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SUBSECRETARÍA DE EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR
    DIRECCIÓN GENERAL DE EDUCACIÓN TECNOLÓGICA INDUSTRIAL
    CENTRO DE BACHILLERATO TECNOLOGICO industrial y de servicios No. 209




INTEGRALES INDEFINIDAS REDUCIBLES A INMEDIATAS POR
EL MÉTODO DE SUSTITUCIÓN ALGEBRAICA
Integrales Indefinidas que producen funciones trigonométricas inversas

              RECUPERACION DE CONOCIMIENTOS PREVIOS

Ecuaciones cuadráticas

Completando el cuadrado C de un trinomio cuadrado perfecto de una
ecuación cuadrática de la forma x 2 + bx + c, cuando c no es un término
cuadrático

Completar el cuadrado conlleva hallar el tercer término de un trinomio cuadrado perfecto
cuando conocemos los primeros dos. Esto es, trinomios de la forma:

                                           x2 + bx + c

Regla para hallar el último término de x2 + bx + c

 El último término de un trinomio cuadrado perfecto (con a = 1) es el cuadrado de la mitad
del coeficiente del término lineal. Esto es; el trinomio cuadrado perfecto cuyos dos
primeros términos son es:

                              ������ 2 + bx + ( )2 – ( )2 +c
                                          ������     ������
                                          2      2
                                                            ec. (1)

Al completar el cuadrado queremos una ecuación equivalente que tenga un trinomio
cuadrado perfecto a un lado. Para obtener la ecuación equivalente el número que
completa el cuadrado debe sumarse a ambos lados de la ecuación.

Para su estudio se presentan los siguientes casos:

Caso 1: Cuando a=1:

Ejemplo:

Completar el trinomio cuadrado perfecto de la siguiente ecuación cuadrática:
X2 +2x - 3=0
Sean los coeficientes:
a =1
b=2
c=3



                                                          a=1 ⇒ √1 = 1: es un factor
Análisis:

                                                          cuadrático
                                 X2 + 2x – 3 = 0

                                                              c=3 ⇒ √3 , no es un término cuadrático



Completando el trinomio cuadrado perfecto, aplicando el modelo matemático o ec. (1), se
obtiene:
                                         2     2
                                         2     2
                               X2 +2x + ( )2 - ( )2 – 3 = 0

                                 X2 +2x + 1 – 1 - 3 = 0

Aplicando la propiedad asociativa y agrupando términos para obtener un trinomio
cuadrado perfecto y la suma de dos términos independientes, resolviendo la ecuación
cuadrática resulta:


                           Suma de términos independientes

                               (X2 +2x + 1) – 1 - 3    =0

                            Trinomio cuadrado
                               perfecto

                                     (x +1)2 - 4 = 0

                                       u2 - a2 = 0

Comprobación
                                     (x +1)2 - 4 = 0
                                    X2 +2x +1- 4 = 0
                                    X2 +2x – 3 = 0
Caso 2: Cuando a≠1

Ejemplo:

Completa el trinomio cuadrado perfecto de la siguiente ecuación cuadrática.

                                     4x2 + 4x + 5 = 0




                                                                      √4 = 2; es un factor
Análisis:
                                                         a= 4 ⇒
                                                                              cuadrático
                                     4x2 + 4x + 5 = 0

                                                             c = 5 ⇒ √5 ; no es un factor
                                                                          cuadrático

Completando el trinomio cuadrado perfecto, aplicando el modelo matemático o ec. (1) se
obtiene:
                               4x2 + 4x + 1 – 1 + 5 = 0

Aplicando la propiedad asociativa y agrupando términos para obtener un trinomio
cuadrado perfecto y la suma de dos términos independientes, resolviendo la ecuación
cuadrática resulta:

                                (4x2 + 4x + 1) – 1 + 5 = 0
                                     (2x + 1)2 + 4 = 0


                                        u2 +    a2



Ejemplos para discusión en clase: Resuelve las siguientes ecuaciones por el método de
completar el cuadrado:

1) x2 + 6x + 7 = 0
2) x2 – 10x + 5 = 0
3) 2x2 - 3x - 4 = 0



INTEGRALES INDEFINIDAS REDUCIBLES A INMEDIATAS POR EL MÉTODO



Integral inmediata de la forma ∫ ������
                                        ������������
DE SUSTITUCIÓN ALGEBRAICA


                                ������ +������������
                                         .
du    1      u     1     u
Fórmula


                        �             = arctan + C = tan−1 + C
                            u2   +a 2  a      a     a     a



Integrar la expresión ∫                                  .
                                          2������������
Ejemplo:


                                  4������ 2 +4������+5
Solución

Factorizando la ecuación cuadrática del denominador del integrando y


             2������������                 2������������                        2������������
completando el trinomio cuadrado perfecto, se obtiene:


   �                   =�                   = �
       4������ 2 + 4������ + 5                    5           2 + ������ + �1� − �1� + 5)
                            4(������ 2 + ������ + )
                                                                    2       2
                                          4      4(������
                                                                 2       2    4
                                   2������������                           2������������
                   = �                          =�
                       4(������ 2 + ������ + 1 − 1 + 5)                       1    1 5
                                                      4[(������ 2 + ������ + ) − + ]
                                       4 4 4                          4    4 4
                                  2������������                      2������������
                   =�                          = �
                                1 2 1 5                       1 2 4
                       4[������� + � − + )]              4[������� + � + )]
                                2        4 4                  2        4
                              2������������                   2������������
                   = �                     = �
                                 1 2                    1 2
                       4[������� + � + 1]          4 ������� + � + 4
                                 2                      2
                                                                               u2   +
                                                                                        a2



Análisis
             1
             2
            1
u2 = 4(x + )2                                     a2 = 4

            2
                 1                    2
u = 2(x + )                                       a=2

                 2                    2
du = d[2(x + )] = d(2x) + d( )= 2dx + 0 = 2dx




∫ ������������ +������������ =        ������������������������������������ + ������ =              ������������������−������        + ������
Fórmula

    ������������         ������              ������               ������               ������
                 ������              ������               ������               ������
Resolución


∫ 4������ 2+4������+5 = ∫                   = ������������������������������������               + ������ = ������������������������������������ ������� +
                                                             1
     2������������              2������������          1             2�������+ �             1
                                                             2
                          1 2
                     4�������+ � +4        2                 2               2
                          2

 � + ������ = 2 ������������������−1 ������� + 2� + ������
1            1                  1
2




∫ 4x2+4x+5 =       ������������������������������������ ������� + � + ������ = ������������������−1 ������� + � + ������
     2dx         1                     1             1                   1
Resultado


                 2                   2        2              2
∫������������������������+ ������������= ������������arctanua + C = 1������������������������−1 ������������+������
Fórmula


∫2������������4������2+ 4x +5= 12������������������������������������2������������+12������2 = 12������������������������������������������������+12������= 12������������������−1 ������������+12������ +C
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  • 1. SUBSECRETARÍA DE EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR DIRECCIÓN GENERAL DE EDUCACIÓN TECNOLÓGICA INDUSTRIAL CENTRO DE BACHILLERATO TECNOLOGICO industrial y de servicios No. 209 INTEGRALES INDEFINIDAS REDUCIBLES A INMEDIATAS POR EL MÉTODO DE SUSTITUCIÓN ALGEBRAICA Integrales Indefinidas que producen funciones trigonométricas inversas RECUPERACION DE CONOCIMIENTOS PREVIOS Ecuaciones cuadráticas Completando el cuadrado C de un trinomio cuadrado perfecto de una ecuación cuadrática de la forma x 2 + bx + c, cuando c no es un término cuadrático Completar el cuadrado conlleva hallar el tercer término de un trinomio cuadrado perfecto cuando conocemos los primeros dos. Esto es, trinomios de la forma: x2 + bx + c Regla para hallar el último término de x2 + bx + c El último término de un trinomio cuadrado perfecto (con a = 1) es el cuadrado de la mitad del coeficiente del término lineal. Esto es; el trinomio cuadrado perfecto cuyos dos primeros términos son es: ������ 2 + bx + ( )2 – ( )2 +c ������ ������ 2 2 ec. (1) Al completar el cuadrado queremos una ecuación equivalente que tenga un trinomio cuadrado perfecto a un lado. Para obtener la ecuación equivalente el número que completa el cuadrado debe sumarse a ambos lados de la ecuación. Para su estudio se presentan los siguientes casos: Caso 1: Cuando a=1: Ejemplo: Completar el trinomio cuadrado perfecto de la siguiente ecuación cuadrática:
  • 2. X2 +2x - 3=0 Sean los coeficientes: a =1 b=2 c=3 a=1 ⇒ √1 = 1: es un factor Análisis: cuadrático X2 + 2x – 3 = 0 c=3 ⇒ √3 , no es un término cuadrático Completando el trinomio cuadrado perfecto, aplicando el modelo matemático o ec. (1), se obtiene: 2 2 2 2 X2 +2x + ( )2 - ( )2 – 3 = 0 X2 +2x + 1 – 1 - 3 = 0 Aplicando la propiedad asociativa y agrupando términos para obtener un trinomio cuadrado perfecto y la suma de dos términos independientes, resolviendo la ecuación cuadrática resulta: Suma de términos independientes (X2 +2x + 1) – 1 - 3 =0 Trinomio cuadrado perfecto (x +1)2 - 4 = 0 u2 - a2 = 0 Comprobación (x +1)2 - 4 = 0 X2 +2x +1- 4 = 0 X2 +2x – 3 = 0
  • 3. Caso 2: Cuando a≠1 Ejemplo: Completa el trinomio cuadrado perfecto de la siguiente ecuación cuadrática. 4x2 + 4x + 5 = 0 √4 = 2; es un factor Análisis: a= 4 ⇒ cuadrático 4x2 + 4x + 5 = 0 c = 5 ⇒ √5 ; no es un factor cuadrático Completando el trinomio cuadrado perfecto, aplicando el modelo matemático o ec. (1) se obtiene: 4x2 + 4x + 1 – 1 + 5 = 0 Aplicando la propiedad asociativa y agrupando términos para obtener un trinomio cuadrado perfecto y la suma de dos términos independientes, resolviendo la ecuación cuadrática resulta: (4x2 + 4x + 1) – 1 + 5 = 0 (2x + 1)2 + 4 = 0 u2 + a2 Ejemplos para discusión en clase: Resuelve las siguientes ecuaciones por el método de completar el cuadrado: 1) x2 + 6x + 7 = 0 2) x2 – 10x + 5 = 0 3) 2x2 - 3x - 4 = 0 INTEGRALES INDEFINIDAS REDUCIBLES A INMEDIATAS POR EL MÉTODO Integral inmediata de la forma ∫ ������ ������������ DE SUSTITUCIÓN ALGEBRAICA ������ +������������ .
  • 4. du 1 u 1 u Fórmula � = arctan + C = tan−1 + C u2 +a 2 a a a a Integrar la expresión ∫ . 2������������ Ejemplo: 4������ 2 +4������+5 Solución Factorizando la ecuación cuadrática del denominador del integrando y 2������������ 2������������ 2������������ completando el trinomio cuadrado perfecto, se obtiene: � =� = � 4������ 2 + 4������ + 5 5 2 + ������ + �1� − �1� + 5) 4(������ 2 + ������ + ) 2 2 4 4(������ 2 2 4 2������������ 2������������ = � =� 4(������ 2 + ������ + 1 − 1 + 5) 1 1 5 4[(������ 2 + ������ + ) − + ] 4 4 4 4 4 4 2������������ 2������������ =� = � 1 2 1 5 1 2 4 4[������� + � − + )] 4[������� + � + )] 2 4 4 2 4 2������������ 2������������ = � = � 1 2 1 2 4[������� + � + 1] 4 ������� + � + 4 2 2 u2 + a2 Análisis 1 2 1 u2 = 4(x + )2 a2 = 4 2 1 2 u = 2(x + ) a=2 2 2 du = d[2(x + )] = d(2x) + d( )= 2dx + 0 = 2dx ∫ ������������ +������������ = ������������������������������������ + ������ = ������������������−������ + ������ Fórmula ������������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������
  • 5. Resolución ∫ 4������ 2+4������+5 = ∫ = ������������������������������������ + ������ = ������������������������������������ ������� + 1 2������������ 2������������ 1 2�������+ � 1 2 1 2 4�������+ � +4 2 2 2 2 � + ������ = 2 ������������������−1 ������� + 2� + ������ 1 1 1 2 ∫ 4x2+4x+5 = ������������������������������������ ������� + � + ������ = ������������������−1 ������� + � + ������ 2dx 1 1 1 1 Resultado 2 2 2 2
  • 6. ∫������������������������+ ������������= ������������arctanua + C = 1������������������������−1 ������������+������ Fórmula ∫2������������4������2+ 4x +5= 12������������������������������������2������������+12������2 = 12������������������������������������������������+12������= 12������������������−1 ������������+12������ +C Resolución