Este documento presenta una recuperación de conceptos sobre ecuaciones cuadráticas y el método para completar el cuadrado. Luego, explica cómo integrar expresiones que producen funciones trigonométricas inversas mediante sustitución algebraica, ilustrando con ejemplos cómo reducir tales integrales a integrales inmediatas. Finalmente, propone ejercicios para resolver en clase aplicando el método de completar el cuadrado.
Integrales indefinidas reducibles a inmediatas por el método de sustitución algebraica
1. SUBSECRETARÍA DE EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR
DIRECCIÓN GENERAL DE EDUCACIÓN TECNOLÓGICA INDUSTRIAL
CENTRO DE BACHILLERATO TECNOLOGICO industrial y de servicios No. 209
INTEGRALES INDEFINIDAS REDUCIBLES A INMEDIATAS POR
EL MÉTODO DE SUSTITUCIÓN ALGEBRAICA
Integrales Indefinidas que producen funciones trigonométricas inversas
RECUPERACION DE CONOCIMIENTOS PREVIOS
Ecuaciones cuadráticas
Completando el cuadrado C de un trinomio cuadrado perfecto de una
ecuación cuadrática de la forma x 2 + bx + c, cuando c no es un término
cuadrático
Completar el cuadrado conlleva hallar el tercer término de un trinomio cuadrado perfecto
cuando conocemos los primeros dos. Esto es, trinomios de la forma:
x2 + bx + c
Regla para hallar el último término de x2 + bx + c
El último término de un trinomio cuadrado perfecto (con a = 1) es el cuadrado de la mitad
del coeficiente del término lineal. Esto es; el trinomio cuadrado perfecto cuyos dos
primeros términos son es:
������ 2 + bx + ( )2 – ( )2 +c
������ ������
2 2
ec. (1)
Al completar el cuadrado queremos una ecuación equivalente que tenga un trinomio
cuadrado perfecto a un lado. Para obtener la ecuación equivalente el número que
completa el cuadrado debe sumarse a ambos lados de la ecuación.
Para su estudio se presentan los siguientes casos:
Caso 1: Cuando a=1:
Ejemplo:
Completar el trinomio cuadrado perfecto de la siguiente ecuación cuadrática:
2. X2 +2x - 3=0
Sean los coeficientes:
a =1
b=2
c=3
a=1 ⇒ √1 = 1: es un factor
Análisis:
cuadrático
X2 + 2x – 3 = 0
c=3 ⇒ √3 , no es un término cuadrático
Completando el trinomio cuadrado perfecto, aplicando el modelo matemático o ec. (1), se
obtiene:
2 2
2 2
X2 +2x + ( )2 - ( )2 – 3 = 0
X2 +2x + 1 – 1 - 3 = 0
Aplicando la propiedad asociativa y agrupando términos para obtener un trinomio
cuadrado perfecto y la suma de dos términos independientes, resolviendo la ecuación
cuadrática resulta:
Suma de términos independientes
(X2 +2x + 1) – 1 - 3 =0
Trinomio cuadrado
perfecto
(x +1)2 - 4 = 0
u2 - a2 = 0
Comprobación
(x +1)2 - 4 = 0
X2 +2x +1- 4 = 0
X2 +2x – 3 = 0
3. Caso 2: Cuando a≠1
Ejemplo:
Completa el trinomio cuadrado perfecto de la siguiente ecuación cuadrática.
4x2 + 4x + 5 = 0
√4 = 2; es un factor
Análisis:
a= 4 ⇒
cuadrático
4x2 + 4x + 5 = 0
c = 5 ⇒ √5 ; no es un factor
cuadrático
Completando el trinomio cuadrado perfecto, aplicando el modelo matemático o ec. (1) se
obtiene:
4x2 + 4x + 1 – 1 + 5 = 0
Aplicando la propiedad asociativa y agrupando términos para obtener un trinomio
cuadrado perfecto y la suma de dos términos independientes, resolviendo la ecuación
cuadrática resulta:
(4x2 + 4x + 1) – 1 + 5 = 0
(2x + 1)2 + 4 = 0
u2 + a2
Ejemplos para discusión en clase: Resuelve las siguientes ecuaciones por el método de
completar el cuadrado:
1) x2 + 6x + 7 = 0
2) x2 – 10x + 5 = 0
3) 2x2 - 3x - 4 = 0
INTEGRALES INDEFINIDAS REDUCIBLES A INMEDIATAS POR EL MÉTODO
Integral inmediata de la forma ∫ ������
������������
DE SUSTITUCIÓN ALGEBRAICA
������ +������������
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