Dari persamaan (47)
terbuktikanlah hukum Keppler 3I tersebut"
Adapun ketergantungan kecepatan planet akan jaraknya dari mataha-
ri, dengan mudah diperoleh dengan substitusi persamaan-persamaan ( 42 )
dan (43) ke persamaan hukum kekekalan tenaga mekanik.
E=K+V
yang lalu memberikan
a
?-
atau
T-
ma
- T -'cmv
(, N3/2
(48) ini terlihat bahwa
yaitu sewaktu r besar,
(47)
(48)
sewaktu planet berada lebih jauh
gerakannya lebih lambat "
t
2a-m*r
yakni
V=
Dari persamaan
dari matahari,

34. 29
II. MEKANIKA SISTEM MATERI
Titik Berat
Titik berat sistem materi adalah letak rata-rata kedudukan sistem
materi tersebut" Untuk menjelaskan yang dirnaksud, kita perhatikan him-
punan titik-titik materi pada gambar II.1. di bawah ini.
ot3
m
4
Gambar II " 1.
Definisi titik berat.
Rata-rata kedudukan titik-titik materi m,
dengan vektor-vektor kedudukan rr, ,2 ".:
*tfl * *zfz * *3f3 * ''
, fr),
ilan
*1*^2 * ,3 + ...
atau secara singkat
I m.r.
! = t-t (49)
'M
di mana M ialalr massa total titik-titik materi"
Vektor ini adalah vektor titik berat G yang kita maksud"
Untuk sistern materi yang kontinyu persamaan (49) sudah tentu adalah
_ "fr dm
L - ------FT- (s0)
dengan menyatakan vektor kedudukan 1= dalam l'rubtmgan-
kedldukannya terhadap titik berat difr vektor keduduk-
yakni dengan menuliskan
+ '1
dan seterusnya
seterusnya adalah
i=
Lebih lanjut
nya dengan vektor
an titik berat itu
m ,2
o
(s 1)

35. 30
dari persamaan (49) kita peroleh
t m. O: = flL,'.' rr -:
yang berarti bahwa rata-rdta vektor
lah no1.
(s2 )
kedudukan terhadap titik berat ada-
2. Hukum Kekekalan ImpuLs
Impuls sistem rnateri didefinisikan sebagai jumlah
masing titik materi; atau secara singkat
!= r,1i= r*iii
Dari persamaan (49) dengan mendiferensialkannya terhadap
kan
. I m.r.
- 1-1
f =
--lM-
atau
Mi=rm.i.- la1
Maka menurut persamaan (53) kita peroleh
L=Ml
impul s masing-
(s3)
t, kita dapat-
!N
(s4)
Jadi kita dapat mengatakan impuls sistem sama dengan impuls titik berat;
yang dimaksud impuls titik berat adalah impuls titik massa yang seolah-
olah berada di titik berat dengan massa sebesar massa total sistem dan
bergerak menurutkan gerakan titik berat.
Selanjutnya gaya pada sistem materi didefinisikan sebagai jumlalt
gaya-gaya pada masing-masing titik materi; atau dirumuskan
p = I F.
Dengan mengingat hukum Newton
I='idan mengingat persamaan (49) kita peroleh
F=Mi
yang berarti gaya pada sistem sama dengan gaya terhadap titi
rnaksudnya sama dengan gaya yang seolal'r-olah bekerja pada suatu
sa yang berada di titik berat dengan massa sebesar massa total
(ss )
serta bergerak menurutkan gerakan titik berat.
Perlu kita perhatikan bahwa gaya yang bekdrj a pada masing-masing titik
materi dapat terdiri atas gaya dalam maupun gaya luar; yang dimaksud de-
ngan gaya dalam ialah gaya interaksi antara titik-titik materi satu sa-
ma lain
Dengan perkataan lain kita dapat menuliskan
F. = F.
(1) * F.
(d)
-1 -1 -1
(s6)
k be4at,
titik mas-
sistem
(s7 )

36. 3L
atau F. = F.('1) + r.F.. (s7)
-1 -i j*rj
di nana F. . adalah gaya oleh m. terhadap m..
-lJ ) ' 1
Tetapi menurut hukum Newton ke III, reaksi sama dengan aksi,
Iij = - I:t
sehingga
TI
i ; It:-o
yang dari persamaan (57) berarti
F = r F" = I p-(1) (58)
11
Jadi gaya pada sistem materi sama dengan jumlah gaya-gaya luar pada ti-
tik-titik materi
Dari persamaan-persamaan (58), (56), dan (49) tertihatlah bahwa apabila
tiada gaya luar yang bekerja pada sistem materi, maka
rmrir=9
yang berarti
Liii = tetap (59)
yakni jumlah impuls titik-titik materi adalah tetap terhadap waktu.
Pernyataan ini disebut hukum kekekalan impuls. Hukum ini sangat berman-
faat daTam analisa tumbukan antara titik-titik nateri.
3. Tenaga Kinetik Sistem Materi
te-
(60)
te-
t.
ta-
hat i
Yang dimaksud dengan tenaga kinetik sistem materi ialah jumlah
naga-tenaga kinetik masing-masing titik materi.
Atau kalau dirumuskan :
K=LK. =Lr.i..i.r I - 11 I
Seperti pada pembahasan-pe*trf.,Jrrri di atas, kita hendak menyatakan
naga kinetik itu dalam hubungannya dengan tenaga kinetik titik bera
I.jntuk itu vektor kedudukan masing-masing titik.materi akan kita nya
kan dalam hubungannya dengan vektor kedudukan titik berat. Kita per
kan lagi gambar II.1 di atas"
tl, (ni.ri) - I I f: .P-i ).(I * 0-i),f
t)
Im.(i.,i.)=f mi (i+0-1).(i *0-i)

37. 3'2
Tetapi menurut persamaan {52)
d-Im.o. ---=- r m.0'l " 1 dt 1-
sehingga a"ti ]"rramaan (60)
K = Lz Ui2 * L, I mi
Dengan perkataan lain, tenaga
tenaga kinetik titik berat dan
ri terhadap titik berat.
Impuls Putar Sistern Mate_ri
5=-rxm-r=_rxqv
Jadi impuls putar yang memberi
nyatakan oleh vektor Perputaran
Adapun arahnya adalah pada arah
perputaran sekrup itu mengikuti
hat gambar 1I.2. di bawah ini.
-. rG)
KG * I *, t" (61)
sistem materi sama dengan jumlah
kinetik maslng-masing titik mate-
.-01ry
.2p=1
kinetik
tenaga
I
i
Ii
4.
Impu1s putar yaitu momen daripada impuls didefinisikan sebagai
(62)
ukuran besar impuls perputaran itu di-
yang tegak lurus bidang lintasan.
bergerak maju-mtmdurnya s ek rup' kalau
perputaran gerakan. Llntuk jelasnya li-
Impuls putar sistem
puls putar masing-masing
11 = ; FI.
- -1
H
Gambar 1I.2.
Vektor impuls putar
materi didefinisikan sebagai jumlah
titik materi; atau kalau dirumuskan
= I f . X m.V.
-1 1-1
impul s - im-
(63)Dari persamaan (51), persamaan (63) menjadi-
l.
l=)t (:* gi)*ri(I*l i)
-:-:=rxIm.r+rxLm. 0 . +I0 . xm.r1- - I - 1 - I I-
+ r o * *. 3 iII:
(64)

38. Suku pertama
a
atau
dimanal=I
Untuk sistem
ruas kanan dapat
xiIm. =ixYI,i-1
33
dituliskan sebagai
I
=rxfllr
suku kedua ruas kanan adalah nol sebab dari persamaan (52)
Im.6 . -o1: I -
Sedangkan suku ketiga ruas kanan adalah
I p , X ill.i = - i x I m. o - 0
L 1 1. ;---"'iii
dengan mengingat persamaan (52)
Dengan demikian persamaan (64) menjadi
H_=f *rui*I !i*ri f ,
atau 5=Ic* tUrtt'
Persamaan (65) ini mengatakan bahwa impuls putar sistem materi sama de-
ngan impuls putar titik berat (H^) ditambah jumlah ippuls - irnpuls putar
masing-masing titik materi terhadap titik berat (H. ('7). rmpuis putar
titik berat ialah impuls putar suatu titik rnateri i*g- seol-ah-otah- ada
di titik berat yang massanya sama dengan jumlah nassa-masing-masing ti-
tik materi.
Kita tinjau sekarang keadaan khusus di mana suatu titik materi ber-
putar sekeliling pusat sistem koordinat dengan jarak titik materi kepu-
sat yang tetap.
Llntuk gerakan demikian, besar kecepatannya adalah
v=urr (66)
Selanjutnya dengan mengingat definisi vektor kecepatan sudut u-r di bab I,
pasal 2, persamaan (63) dan persanaan (66) menghalilkan
H=Ir.xm.v.
- -1 1-1
=Ir.?xmor.3L- 1-
)
= ( I m.r.-) ur i x 3
11
=(r
(6s)
')g
q
adalah apa yang
yang kontinyu,
)
I {dn
m. r.11
U=I
2
m. r.1 1.
mat.erl
I-
(67)
disebut momen enersia sistem materi.
sudah tentu
J
(68)

39. f
34
atau
yang
5. Momen
Kalau persamaan (67) di atas kita bandingkan dengan persamaan (54) naka
I bersesuaian dengan massa sebagaimana impuls putar H bersesuaian de-
ngan impuls L dan kecepatan sudut 6 bersesuaian dengan kecepatan linier
J.
Adapun tenaga kinetik perputaran sistem materi yang hanya berputar
sekeliling pusat seperti di atas, diberikan oleh
.2K = L 4 m.v.
l-1
= L m. (o.r r. )2- 1' l'
)2
= tz (L mir.-)ut
)y=Iu' (6e)
Mv-.
kita hendak
bersesuaian dengan tenaga kinetik gerakan linier K=
Gaya Sistem Materi
Bersesuaian dengan hukum Neyton
meneliti apakah yang memberikan !r U.
Untuk itu kita perhatikan gambar"tllS
II,
di
r=$ri*r)=
bawah ini.
#r
*Y
Gambar II.3.
Impuls putar dan momen gaya.
Kita mempunyai
dH
AT
dr
E
VX
d
at(I'
d
:*aT
d
IXE
x mv)
(rY)
(*Y)
xmv
MV

40. 35
Jadi yang memberikan-p"rirU.nL
gaya r=rxF.
Dengan-demikiafi , analoog dengan
an berlaku hubungan
dH
r=#
terhadap waktu j alah nomen
ke II, untuk gerakan putar
d
=rx-'. (mv)
-dt
=5*r
VXmV=mVXV=0sebab
yang dengan
l-_
Dengan demikian,
L- - -
impuls putar
hukum Newton
(70)
Adapun momen gaya sistem materi sewajarnyalah didefinisikan sebagai jum-
lah momen gaya masing-masing titik materi, yakni
:=rli
sehingga kita peroleh
dI-I.
T'= t --1--"8
_d=Ir. xi[m.r.)-I dt r-l
mengingat persamaan (51)
.d(i* gi )*i. ,i(I .f,
menj adi
)
=ixui+i.I:.(*r!,)*r {t,
r d . .^l
r tg, * at (,i
fr ))
Akan tetapi, menurut. persamaan (52) , suku kedua ruas
nol sebab
-
(m. 0.. j = 0.
Lebih 1anjilt metult,t perSamaan (52) puta, suku ketiga
.gi * $7r,r;l = - ; * $r (,, !, ) = o
* $1- r,ril].
akhirnya kita tulis
pri * t
{g, * $, r,, :, ,J
(71)
kanan sama dengan
ruas kanan
d+-'dt H.
(G)
-1
atau l=# Ic (72)

41. 36
Dengan kata 1ain, momen gaya sama dengan perubahan impuls putar titik
berat per satuan waktu ditambah jumlah perubahan impuls-impuls putarper
satuan waktu masing-masing titik nateri, terhadap titik berat.
6. Tumbukan
Gejala tunbukan ialah yang mana tidak ada gaya luar ataupun resul-
tante gaya luar adalah nol.
Kalau ada gaya pada titik-titik materi rnaka gaya itu hanyalah gaya in-
teraksi yakni gaya dalam saja.
Pertama-tama hendak kita pelajari tumbukan tanpa gaya da1am, misalnya
tumbukan antar kelereng, antara bola-bola bilyard, dan lain sebagainya.
Kita perhatikan gambar II.4 di bawah ini.
Gambar II.4.
Perubahan kecepatan sewaktu tumbukan
Misalkan l, dan i" ialah kecepatan titik-titik materi bersama m,
sebelum tilfrbukan-6edangkan ir' dan irr adalah kecepatan mereka '
tumbukan
dan m,
sesudah
Dari persamaan (52)
*r i, +
dengan mendiferensialkannya ke t, kita peroleh
^rir=0ataurrp, =-*rp, U3)
'ryry&
(74)*r i r, *
^r p z' = o atau *, i, ' - - ^, pr,
NNNA/
di mana persamaan (73) adalah untuk yang sebelum tumbukan dan persamaan
(74) adalah untuk yang sesudah tumbukan.
Persamaan (73) memperlihatkan bahwa dilihat dari titik berat, m, dan m,
saling bertumbukan berhadapan, sedangkan persamaan (74) menunjukkan bah
wa dilihat dari titik berat kedua titik materi itu terpelanting dengai
arah yang berlawanan. Untuk jelasnya kita perhatikan gambar II.5. diba-
wah ini.

42. --l1
37
d,,
*
G,/
./'--N.-r'. , 2 -lC
2
rn
2
Garnbar II.5.
Tumbukan dilihat dari titik berat.
Kecuali itu, dilihat dari titik berat, titik materi yang lebih berat,
bergerak lebih lambat.
selanjutnya dengan memperhatikan harganya saj a, persanaan-Dersamaan (73)
dan (74) memberikan
*1 o1=*2
*1 ir' = ^Z
di mana ;r, p.r, pr' , dan
tif. Kemudian diri P6rsamaan
Ml = t"tup
sebab tiada gaYa luar, Yakni F = 0'
Dengan demikian, a"ngir'mengifrgat hukum kekekatan tenaga, di mana dalam
ha1 tumbukan di atas, tenaganya hanya tenaga kinetik saja' persamaan (61)
menj adi
4, ir' * ',
m2 i22 = ', ^,
yang lalu menghasilkan
. 2 - -. t-2
(01') +nr(02 )
*1 (6r * or'l to, -ir') = -*2 G, * 'or'lto, - o,
Adapaun persamaan (75) dan persamaan (76) dengan
rangkan keduanYa, memberikan
,1 (0, * 6t', =
^2
(bz *
*1 fo, - ot'l =
^2
(i, - ')
62
o
6,
(s
( 7s)
2'
(76)
I adalah besaran-besaran berharga posi-
6) kita peroleh
') (77)
menj umlahkan dan mengu-
(78 )
(7e)
r)p2
p2

43. Akhirnya persamaan
.a
0, - 0. | =
r_t
atau
pl.*pz -6r'*02'
sedangkan persamaan (77) dan persamaan (79) menghasilkan
91 * olt= - ({,r* or')
Persamaan (80) mengatakan bahwa kecepatan relatif (yakni kecepatan nl
dilihat l".ri ,2. ataupun kecepatan *Z 9ilihat. dari mr) adalah tetap artil
nya sesudah tuftbukan sama dengan sebelum tumbukan. -
Sedangkan persamaan (81) tidak cocok dengan kenyataan, sebab p, QZ,0l,t
dan pr' semuanya harus berharga positif.
Lebih-lanjut, dari persamaan (75) dan (76) kita dapatkan
38
(77) dan persamaan (78) menghasilkan
_a
- l9z - Qz')
n
'1
- =.t
p.
I
yang berarti
aa
'p2
:---i- atau
p2
nn,
'rl
tl
-=..t
p^ p'.
LZ
6t*P, 6tt * ,r'
(80)
(81)
pi p1
Dengan mengingat persamaan (80), persamaan-persamaan di atas akan meng-
hasi lkan
Q2' = QZ dan g1t = 91
Jadi dilihat dari titik berat G, besar kecepatan masing-masingtitikma-
teri tidak berubah sewaktu tumbukan, dan hanya arahnya sA.ja yang ber-
ubah.
Tumbukan di mana hukum kekekalan tenaga mekanik dipenuhi, disebut
tumbukan elastis, sedang sebaliknya disebut tumbukan non elastis.
Dalam alam, tumbukan yang benar-benar elastis tidak ada. Tidak elastis-
nya tumbukan, disebabkan oleh desipasi tenaga menjadi panas atauboleh
jadi menjadi tenaga deformasi (lekukan dan lain sebagainya) dari pada
benda-benda yang bertumbukan.
Tidak elastisnya tumbukan menyebabkan tenaga kinetik total sesudah tum-
bukan, lebih kecil daripada tenaga kinetik total sebelum tumbukan, se-
hingga persamaan (80) menjadi
ot .-. o,
-Qr' _* .Q2' dan
Q2 P2
P1t * Q2
e = ;------=-
Pl * QZ
6r'*6r'(6r.',
Besaran
(82 )

44. 39
memberikan ukuran ketidak elasti-san tumbukan dan disebut koefisien res-
titus i.
.Ie 1as lah bahna
0(e<l-
Dengan definisi e tersebut dipersamaan {82) , merosostnya tenaga mekanik
total sesudah tumbukan yakni
r o ) . )l f . ) . )1E -
tr,
*, (or)- * '7 m2(o)'J -
Lt,
mr(01')' * nr(or')') (83)
sudah tentu dapat dinyatakan dalam hubungannya dengan koefisien resti -
tusi e.
Kemorosotan tenaga dibandingkan dengan tenaga mula-mu1a, diberikan oleh
.2p) ,t
^r( br,)' + nr(
(84)
12 m" o.- *
1t
AE
E
6
r, ,')
.'),,
^2
g2
Dalam tumbukan, meskipun tenaga mekanik
kekalan impuls tetap berlaku.
Maka dari persamaan (75) dan persamaan
pula ditulis sebagai
total dapat merosot, hukum ke-
(76) koefisien resititusi dapat
^2
m^
/. I
Pr I P.
III- Z Z
I
O+
1
fl;
l('
, * 1) p^t
I ir,
-T-
a2
(8s)
( 86)
atau
m-
ol
p.t + O.1-1 ma
L
A_
m
2nr^f
"2 u2
1
(1 *
m_
l. o
^2
1
* 1) p-
Z
,1
*Z ) o1' ;,
1
p1m-
(1 * ' ) p.
^2
r
Dari kedua persamaan di atas, jelaslah.bahwa apabila e = 1, yaitu tum-
bukannya elastis sempurna, maka ert = 0, dan 01
t = p1 sebagaimana te-
1ah djkemukakan sebelumnya.
Selanjutnya, penghitungan persamaan (84) iebih lanjut dengan menerap -
kan persamaan-persamaan (75) dan (76) menghasilkan

45. 40
[*, o ,')2
*1
(nz , r')'
*Z/lE _,
H-
(mt
.)
Pr)-
.)
(nz P)'
*1
^2
,l 1
(- a _l
'm1
^2'
(mz
?
)-Ot'2
-1
.)
(n, o)-
-1.t+l
.7 1-
(- +-)'m1 m2'
sehingga dengan mengingat persamaan (85) kita dapatkan
AE2:= l, - e
l-.
(87)
Dari persamaan (87), jelas bahwa untuk tumbukan yang elastis, e = 1 se-
hingga AE = 0; ha1 ini cocok dengap kenyataan.
Keadaan extreem lain ialah untuk tumbukan yang mutlak non elastis. Da-
1am keadaan ini, e = 0 sehingga AE = E, yang berarti seluruh tenaga
mekaniknya hilang sesudah tumbukan. Untuk keadaan yang demikian, menu-
rut persarnaan (82), kecepatan relatif sesudah tumbukan adalah no1; hal
ini berarti kedua titik materi itu sesudah tumbukan, melekat satu sama
lain.
7. Hamburan
Hamburan adalah semacam tumbukan. Kalau dalam tumbukan yang kita
bicarakan di pasal 6 di atas, kedua titik materi itu saling tidak me-
ngenakan Eaya, artinya tidak ada interaksi, yakni tidak ada gaya dalam,
maka dalam hamburan yang kita bicarakan di pasal ini, justru kita hen-
dak membahas sifat gerakan akibat interaksi dua titik materi.
Secara khusus kita pelajari hamburan oleh gaya sentral, yakni gaya ter-
hadap satu titik materi oleh titik materi lain. Arah gaya interaksi itu
adalah sepanjang garis penghubung kedua titik materi tersebut, sedang
besar gaya itu hanya tergantung pada jarak antara kedua titik materi itu.
Lebih khusus 1agi, kita akan meninjau hamburan dengan gaya Coulomb yang
tolak menolak. Jadi untuk masalah ini, persamaar (31) di bab I pasal 5
menj adi berbentuk
..4^
r=-3-r
r
dengan a>0.
(88)

46. 41
Selanjutnya dengan mengikuti pembahasan di bab I pasal 5 tentang hukum
Keppler, kita peroleh rumus-rumus yallg sebentuk, yakni dengan mengganti
kan a setiap kali dengan -a.
Demikianlah maka akan kita peroleh
..4
V=+m
r
dan
E
sehingga pastilah
terhadap yang lain
1iskan
S
kita dapatkan
-2a=2mv +m-t
E > 0. Ini berarti bahwa
adalah hiperbolik. Dari
=n'=_t_-aa
(8s)
lintasan satu t it ik materi
persamaan (34), dengan menu-
u=- )t, *ecoso)
h-
atau l=- ft*ecosO) (90)
'h'
Kita perhatikan gambar II.6. berikut ini.
Hubungan antara
Gambar II.6.'
sudut hambur dan eksentrisitas.

47. 42
Menurut geometri, hubungan antara r dan o untuk hiperbola yang
kan oleh persamaan (90) adalah seperti yang tertera pada gambar
di atas.
Arah asimptot, diberikan oleh 0 = )rruntuk T = c./) ,
nurut persamaan (90)
(1 + e cos Ocn)
yang berarti
cos O-- (/)
yakni ! = o.'r
diberi-
II.6.
Jadi me-
(e1)
o-- )h-
1
=-- e
di mana e diberikan oleh persamaan (S9) di bab I pasal 5.
seandainya antara kedua titik materi m., dan m, itu tidak ada gaya inte-
raksi, maka m, yang datang dari r = - rj: tidak'akan melintasi lintasan
hiperbolik mel'ainkan sepanj ang garis asimptot yang berj arak p dari m
,. .
Besaran p ini disebut parameter benturan (impact param6ter). SelSnjut -
nyd, karena tidak ada gaya luar, maka impuls total maupun impuls. putar
total adalah tetap.
n, dipandang tetap di tem-
151u mengalami pembelokan
m, terhadap m2 selaku impuls
Untuk sementara kita tinjau keadaan di mana
patnya sedang m, ditembakkan ke arah m" dan
oleh gaya interdksi tolak menolak deng6n m_.
Karenanya, kita dapat meninjau impuls putaf
putar yang kita pandang tetap itu.
H=P**1 ,_ c./)
di mana v_uradalah kecepatan mr yakni r, di r = -@ . Tetapi menurut
persamaan (22), impuls putar itrj adalah tebesar
P x m1
'-- = *1 h
h
D=-
' Y_ rn
Sewaktu di r = - @ t impuls putar itu diberikan oleh
atau
Adapun v_rn dapat diperoleh dari persamaan (89) dengan memasukkanr= -u)
di persamaan tersebut. Ini menghasilkan
2
"a
atau
E-1;m. I
'/ ='6

48. 43
Jadi kita dapatkan
P=
Dalam Fisikan Atom dan Fisika Nuklir banyak dibicarakan gejala
dtr, di mana dibahas derajat kemungkinan hamburan pada berbagai
arah hamburan.
Derajat kemungkinan tersebut dinyatakan dengan apa yang disebut
lintang diferensial (differential cross section).
Kita perhatikan gambar II.7 di bawah ini.
h
r-:1
/ /E
V11
Gambar II.7 .
Keterangan tampang lintang diferensial.
Kita tinjau titik-titik materi bermassam.,, dihamburkan oleh titik mate-
ri bermast?
Tz yang kita pandang tetap letaknya; untuk
^2r,
m, hal ini me-
mang sesuai d6ngan kenyataan.
tJntuk titik materi m., yang lebih dekat sumbu, yakni yang parameter ben-
turan p-nya lebih kedil, tentunya akan lebih dihamburkan, yaitu terham-
bur dengan sudut hambur Q yang lebih besar. Sebaliknya yang sangat jauh
dari sumbu, boleh dikatakan tidak terhambur.
Kita hendak neneliti dari titik-titik materi dengan berbagai-bagai pa-
rameter benturan itu berapa bagian yang terhambur dengan sudut hambur tQ
tertentu.
Misalkan yang terhambur ke dalam sudut ruang dfl dengan sudut hambur an-
tara Q dan tQ + dQ itu adalah yarlg parameter benturannya berharga antara
p dan p + dp tertentu. Apabila banyaknya titik materi m, yang ditembak-
kan per satuan waktu per satuan luas penampang yakni yafig disebut in-
tensitas atau rapat flux, ialah I, maka banyaknya titik materi m1 yang
dihamburkan ke arah q di dalam sudut ruang dCI adalah
(s2)
hambur-
- bagai
tampang
d4,=2n pdpxI

49. 44
di mana 2npdp ialah luas elemen luasan berbentuk cincln yang dibatasi
oleh jari-jari p dan p + dp.
Jadi banyaknya titik materi per satuan rapat flux yang dihamburkan pada
arah t{ per satuan sudut ruang, diberikan oleh
d{q)= d|/t
=
2tpdp
Besaran ini sudah
da sudut hambur tQ;
sial. Selanjutnya,
berikan oleh
tentu tergantung pada, yakni
besaran tersebut dinamakan
dengan memperhatikan ganbar
(e3)
merupakan fungsi daripa-
tampang lintang diferen-
II.7 sudut ruang d 0 di-
dCIda
Dengan demikian
On_
(2rRsintQ). RdQ
R
2rsinQdtQ
persamaan (93) menjadi
(e4)
S(r{) =
s rQt
atau S ((t)
Lebih lanjut,
d(!ip21 =
pdp
sin t( d tQ
01eh karena makin besar p maki-n kecil Q, yang berarti 9* . O, maka agar
6 (Q) berharga positif, kita tuliskan "x
pdp
sin Q d q
a(z p2)
= d-G-Q (ss)
dari persamaan (92)
d{ h2)
E-r
.2*1h
;7-
Sedangkan Q, yaitu sudut
ngan pertolongan ganbar
dH (e6)
antara arah datang dengan arah terhambur, de-
II.6., diberikan oleh
2tr
2 n sin

50. 45
Q= n - 2
- 20-
sehingga d cos t{
yang dengan mengingat
(n -o )(/)
1T
= d (cos 2Oc.)
)
= d (2 cos- 0-- 1)
= 2 d.or2 o-cD
persamaan (91) dan persamaan (39) menjadi
2h2
--2 dE
'1"
(98) menghasilkan
lrdcosQ-=2ol t
r-l
1,.ry I
L'ru)
=-l
1
0w'1"
Akhirnya, persamaan-persamaan (95), (96), dan
1 1 f' . 4)' ^t^2
,2h2 l' C )O (tg)= l--- . *
4E- --or,--
.I
2Fh2 l'+-l
2l
'r" J
-'1 '
i6E-
(e8)
(es)
ingat hubmg-
yang mengha-
yang dengan lagi mengingat persamaan (91) dan persamaan (39) menjadi
^.^'((Q) ="''*) x-+-16E- cos' Q.,
Untuk menyatakan (|-(Q) sebagai fungsi sudut hambur Q, kita
an antara {Q dengan 0o? yang dibeiikan oleh persamaan (97),
s i lkan

51. 46
cos 0q: = cos % (t( + n;
= cos (rz r{ + n)
--sin%[
sehingga akhirnya kita peroleh rumus hamburan Rutherford
atau
2
m-a
O(Q) =
"'1*n
x+- 16E' sin*, Q.
22m.A
1 6E-
(100)
(101)
hambur q, ti."-
ini, di nana
yang diberikan
I
cosec'l Q
Ketergantungar tampang lintang diferensial S akan sudut
nya dapat dinyatakan dengan diagram gambar II.8 di bawah
panjang anak panah menggambarkan besarnyag pada arah tQ
oleh arah anak panah tersebut.
Gambar I I .8.
Diagram polar tampang lintang diferensial.
Oleh karena dalam kenyataannya, flux titik nateri yang ditenbakkan ada-
lah terbatas sampai dengan yang parameter benturannya p = P_-__,*--_ mi-
salnya, maka sudut hamburanny*prn terbatas dari rQ ='n sampa$'daflEB"
Qminimum'
Dalam analisa kita di atas, kita menganggap bahwa m, adalah tetap di
tempatnya. Namun kenyataannya tak denikian.
m11nlmum

52. 47
Maka perhitungan-perhitungan di atas perlu dikoreksi den.qan memnerhi-
tunpkin adanyi efek pentalan, yakni di mana sehenarnya scwaktu m., men-*1 men-tungkan adanya efek pentalan,
dekati mr, titik materi_mr^itu agak, terpental dari kedudukannya.
Ki;;-;";frr.ir.* ganu., rtlg ai bawah ini.
p-1
r
c>-__
^.2
Gambar II.9.
Sudut hambur di dalam sistem koordinat laboratorium"
Karena tiada gaya luar, maka niscayalah
kecepatan tetap sepanjang garis 1urus,
Seandainya m? tidak terpental, maka m,
salnya, sehifigga garis penghubung m.,mi
Akan tetapi sebenarnya m? terpental'k6
membuat sudut o dengan sfimbu z.
Sewaktu m, masih jauh sekali dari
saat t =-"n, vektor r, yang menghu
sejajar dengar sumbu-t.
titik berat G bergerak dengan
yakni misalnya sepanjang sumbu z.
akan tetap berada di titik 0f mi-
membuat sudut crr dengan sumbu z.
0 sehingga garis penghubung ,1*2
misalnya kita katakan Pada
dengan m, boleh dikatakan
Pada saat ini kita tuliskan r, = r, (- ur).
Sebaliknya, sewaktu m, sudah-terhifrbur jauh, yakni misalnya kita kata -
kan pada rrrt t = * uj, dan m, berada di 0, vektor r, boleh dikatakan
sejajar dengan asimptot linta5an.
Pada saat ini kita tuliskan r. ; r. (*c).
Jadi apa yang kita sebut sudilt hafrAur q dalam pembahasan di atas, se-
sungguhnya bukan sudut antara 11 Gc) dan r, (*u>), re lainkan antara
It G ,-") dan P, (* '-) , atau s ingkatnYa
m., yakni
bfngkan m,
r ,(- <r>) ; , rt* ra)
seperti yang tertera
antara Q dan Qt. Dari
Q = O (*rrt) =
Namun dalam experimen apa yang sebenarnya teramati sudut hambur
{ ,, (-or) ; P, (.
'^; }
(102)
(103)
di gambar II.9. Kita se-
kedua persamaan (102) dan
Et = ut (+c.:) =
di mana cr t dan
lidiki sekarang
r1 adal
-hubung
(
L
ah
an

53. r
4B
(103) di atas, hubungan itu akan ternyatakan oleh hubungan antara
"1
(*-.) d- !1 (+<.a) bersama r, (-.-).
Karena dalam proses hamburan, hukum kekekalan impuls memegang peranan
maka hubungan di atas diharapkan diperoleh dari penerapan hukum keke -
kalan impuls.
Akan tetapi hukum kekekalan impuls, menyatakan hubungan antara kece-
patan-kecepatan, bukan vektor-vektor kedudukan, Maka terlebih dahulu
persamaan-persamaan (102) dan (103) harus dinyatakan dalam bentuk fung
si kecepatan.
I"Jntuk ini tidaklah begitu sukar melakukannya, sebab pada saat t - -6t)t
!., (-
-) adal ah searah dengan - r , ( - c.s) Can begitrt nul a 1., (+ct't) searah
dengan :r(*q) dan p, (+v>) seafah dengan p, (*c.,cJ. -i
Dengan aEfrit<ian persamaan-persamaan (102) dafi (103) dapat pula ditulis
sebagai
Q = { !rt--r, ,, ,.-*t-
Q, ={i, Gcd; ir Gr^)}
t
Selanjutnya dengan mengingat bahwa pada
kan masih diam, dengan hukum kekekalan
(104)
(1os)
saat t = -c/), m, boleh dikata-
impuls berlaku persamaan
di mana r, adalah vektor kedudukan m, sesudah terpental dari kedudukan
nya semull di 0r. Dengan kata I ain rl iatah vektor kedudukan m, terha-
dap 01, ydfrE kita ambil selaku pusat-koordinat yang tetap.
Karena yanrkita keirendaki adalah hubungan antara i,,(-u>), ir(*u>), dan
2, Gc't), maka I-r(+cn) dalam persamaan (106) haril3 dinyatltan dalamhu-
tiungannya dengan'i, (*r>). Hubungan ini kita dapati dari definisi titik
berat
mrt, (-ca) = *1lt Gco) *
^zlzGcn)
'rir * *ziz
-T--yang 1a1u memberikan
mlir (*czl) *
^zlzGcn)
[1 06)
(107)
r=
i (+r,; =
Kemudian, dari gambar
f1 =
yang berarti i,
IU
II.9, kita lihat hubungan
o-
1
r+o
-U
:
=f+

54. 49
yang berarti I f=
dan i, (+ u>) = i (*.rr) . P, (*ca)
-I _ _.
Akhirnya dengan eliminasi I"(+A) dan ! (*cr->),
(107), dan (Ios) di atas mEfrghasilkan fiubungan
dan
!t (*cn) dalam bentuk
[,
l1(*o) =f, (*ca). +rtGcz>)
Persanaan (109) ,rJ ,*urung memberikan t[ dan r['
agram gambar II.10 di bawah ini.
Gambar II.l"0.
' Llubungan antara q d* Et
Dari diagram gambar II.10 di atas terlihat bahwa
tan (tr =
8r Ga) sin tQ
+ r{-u',) * P r Ga) cos r{
(108)
persarnaan-persamaan (106),
antara i1(-c.'o) ' i, (*cz:)
(1os)
dengan pertolongan di-
(+ tu)
o.-r(+ tu) sin tp
cos tQ
( 110)
*Pr
Persamaan (110) ini dapat juga dituliskan sebagai
t3:: 0r = - sin Q
, *1 r!.a)
_V '._ + cos r[
9t (*r.)
( 111)

55. 50
yang dapat lehih disederhanakan lagi bilamana pern yataan 1r
(--l
dapat
disederhanakan. p, (+cr)
Ljntuk ini kita ingat akan tetapnya kecepatan relatif yang dinyatakan
oleh persamaar (80) yang dalam hal ini menjadi
tr(-a) =
dengan mengingat bahwa pada saat t - - cn, m2
hingga kecepatan relatifnya adatah kecepatah
Demikianlah maka dari persamaan (112) kita
i, (- rz,)
(113)
O
,(+
cn)
Suku kedua ruas kanan persamaan (113) ini dapat dinyatakan sebagai per-
bandingan massa-massa m1 dan m, yakni dengan mengingat persamaan (75)
atau persamaan (76) atatrpun peisamaan (52) yang nemberikan
it21 *) *,.
-
P
rt*ur)
*z
sehingga akhirnya kita peroleh
tan (Qr =
sin Q
(1 14)
*1
+ cos (0
^2
.1
Sudut hambur yang teramati di laboratorium, yaitu Q', dikatakan sudut
hambur di dalam sistem koordinat laboratorium sedang sudut hambur yang
sesungguhnya, yaitu q, yakni yang terlihat dari titik berat G di-
sebut sudut hambur di dalam sistem koordinat titik berat. Apabila *2=*1,
maka persamaan (114) menjadi
tan Q' = -i-*# q
- 2 sin lztQ cos LzQ
)
1+Zcos-I1q-1
= tan !i,Q.
Ini berar:ti bahwa hamburan yang meliputi sudut hambur dari Q = 0 sampai
Q = n itu, di dalam sistem koordinat laboratorium, yaKni yang teramati,
hanya meliputi sudut hambur dari qr = 0 sampai tQ' = Y .
g, (+<-o) + itrt* ur) (112)
masih belum terPental se-
a
ml yaltu t. Gq) .
r.,_tperolen
0 ) (*crr)
-1+ '- .
61 G'n)

56. I
51
Jadi dalam hal ini tidak terjadi hamburan balik (back scattering) yang
diamati, artinya hamburannya paling jauh hanya sampai ke arah tegak lu-
rus arah datang titik materi m.,.
Adapun hubungan antara tampang'lintang diferensial di dalam sisten ko-
ordinat laboratorium 6(Q') dengan tampang lintang diferensial di dalam
sistem koordinat titik berat d tQl dengan nudah dapat dilihat dari per-
samaan (95).
Titik-titik materi yang datang dari elemen luasan 2r pdp yakni yang pa-
rameter benturannya antara p dan p + dp, akan terhambur dengan sudut
hambur Q dalam sistem koordinat titik berat dan dengan sudut hambur Qt
dalam sistem koordinat laboratorium. Dengan demikian maka dari persurma-
an (95) kita peroleh
')
( rot = 7h p')
d cos (l
22 d ( p2)
0 (Q') = -_-_d cos qt
sehingga 6 (,Q,) = *+#+, t( rrQt
d cos (i)
di mana #, dapat diperoleh dari persamaan (114).
d cos (Q
Kita hitung sekarang merosotnya tenaga kinetik m, sesudahmengalami
hamburan.
Tenaga kinetik m, sesudah terhambur dibandingkan dengan sewaktu be-
1um terhambur, ddlam koordinat laboratorium, diberikan oleh
,^r{G, G,,,.)}2 _
^r{i, t-r-l}2
atau
ir(+rn)
l1
Gd j'
( 116)
tergantung pada arah hanbur
serta ditentukan pula oleh
Perbandingan tenaga kinetjk ini sudah tentu
an Q' dalam sistem koordinat laboratorium,
massa masing-masing titik materi.
Dari gambar I1.10 terlihat bahwa
2
a mr salnva
(11s)
)2
j,{
at =L
t,
-j l'
lr I
tLl
l!
i
(
1ot
t
r, ( +'u) , ^,+,.",it*
,1
M
)
:, +.
i
)
l" I
i1(-tu)r -rtu'( *'u) ,1 cos (fl

57. 52
yang menghasilkan
{r,r'*r f _ 1brr.1}'
in-;*' {r{-,7
, {irGd}' ^?, z^l
a = -r12
C. t= a cos Qr
ltrt_aj
2m t, (tca)
+ -fr f{-6r cos Qr
2
,1
M-
yang dengan nengingat persanaan (116) dapat pula dituliskan sebagai
Suku pertarna ruas kanan persamaan (Ll7) harus kita eliminasi dengan me-
nyatakannya dalan fungsi massa titik materi rn, dan mr. Hal ini dapat di-
lakukan dengan menerapkan persamaan (112) dan^persanSan (75) yang lalu
menghasilkan
t1(- ^') "
,t M
= 1 t
-=o, t* r) ^2 ^z
yakni
a-
P1(+ tu)
^2
=
;1- ")
- Fr-
Dengan demikian persamaan (117) rnenjadi
(117)
2
1ffi.L/
d -
--
M.
m_
{acosq'
pa.os q'
ill-Dt
Q'- -M ^ =o
2
,1
-+
t
M-
atau ,2
(mr+ mr) (m, - mr)
M2
,2-11
---T-
m
-2a+
+2
m_
I
+2 g.- acos[r
(1 18)

58. 53
Persamaan (118) ini menghasilkan
u=p cosQ':
a=+ cosQr+
? ml-^l
cos- qt *
-,,-
2
*r.
7
i, (*crr)
Oleh karena a = adalah besaran positif, maka harga a yang se-
tt (-c4)
suai dengan kenyataan adalah yang diberikan oleh
(1 1e)
Keadaan khusus nisalnya ialah untuk'1 =
'2'
untuk keadaan ini' persa-
maan (11.9) nenjadi
a=costf
8. Massa Tereduksi
Dalam pembahasan hukurn-hukum Keppler di bab I pasal 5, matahari di-
pandang tetap ditempatnya. Sebenarnya tidaklah demikian halnya. Karena
massa matahari jauh lebih besar daripada massa planet, rnakamenurutper-
samaan (75) kecepatan natahari dalam sisten koordinat titik berat, me-
mang jauh lebih kecil dibandingkan dengan kecepatan planet.
Kita perhatikan ganbar II.L1 di bawah ini.
Gambar I I. 11" .
Keterangan hal massa tereduksi.
2
m
L
-aM-

59. 54
Misalkan m, ialah, planet dan m, adalah natahari dan vektor kedudukan ml
terhadap m) adalah L
I=L-Iz (120)
(L2t)
Dalam pembahasan hukum-hukum Kepoler di atas, di mana m, dipandang te-
tap kedudukannya dan diambil sebagai pusat sistem koordinat 0, kita tu-
lis persamaan gerak m, terhadap m2 sebagai
I=*ri
Persamaan ini berlaku hanya apabila m, tetap.
Pada hakekatnya persurmaan gerak m, teihadap 0 adalah
r*
Maka terhadap matahari, m2, persamaan geraknya yang tepat dapat.ditulis
kan sebagai
f=rrir
=Ur
-!=*z lz
T
misalnya, di mana p ialah massa pengganti m, agar gaya gravitasi F da-
pat menyatakan percelatan ml terhadap mr; U'ini disebut massa tereduksi.
Kita hendak mencari berapakih harga p t6rsebut.
Persamaan gerak matahari m, terhadap 0 adalah
Tanda
ngan
ialah
oleh
(t23)
1
u
Massa tereduksi p
kan massa planet
Keppler di atas.
minus ini berhubtrngan dengan hukum Newton ke III reaksi = aksi de-
arah reaksi berlawanan dengan arah aksi di mana sebagai reaksinya
gaya tarik m., oleh m, sedang sehagai reaksinya ialah gaya tarik n,
m.r. Demikianl6h dari persamaan-persamaan (120) , (727), (722), dafi
dengan mudah kita, peroleh
(123)
(124)
ini dipakai sebagai massa terkoreksi untuk mengganti-
dalam persarnaan-persamaan pada pembahasan hukun - hukum
11
-+*1 *Z

60. 55
III, MEKANIKA SISTEM MEKANIS
1. Pendahuluan
Yang dimaksud dengan sistem mekanis ialah sistem di mana bagian -
bagiannya nempunyai kaitan mekanis satu sama lain. Sistern rnekanis dapat
berwujud himpunan titik-titik nateri, kerangka yang tersusun atas benda-
benda tegar yang dapat berubah-ubah polanya, dan liin sebagainya.
Hukum Newton dalarn mekanika, hanyalah mengenai gerakan titik materi dan
hirnpunan titik-titik materi. l,laka untuk mempe l'ai ar j mekanika secara
umum, perlu dikembangkan teori-teori mekanika lebih lanjut. Sebagai pemu-
1,pgmuka ilnu mekanika sesudah Isaac Newton (tahun 1642 - 1727) dapat
diSbbutkan Johan Bernoulli (tahun L667 - 1748), Jean Le Ron l-rtAtembirt
(tahun 17L7 - L783), Joseph Louis Lagrange (tahun L736 - 181s), wirliam
Rowan Hamilton (tahun 1805 - 1865).
2. Azas Usaha Semu
Azas usaha semu dikemukakan oleh Johan Bernoulli pada tahun L7L7.
Azas usaha semu mengatakan bahwa jumlah usaha semu oleh bagian - bagian
sistern yang dalarn keadaan setimbang adalah nol.
Yang disebut usaha semu ialah usaha yang berhubungan dengan pergeseran
semu; pergeseran senu ialah pergeseran kecil yang mungkin.
Pergeseran yang dimaksud, dikatakan semu, karena dalam keadaan setim-
ba.g, pergeseran itu sebenarnya tidak terjadi. untuk menjelaskan apa
yang dirnaksud, kita anbil contoh seperti tertera pada gambar Irr.1 di
bawah ini- nl
l-
LrO
N
2
=RcosO2,, {_.
Gambar III.1.
Contoh penerapan metode usaha semu.
Suatu penberat yang beratnya W., dihubungkan dengan tali lewat kerek ke
cincin yang beratnya W, dan cificin itu dapat bergerak tanpa gesekan se-
panjang tepi lingkaran'yang dilingkarinya.
""fi ')
'+:5r

61. 56
Pergeseran semu yang dimaksud ialah turunnya pemberat yang disertai oleh
bergesernya cincin ke atas sepanjang tepi lingkaran, dari kedudukan se-
tirnbangnya.
Yang dimaksud setimbang di sini ialah bahwa tiap-tiap bagian sistember-
ada dalam keadaan tidak bergerak.
Adapun gaya-gaya yang kita lihat bekerja pada gambar III.1 di atas ialah
gaya-gaya dalam T, N1 dan N, serta gaya-gaya luar lrr, dan Wr.
Gaya dalan T sudah tentu tidak melakukan usaha selama pergeseran sepan-
jang tali karena di ujung-ujung tali beketja gaya yangmasing-masing se-
besar T dengan arah yang berlawanan.sehingga usaha totalnya nol.
Gaya-gaya normal N., yakni yang oleh tepi lingkaran ke kerek, tidak me-
lakukan usaha seba6 kerek itu tetap tempatnya, sedang gaya normal N2 ju-
ga tidak melakukan usaha. sebab arah pergeserannya, yakni sepanjang tepi
lingkaran, adalah tegak lurus N, tersebut. Jadi gaya-gaya yang melaku -
kan usaha hanyalah gaya-gaya lufr W, dan W, dan usaha itu r:ntuk perge-
seran kecil adalah
dU=WrdI7*WZdY2
Maka azas usaha semu nenyatakan bahwa sistem akan berada dalam keadaan
setimbang apabila jumlah usaha-usaha senu oleh berat W, dan W, itu ada-
lah nol, yakni
Wtdyt +Wrdyr=0
Dari gambar III.1 kita amati
It=R-(1-2Rsinro)
dy1 R cos LO d0
Y2 = R.cos 0
dy. -Rsino d0
y.r dan y, masing-masing ialah jarak W, dan'i12 di atas sumbu horisontal
Xl vans lewat Dusat tingkaran.Xl yang t pusat lingkaran.
Dari ketiga perszrmaan-persilmaan di atas dengan mudah
dut 0 pada keadaan setimbang, Yaitu
kita dapatkan su-
.I^I_
o=2sin_r%*f
Z
Secara umum, untuk azas usaha semu ini dapat diterangkan pertang-
gunggan jawab teorinya sebagai berikut.
Sep"iti iralnya dengan titik materi, maka sistem mekanis dinyatakan ber-
adi dalan keadaan setimbang apabila tenaga potensialnya V berharga ex-
treem, yakni boleh jadi maximum, boleh jadi minimum.
Secara matematis syarat setimbang ini dapat ditulis sebagai
H -o
trr
I
1

62. 57
Menurut hukum kekekalan tenaga mekanik tersebut di bab I pasal 1 di atas,
turunnya tenaga potensial adalah sebanyak usaha yang dirakukan, yaitu
-5v= 5u atau 5v=- 5u
Dengan demikian, syarat setimbang di atas dapat pula dituliskan sebagai
- P= o atau p = fl
oT dr
yang lalu menghasilkan
$u=o
Adapun diferensial usaha oleh -gaya-gaya pada sistem mekanis adalah
5u = r 5u. = r 5 5r. = r F.. 5r., a.i 1 -l_ -1
Maka syarat setimbang untuk sistem mekanis adalah
6u = r p.. 6:, = o
Di lain pihak, jumlah usaha oleh gaya-gaya dalam adalah nol sebab gaya-
gaya dalan secara berpasangan saling menghapuskan. Jadi dengan singkat
kita dapat merumuskan azas usaha semu
(L2s)
"h
:
n
t
' Ir(') ,:, = o
yang berarti jumlah usaha masing-masing bagian sistem oleh gaya luarada
lah nol.
Perlu diperhatikan di sini bahwa pergeseran 5;., masing - masing bagian
berkaitan satu sama lain yakni tidak sembarang.
3. Azas DrAlembert
I
I
t
I
I
i
I
Dalam nekanika titik materi kita kenal hukum Newton ke Ir
-dd
I=;r(my)=;E !=!
dan dalam mekanika sistem materi, dari persamaan - persaxnaan ( s4 ) dan
(56), kita dapatkan
f =rfi= # _L=Ma
Persamaan ini tidak dapat diterapkan untuk sistem mekanis, sebab ki-
ta_mengenyampingkan pengertian titik berat dalam sisten mekanis. Lagi
puIa, untuk sistem mekanis gerakan masing-masing bagian adalah bel'kai tan

63. Fr
58
sehingga sukar untuk menyatakan gerakannya dengan meninjau gerakan ma-
sing-masing bagian, sebab pada masing-masing bagian tidak hanya bekerja
gaya luar tetapi juga gaya-gaya dalan yang boleh jedi cukup rumit. t'laka
timbul gagasan oleh DrAlenbert pada tahun 1743 untuk nenyatakan gerakan
sistem mekanis dalam kaitannya dengan gaya-gaya luar, seperti halnya de-
ngan azas usaha semu, dan berubahnya impuls per satuan waktu untuk ma-
sing-nasing bagian.
Llntuk masing-masing bagian, sudah tentu
.{,
F. =
-1
1.
-1
d
m
Tetapi pada umumnya,
F.
(1) t
-1
Nanun dari azas usaha semu di pasal 2 yang dirunuskan oleh persa-
maan (125), tidak setimbangnya sistem berarti ada perubahan impuls pada
masing-masing bagian, yang berarti
, Ir(r) 6:, =
sehingga berlakulah hubungan
5t L=i,
r 1..
-1
5r.
-1
r(Ii( ) - .1r).9 r, = o (126)
Persamaan (L26) ini ialah pernyataan singkat azas DfAlembert. Perumusan
azas DrAlembert ini sebentuk dengan azas usaha senu Bernoulli, untuk
syarat kesetimbangan, hanya di sini terhadap gaya luar tiap bagian sis-
tem, harus dikurangkan dengan perubahan impuls per satuan waktu dari ba-
gian itu selaku penyetimbangnya.
Perlu diperhatikan bahwa persEilnaan (126) berarti
r F.(1) = r i.
-1 -1
namun bukannya
F.
(1)
-1
= 1.
-1
Untuk jelasnya kita ambil contoh soal di pasal 2 dengan nemperha-
tikan kembali gambar III.1
Seandainya pemberat W, ditambah, sisten yang tadinya setimbang menjadi
tidak lagi setimbang.dan W, T"l?i bergerak turun sedang W, mulai me-
luncur ke atas sepanjang t6pi lingkaran.

64. 59
Maka menurut azas DfAlembert, berlaku persamaan
(Ir.dlt - *rir.d:r) * (Tz .d!z - ^z!z.d:) - 0
l3 lf-^111.-Tz,.,i"1ah
massa pemberat yang beratnya w, dan massa cincinyang beratnya-lVr.
1:::f.:l_1f_1{ wr.pada saat t) = O' dari saat 0 = O^, dapat diperoreh
9-erga mengrntegrarkan persamaan di atas, dengan meng?ngat hal_hal ber_ikut '
w, a{n - rr - 2R sin u o)l
WZ d (R cos 0)
an
2
eng
*.r-R
akn
aln
aya
d
P
I
v
h
o
!
It . d_.t = W1dy1 =
Yz'dJz = w2dY2 =
)
4mv
yakni
=Q
keuntungannya dengan azas DrAlembert seperti
semu, ialah tidak usahnya diperhitungkan gaya-
bagian sistem, sehingga memudahkan perhitungan.
4. P-e.rsamaalr Lagr.ang_e
Pada umumnya, seperti pada contoh di atas, trans'formasi koordinat
sering diperlukan. Pada contoh tersebut, transformasi itu ialah dari
sistem koordinat Cartesian X - Y ke sistem koordinat polar yang meli -
batkan sudut 0 . 01eh karena pergeseran satu bagian sistem berkaitan de-
ngan pergeseran bagian lain, misalnya pada contoh di ataspergeseran {:,
berkaitan dengan pergeseran dr,, maka untuk memperoleh variabel-varia I
bel yang tidak berkaitan satri Sama lain seperti halnya 0 pada contoh di
atas perlu dilakukan transformasi.
Pada umumnya transformasi dar.i sistem koordinat rr, r. t Tzt t
ke sistem koordinat qr, g2, q3 t dapat dilakukariderig6n frBnyatakan
.Ii = Ii(Q1, Q1 Q, t) (27)
dvvdrv
m'a:={mffi.0*r=Jry.{r=
tan ]t, selalu sama dengan kecepatan W,
ena IVf dan It, bersambungan.
o ke ^u= 0r ' akan menghasilkan
hru'i .
{-rro(cos
o, - cos oo) - brr'}
O'- sin ,rOo) wr(cos Or - cos a.rll'-o ))
-l *i.di = Ju m
ua-o
mengingat pula kecepa
= vl = v misalnya, kar
gintegralandariO=O
R sin LrO, - sin L6n) -
ni
r 2R t-.
| -" llrr-(sin
[ *r* ^?. 1'')adi jelaslah bahwa
nya dengan azas usaha
a dalam rnasing-masing
t
tt
I
I

65. 60
sehingga
3r.
-1
tr
3r. Dr.
- -1 ryI
I
-
O. + a--
J dq. -'j dt
J
Marilah kita bentuk persamaan (126) azas
dinat (q, . g, e, . . .) .
Menurutkdn p6rsdmaan transformas i (L27) ,
Dr.
I F..dr. - I I F. . ,.-t dq. = f,
-r - 1 1 J -1 ngj 'J J
dengan
Er.
- -1H---
!1 oQ.
''l
Q. ini lalu disebut gaya umunr (generalized force) yakni seakan-akan ada
lth hasil transformasi gaya F dari sistem koordinat (r., r, I. . . . . .) ke
sistem koordinat (q, e, Q. . . .). Adapun transformasi ifrci6m6ilt pergeser
an dr. sudah tentu dib6ri(an oleh
-1
dr. - r ili dq.
,jDai.J
Selanjutnya dengan persamaan (130) ini kita dapatkan
i..a..-I - 1
dr.-1 t
V' = r!-' =
u
r dr J
do . Dr.tu1
+-*
dt dt
V. =
-1
(128)
DrAlembert dalam sistem koor-
kita dapat menulis
O.do..J .J
(t2s)0. = tr
'1 1
= m.i..dr.t-1 - 1
Dr.
.. --1
= m.f ,. L--'-
1-1 dcl .
I 'r
= *,
i {*. ,.,
= *,
I {*.
tr'
ouj
tsr.
-ftir oo,
b ri.
)or'
D
ti.
,0,'
. ar.
- ti u- , ;q,]oo,
- Yi :. ,{fi J
oo, (131)

66. I
6L
Kemudian dari persarnaan (128) kita dapatkan
Dr.&1
m=&l.J ,J
Persamaan (132) ini hendak kita pakai untuk substitusi
pertama ruas kanan persamaan (131), sedang untuk suku
persamaan (131) kita tulis
.2d r..L
qr - E*ilJT-l
dv.
-t
1..dr.
-l- -1
3r.*'1
-m'3
kedua
(Ls2)
pada suku
ruas kanan
a
= ---n--
cjo.,)
sehingga persamaan
* (4 ,*(x;J
(+)
(i31)
- fa aYi
i { at tYi' ao.
J ')
(,ar^.r.2
, I 11
d t:
at oej
3v.,.1
=...-.tr-do.
'l
menj adi
]
= m.
1
1
d
)- -l
uoj
Dv.
*1
'-Tq.
'l
-r2 'i I
a*t
D%m
t
-
i
ooj (r33)
di-
yakni
( 1.3a)r
(13s)
Persamaan (135) ini bersama persirmaan (129) akhirnya nemberikan peru-
musan azas D rAlembert persamaan (1,26) dalam bentuk apa yang disebtrt per
samaan Lagrange
rl
i o,J'oj-o (134)
dengan K = I ,grru12 sclaku tenaga kinetik sistem.
.ladi perso.*uo., l*!rung" tak lain ialah persamaan DrAlembert yang
transformasikan ke sistem koordinat umum.
Apabila koordinat-koordinat q. tidak tergantung satu sana.lain,
berarti bahrva sistemlya adalah'apa yang disebut holonomik, persanaan
menj adi
5 =Q.,qj.J
daK._
-
dt do.,)

67. 62
Agar tenaga kinetik K dapat ditliferensialkan terhadap q dan 8, '2
perlu
ditransformasikan sebagai berikut'
Dar:i persamaan (128) kita dapat mentrlis
2 /a" ':i) ,/51 A r lit)
'i" = Yi'Yi =
!(ro;
u, . ri ) ' i['f; Qt * er-)
=
I lrt H;ejQ,,
*' 3 irtqj .(F)'
sehingga tenaga kinetik K =
i
''r''2 menjacii
w-t- - ! r m
ali
l:
Dr' Er'
^- 2 ,i,) i *r" ET- ajar* :, l*t # fri qj
Br, Z
+'i ), m.f ..l-)' / '. 'iat /
Apabilarnedang,ayanyi..sedemikianhinggadapatdinyatakansebagai
minus graclian ,u"ir"pltensial, maka persamaan (129), dapat dilulis se-
bagair
15r.
Io,
u uj i lr, q , (rj
= f I F.. !r.^r u -1
J1
='6v
yang 1a1tr member:ikan
A
, .,I
Qi=- 6-.'' (lr
sehingga -iikalau V tak tergantung t, persamaan (135) menjadi
d ,6L. 6L
i. (
io,) - 'ui; = (1 36)

68. 63
rI
dengan
L=K-V
L, disebut furtgsi Lagrange dan persamaan (136) dikenal sebagai persama-
an Lagrange yang dikemukakan pada tahun 1788. Persamaan Lagrange ini
sangat bermanfaat untuk merumuskan persamaan gerak sistem bilamana te-
naga kinetik dan tenaga potensial sistem dapat dirumuskan.
Sebagai contoh misalnya kita ambil osilator harmonik yakni suatu titik
materi yang bergetar secara harmonis.
Tenaga kinetik dan tenaga potensial osilator harmonik, diberikan oleh
(=
y =kxz
lrlaka fungsi Lagrange-nya adalah
.') )
L = Lz mx' - !5 kx'
bL
-ir = mx
dan
d .dL
at tErJ=mx
br,
-=-Kxox
.)
"nn
x
sehingga
atau
persamaan geraknya diberikan oleh
mi+kx=0
k
m
yang lalu menghasilkan
x = A cosrot + B sinot
dengan
(r)=
Apabila di dalam sistem koordinat q tidak semua variabel koordinat
nya bebas terhadap yang 1ain, maka persamaan (136) sudah tentu tidak
berlaku dan harus dipakai persamaan (134). Tetapi persurmaan ( 134) itu

69. 64
menyangkut penjumlahan sigma sehingga runit penyelesaiannya. Maka perlu
diciptakan rumus yang sebentuk dengan rumus (136) yakni yang tidak me-
nyangkut penjunlahan sigma untuk sistem yang tidak sepenuhnya holononik
itu.
Misalnya dari n variabel eu e, ez e-, m variabel di antara nere-
ka bergantungan satu sama taini yafrg berarti variabel bebasnya hanya se
banyak n - m buah. Maka m variabel yang bergantungan itu selalu dapat
dinyatakan sebagai kombinasilinear n-m variabel bebas tersebut.
Maka kaitan holonomik (holonomic constraint) nya dapat dinyatakan dalam
bentuk sistem persamaan simulatan
.tr 6 gl*
^tz6qz
* a1n 5Qn=
u2t 6 o1 ^22
6 9z +a^ 6o -0zn 'n
'rnl
691 *am2dqz
atau secara singkat
nr
- ,d dL
,t= , tit t uE' -
+a 6o -0mn 'n
n
t
"tj
O Oj = 0 dengan k = l, 2,3 (Ls7)
j=1
Dari ni persamaan ini hanya ada m variabel yang dapat dicari, dan m va-
riabel itu akan ternyatakan sebagai fungsi linear n - m variabel yang
1ain, yang kita sebut variabel bebas tersebut. Selanjutnya, karena sis-
tem tidak sepenuhnya holonomik, persamaan Lagrange-nya dari persanaan
(134) menjadi
:i,l uoj_o (138)
Tujuan kita sekarang ialah mengubah persamaan (138) menjadi bentuk ho-
lomonik seperti persamaan (136).
Untuk ini Lagrange berpaling ke l)ersamaan kaitan holonomik (137) yang
terdiri atas m persamaan itu. Persamaan pertama dikalikan dengan trr, ke
dua dengan trr, dan seterusnya lalu dikombinasi linearkan dan ditan6ah -
kan ke persaffaan (138).
Jelasnya adalah sebagai berikut
Kita bentuk persamaan
11"1n u Qr, =Ir*rr 6 q1 xf tz 5 e2

70. 65
xz^zt oor*2^zz uor* 2^2n %=o
Imaml o o, _ tr*ar2 u o, * I*.r, Qr, = o
Ke m persamaan ini lalu dijumlahkan dan diatur menjadi
(trtrrt * z^21+..... trio"rnt) UO, (Ir.tz * 2122 + ......
trr"r2) u'0, *
+ (tr-a + ..... trr"*)6 er, = o-Imn
Persamaan ini lalu ditambahkan ke persamaan (tSg) dan diatur nenjadi
+ ...
.
{ *r , }h, 3h, * (r la1n + -.. tr,",n) 6q,,
-0
atau secara singkat
,!,{#,3#,, h. i, rn'rj} o o' = o (13e)
Kenudian dipilihlah apa yang lalu disebut. Lagrange multiplier tr1, .)'2..
. .-l - itu sedemikian rupa [ingga masing - masing suku pada p6rsamEan
(139) adalah nol, yakni
d ,EL. a-L * f tr-a-. = fl
h,rqr- aqj k=1 x"kj=o (140)
untuk i = L,2,.... n.

71. 66
Persamaan (140) ini terdiri atas n persamaan, sedangkan untuk dapat mem-
peroleh qrq, go dan l, x2 .... l, diperlukan n + n persanaan.
Adapurt m feisanaan lainnya yang kita perlukan tersebut, dapat diperoleh
dari persamaan kaitan holonomik (L37) dengan mendiferensialkan ke t dua
ka1i, yakni
n
r a..6. - o
j=l KJ'J
$ebagai contoh misalnya
yang mengguling di atas
(k = 1, 2, m) (141)
sebuah lingkaran
pada gambar III.2.
menentukan
papan miring
persamaan gerak
seperti tertera
Gambar III.2
Persamaan Lagrange untuk lingkaran mengguling
Dari gambar III.2, jelaslah bahwa persamaan kaitan holonomiknl'a ialah
dx = rdO atau dx - rd0 = Q
dengan x dan 0 selaku iloordinat-koordinatnya, sehingga seandainya kita
mengikr:ii persarnaan (137) kita tulis
u11 6 * * ul2 6 0 = 0
yang berarti dalarn ha1 ini all = 1, aL2 = -t
Sedangkan
^2L, ^Sl
dan seterusnya adalah nol.
Selanj utnya,
K = tt*2 * ,1,ft262
V=Mg(1 -x)sincr

72. 67
rI
dengan mengingat momen enersianya
I = Iulr2
dan dengan mengambil V = 0 sewaktu lingkaran menyinggung dasar yakni ti-
tik beratnya berj arak r dari dasar.
Dengan demikian maka fungsi Lagrange-nya adalah
L = Lz M*2 * ti MrZ 62 - Mg(1 - x) sin cr
sehingga persamaan (140) memberikan
-d , 6L, at
a. ( t.") - T. + I = 0
ax
ftt3tr 3t-)r=o
yang menghasilkan
Uii-t'tgsino,+I=0
:.,tr20 -Ir -o
Sedang persamaan kaitan holonomiknya, dengan menerapkan persamaan (141),
menghasilkan
i=16
yakni
I=td
sehingga akhirnya kita peroleh
i = g sin o
A=Lrfsino
). = 1.i l.,lg sin o
5. Azas Hamilton
Menilik miripnya persamaan Lagrange ddngan persamaanEuler Lagrange
dalam kalkulus variasi
d af- af
a;(er,) a, _u
yang berlaku untuk suatu kurve grafik (x,y) sepanjang mana
{t {{*,r,r'
= 5{, dx

73. 68
berharga extreen, maka persamaan gerak sistern mekanis tentunya adalah
sedemikian rupa hingga
J t (e1, e2 9L, 12 t) dt
berharga extreem.
Sejalan dengan kurve di dalam ruang dimensi dua (x,y) dalam kalkulus,
,n"k" p".rbahan keadaan koordinat sistem mekanis dapat dinyatakan dengan
suatu kurve di datam apa yang disebut ruang konfigurasi. Untuk jelasnya,
kita perhatikan gambar III.3.
Gambar III.3.
Ruang konfigurasi.
Kita tahu bahwa keadaan sistem mekanis ditentukan oleh koordinat umum
(generalized coordinat) 91, 92 . ...- Qn dan kecepatan umum 9L' 4Z ',1--il
jiai ,r,trk sistem nekanis'yanfi terdirT atas n bagian atau elemen, keada
an sistem <iapat dinyatakan-oteh letak suatu titik di dalam ruang konfi-
gurasi berdimensi 2n.
Ferubahan keadaan sistem atau singkatnya gerakan sistem akan terlukis-
kan oleh bergeraknya titik tersebut.
Lebih lanjut persamaan di atas berarti pula
tz
5/l at = o
tt
(142)
yang mengatakan bahwa perubahan keadaan sistem mekanis dari saat t, sam-
pai saat t, adalah sedemikian rupa sehingga
rtz
J Ldt
tt

74. I
69
berharga optimlun (extreer:r). Pernyataan ini ,.iiiremukakan oleh Hamilton
dan lalu disebut azas Flamilton, yang tak lain ialah azas variasi dalam
mekanika-
Azas Ilamilton ini sudah tentu berlaku sama di clalam sistem koordinat
Cartesian, sehingga tentunya dapat pula dijabarkan dari azas DrAlembert.
o . 8Sl -t ele ryn_q : q r !g1tl_t o n !3i_r_i_ {, g1_!l A_lSglSft
Baik azas DrAlembert, maupun persamaan Lagrange, ataupun azas Ha-
milton dan persamaan Hamilton yang akan kita pelajari kemudian, masing-
masing merumuskan secara umum, gerakan sistem mekanis umumnya (termasuk
pula gerakan titik materi selaku sistem mekanis yang paling elementair).
Maka antara mereka tentu ada kaltannya satu sama 1ain, misalnya yang sa-
tu dapat dijabarkan dari yang lain, dengan yang kurang fundamental da-
pat dijabarkan dari yang lebih fundamental, sedangkan yang sama tingkat
fundamentalnya, dapat saling dijabarkan dari yang satu ke,yans 1ain.
Di 1rasa1 6 ini kita hendak menjabarkan azas Hamilton dari azas DrAlem -
bert. Sebagaimana dirumuskan oleh persamaan (126), azas DrAlembert ada-
lah berdasarkan variasi dlferensial, sedangkan sebaliknya azas Hamilton
adalah berdasarkan variasi integral.
Maka pengintegralan persamaan (126) tentunya ak-an rnenghasilkan runus
azas tlamilton persamaan (142).
Pengintegralan persamaan (126) akan menghasilkan
(1) 6r.dt =ru1
Di lain pihak, untirk ruas kanan,
t
"r1
- F.L -'l
.i.t-1= Im.i.1-1
t2
{
t1
t *rr,. E *i{ 6ri) - i.. ot. I at,r)
d _.
dt (Ii
6r.
-1
t)
l"
t1 t1
t)
-f't1
t fr(t). 6 r.dt =
ta
J r m. i.'. . 6r. dt
t1 & ]"-1 ry1
Ruas kiri persamaan di atas tak lain ialah integral increement usaha da-
ri saat t = t, sampai saat t = t), sedangkan di bab I pasal 1, incree-
ment usaha = 6erkurangnya increefrent tenaga potensial; atau dirunuskan
t.)
6u dt = .[
' - 6v dt
t1
t
"rt1
kita dapat menulis
t)
{r.dt = [-- t1
t.,
JLM 6i. dt
-1

75. 70
Suku pertama ruas kanan adalah no1, sebab harga r, pada saat
terhadap nana sistem mekanis ditiniau adalah tert6ntu, yakni
sedang suku kedua ruas kanan adalah
"tro r.
-1
dan t,
= 0,
tz
- I I m.i..
/r 1-1
6i. dt = -
-1
,.i.2'r dt7-t'
t^rZ
J t u(',
t1
dengan
Dengan
tenaga kinetik
akhirnya kita
6(x-v)dt=o
6K dt
Ldt=0
t.)
= (' _
,!
sistem.
peroleh
K ialah
demikian
n'2
Itl
yaitu
t^fz
J 6Ldt=o atau
tr.
sebagai berikut.
Dengan mengingat
6L=f,|t-o".+ro9i r1
maka persamaan az.a.s !iamilton
"t,l---aL
J (tr;:6 q. + r
t1
t^
f z -atI L-v do.
t1 '1
Untuk suku kedua
^t"
J I Nl-a6o
I
t1
aL r .
n+ U Q.
o9i
(142) menghasilkan
aL " d.) dt = o
a:-- u '1'
,ei
nt2
I ar. ^
6q.dt.
1 ,q; a(6qi)-o
ruas kiri kita dapat menulis
rtz - D, nt2
qi) =
-J t d(;hoor) J
-rdai
tl ' t1
ti'
z. !"n:g!g3!_Ig:eyg." _t:granse lef:-aret Hami lton
Dengan mudah kita jabarkan persamaan Lagrange dari azas Hamilton
ar-H-r

76. 7T
$. (6rr) at =
3r, r
at; uQi
t t.
lz - f '
"1. ti
d
E
t2
Tt1
16 6qi
t1 dan t,
t6rsebut- 5li
' , *6 q.dt -ft' , u
dei '1
tl
d
Qq dT
, {*. ,3t, h}'-,
Lagrange umum (termasuk yang non ho-
-0
atau
t)
r' - dL
I L-v do-
t1 '1
yang lalu menghasilkan
t,
f ' - aL
, r;;- 6q.dt-o-J oQi
t1
dengan mengingat bahwa pada saat
yang berarti pada saat t1 dan t,
t
f1
yang lalu menghasilkan persamaan
lomonik)
L = K=i
I
s. Bllrlg_ I"tg_99" :g':geelHery_1lel
Di atas kita mendefinisikan ruang konfigurasi sebagai ruang yang
sistem koorclinatnya ialah koordinat-koordinat umum 91, 92 Q' dan
kecepatan-kecepatan umum q1 , gt qr.,.
Akan tetapi, slbenarnya datam fiekanik'd, besaran impuls (atau nomentum )
lebih p"tting daripada kecepatan, sebab keadaan dinamis sistem mekanis
kecuali ditentukan oleh koordinat-koordinat kedudukannya q1q? ...... q,.,
juga ditentukan oleh keadaan impuls masing - masing elemefl.-l{aka kite
fr"uaat mencipt.akan apa yang disebut ruang fase yang sisten koordinatnya
ialah koordinat*koordinat umum dan impuls-impuls umum (generalized mo-
menta). Tetapi sebeiumnya kita harus terlebih dahulu mendefinisikan im-
puls umum P.
kita tin3au sistem mekanis yang paling sederhana yaitu misalnya himpun-
an titik-titik materi bebas, aitlnya tiada interaksi satu sama lain.
DaIam ha1 ini fungsi Lagrangenya adalah
.22 m.v.- 11
,-uq,"*r ,HJ o.
r3fr a.
mengambil harga tertentu
= 0. Jadi
,Pql, dt = o

77. 72
sehingga impuls materi ke i ialah
n.v. = aL
1 1 avi
Maka kita hendak mendefinisikan impuls umum sebagai
D - aL
'i - fri (143)
Selanjutnya, kita hendak menyatakan tenaga total sistem dalam hubungan*
nya dengan koordinat umum dan impuls umum, bersama fungsi Lagrange. Di
atas kita telah mendefinisikan fungsi Lagrange sebagai
L=K-V
sedangkan tenaga total sistem adalah misalnya
H=K+V
Dari kedua hubungan ini dengan eIi-minasi V, kita dapatkan
H=2K-L
Jadi langkah berikutnya, kita hendak menyatakan tenaga kinetik sistem K,
dalam hubungannya dengan koordinat umum dan impuls umun. Untuk ini de-
ngan mengingat persamaan (130), kita menulis
.,
K - L 'nm.v.'11
1
=
,,
L, mt t 1l-d arl'
Dari persamaan ini, kita peroleh
Er. Er.r,K . ,S 1 1
a il = ', *i (' 5-q. qjJ tq.
I r 'l - ')
sehingga ^ tsr. Er.
i u, 3t = t, ,r( tj rd qj)( r aq orl
Dr.
= f, m.(I ^--f ,l'
i I j 'qj
=2K

78. 73
atau
2K= ro. ?S-
j') oaj
Apabila tenaga potensialnya V
elemen sistem, maka
aK a(K - v)
a*ql =
-il-) ')
sehingga akhirnya kita peroleh
H- rq. ?!-. 'r do.
)"'-l
tidak tergantung pada
AL
=r- do..J
hubungan
L
kecepatan elemen
1
I
I
yang dari persamaan (143) menjadi
rl= I piqi-L (144)
J-
Tenaga total H yang dinyatakan dengan rumus (144) ini disebut fungsi
Hamilton (Hamiltonian) .
Jadi sekarang kita dapat nenyatakan tenaga total H sebagai fungsi ko-
ordinat umum, impuls umum, dan waktu t, atau singkatnya
H = H (p, q, t) (145)
Kita sekarang hendak menjabarkan persamaan gerak sistem di dalam ruang
fase.
Dari persamaan (145) ki.ta dapatkan
dH =
;3il;
dp, I 3Ht'"
. Fo'
Akan tetapi menurut persamaan (144)
dl-l= | pioqi* Iqrdpt-dL
11
dan
dL= r .p_
i oQi
Sehingga dengan mengingat
mengingat pula persamaan
oleh hubungan kanonik
AL AL
oQi
i m; oQi * 6-t- ot
definisi impuls unum yakni persamaan (J.46) dan
Lagrange (136) akhirnya dengan mudah kita per-

79. 74
Qi=
p. =^1
AH
5;.t1
AH
-_-oQi
(146)
yang 1a1u disebut persamaan HamiIton.
Persamaan gerak menurut Hamilton ini berbentuk persamaan diferensial or-
de satu yang berarti tentu lebih mudah penyelesaiannya j ikalau diban-
dingkan dengan persamaan Lagrange yang berbentuk persamaan diferensial
orde dua itu.
Perlu diperhatikan di sini bahwa agar dapat menerapkan runus Hamilton
tersebut, fungsi Hamilton H harus terlebih dahulu dinyatakan sebagai
fungsi p,, e. dan t. Jadi misalnya q, harus dinyatakan dalam p.. Untuk
menjelastan,'kita ambil contoh gerakin perputaran titik materirol.eh ga-
ya sentral gravitasi. Llntuk ini kita ambil sistem koordinat polar (r,0).
Tenaga kinetiknya kita peroleh dari persamaan (2)
11 = ! mt.i
= 2 miz + 1< m tr6)2
dan tenaga potensialnya, diberikan oleh persamaan (43)
V-
sehingga fungsi Lagrangenya adalah
L=K-V
e ) ) o)
='4fltt +timtU +m
Jacli menurut persamaan (143) impuls umunnya ialah
pr
dL
L' - ---
'e a0
.)
- mur
dan fungsi Lagrangenya dinyatakan dalam impuls umum nenjadi
Pga
^lrlmr
sehingga Hamilton-nya, dari persamaan (144), menjadi
a
-m r
a
r
p-
ZM
2
PO
+ ----+m.)
zmt
2
/Pr_ I ---
2m i),=Pri*Po6

80. 75
yang menurut persamaan di atas untuk p* dan p^, i dan 6 dapat dinyata-
kan dalam hubungannya dengan p. dan Pa'lakni I
rPoqPr0- "=dani=-
^r'
m
sehingga akhirnya kita tuliskan fungsi Hamilton dalam bentuk
pr Po fr'* Po' rm tn-Pr m *Po
;z ;. ,*r,
+m i)
22
= ', *'o=-*"
2m Zmrz r
dan berlakulah persamaan Hamilton
2
p-=-P=- G2Po **1-)dr '-2*.5 lLz
=m(62r_ l"l
,T"
r[' yang berarti
'l
"i
.
II
I
I
.. !2 a
mr = m., .- *
7
Hasil ini cocok dengan hasil dari persamaan (31), sebagaimana yang kita
harapkan.
Selanjutnya persamaan Hamilton juga menghasilkan
.aHPo=- # =s
karena H tidak rnengandung 0.
Hal ini sesuai dengan apa yang kita harapkan, yaitu
P6 = tetaP
atau
^Or2
= tetap
sebagaimana dinyatakan oleh persamaan (22).

81. 76
Jadi dengan cara Hamilton, mula-mu1a dituliskan fungsi Lagrange-
fry?, lalu dari fungsi Lagrange dicari impuls umumnya, dankemudian fung-
si Hamilton-nya dinyatakan dalam fungsi koordinat umum dan impuls umum
dengan menyatakan kecepatan umum dalam impul uiltum.
Cara Hamilton ini memang berkepanjangan dan ticiak praktisuntukmemecah-
kan masaalah yang sederhana
Namun cara Hamilton ini ternyata menjadi penting untuk mendasari per-
kembangan iLnu Fisika teori misalnya dalam mekanika kwantum dan teori
medan.
9. Koordinat Siklik dan-Cara Routh
Pada contoh soal di pasal 8 di atas, kita dapatkan pa =0 yang ber-
arti p..' tetap, sebab persamaan Hamilton-nya tak menganduig variabel 0.
Di laiX pihak variabel O ini berhubungan dengan perputaran maka disebut
koordinat siklik dan untuk koordinat siklik ini, impuls pasangannya
(conjugate momentum) yaitu po adalah kekal atau tetap (conserved).
Pada umumnya, suatu koordinat q disebut siklik apabila koordinat ter-
sebut tak terdapat dalam fungsi Lagrange dan fungsi Hamiltonnya, dan
untuk koordinat siklik ini, impuls pasangannya adalah keka1.
Untuk koordinat siklik, 95, persamaan- Lagrange (136) memberikan
,*o )-o=o
yang dari definisi impuls umum persamaan (143), la1u menghasilkan
yang berarti p* tetap, tak tergantung waktu, dan hanya inilah yang di-
hasilkan oleh persama.an Lagrange.
Di lain pihak, persamaan Hamilton (146), meskipun agak berkepanjangan,
memberikan hasil yang l"e'r;ih, yakni kecuali p, tetap, juga dapat diper-
oleh q, dari hubungan
Jadi untuk koordinat y'ang siklik, penerapan i)ersamaan ilarailton lebih
menguntungkan daripada penerapan persilmaan'Lagrange. l'{aka Routh memakai
cara gabungan, yakni dengan memakai persamaan Lagrange untuk koordinat
yang non siklik, dan memakai persamaan Hamilton untuk yang siklik.
Karena cara l"lamilton hanya akan dipakai untuk yang siklik .Saja, maka
dalam penulisan fungsi Hamilton-nya, untut I pial cukup dituliskan un-
tuk yang siklik saja.
Fungsi Harnilton yang demikian memang bukan fungsi Hamilton yang sebe-
narnya dan disebut fungsi Routh (Routhian)
d
AT
d
at D =0's
r ll li(l
= ---.s Dp.

82. I
77
Fungsi Routh ini yakni
R=Ind -L^s's
(147)
penjumlahan sigma-nya hanya meliputi ),ang siklik saja, lebih
daripada fungsi Hamilton, namun dapat sepenuhnya menggantikan
Hamilton dalam penerapan persamaan Harnilton untuk koordinat yang
dengan
singkat
fungsi
s ikl ik,
_6R--6; ts
Untuk jelasnya kita ambil kembali contoh soal di pasal 8.
Maka dalam soal tersebut kita tulis
R = pod - (r2 mtz * ,< ,16212 * ,n
+)
Dari perszrmaan (143) kita dapatkan
aL : 2
Po =5ti- =rL)r
dan karena 0 adalah siklik, maka pa
o = ,Oa2
atau
dan
sebab
.6H6Rqr=6r=QatnPr- 6H
6Q,
I
tetap = q, misalnya, sehingga
2a-r +mFJR = o oZ - (ntz
mr
^2 ')lt . L
= -_;- - lrrnf * 't
I -'
mr
:cr
"2
mr
1L
.0,
-,i - ,)
L
mr
)
. CI,
'4fii -TT
m r.
2
0*; +m
mr
*)
. .z'jmr - m
,0
-Zmr
yang kita tuliskan <li atas.
a
7
Jadi
0
AR
3cr
I
I
I
I
I
1
i
iawp. T:mur
T" t. le93 I 1991
cocok dengan apa