Este documento apresenta 10 questões sobre funções de várias variáveis. As questões abordam tópicos como produção em fábricas e fazendas, vendas de produtos, consumo de energia, amortização de dívidas e custos de aluguel de carros. Respostas detalhadas são fornecidas para cada questão.

1. Funções de Várias Variáveis
Versão 1
Compilado pelo professor Antônio de Assis Alves Júnior
Publicado no blog Qual é o Problema?
qualeoproblema.com/lista-de-exercicios/funcoes-de-varias-variaveis
Questões Abertas
Questão 1: Produção em uma Fábrica (HOFFMANN; BRADLEY, 2013, p. 417, exerc. 31).
Usando x operários especializados e y operários não especializados, uma fábrica é capaz de
produzir Q(x, y) = 10x2
y unidades por dia. No momento, a fábrica opera com 20 operários
especializados e 40 operários não especializados.
a) Quantas unidades estão sendo produzidas por dia?
b) Qual será a variação na produção diária se a fábrica puder contar com mais 1 operário
especializado?
c) Qual será a variação da produção diária se a fábrica puder contar com mais 1 operário
não especializado?
d) Qual será a variação da produção diária se a fábrica puder contar com mais 1 operário
especializado e mais 1 operário não especializado?
Questão 2: Vendas de Tintas (HOFFMANN; BRADLEY, 2013, p. 417, exerc. 33). Uma loja
de tintas vende duas marcas de tinta látex. Os dados de vendas mostram que se as latas da
primeira marca forem vendidas por x1 reais e as latas da segunda por x2 reais, a demanda
da primeira marca será D1(x1,x2) = 200−10x1 +20x2 latas por mês e a demanda da segunda
marca será D2(x1,x2) = 100+5x1 −10x2 latas por mês.
a) Expresse a receita total da loja com a venda de tinta látex em função dos preços x1 e
x2.
b) Calcule a receita total da loja com a venda das duas marcas de tinta látex se as latas da
primeira marca forem vendidas por R$ 6,00 e as latas da segunda por R$ 5,00.
Questão 3: Produção em uma Fazenda (HOFFMANN; BRADLEY, 2013, p. 417-418,
exerc. 35). A Fazenda Boa Esperança calcula que se 100x homens-horas de trabalho forem
usados em y hectares de terra, o número de sacos de trigo produzidos será f (x, y) = Axa
yb
,
onde A, a e b são constantes positivas. Suponha que a fazenda decida multiplicar por dois
os fatores de produção x e y. Determine de que forma esta decisão afeta a produção de trigo
nos seguintes casos:
a) a +b > 1
b) a +b < 1

2. c) a +b = 1
Questão 4: Vendas de Máquinas (HOFFMANN; BRADLEY, 2013, p. 418, exerc. 37). Um
fabricante com direitos exclusivos para produzir uma nova máquina industrial sofisticada
pretende vender um número limitado dessas máquinas a firmas nacionais e estrangeiras.
O preço que o fabricante espera receber pelas máquinas depende do número de máqui-
nas produzidas. O fabricante calcula que, se fornecer x máquinas ao mercado interno e y
máquinas ao mercado externo, as máquinas serão vendidas por 60 −
x
5
+
y
20
mil reais por
unidade no mercado interno e pelo equivalente a 50−
x
10
+
y
20
mil reais no mercado externo.
Expresse a receita do fabricante, R, em função de x e y.
Questão 5: Área Superficial do Corpo Humano (HOFFMANN; BRADLEY, 2013, p. 418,
exerc. 39). Os pediatras e médicos em geral às vezes usam uma expressão empírica que
relaciona a área superficial S (em m2
) de uma pessoa ao peso W (em kg) e altura H (em cm):
S(W,H) = 0,0072W 0,425
H0,725
.
a) Calcule o valor de S(15,83;87,11).
b) Se Marcos pesa 18,37 kg e tem uma área superficial de 0,648 m2
, quanto mede de al-
tura?
c) Suponha que, em algum instante da vida, Jane pese duas vezes mais e tenha uma altura
três vezes maior que no dia em que nasceu. Qual foi a variação correspondente da área
superficial do corpo?
Questão 6: Curva de Produção Constante (HOFFMANN; BRADLEY, 2013, p. 418,
exerc. 41). Usando x operários especializados e y operários não especializados, um fabri-
cante é capaz de produzir Q(x, y) = 3x +2y unidades por dia. No momento, a mão de obra
da fábrica consiste em 10 operários especializados e 20 operários não especializados.
a) Calcule a produção diária da fábrica.
b) Escreva uma equação que relacione o número de operários especializados ao número
de operários não especializados supondo que a produção se mantenha constante nos
níveis atuais.
c) Plote a isoquanta (curva de produção constante) correspondente à produção atual.
d) Qual deve ser a variação do número de operários não especializados para que a produ-
ção se mantenha inalterada se mais dois operários especializados forem contratados?
Questão 7: Consumo Diário de Energia (HOFFMANN; BRADLEY, 2013, p. 420, exerc. 49).
Suponha que uma pessoa com I anos de idade tenha p quilogramas de peso e a centímetros
de altura. Nesse caso, de acordo com as equações de Harris-Benedict, o consumo basal
diário de energia, em quilocalorias, será dado por Bh(p,a,I) = 66,47+13,75p+5,00a−6,77I
no caso de um homem e por Bm(p,a,I) = 655,10 + 9,60p + 1,85a − 4,68I no caso de uma
mulher.
a) Determine o consumo basal de energia de um homem de 22 anos de idade com 90 kg
de peso e 1,90 m de altura.

3. b) Determine o consumo basal de energia de uma mulher de 27 anos de idade com 61 kg
de peso e 1,70 m de altura.
c) Um homem mantém um peso de 85 kg e uma altura de 1,93 m durante toda a vida
adulta. Em que idade seu consumo basal de energia é de 2.018 quilocalorias?
d) Uma mulher mantém um peso de 67 kg e uma altura de 1,73 m durante toda a vida
adulta. Em que idade seu consumo basal de energia é de 1.504 quilocalorias?
Questão 8: Amortização de uma Dívida (HOFFMANN; BRADLEY, 2013, p. 420,
exerc. 51). Um empréstimo de A reais deve ser amortizado durante n anos a uma taxa anual r
de juros capitalizados mensalmente. Seja i = r
12 a taxa mensal de juros equivalente. Nesse
caso, o valor das prestações mensais é M reais, onde M(A,n,i) =
Ai
1−(1+i)−12n
.
a) Alice comprou um apartamento por R$ 250.000,00 financiados em 15 anos a juros fixos
de 5,2% ao ano. Qual é o valor das prestações mensais? Qual é o valor total dos juros
que a moça vai pagar?
b) Jorge também comprou um apartamento por R$ 250.000,00, mas o financiamento foi
em 30 anos a juros fixos de 5,6% ao ano. Qual é o valor das prestações mensais? Qual é
o valor total dos juros que o rapaz vai pagar?
Questão 9: Lucro com Materiais Esportivos (LARSON, 2011, p. 469, exerc. 43). Um
fabricante de materiais esportivos produz bolas de futebol oficiais em duas fábricas. Os
custos de produção de x1 unidades no Local 1 e de x2 unidades no local 2 são dados res-
pectivamente por C1(x1) = 0,02x1
2
+ 4x1 + 500 e C2(x2) = 0,05x2
2
+ 4x2 + 275. Se o pro-
duto for vendido a R$ 50,00 por unidade, então a função de lucro do produto é dada por
L(x1,x2) = 50(x1 + x2)−C1(x1)−C2(x2). Determine:
a) L(250,150)
b) L(300,200)
Questão 10: Custo do Aluguel de um Carro (HUGHES-HALLET et al., 2012, p. 318,
exerc. 1-2). O custo C do aluguel de um carro de uma companhia que cobra R$ 40,00 por
dia e 15 centavos por milha, de modo que C = f (d,m) = 40d +0,15m, em que d é o número
de dias e m o número de milhas percorridas.
a) Faça uma tabela de valores para C usando d = 1,2,3,4 e m = 100,200,300,400. Sua
tabela deve conter 16 valores.
b) Explique o significado de f (3,m) em termos do custo do aluguel do carro. Faça o grá-
fico desta função, com C em função de m.
c) Explique o significado de f (d,100) em termos do custo do aluguel do carro. Faça o
gráfico desta função, com C em função de d.

4. Respostas das Questões Abertas
Questão 1.
a) 160.000 unidades
b) A produção aumentará em 16.400 unidades.
c) A produção aumentará em 4.000 unidades.
d) A produção aumentará em 20.810 unidades.
Questão 2.
a) R(x1,x2) = 200x1 −10x1
2
+25x1x2 +100x2 −10x2
2
b) R$ 1,840,00
Questão 3.
a) A produção mais do que dobra.
b) A produção aumenta, mas não dobra.
c) A produção dobra.
Questão 4. R(x, y) = 60x −
x2
5
+
xy
10
+50y +
y2
20
Questão 5.
a) S(15,83;87,11) ≈ 0,5938
b) H ≈ 90,05 cm
c) Aproximadamente 198%
Questão 6.
a) 70 unidades
b) y = −
3
2
x +35
c)
x
y
(0,35)
(10,20)
70
3 ,0

5. d) Três operários não especializados devem ser dispensados.
Questão 7.
a) 2.105,03 quilocalorias
b) 1.428,84 quilocalorias
c) Aproximadamente 26,9 anos
d) Aproximadamente 24,4 anos
Questão 8.
a) Valor da prestação mensal de R$ 2.003,13
Valor total dos juros de R$ 110.563,40
b) Valor da prestação mensal de R$ 1.435,20
Valor total dos juros de R$ 266.672,00
Questão 9.
a) R$ 15.250,00
b) R$ 18.425,00
Questão 10.
a)
C d = 1 d = 2 d = 3 d = 4
m = 100 55 95 135 175
m = 200 70 110 150 190
m = 300 85 125 165 205
m = 400 100 140 180 220
b) Custo de aluguel do carro por 3 dias em função do número de milhas percorridas.
m
C
(100,135)
(200,150)
(300,165)
(400,180)

6. c) Custo do aluguel do carro por 100 milhas percorridas em função do número de dias.
d
C
(1,55)
(2,95)
(3,135)
(4,175)

7. Referências
HOFFMANN, L. D.; BRADLEY, G. L. Cálculo: um curso moderno e suas aplicações. 10. ed. Rio
de Janeiro: LTC, 2013. ISBN 978-85-216-1752-5.
HUGHES-HALLET, D. et al. Cálculo Aplicado. 4. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2012. ISBN
978-85-216-2051-8.
LARSON, R. Cálculo Aplicado - tradução da 8ª edição norte-americana. São Paulo: Cengage
Learning, 2011. ISBN 978-85-221-0734-6.