Actividades Geo Gebra Es

Actividades para la
enseñanza/aprendizaje de
las matemáticas en ESO y
Bachillerato utilizando
GeoGebra

Ignacio Larrosa Cañestro
Dpto. Matemáticas
IES Rafael Dieste

Este trabajo se realizó en el primer cuatrimestre
del curso escolar 2007-08, durante una licencia
concedida para tal fin por la Consellería de
Educación e Ordenación Universitaria de la
Xunta de Galicia

2

Índice
Introducción.......................................................................................................................5
Actividades........................................................................................................................9
Tipos de ángulos..........................................................................................................11
Ángulos complementarios...........................................................................................13
Ángulos suplementarios..............................................................................................15
Teorema de Thales.......................................................................................................17
División de un segmento en partes iguales..................................................................19
Mediatriz de un segmento............................................................................................21
Construcción de la mediatriz de un segmento ............................................................23
Bisectriz de un ángulo.................................................................................................25
Construcción de la bisectriz.........................................................................................27
Construcción aproximada de un polígono regular de n lados.....................................29
Teselaciones con polígonos regulares.........................................................................31
Área del paralelogramo...............................................................................................33
Área del rombo............................................................................................................35
Área del trapecio..........................................................................................................37
Área del triángulo........................................................................................................39
Área de un polígono regular y del círculo...................................................................41
Calculo de áreas por descomposición y Teorema de Pick...........................................43
Construcción de un trapecio conocidos sus lados.......................................................45
Posiciones relativas de recta y circunferencia.............................................................47
Posiciones relativas de 2 circunferencias....................................................................49
Ángulos inscritos 1......................................................................................................51
Cuadrilátero inscrito....................................................................................................57
Angulos inscritos 4......................................................................................................59
Ángulos semiinscritos..................................................................................................61
Ángulos interiores a una circunferencia......................................................................63
Ángulos exteriores a una circunferencia.....................................................................65
Ángulos interiores y exteriores en la circunferencia...................................................67
Cuadrilátero inscrito en 2 circunferencias secantes.....................................................69
Tres circunferencias ¿concurrentes?............................................................................71
Cuatro círculos iguales................................................................................................73
Suma de los ángulos de un triangulo...........................................................................75
Teorema de Pitágoras 1...............................................................................................77
Teorema de Pitágoras 2...............................................................................................79
Caracterización de triángulos......................................................................................81
Medianas y Baricentro.................................................................................................83
Concurrencia de las medianas.....................................................................................85
Mediatrices y Circuncentro.........................................................................................87
Concurrencia de las mediatrices..................................................................................89
Alturas y Ortocentro....................................................................................................91
Concurrencia de las alturas..........................................................................................93
Bisectrices e Incentro...................................................................................................95
Concurrencia de las bisectrices....................................................................................97
Circunferencia de los 9 puntos o de Feuerbach.........................................................101

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Puntos, rectas, y circunferencias notables en el triángulo.........................................103
Segmentos paralelos a los lados................................................................................105
Funciones trigonométricas.........................................................................................107
Teorema del Seno......................................................................................................109
Teorema del Seno ampliado......................................................................................111
Teorema del Coseno..................................................................................................113
Triángulo conocidos sus tres lados............................................................................116
Triángulo conocidos dos lados y el ángulo comprendido.........................................118
Triángulo conocidos dos ángulos y el lado comprendido.........................................120
Triángulo conocidos dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos...........................122
Función Afín..............................................................................................................124
Función cuadrática.....................................................................................................126
Sistema de ecuaciones lineales..................................................................................128
Distancia entre dos puntos.........................................................................................130
Ecuación de la circunferencia....................................................................................132
Parábola.....................................................................................................................134
Elipse.........................................................................................................................136
Hipérbola...................................................................................................................138
Excentricidad.............................................................................................................140
Derivada.....................................................................................................................142
Derivadas primera y segunda....................................................................................144
Sumas de Riemann (Aprox. integral definida)..........................................................146
Operaciones y Funciones en GeoGebra.........................................................................148

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Introducción
Si es cierto aquello de que “una imagen vale más que mil palabras”, una imagen
animada e interactiva debe valer más que un millón. Quizá no sea para tanto, pero la
posibilidad de mover las figuras y experimentar con ellas, ver “que pasa si ...”,
contribuye sin duda decisivamente a la adquisición e interiorización de técnicas y
conocimientos matemáticos.

Es lo que se pretende con esta pequeña colección, necesariamente incompleta, de
actividades. Se trata de romper con el esquema tradicional, en el que el protagonismo
corresponde casi absolutamente al profesor: éste explica la teoría; plantea ejercicios o
problemas que el mismo resuelve; propone otros parecidos a los alumnos para que, de
forma mimética, hagan lo propio y procede, a continuación, a corregirlos. En sintonía
con las nuevas tendencias en la enseñanza-aprendizaje de las matemáticas, que dan más
protagonismo al alumno, considerándolo un agente activo en el proceso de aprendizaje.
En coherencia con ello, la enseñanza actual se caracteriza por un mayor desarrollo de
actividades variadas que favorezcan este papel activo del estudiante, siempre bajo la
atención directa del docente.

Las actividades que exponen son variadas en cuanto a su situación en el
transcurso de la unidad didáctica, y en cuanto al objetivo que persiguen. De este modo,
se plantean actividades al inicio de los temas, encaminadas a presentar y contextualizar
la materia a tratar, así como para promover la reflexión sobre el conocimiento que tiene
o cree tener el alumno en ese momento. También se incluyen actividades de desarrollo
dirigidas a la presentación y comprensión de nuevos contenidos, así como otras
encaminadas a desarrollar ciertas habilidades procedimentales, tan importantes en
matemáticas, de aplicación a nuevas situaciones o de síntesis.

Estas actividades están basadas en “plantillas” realizadas con GeoGebra (http://
www.geogebra.at/), un software libre de geometría dinámica, que funciona tanto en
Windows como en Linux, que puede instalarse muy fácilmente en cualquier ordenador.
Pero no es preciso instalar el programa para poder usar las plantillas, pues están en
formato HTML que permite ejecutarlas en cualquier explorador de páginas web, con el
único requisito de tener Java instalado. Para cada plantilla se tienen dos ficheros: uno
con extensión “.ggb”, que puede abrirse y modificarse con GeoGebra para adaptarlo a
las propias necesidades; el otro, de igual nombre y extensión “.html”, es una página web
que puede abrirse con cualquier explorador. Naturalmente, si se modifica el fichero
“.ggb”, es necesario generar el fichero “.html” correspondiente para que pueda usarse
sin ejecutar GeoGebra.

Las actividades pueden usarse por parte de los alumnos de forma independiente,
siguiendo la información e instrucciones proporcionadas en ellas, pero para la mayoría
es más conveniente entregarles a los estudiantes un guión con más información,
directrices y cuestiones que deben resolver. Para todas las actividades se ofrece a
continuación un ejemplo de tales guiones, aunque con la misma plantilla pueden

5

plantearse guiones muy distintos, adaptados al alumno al que se dirigen y a las
preferencias del profesor.

En casi todos los ejemplos de guiones que se ofrecen, se incluyen preguntas que
los alumnos deben contestar en la propia hoja, o propuestas de construcciones que debe
realizar o completar con sus instrumentos de dibujo en la propia hoja. Esto obliga al
alumno a poner en juego la información que recibe y podrá servir al profesor para
evaluar la actividad.

Todos los guiones que se presentan están incluidos en una sola hoja, para
facilitar su fotocopiado y entrega a los alumnos. En el reverso se incluyen en ocasiones
algunas notas explicativas para el profesor, quien puede así mismo realizar aquí sus
propias anotaciones.

A las distintas plantillas se puede acceder a través de una página Índice:

http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/

Para poder utilizar la plantillas una vez cargadas, es necesario hacer clic con el
ratón sobre ellas. Si no se tiene Java instalado, aparece un enlace para poder descargarlo
e instalarlo, lo que se realiza en un corto espacio de tiempo, aunque puede exigir que se
este utilizando el ordenador con derechos de administrador.

En las plantillas se pueden mover algunos puntos, normalmente identificados en
el texto en pantalla. Ello se puede hacer directamente, haciendo clic en el punto y
arrastrándolo, o en ocasiones mediante deslizadores, puntos negros gruesos que pueden
moverse sobre un segmento, y controlan algún aspecto de la plantilla. Para mover tanto
los deslizadores como otros objetos móviles pueden usarse, además del ratón, las teclas
de dirección, siempre después de haber seleccionado el objeto a mover haciendo clic
sobre él. Las teclas de dirección proporcionan un movimiento más controlado
pulsándolas repetidamente, y continuo si se mantienen pulsadas, produciendo un efecto
de animación.

En algunas plantillas se visualiza una rejilla, con o sin ejes de coordenadas. Si se
arrastra un punto cerca de un nodo de la rejilla, este lo “atrae”, por lo que es muy fácil
situarlos en ellos. Normalmente, también se pueden situar en cualquier otro lugar, pero
en algunos casos se sitúan forzosamente en los nodos.

En la esquina superior derecha de todas las plantillas se incluye un icono ( )
para devolverla a su estado inicial. En algunas además se incluyen iconos para aumentar
el zoom ( ) o disminuirlo ( ), así como desplazar toda la parte gráfica de la plantilla
( ), pero no los textos. El zoom también se varía con la rueda del ratón, lo que, en
ocasiones, puede resultar un efecto inesperado.

Cuando se incluyen resultados numéricos, es importante tener en cuenta que se
muestran redondeados con una precisión de dos dígitos decimales, aunque en
ocasiones se utilizan cuatro o cinco. Por ello los resultados no siempre serán exactos.
Los ángulos se expresan bien en grados y decimales de grado (p.e. 39.6º), no con
minutos y segundos, o bien en radianes.

6

En algunas plantillas, especialmente las referidas a geometría analítica o cálculo,
se incluye una línea de entrada:

Esta línea permite la introducción de funciones o asignar directamente valores a algunas
variables. Las funciones disponibles se relacionan en Operaciones y Funciones en
GeoGebra. En el primer espacio se puede introducir texto libremente; en el segundo se
seleccionan símbolos especiales para incluir en el texto, como el de grado en la figura;
en el tercero se seleccionan caracteres del alfabeto griego y en el cuarto podrían
seleccionarse comandos de dibujo, lo que en principio no se ha utilizado.

Otro elemento interactivo son las ‘casillas de verificación’, que pueden estar
activadas ( ) o desactivadas ( ), modificándose su estado con un clic de ratón.
Controlan la visualización de distintos elementos, independientes entre si. Pero con
frecuencia también controlan otras casillas de verificación, con el propósito de
secuenciar la presentación de contenidos. En estos casos, conviene que se activen y
desactive en orden.

En algunas actividades referidas a construcciones, aparece una barra de
navegación por pasos de la construcción:

Los cuatro primeros controles permiten, respectivamente: ir al inicio; retroceder un
paso; avanzar un paso o ir al final. El siguiente permite animar la construcción, con un
intervalo de tiempo entre pasos que se puede modificar con el siguiente control.
Finalmente el último permite abrir otra ventana en la que se explican cada uno de los
pasos ejecutados.

Espero que estas actividades puedan resultar útiles al profesorado de
matemáticas. Estaré encantado de recibir cualquier comentario sobre ellas.

Ignacio Larrosa Cañestro
ilarrosa@edu.xunta.es
IES Rafael Dieste (A Coruña)

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Tipos de ángulos

Mueve el deslizador para varía el ángulo de grado en grado. Sobre el deslizador, se
indica de que tipo de ángulo se trata.

1.- ¿Qué ángulos son agudos?

2.- ¿Qué ángulos son obtusos?

3.- ¿Qué ángulos son cóncavos?

4.- ¿Y convexos?

5.- Indica de que tipo son caca uno de los ángulos siguientes:

190º ...................... 100º ...................... 85º ...................... 350º ......................

.

11

Notas:

El ángulo de 360º no se visualiza en la plantilla, se pasa de 359º a 0º.

12

Ángulos complementarios

Mueve el punto D para ver distintos pares de ángulos complementarios.

1.- Si un ángulo es menor que 45º, su complementario es ....

2.- ¿Qué ángulo es igual a su complementario?

3.- Indica los complementarios de los ángulos siguientes:

30º  ........ 80º  ........ 44º  ........ 27º  ........ 75º  ........

13

Ángulos suplementarios

Mueve el punto D para ver distintos pares de ángulos suplementarios.

1.- Si un ángulo es agudo, su suplementario es ....

2.- ¿Qué ángulo es igual a su suplementario?

3.- Indica los suplementarios de los ángulos siguientes:

30º  ........ 165º  ........ 45º  ........ 36º  ........ 108º  .........

15

Teorema de Thales

1.- Comprueba los resultados de la pantalla con una calculadora (en el ordenador tienes
una). Ten en cuenta que tanto las medidas que se presentan como los resultados , están
redondeados a cuatro decimales, por lo que puede haber alguna diferencia en las últimas
cifras.

PA PA '
2.- ¿Se verifica también que = ? ¿Por qué?
AB A ' B '

PA ' A ' B ' B ' C '
3.- ¿Se cumple que = = ?
AA ' BB ' CC '

PA ' PB ' PC '
4.- ¿Y que = = ?
AA ' BB ' CC '

Comprueba todo lo anterior modificando la posición de algunos de los puntos verdes.

17

Notas:

Todos los resultados están redondeados a cuatro decimales.

18

División de un segmento en partes iguales

Haz clic repetidamente en el tercer botón para ver la construcción paso a paso. Si
quieres ver una explicación de cada paso, haz clic en el último botón, y luego
repetidamente en el tercer botón de la nueva ventana. Quizás tengas que moverla para
poder ver mejor el dibujo. Una vez que tengas el dibujo completo,

1.- Mueve el punto C. ¿Cambia la división del segmento por la elección del punto C?

2.- Los segmentos AC, CD, DE, EF y FG son iguales porque los hemos construido así.
Pero, ¿por qué son iguales los segmentos AH, HI, IJ, JK y KB?

3.- Utiliza el mismo procedimiento para, utilizando regla y compás, dividir el segmento
AB del dibujo en tres partes iguales.

19

Mediatriz de un segmento

1.- Mueve el punto C (azul). ¿Cómo cambian las distancias CA y CB a los extremos del
segmento?

2.- ¿Cuando son mínimas?

3.- Mueve el punto D (rojo) y observa como cambian sus distancias DA y DB a los
extremos del segmento. ¿Cuándo son iguales?

4.- ¿Cuándo es menor DA que DB?

21

Construcción de la mediatriz de un segmento
La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular a él por su punto medio. Se
caracteriza porque todos sus puntos se encuentran a la misma distancia de los extremos
del segmento.

poder ver mejor el dibujo.

1.- ¿Porqué la recta así construida es la mediatriz?

2.- Utiliza el mismo procedimiento para construir, utilizando regla y compás, la
mediatriz del segmento AB de la figura.

23

Bisectriz de un ángulo

1.- Desplaza el punto Q por el dibujo. ¿Cuándo es QG < QH y cuando es QG > QH?

2.- Entonces, ¿cuando es QG = QH?

3.- Desplaza ahora el punto (solo se mueve sobre la bisectriz). ¿Por qué siempre es
PE = PF? Utiliza la pista si es necesario.

4.- ¿Hay puntos en la bisectriz que no estan a la misma distancia de los lados?

5.- ¿Hay puntos fuera de la bisectriz que estén a la misma distancia de ambos lados?

Marca la casilla “Por tanto ...” y luego la siguiente.

6.- ¿Cómo son los ángulos opuestos por el vértice?

Marca la siguiente casilla

7.- ¿Por qué la recta bisectriz es la misma para los ángulos opuestos por el vértice?

Marca la siguiente casilla

8.- ¿Por qué son perpendiculares las dos rectas bisectrices?

25

Construcción de la bisectriz

poder ver mejor el dibujo.

1.- ¿Porqué la recta así construida es la bisectriz? Haz clic en las casillas a la derecha
del dibujo para ver una explicación paso a paso. Justifica brevemente cada una de
las afirmaciones que se hacen:

a)

b)

c)

d)

e)

2.- Utiliza el mismo procedimiento para construir, utilizando regla y compás, la
bisectriz del ángulo de la figura.

27

Construcción aproximada de un polígono regular de n
lados

Vete marcando las sucesivas casillas de la derecha para ir viendo la construcción
aproximada de un polígono de n lados inscrito en la circunferencia. Puedes cambiar el
número de lados en cualquier momento con el deslizador n, entre 3 y 12.

1. ¿Qué ocurre si movemos el punto D? ¿Lo podemos situar en cualquier sitio?

2. Marca la casilla inferior. ¿Para que valores de n la construcción es exacta?

3. ¿Cómo es el último ángulo comparado con los anteriores? ¿Qué pasa si el valor de n
es grande?

3. ¿Para que valores de n conoces una construcción exacta (distinta de esta)? ¿Es más
simple o más complicada que esta?

4. Entonces, ¿para que valores de n es útil esta construcción?

5. Utiliza este procedimiento para construir, utilizando regla y compás, un
heptágono regular.

29

Notas:

La construcción solo es exacta para n = 3, 4 y 6. Pero para estos valores de n hay
construcciones exactas mucho más sencillas. Por otra parte, hay construcciones exactas
para n = 5, 8, 10 y 12. Por lo que la utilidad de esta construcción aproximada se reduce
a los casos n = 7, 9 y 11, aunque ya en este caso el último lado es apreciablemente
menor que los demás.

30

Teselaciones con polígonos regulares
En esta plantilla tienes herramientas para dibujar polígonos regulares de 3 a 12 lados,
desplegando el segundo icono de la barra superior.

Para cada uno basta con indicar dos
vértices consecutivos en sentido
contrario al de las agujas del reloj.
Para dibujar polígonos contiguos,
utiliza para el nuevo vértices del
anterior. Con las flechas de la
derecha puedes deshacer o rehacer
los pasos que has dado. Con la goma
de borrar puedes eliminar el
polígono o punto que señales. Las
lupas te permiten hacer zoom. El
icono con cuatro flechas permite
desplazar todo el dibujo.

1. Si usas un solo tipo de polígono, ¿con cuales puedes cubrir cualquier superficie
poniéndolos juntos sin que se superpongan ni quede espacio entre ellos?

2. ¿Y si empleas dos tipos de polígono?

3. ¿Y tres distintos, como en la figura?

A esto se le llama "teselar” el plano. Dibuja a continuación, a mano alzada, bocetos
de las teselaciones que hayas hecho en la pantalla (al menos una con un solo tipo de
polígono, otra con dos tipos y otra con tres).

31

Notas:

Los polígonos se construyen a partir de dos vértices consecutivos. El orden de
los puntos determina a que lado del segmento estará el polígono: Al ir del primero al
segundo punto indicados, el polígono se recorre en sentido positivo (contrario a las
agujas del reloj).

Si un punto ya es un vértice de varios polígonos, hay varias “copias” de él en la
pantalla, y debe elegirse una cualquiera de ellas.

32

Área del paralelogramo
Un paralelogramo es un cuadrilátero con los lados paralelos dos a dos.

1. Desplaza el deslizador hacia la derecha. ¿En que figura se transforma el
paralelogramo?

2. ¿Cómo son las bases y alturas de ambas figuras?

3. Por tanto, el área del paralelogramo se calcula como ...

Puedes mover el punto C para cambiar la forma del paralelogramo.

33

Notas:

Si la proyección de C sobre el lado AB cae fuera de este, la figura pierde
claridad. Sería preciso dividir el paralelogramo en más piezas para transformarlo en un
rectángulo en esa orientación. Pero siempre es posible cambiar el papel de los lados, de
manera que las bases sean los lados mayores, con lo que desaparece el problema.

34

Área del rombo
Un rombo es un cuadrilátero con los cuatro lados iguales. Sus diagonales, en el dibujo
d1 y d2, son perpendiculares. H, I, J y K son los puntos medios de los lados, y O es el
punto en que se cortan las diagonales. Mueve el punto deslizante hacia la derecha y
observa el resultado.

1. ¿En que figura se ha transformado el rombo?

2. ¿Cúanto miden los lados de esta nueva figura?

3. Y su área, ¿cómo es comparada con la inicial?

4. Por tanto, el área inicial es ...

En realidad, siempre que las diagonales sean perpendiculares puede calcularse así el
área, aunque no se trate de un rombo.

5. Desplaza los puntos O, A, B, C y D para obtener un cuadrilátero que no sea un
rombo, pero con las diagonales perpendiculares, y calcula su área. Mueve el
deslizador para comprobarlo.

6. Copia ese cuadrilátero arriba, en la parte derecha de la figura, así como el calculo de
su área.

35

Notas:

El área puede calcularse como el producto de las diagonales entre dos siempre
que estás sean perpendiculares. Incluso si el cuadrilátero es no convexo, aunque la
figura pierde claridad en este caso.

36

Área del trapecio
Un trapecio es un cuadrilátero con un par de lados paralelos, sus bases. En el dibujo, b1
y b2. E y F son los puntos medios de los lados no paralelos. Mueve el punto deslizante
hacia la derecha y observa el resultado.

1. ¿En que figura se ha transformado el trapecio?

2. ¿Cómo son las áreas de ambas figuras?

3. ¿Cuál es la base de esta nueva figura?

4. ¿Y su altura?

5. Por tanto, el área del trapecio se calcula como ...

Mueve los puntos A, B, C y/o D para cambiar la forma del trapecio.

6. Copia a la derecha del otro el nuevo trapecio y el cálculo de su área.

37

Área del triángulo
D y E son los puntos medios de los lados respectivos, h es la altura del triángulo y b su
base. Desplaza el punto deslizante hacia la derecha y observa la figura obtenida.

1. ¿Qué figura se obtiene?

2. ¿Cómo es la base de la nueva figura comparada con la del triángulo?

3. ¿Y la altura?

4. Por tanto, el área del triángulo se calcula como ...

5. Mueve el vértice C para obtener un triángulo obtusángulo. Copia a la derecha el
nuevo triángulo y el cálculo de su área.

39

Área de un polígono regular y del círculo

Aquí tienes un polígono regular de n lados, inicialmente 6, inscrito en una
circunferencia. Para hallar el área del polígono, lo consideramos descompuesto en n
triángulos iguales, de base l (lado del polígono) y altura a (apotema del polígono).
Mueve el deslizador para cambiar el número n de lados.

1. ¿Que ocurre con la apotema y el radio cuando aumenta n?

2. ¿Y con los perímetros y áreas del polígono y la circunferencia?

41

Calculo de áreas por descomposición y Teorema de
Pick

1. Las líneas de esta rejilla están separadas por una distancia de 1 cm. ¿cuál es el área
de los cuadrados que forman?

2. Descompón el polígono de la figura en partes menores más sencillas (triángulos,
rectángulos, trapecios, ...), de las que sepas calcular el área. Hazlo en el dibujo de
arriba y calcula entonces cuanto vale el área de todo el polígono, indicando el área
de cada una de las partes en que lo dividiste. Puedes comprobar el resultado
marcando la casilla ‘Área’. Si no coincide con el tuyo, revisa tus cálculos.

3. Mueve los puntos en la pantalla para formar un nuevo polígono. Cópialo arriba a la
derecha del otro y calcula su área como en el punto 2.

4. Marca la casilla ‘Teorema de Pick’ (previamente debes haber marcado la de ‘Área’).
Lee el texto que aparece y cuenta el número de puntos interiores al polígono (P i) y
que se encuentran en el perímetro (Pp), no sólo los vértices, e indicalos en los
deslizadores de la derecha. Si el resultado no coincide con el área, vuelve a contar el
número de puntos interiores y en el perímetro.

5. Comprueba el Teorema de Pick, modificando los vértices, al menos cinco veces.
Anota a continuación el número de puntos interiores, en el perímetro y las áreas en
cada caso.

43

Notas:

El número de puntos interiores y en el perímetro no se actualiza
automáticamente al modificar el polígono. Deben contarse a mano e indicar su valor
con los deslizadores. La demostración se basa en la descomposición del polígono en
triángulos de área ½ . Aunque no es muy complicada, excede claramente el nivel de
estas actividades.

En esta plantilla, los vértices solo pueden situarse en puntos de la rejilla. No
ocurre lo mismo si lo que se mueven son los lados. Pero moviendo nuevamente los
vértices, se pueden volver a situar sobre la rejilla.

Si el polígono resultante es cruzado, el perímetro se corta a si mismo, el área
calculada por la plantilla es la suma algebraica de las áreas. En este caso, las áreas
opuestas por un vértice tienen distinto signo. Dada la dificultad de este concepto, debe
evitarse que los perímetros se crucen.

44

Construcción de un trapecio conocidos sus lados

En esta actividad se muestra como construir un trapecio, dadas las longitudes de sus
lados, y como calcular su área en función únicamente de estos. Las bases del trapecio
son a = AB y c = D, con AB mayor que CD, y los lados no paralelos b = BC y d = DA.

1. Vete marcando las casillas que aparecen, hasta completar la construcción.
Reprodúcela en la figura, utilizando regla y compás.

2. Marca la última casilla para ver como se calcula el área en función de los lados.

3. Expresa en una fórmula el área del trapecio SABCD en función solo de las longitudes
a, b, c y d de los lados. Repite el cálculo paso a paso si AB = 12, BC = 6, CD = 3 y
DA = 8.

45

Posiciones relativas de recta y circunferencia

Las posiciones relativas de una circunferencia y una recta dependen de la magnitud r del
radio y de la distancia d del centro a la recta. Desplaza el centro de la circunferencia, o
modifica su radio y observa las distintas situaciones que se presentan. También puedes
mover la recta, desplazando los puntos A y B por los que pasa.

1. Enumera las posiciones relativas esencialmente distintas pueden adoptar una
circunferencia y una recta, indicando las relaciones entre el radio y la distancia en
cada caso:

2. ¿Cuantos puntos en común tienen en cada una de esas posiciones?

47

Posiciones relativas de 2 circunferencias

Las posiciones relativas de dos circunferencias dependen de la magnitud de sus radios,
r1 y r2, y de la distancia d que separa sus centros. Desplaza el centro de la de menor
radio hasta que sea totalmente interior a la otra y observa las distintas situaciones que se
presentan.

1. Enumera las posiciones relativas esencialmente distintas pueden adoptar dos
circunferencias, indicando las relaciones entre los radios y la distancia en cada caso:

2. ¿Cuantos puntos en común tienen en cada una de ellas?

3. ¿Y cuantas tangentes comunes?

4. ¿Que cambia si los radios de las dos circunferencias son iguales?

5. ¿En cuantos puntos se cortan cada una de las circunferencias con el eje radical en
cada uno de los casos?

49

Ángulos inscritos 1

1. ¿De que tipo es el triángulo AOC?

2. Por tanto, los ángulos en A y C son ....

3. ¿Cuanto mide entonces el ángulo AOC comparado con el CAO?

4. ¿Y comparado con el COB?

5. Es decir, el ángulo inscrito (CAB) mide .. .... que el ángulo central (COB) que
abarca el mismo arco (CB), al menos cuando uno de sus lados es un diámetro.

51

Notas:
Las actividades Angulos inscritos 1, Angulos inscritos 2 y Angulos inscritos 3
están pensadas para realizarse en este orden y en una misma sesión.

52


Recordando la actividad anterior, indica:

1. ¿Cómo es el ángulo CAD comparado con el COD?

2. ¿Y el BAD comparado con el BOD?

3. Por tanto, el ángulo inscrito CAB mide .. .... que el ángulo central COB,
también cuando el centro de la circunferencia es interior al ángulo.

53

Notas:

54


Ahora el segmento AD es un diámetro, de manera que el centro O es exterior al ángulo.

1. Indica que relación hay entre el ángulo BAC y los ángulos DAC y DAB:

BAC __ DAC __ DAB

2. Igualmente entre el ángulo BOC y DOC y DOB:

BOC ___ DOC ___ DOB

3. ¿Y entre el ángulo DAC y el ángulo DOC? DAC ____ DOC

4. Igualmente, para el ángulo DAB y el DOB: DAB ____ DOB

5. Entonces, ¿cómo son los ángulos BAC (inscrito) y BOC (central)?

BAC ____ BOC

6. Por tanto, en cualquier caso, el .ángulo inscrito en la circunferencia mide __ _____
que el ángulo central que abarca el mismo arco.

55

Notas:


56

Cuadrilátero inscrito

Vete marcando las casillas y, recordando las actividades anteriores, contesta:

1. ¿Qué relación hay entre los ángulos a y f?

2. ¿Y entro los ángulos c y e?

3. ¿Cuánto suman los ángulos e y f?

4. Entonces, cuánto los ángulos opuestos a y c suman ____

5. Es decir, los ángulos opuestos de un cuadrilátero inscrito son _________

57

Angulos inscritos 4

Sobre la circunferencia hay 12 puntos igualmente espaciados. Numéralos del 1 al 12
como las horas de la esfera de un reloj de agujas, de manera que al punto A le
corresponda el 3.

1. ¿Cuánto vale el ángulo central determinado por dos puntos consecutivos?

2. Entonces, ¿cuánto mide el ángulo AOB de la figura?

3. ¿Y el ACB?

4. ¿Qué ocurre con el ángulo ACB si desplazamos el punto C, con el deslizador rojo,
sin rebasar el punto B?

5. ¿Y si rebasa el punto B?

6. Para que el ángulo BCA sea recto, ¿cómo deben estar situados los puntos A y B?

7. ¿En que punto tendríamos que colocar B para que el ángulo ACB fuese de 60º?

8. ¿En que puntos podría estar entonces C?

59

Ángulos semiinscritos

El ángulo semiinscrito en una circunferencia es el formado por una cuerda y la tangente
en uno de sus extremos. Vete marcando las sucesivas casillas y contestando las
cuestiones:

1. ¿Por qué la tangente a una circunferencia es perpendicular al radio?

2. En la figura solo se representa la tangente a partir de B en un sentido. La
prolongación del segmento BA’ en sentido opuesto a partir de B, forma otro ángulo
con el segmento BA. ¿Qué relación tiene con el primero?

3. ¿De que tipo es el triángulo OBA y por qué?

4. ¿Por qué el radio perpendicular a la cuerda AB divide al triángulo OAB en dos
partes iguales?

5. ¿Por qué son iguales los ángulos DOB y ABA’?

6. Entonces, el ángulo semiinscrito en una circunferencia mide _________ que el
ángulo central que abarca el mismo arco.

7. Justifica por qué el ángulo A”BA mide también la mitad que el ángulo central que
abarca el mismo arco que él.

8. ¿Para qué valor del ángulo b serán iguales los ángulos AOB y A”BA?

61

Ángulos interiores a una circunferencia

Vete marcando las sucesivas casillas, comprobando en la figura los textos respectivos, y
contesta las cuestiones:

1. ¿Cómo son los ángulos AIB y CIB?

2. ¿Y los ángulos i = AIB e i’ = DIA?

3. ¿Por qué a + d = 180º - i’?

4. En el triángulo ADI, el ángulo i es el ángulo exterior correspondiente al vértice I. ¿A
qué es igual siempre el ángulo exterior de un triángulo correspondiente a un vértice?

5. ¿Qué arco abarcan los ángulos a y o’?

6. ¿Y los ángulos d y o?

7. Por tanto, el ángulo interior a una circunferencia es igual a ________________ de
los ángulos centrales que abarcan los mismos arcos.

8. Si el ángulo i fuese recto, ¿cómo serían los ángulos o y o’?

63

Notas:

Al mover los puntos A, B, C y D, no deben cruzarse, pues ya no se cortarán los
segmentos AC y BD. Lo siguen haciendo las rectas, pero en el exterior de la
circunferencia.

Los resultados se redondean a dos decimales, por lo que pueden no ser exactos.

64

Ángulos exteriores a una circunferencia

El ángulo exterior a una circunferencia es uno que tiene su vértice en el exterior de la
circunferencia y cuyos lados son secantes a la circunferencia. Vete marcando las
sucesivas casillas, comprobando en la figura los textos respectivos, y contesta las
cuestiones:

1. ¿Por qué a + d = 180º - i’?

2. En el triángulo ECA, el ángulo c es el ángulo exterior correspondiente al vértice C.
¿Un ángulo de un triángulo siempre es igual a la diferencia entre el ángulo exterior y
el interior de los otros dos vértices?

3. ¿Qué arco abarcan los ángulos a y o’?

4. ¿Y los ángulos c y o?

7. Por tanto, el ángulo exterior a una circunferencia es igual a ________________ de
los ángulos centrales que abarcan los mismos arcos.

8. Si el ángulo i fuese recto, ¿cómo serían los ángulos o y o’?

65

Notas:

Al mover los puntos A, B, C y D, las rectas AD y BC deben seguir cruzándose
en el exterior de la circunferencia. Además el punto E debe estar a la izquierda de la
circunferencia, pues de lo contrario algunos pasos intermedios son incorrectos.

Los resultados se redondean a dos decimales, por lo que pueden no ser exactos.

66

Ángulos interiores y exteriores en la circunferencia

Sobre la circunferencia hay 12 puntos igualmente espaciados. Numéralos del 1 al 12
como las horas de la esfera de un reloj de agujas, con las 12 arriba.

1. ¿Cuánto vale el ángulo central determinado por dos puntos consecutivos?

2. ¿Cómo son, uno con respecto al otro, los dos ángulos indicados en la figura y por
qué?

3. Señala cuanto miden, indicando como se calculan.

4. Mueve B hasta el punto 11, dejando los otros como están. ¿Cuanto miden ahora los
ángulos y como se calcula?

5. Mueve el punto B para que coincida con el A, sin mover ni C ni D. Indica cuanto
mide el nuevo ángulo y di como se calcula.

6. ¿Si hubiésemos movido el punto A para que coincidiese con el B, el resultado sería
el mismo? ¿Por qué?

7. Coloca el punto A a las 10, el B a las 11, el D a las 12 y el C a las 4. ¿Cuánto miden
ahora los ángulos indicados? Indica como los calculas. Ten en cuenta que ahora no
son ángulos exteriores a la circunferencia.

67

Notas:

El ángulo pedido puede resultar interior, exterior, inscrito o semiinscrito en la
circunferencia. En ocasiones es más sencillo calcular el suplementario del ángulo
pedido.

Si las rectas AC y BD resultan ser paralelas, el resultado sigue siendo correcto,
pero los alumnos pueden tener dificultades para interpretarlo.

68

Cuadrilátero inscrito en 2 circunferencias secantes

El cuadrilátero ABCD tiene los vértices A y D en la circunferencia s, y los vértices B y
C en la t. Los puntos de intersección M y N de las circunferencias están en los lados AB
y CD. Responde a las cuestiones, justificando las respuestas. Utiliza para ello las pistas.
Marca solo una de las cuestiones a la vez.

1ª cuestión:

2ª cuestión:

Si los puntos A y B, o C y D, se cruzan, ¿se mantienen las respuestas anteriores?

69

Notas:

En esta actividad se trata de aplicar los conocimientos anteriores. Si alguno de
los puntos A, B, C ó D se sitúan entre M y N, la figura es más difícil de interpretar.

70

Tres circunferencias ¿concurrentes?

Mueve los puntos D, E y F por el interior de los respectivos lados, pero no los sitúes en
los vértices. ¿Se cortan siempre los tres círculos en un mismo punto?
Vete marcando las sucesivas casillas y responde a las cuestiones:

1. Observa que el punto H puede quedar dentro, en el perímetro o fuera del triángulo.
Antes de seguir, sitúa los puntos D, E y F de manera que H este dentro del triángulo.

2. ¿Cuál es la condición necesaria y suficiente para que un cuadrilátero este inscrito?

3. ¿Cómo son entonces los ángulos HDB y HFB del cuadrilátero HFDB?

4. ¿Y los ángulos HFA y HFB?

5. Por tanto, los ángulos HFA y HDB _________________

6. ¿A qué ángulo es igual el HEA y por qué?

7. Por tanto, los ángulos HEC y HDB _________________

8. Y los ángulos HEC y HDC ______________________

9. Por tanto, el cuadrilátero CDHE es _________ y las tres circunferencias _________

10. Aproxima los puntos D y E a B y A respectivamente, de manera que H quede fuera
del triángulo. ¿Qué debe modificarse de lo anterior? ¿La conclusión es la misma?

11. Si el punto H esta sobre un lado, el razonamiento anterior no sirve. ¿Puedes razonar
que en este caso también las tres circunferencias deben pasar por el mismo punto?

12. Dibuja en la figura los segmentos HD, HE y HF y marca de la misma forma los
ángulos iguales. Comprueba que los son con un transportador.

71

Notas:

Está es una actividad de aplicación de conocimientos anteriores. El punto E
puede estar fuera del triángulo, en cuyo caso el resultado sigue siendo cierto, pero es
necesario modificar ligeramente los argumentos.

72

Cuatro círculos iguales

Las cuatro circunferencias tienen el mismo radio, llamémosle ‘a’.

1. Marca solo las dos primeras casillas y trata de ver para que ángulos las
circunferencias p y r son exteriores, tangentes o secantes.

2. Marca la tercera casilla y mueve los vértices. ¿Qué relación hay entre los ángulos
del triángulo y los ángulos en S?

3. Marca la cuarta casilla. ¿Cómo son los lados de los triángulos ABC y PQR? Sus
ángulos son entonces ____________

4. ¿Cuál es la distancia del punto S a los puntos P, Q y R?

5. Marca la quinta casilla. ¿Cómo son los ángulos PQR y PSR, y por qué? Ahora debe
estar clara la respuesta a la cuestión 2.

6. Mueve los vértices e indica cuando se dan las tres situaciones indicadas en la figura:

a)

b)

c)

73

Notas:

En esta actividad se intenta sobre todo que los alumnos descubran la respuesta
moviendo los vértices y observando lo que sucede. Posteriormente, con la ayuda de las
pistas, pueden justificar sus conclusiones.

74

Suma de los ángulos de un triangulo

1. Comprueba con un transportador el valor de los ángulos de la figura, y súmalos. Ten
en cuenta que están expresados en grados, con decimales, no en grados minutos y
segundos.

2. Mueve los vértices a otras posiciones, de manera que alguno de los ángulos sea
obtuso, y vuelve a sumarlos: ___ + ___ + ___ = ___

3. Mueve el deslizador hacia la derecha. Los dos cuadriláteros que se mueven no
cambian de forma, solo de posición. ¿Qué movimiento realiza cada uno?

4. ¿Por qué el segmento CD es paralelo al AB?

5. ¿Por qué son iguales los ángulos ABC y BCD?

6. ¿Por qué son iguales los ángulos BAC y DCE?

7. Por tanto, los ángulos de un triángulo suman siempre ____

8. El punto interior del triángulo puede ser cualquiera, pero en este caso es uno muy
concreto. Mueve los vértices e intenta averiguar de que punto notable del triángulo
se trata. También puedes utilizar una regla en la figura de arriba.

Es el ____________, porque _______________________________________

75

Notas:

El punto interior escogido es el baricentro del triángulo. Los segmentos lo unen
con los puntos medios de los lados y, prolongándolos, se ve que pasan por el vértice
opuesto.

76

Teorema de Pitágoras 1
El Teorema de Pitágoras dice
en cualquier triángulo
rectángulo, el cuadrado de la
hipotenusa es igual a la suma
de los cuadrados de los catetos.
En la figura se ha construido un
cuadrado a partir de cada lado
del triángulo rectángulo ABC.
Mueve el punto deslizante y
observa como cambian las
zonas malva y amarilla, según t
varia de 0 a 3. Vuelve a situarlo
a la izquierda (t = 0).

1. Cuando t varia de 0 a 1, los
lados exteriores de los cuadrados malva y amarillo se desplazan a lo largo de la recta
que los contiene sin cambiar de longitud. ¿En que tipo de cuadrilátero se
transforman estos cuadrados?

2. ¿Cuánto valen la base y la altura de cada uno de ellos?

2. Por tanto, sus áreas ________________________________________

3. ¿Cómo son los dos triángulos en que está dividido el rectángulo superior,
comparados con el triángulo ABC?

4. Cuando t = 1, cuanto miden los lados verticales de los ___________ malva y
amarillo?

5. Cuando t varía de 1 a 2, los ____________ malva y amarillo se trasladan
verticalmente sin cambiar de forma ni tamaño. ¿Qué distancia se mueven?

6. Cuando t = 2, como es el triángulo inferior comparado con el ABC?

7. Cuando t varía de 2 a 3, el lado común de los ____________ malva y amarillo se
desplaza verticalmente sin cambiar de longitud. ¿cómo cambian las áreas de estos
__________ ?

8. Cuando t = 3, ambos cuadriláteros juntos forman un ___________ de lado ___

9. Por tanto, a2 ___ b2 ___ c2

77

Notas:

Es importante que los alumnos se convenzan de que las áreas malva y amarilla
conservan su área invariable en toda la transformación.

El deslizador también se mueve de forma más controlada con las teclas de
dirección o “+” y “-“. Para ello debe hacerse primero clic con el ratón sobre él.

78

Teorema de Pitágoras 2
El Teorema de Pitágoras nos dice que en
un triángulo rectángulo, el cuadrado de
la hipotenusa es igual a la suma de los
cuadrados de los catetos: c² = a² + b². En
la figura tenemos cuatro triángulos
rectángulos iguales, de catetos a y b,
situados en las esquinas de un cuadrado
de lado a + b.

Mueve el punto deslizante y compara las
áreas blancas al principio y al final.
Mueve el punto E para variar la forma
del triángulo rectángulo. También
puedes mover los puntos A y B, para
cambiar su tamaño y posición.

1. ¿Qué tipo de cuadrilátero forma el área blanca central? Explica por que y cual es su
área.

2. Entonces, el cuadrado grande esta dividido inicialmente en ___ triángulos iguales y
un _______________ de lado ___ y área ____.

3. Cuando se mueve el punto deslizante hacia la derecha, dos de los triángulos giran.
Pero ¿cambian de forma o de tamaño? Explica por qué.

4. Al final, ¿de que tipo son los dos cuadriláteros blancos, y cuanto valen sus lados y
áreas?

5. Entonces, al final el cuadrado grande esta dividido en ___ triángulos ________ a los
iniciales y 2 _________ de áreas ____ y ____.

6. Por tanto, como son las áreas del _________ blanco inicial y de los dos _________
blancos finales?

7. Por tanto, a2 ___ b2 ___ c2.

79

Caracterización de triángulos

1. El triángulo de la figura parece rectángulo. ¿Lo es realmente? Por qué?

2. Si los vértices están en puntos de la rejilla, ¿cómo puedes calcular las longitudes de
los lados?

3. Mueve el punto B tres unidades hacia la izquierda y el punto C una hacia abajo, y
calcula entonces cuanto valen los cuadrados de las longitudes de cada lado.

4. Cuando el triángulo es acutángulo, a2 ___ b2 ___ c2.

5. Cuando el triángulo es obtusángulo, a2 ___ b2 ___ c2.

6. ¿Puedes situar los vértices B y C de manera que el triángulo sea rectángulo sin
que el punto B este en la misma línea horizontal que el A? Dibújalos en la figura de
arriba y calcula los cuadrados de las longitudes de sus lados.

81

Notas:

Para determinar si el triángulo es acutángulo, rectángulo u obtusángulo, se
compara el cuadrado del lado mayor con la suma de los cuadrados de los otros dos. Pero
en la plantilla se supone que el lado mayor es el a. Si no es así, la respuesta puede ser
incorrecta, si los ángulos B o C llegan a ser rectos u obtusos.

Si los vértices ocupan puntos de la rejilla, loa alumnos pueden calcular
fácilmente las longitudes de los lados aplicando el teorema de Pitágoras. Si se arrastra
un vértice cerca de un punto de la rejilla, este lo “atrae”, por lo que es muy fácil
situarlos sobre ella.

82

Medianas y Baricentro

Las medianas de un triángulo son los segmentos que unen cada vértice con el punto
medio del lado opuesto. Se cortan las tres en el Baricentro G, que es el centro de
gravedad del triángulo.

1. Fíjate en que la distancia del Baricentro G al vértice es el doble que al punto medio
del lado opuesto. Mueve el vértice B para ver como cambian estas distancias, pero
no su razón, que siempre es 2. Anota en el dibujo esa nueva posición de B y las seis
distancias de G a los vértices y a los puntos medios de los lados opuestos.
Comprueba que el cociente siempre es 2. Ten en cuenta que en la pantalla, las
distancias están redondeadas a dos decimales.

2. ¿Cómo serán las áreas de los dos triángulos en que cada mediana divide al
triángulo? ¿Por qué?

3. ¿Y las de los tres triángulos formados por el baricentro y dos de los vértices?

4. Finalmente, ¿cómo son las áreas de los seis triángulos en que las tres medianas
dividen al triángulo ABC?

5. ¿El Baricentro siempre es interior al triángulo?

Nota: Para comparar las áreas de dos triángulos, puedes comparar sus base y sus alturas.

83

Notas:

Esta actividad se da por hecho que las tres medianas se cortan en un punto. En la
siguiente, se trata de que el alumno se convenza de ello. Pueden utilizarse en orden
inverso, a criterio del docente.

Para comparar las áreas, los alumnos deben relacionar bases y alturas de los
triángulos pequeños entre si y con el ABC. Para comparar las alturas deben utilizar
proporcionalidad de triángulos, sabiendo que el baricentro divide a la mediana en la
proporción 2:1.

84

Concurrencia de las medianas

1. El lado AB del triángulo de la figura es muy fácil dividirlo en tres partes iguales.
Hazlo y a continuación, utilizando los instrumentos de dibujo, divide los lados AC y
BC también en tres partes iguales.

2. ¿Los triángulos pequeños porque son iguales entre si y semejantes al ABC?

3. ¿Por qué las rectas que pasan por cada vértice y por G también pasan por el punto
medio del lado opuesto?

4. ¿De que rectas se trata entonces?

5. Que proporción de la mediana representa la distancia entre el baricentro G y el
punto medio del lado opuesto?

85

Notas:

Para justificar sus respuestas los alumnos deben utilizar el teorema de Thales y
la semejanza de triángulos. Después de realizar la actividad debe quedar claro que las
tres medianas siempre se cortan en un punto, y que este las divide en la proporción 2:1.

86

Mediatrices y Circuncentro

Las mediatrices de un triángulo son las rectas perpendiculares a los lados que pasan por
su punto medio (recuerda la definición de mediatriz de un segmento). Las tres se cortan
en el Circuncentro M.

1. ¿Por qué deben cortarse las tres en un mismo punto?

2. ¿Por qué la circunferencia que tiene centro en M y pasa por un vértice, pasa también
por los otros dos?

3. Cambia la posición del vértice B y fíjate en los valores de los ángulos y la posición
del circuncentro. ¿Siempre es interior al triángulo?

4. ¿Cuándo es interior al triángulo?

5. ¿Cuándo es exterior al triángulo?

6. Cuando ocurre esto último, ¿en cual de los tres segmentos circulares que determinan
los lados del triángulo se encuentra el circuncentro? Recuerda que un segmento
circular es el área limitada por una la circunferencia y una cuerda.

6. ¿Cuándo esta en el perímetro del triángulo?

7. Cuando ocurre esto último, ¿exactamente donde se encuentra el circuncentro?

8. Relaciona lo anterior con lo que sabes sobre los ángulos inscritos en una
circunferencia.

87

Notas:

En la siguiente actividad se insiste más en por qué deben cortarse las trs
mediatrices en un punto. Pueden utilizarse en orden inverso.

88

Concurrencia de las mediatrices

1. Marca la casilla correspondiente a la mediatriz del lado BC, mBC. ¿Por qué las
circunferencias que pasan por B y C tienen que tener sus centros en esta mediatriz?

2. Mueve el centro A’ de la circunferencia hasta conseguir que pase por el vértice A.
Por tres puntos que no están en línea recta, como A, B y C, cuantas circunferencias
pasan?

3. Marca la casilla de la mediatriz mAC, correspondiente al vértice B. Donde habrá que
situar el punto B’ para que la nueva circunferencia pase por el vértice B?

4. Como las circunferencias que pasan por A y B tienen su centro en la tercera
mediatriz, mAB, esta debe pasar también por el punto en que se cortan las otras dos.

89

Alturas y Ortocentro

Las alturas de un triángulo son las rectas perpendiculares a los lados que pasan por el
vértice opuesto. Se cortan las tres en el Ortocentro (H).

Mueve los vértices y observa los valores de los ángulos y la posición del ortocentro H.

1. ¿El ortocentro siempre se encuentra en el interior del triángulo?

2. ¿Cuándo se encuentra en el interior del triángulo?

3. ¿Cuándo se encuentra en el exterior del triángulo?

4. Cuando se encuentra en el perímetro del triángulo?

5. Cuando ocurre esto último, ¿exactamente donde se encuentra el ortocentro?

Marca la casilla ‘Ampliación’ y las sucesivas, para contestar las cuestiones siguientes.
Previamente sitúa los vértices de manera que el triángulo sea acutángulo.

6. ¿Por qué son iguales los ángulos <d y <c, de un lado, y <e y <a de otro?

7. ¿Cómo son los ángulos <f y <b? _____ ¿Y los ángulos <g y <b? ______

9. ¿Por qué debe estar el punto Q en la circunferencia circunscrita?

10. Por tanto, los simétricos del ortocentro respecto de cada lado se hallan ___________

11. ¿Sabrías decir si el área de la circunferencia circunscrita es siempre más o menos
que el doble de la del triángulo?

91

Notas:

En la actividad siguiente se trata la concurrencia de las tres alturas, que aquí se
da por supuesta. Pueden utilizarse en orden inverso.

La ampliación, que los simétricos del ortocentro respecto de los lados se hallan
en la circunferencia circunscrita, no se trata habitualmente en el currículo, aunque es un
resultado asequible que obliga a utilizar conocimientos anteriores. Si el triángulo es
obtusángulo, el resultado se mantiene, pero es más difícil de interpretar pues, de una
parte, el ortocentro se encuentra en el exterior de la circunferencia circunscrita y de otra,
las rflexiones se producen sobre las prolongaciones de los lados. Todo ello hace más
difícil la argumentación.

92

Concurrencia de las alturas

Para ver que las tres alturas de un triángulo se cortan en un punto, el ortocentro, vete
marcando las casillas, y contesta a las preguntas:

1. ¿Cómo son los lados del triángulo antimedial comparados con los del ABC?

2. Por tanto, los vértices del triángulo ABC son ________________ de los lados del
triángulo antimedial DEF.

3. Entonces, las mediatrices del triángulo DEF, ¿qué son en el triángulo ABC?

4. ¿Las mediatrices del triángulo DEF deben cortarse en un punto?

5. Por tanto, las alturas del triángulo ABC _______________

6. Es decir, el __________ del triángulo ABC es el __________ de su triángulo
antimedial (DEF).

7. ¿Cambia algo de lo anterior si el triángulo es obtusángulo o rectángulo?

93

Notas:

Se deduce aquí la concurrencia de las alturas a partir de la concurrencia, más
sencilla, de las mediatrices del triángulo “antimedial” del dado. El triángulo antimedial
esta determinada por las rectas paralelas a los lados que pasan por los vértices. Es decir,
el triángulo dado es el triángulo medial, sus vértices son los puntos medios de los lados,
de su triángulo antimedial.

Aunque la plantilla funciona correctamente con triángulos obtusángulos, es
mejor empezar con uno acutángulo.

94

Bisectrices e Incentro

Las bisectrices de un triángulo son las rectas que dividen a cada ángulo en dos partes
iguales. Recuerda la definición de bisectriz de un ángulo. Las tres se cortan en el
Incentro.

1. ¿Cómo son las distancias de un punto de la bisectriz a los lados de un ángulo?

2. Entonces, si un punto se halla en dos de las bisectrices, ¿cómo son sus distancias a
los tres lados del ángulo?

3. Por tanto, el punto en que se cortan dos de las bisectrices _________ en la tercera
bisectriz. Se trata del Incentro.

4. El Incentro se halla entonces a la misma distancia r de los tres lados. Una
circunferencia con centro en el incentro y esa distancia r como radio, será ______ a
los tres lados del triángulo. Se trata de la circunferencia inscrita en el triángulo.

5. ¿Puede haber una circunferencia mayor que la inscrita que este totalmente contenida
en el triángulo?

6. ¿El Incentro siempre está en el interior del triángulo?

7. Si unimos el incentro con los tres vértices, el triángulo queda descompuesto en tres
con el vértice común I. ¿Cuánto valen las alturas de estos triángulos, considerando
los lados del triángulo ABC como bases?

8. ¿Como calcularías el área del triángulo si conoces el valor de r y de los tres lados?

95

Notas:

En la siguiente actividad se insiste más en la concurrencia de las tres bisectrices.
Pueden utilizarse en orden inverso.

Aquí se supone que el alumno conoce que la distancia de un punto a una recta es
la mínima distancia a cualquier punto de la recta, y que se alcanza sobre la
perpendicular a la recta. También que la tangente a una circunferencia es perpendicular
al radio.

96

Concurrencia de las bisectrices

1. Marca la casilla correspondiente a la bisectriz del ángulo A, bA. ¿Por qué las
circunferencias tangentes a los lados AB y AC tienen que tener sus centros en esta
bisectriz?

2. Mueve el centro A’ de la circunferencia hasta conseguir que sea tangente también al
lado BC. Entonces, ¿cómo será la distancia de A’ a los tres lados?

3. Marca la casilla de la bisectriz bB, correspondiente al ángulo B. ¿Donde habrá que
situar el punto B’ para que la nueva circunferencia sea tangente al lado AC?

4. Por tanto, la tercera bisectriz bC debe pasar por el mismo punto, que será el incentro
del triángulo.

5. Si el triángulo tiene dos ángulos similares y el otro muy pequeño, cerca de qué se
encuentra el incentro?

6. ¿Y si tiene un ángulo muy grande, de casi 180º, donde se situará el incentro?

7. ¿Dirías que el incentro es un buen “centro” para cualquier triángulo?

8. De los cuatro puntos notables principales del triángulo (Baricentro, Ortocentro,
Circuncentro y Ortocentro, ¿cuál dirías que es más adecuado como su ‘centro’?

97

Notas:

Aquí se supone que el alumno conoce que la distancia de un punto a una recta es
la mínima distancia a cualquier punto de la recta, y que se alcanza sobre la
perpendicular a la recta. También que la tangente a una circunferencia es perpendicular
al radio.

98

Recta de Euler

La recta de Euler de un
triángulo es la que pasa por el
circuncentro y ortocentro.

Marca las sucesivas casillas y
contesta a las preguntas,
justificándolas.

1. ¿Cómo son los lados del triángulo antimedial, comparados con los del ABC?

2. ¿Están alineados los vértices de ambos triángulos con los puntos medios de los
lados? Los puntos A, P y D, por ejemplo.

3. ¿Cómo son las medianas de ambos triángulos?

4. ¿Y los baricentros?

5. ¿Cómo es la distancia GD, comparada con la AG? (y GE con BG, y GF con CG)

6. El circuncentro del triángulo antimedial, ¿qué es en relación con el triángulo ABC?

7. Entonces, ¿el ortocentro H y el circuncentro M están alineados con el baricentro G?

8. ¿Cómo son las distancias MG y GH?

9. ¿Cuál será la recta de Euler de un triángulo isósceles?

10. ¿Hay algún tipo de triángulo que no tiene recta de Euler?

11. Dibuja el triángulo antimedial del ABC, y el ortocentro, circuncentro y baricentro
del triángulo ABC, asi como su recta de Euler.

99

Notas:

Esta actividad es claramente de ampliación, aunque la recta de Euler suele
mencionarse en la mayoría de los textos. Por otra parte, la alineación de Ortocentro,
Baricentro y Circuncentro y la relación entre sus distancias es importante para entender
muchas cuestiones de la geometría del triángulo.

100

Circunferencia de los 9 puntos o de Feuerbach

La Circunferencia de los nueve puntos, o de Feuerbach, de un triángulo pasa por los tres
puntos medios de los lados, los tres pies de las alturas y los tres puntos medios entre el
ortocentro H y los tres vértices. Marca las tres casillas para ver estos puntos y la
circunferencia que los contiene. Marca después las sucesivas casillas y contesta
razonadamente a las preguntas.

1. ¿Por qué son iguales y paralelos los segmentos B1A1 y A3B3?

2. ¿Por qué CH es perpendicular a AB?

3. ¿Por qué los cuatro vértices de un rectángulo están en una misma circunferencia de
centro el punto en que se cortan sus diagonales?

4. ¿Por qué es recto el ángulo B1B2B3?

5. ¿Por qué deben estar los nueve puntos en la misma circunferencia?

6. ¿Por qué HN es la mitad que HM y los tres puntos están alineados?

7. ¿Cómo son los triángulos formados por el ortocentro y dos de los tres vértices de un
triángulo acutángulo, cómo por ejemplo el ABH?

8. ¿Cuál es el ortocentro del triángulo ABH?

9. ¿Qué ocurre entonces si llevas el punto C hasta la posición que ocupaba H?.

10. ¿Cuáles son entonces las circunferencias de los nueve puntos de los triángulos ABH,
BCH y CAH?

11. Utilizando los instrumentos de dibujo, completa la figura de arriba con las alturas, el
ortocentro, el circuncentro y la circunferencia de Feuerbach. Marca los puntos que
están en ésta y su centro.

101

Notas:
Esta actividad es claramente de ampliación; la circunferencia de los nueve
puntos no se tratar casi nunca en los textos escolares. Pero es sin duda un resultado
curioso y a la vez, bastante asequible. Para su comprensión son necesarios solo
resultados bien conocidos por los alumnos.

102

Puntos, rectas, y circunferencias notables en el
triángulo

En esta pantalla puedes ver todos
los puntos notables, rectas y circun-
ferencias asociadas al triángulo que
has visto anteriormente.

Son muchos para verlos todos a la
vez, así que vete marcando o
desmar-cando casillas, según
necesites mostrar u ocultar los
distintos elementos.

1. En la figura, une con flechas los nombres de las rectas (Medianas, ...) con los puntos
en que se cortan (Ortocentro, ...).

2. ¿Cuál es la circunferencia circunscrita y cuál es su centro?

3. ¿Cuál es la circunferencia inscrita y cuál es su centro?

4. ¿Qué puntos se hallan en la recta de Euler?

5. ¿Cómo son las distancias del baricentro al ortocentro y al circuncentro?

6. ¿Donde se halla situado exactamente el centro de la circunferencia de los 9 puntos?

7. Describe los puntos que se hallan en la circunferencia de los nueve puntos.

8. ¿Qué posición relativa tienen la circunferencia de los 9 puntos y la inscrita?

9. ¿Qué son las circunferencias exinscritas?

10. ¿Qué posición relativa tienen la circunferencia de los 9 puntos y las exinscritas?

11. ¿Cuál es la recta de Euler si el triángulo es isósceles?

12. Indica todo lo que ocurre si el triángulo es equilátero.

13. ¿Cómo son las circunferencias circunscrita y de los 9 puntos si el triángulo es
acutángulo, rectángulo u obtusángulo?

14. ¿Qué puntos notables están fuera del triángulo cuando es obtusángulo?

15. ¿Dónde están esos puntos cuando es rectángulo?

103

Notas:

En esta actividad es una especie de compendio. En ella pueden verse todos los
puntos, rectas y circunferencias asociados a un triángulo vistos anteriormente. Permite
visualizar las relaciones que hay entre ellos, por lo que es un buen colofón al estudio de
la geometría del triángulo.

La batería de preguntas presentada es un tanto exhaustiva, pero como en todas
las actividades aquí presentadas, es solo un ejemplo. Pueden obviarse, por ejemplo, todo
lo relacionado con elementos menos básicos, como las circunferencias exinscritas, la de
los nueve puntos y la recta de Euler.

104

Segmentos paralelos a los lados

Contesta razonadamente a las preguntas. Puedes mover el punto D por el interior del
triángulo, así como los tres vértices, y usar las herramientas para medir ángulos,
distancias o áreas.

1. ¿De que tipo son los cuadriláteros AIDH, BEDJ y CGDF?

2. ¿Cómo son los triángulos DEF, DGH y DIJ comparados con el ABC?

3. ¿Cuánto suman los perímetros de los tres triángulos DEF, DGH y DIJ?

Haz coincidir ahora el punto D con el incentro K.

4. ¿Cómo son ahora los cuadriláteros?

5. ¿Cuánto vale el perímetro de cada triángulo?

Haz coincidir ahora el punto D con el baricentro O.

6. ¿Cuánto valen ahora las áreas de los cuadriláteros AIDH, BEDJ y CGDF
comparadas con la del triángulo ABC?

7. ¿Y las de los triángulos DEF, DGH y DIJ?

105

Notas:

Esta es una situación problemática sencilla en la que pueden ponerse en juego
los conocimientos de los alumnos. Para forzar a que el punto D coincida con el incentro
K o con el circuncentro O, puede introducirse en la línea de entrada “D=K” o “D=O”.

Pueden utilizarse las herramientas de la barra superior para medir, angulos, distancias o
superficies.
Para los ángulos debe marcarse, en este orden, un punto en un lado, el vértice y un
punto en el otro lado, siempre en sentido positivo, contrario al de las agujas del
reloj.
Para medir distancias, basta señalar los puntos.
En cuanto a las áreas, basta hacer clic en el interior del polígono deseado y, si hay
más de uno superpuesto, escoger el que interesa del menú emergente.

Después de utilizar cualquiera de estas herramientas, debe hacerse clic en la primera,
para que el ratón vuelva a funcionar para señalar y desplazar objetos.

106

Funciones trigonométricas

1. Mueve el deslizador
desde 0º hasta 360º. ¿Como
varía el seno cuando el
ángulo varía de 0º a 90º, de
90º a 180º, de 180º a 270º y
de 270º a 360º?

2. ¿Para que ángulos el
seno vale 0.75471?
¿Qué relación hay entre
ellos? ¿Y para cualquier
otro valor positivo del
seno?

3. Marca la casilla del coseno y desmarca la del seno. ¿Cómo varía el coseno cuando el
ángulo varía en cada cuadrante?

4. ¿Para qué ángulos el coseno vale 0.75471? ¿Qué relación hay entre ellos y con los
de la pregunta 2?

5. Vuelve a marcar la casilla del seno y sitúa el deslizador en un ángulo cualquiera x
mayor que 90º. ¿Qué ángulo menor que x tiene un coseno igual a sen(x)?

6. Desmarca la casilla ‘Circ. Goniom.’. ¿Qué ocurre con las gráficas de seno y coseno
antes de 0 y después de 2π?

7. Desmarca ‘Sen(x)’ y ‘Cos(x)’ y marca la ‘Tg(x)’ y tangente y ‘Circ. Goniom.’.
¿Cómo varía la tangente en los distintos cuadrantes?

8. ¿Qué ocurre cuando nos aproximamos a 90º desde ángulos menores que 90º? ¿Y si
nos aproximamos desde ángulos mayores que 90º?

9. Indica las diferencias más notables que encuentras entre las gráficas de sen(x) y
cos(x) de un lado, y tg(x) del otro.

10. Activa solo las casillas ‘Sen(x)’, ‘Tg(x)’, ‘x’ y ‘Valores’. En el primer cuadrante,
¿cómo se ordenan de menor a mayor x, sen(x) y tg(x)? ¿Para que valores de x la
diferencias entre x y los valores de sen(x) y tg(x) es mayor que 0.01? Haz lo mismo
con cos8x) y 1 – x^2.

107

Notas:

Con la circunferencia goniométrica activada solo se presentan ángulos entre 0 y
360º. Es útil para relacionar los valores de las razones trigonométricas con los
segmentos correspondientes, y ver como se generan las gráficas. Si se oculta, se
observan las gráficas en un intervalo más amplio, y el ángulo solo se rotula en radianes.
Es más adecuado para estudiar las características de las funciones.

Pueden compararse fácilmente los valores de las funciones cerca del origen, así
como sus aproximaciones más habituales (x, 1 – x2/2). A si mismo, pueden compararse
con otras aproximaciones, introduciendo las funciones correspondientes en la línea de
entrada. Por ejemplo, y aunque ello quede actualmente fuera del currículo del
bachillerato, las aproximaciones de Taylor. Pueden introducirse sucesivamente x –
x3/3!, x – x3/3! + x5/5!, ..., recuperando la entrada anterior con la tecla de dirección
“arriba”, modific´ndola y volviendo a pulsar la tecla “Return”. Las gráficas pueden
borrarse haciendo clic derecho sobre ellas.

Para ver la gráficca de la tangente para valores próximos a 90º o 270º, puede
hacerse zoom y/o desplazar la zona gráfica con las herramientas correspondientes de la
barra superior.

108

Teorema del Seno

1. Marca la casilla ‘A’. ¿Qué es hA, y que ángulo forma con el lado a?

2. En los triángulos ABD y ACD, hA es el _______ _______ al ángulo ___.

3. Mueve el punto A, hasta situarlo en la misma línea horizontal, pero a la izquierda de
B.¿Por qué sigue siendo hA = b·sen(C) = c·sen(A)?

4. Vuelve el punto A a su posición original y marca la casilla B. ¿Por qué se deduce
que son iguales los tres cocientes?

5. Recuerda: Para ángulos del primer cuadrante, cuanto ______ es el ángulo, _____es
su seno.

6. ¿Por qué de la igualdad de los tres cocientes se deduce que a ángulos mayores
corresponden lados mayores, al menos para triángulos acutángulos?

7. En el caso de que un ángulo sea obtuso, evidentemente es el mayor. Pero su
suplementario, ¿será mayor o menor que cada uno de los otros ángulos?

8. Por tanto, el seno del ángulo obtuso es ______ que los senos de los otros ángulos, y
para triángulos obtusángulos, al lado mayor corresponde el ángulo ______.

9. ¿Cómo puede calcularse el área del triángulo si son conocidos dos lados y el ángulo
que forman? Escribe una fórmula en la que no aparezca la altura.

109

Notas:

Puede verse fácilmente como cambia la demostración para triángulos
obtusángulos.

110

Teorema del Seno ampliado

Vamos a ver por cual es la constante de proporcionalidad entre los lados de un triángulo
y los senos de los ángulos opuestos. Para ello vete marcando las casillas y contesta a las
preguntas.

1. La circunferencia circunscrita a un triángulo es la que _____________________

2. ¿Por qué el ángulo A’C’B’ es recto?

3. ¿Por qué son iguales los ángulos en A y A’?

4. ¿Por qué son iguales los seis cocientes?

5. ¿Cuánto vale c’/sen(C’)?

6. Sabes que el área de un triángulo puede calcularse como la mitad del producto de
dos lados por el seno del ángulo que forman, S = (1/2)a·b·sen(C) por ejemplo. Si
conocemos R y los tres lados, como puede calcularse S?

7. Escribe una fórmula para S en la que no aparezcan los ángulos, sino solo R y los
lados.

111

Notas:

En muchas ocasiones no se insiste, o ni siquiera se menciona, el valor de la
constante de proporcionalidad entre lados y senos de ángulos opuestos, pese a su
indudable interés y a la oportunidad de refrescar conocimientos geométricos básicos,
algo olvidados sin duda.

112

Teorema del Coseno

1. Marca la primera casilla. ¿Qué es hA y qué ángulo forma con el lado a?

2. Desplaza el punto A de manera que el punto D quede a la izquierda del B. ¿Qué
cambia?

3. Coloca ahora el punto A de manera que el punto D coincida con el B. ¿Qué cambia?

4. Lleva el punto A por encima del C, de manera que D coincida con C. ¿Qué cambia?

5. Finalmente, mueve al punto dos unidades hacia la derecha. ¿Qué cambia?

6. Vuelve a dejar el punto A en la posición inicial y marca la 2ª casilla. Desarrolla a
continuación por completo el cálculo que aparece:

7. Mueve el punto A las mismas posiciones que en los apartados 2, 3, 4 y 5. ¿Qué
cambia?

8. Marca la tercera casilla. ¿Puedes enunciar el teorema del coseno sin mencionar los
nombres de los lados y ángulos, de manera que comprenda las tres fórmulas que
aparecen aquí?

9. Marca la cuarta casilla. ¿Qué ocurre con los cosenos si se multiplican todos los
lados por una misma constante?

10. Es decir, dos triángulos con sus lados proporcionales, tienen _______ ángulos. Se
dice que son semejantes.

11. Si conoces solo las longitudes de los tres lados, ¿cómo puedes distinguir
rápidamente si se trata de un triángulo acutángulo, rectángulo u obtusángulo?
Observa que si un ángulo es obtuso o recto, debe ser el opuesto al lado mayor.

113

Notas:
Puede verse fácilmente como cambia la demostración para triángulos
obtusángulos, asi como su reducción al teorema de Pitágoras para triángulos
rectángulos.

115

Triángulo conocidos sus tres lados

1. ¿Siempre es posible construir el triángulo dadas tres longitudes a, b y c cualesquiera
para sus lados? Modifica el lado c y a la vista de cómo cambia el dibujo, di cuando
es posible y cuando no.

2. Esas condiciones se pueden resumir en una sola, la desigualdad triangular:
“El lado _____ de un triángulo es _______ que la suma de los otros dos”

3. Marca la casilla para ver como se calculan los ángulos. ¿Qué ocurre con los valores
que se obtienen para los cosenos si intentamos calcularlos aunque no se verifique la
desigualdad triangular?

4. ¿De que otra forma se puede calcular el tercer ángulo?

5. ¿Qué ventaja tiene hacerlo como se indica aquí?

6. Si se intercambian los centros de los arcos de radios b y c, se obtiene otro triángulo.
¿Cómo es respecto al que se ha trazado?

7. ¿Y si los arcos se cortan por debajo del lado a, en lugar de por encima?

116

Triángulo conocidos dos lados y el ángulo
comprendido

1. ¿Hay siempre solución?

2. ¿Es única?

3. De todos los triángulos que tienen las mismas longitudes de los laods a y b, pero
distinto ángulo C, ¿cuál tendrá mayor área?

4. ¿Cuánto vale?

5. Para resolver el triángulo, ¿por qué no puede empezrse aplicando el teorema del
seno?

6. ¿Por qué es preferible aplicar el teorema del coseno al del seno para hallar los otros
ángulos, una vez calculado el tercer lado?

118

Triángulo conocidos dos ángulos y el lado
comprendido

1. ¿Cuándo hay solución?

2. Cuando la hay, ¿es única?

3. ¿Cómo son los triángulos resultantes, si modificamos la longitud del lado a, pero no
los ángulos?

4. ¿Es importante que el lado sea el comprendido entre los dos ángulos, o podría ser
cualquiera?

120

Triángulo conocidos dos lados y el ángulo opuesto a
uno de ellos

1. Explica los pasos a seguir para construir el triángulo a partir de esos datos.

2. Describe las situaciones que pueden presentarse, indicando el número de soluciones
que hay en cada caso.

3. Cuando hay dos soluciones, como son los ángulos opuestos al lado a en cada una de
ellas?

4. Si b > a, ¿cómo es el ángulo opuesto al lado a?

5. Marca la casilla ‘Resolución’ y observa como se distinguen cada una de los
situaciones anteriores.

6. ¿Por qué mótivos puede haber una sola solución?

7. ¿Podríamos empezar a resolverlo aplicando el teorema del seno?

8. Halla el valor del sen(A) en un ejemplo de cada una de las situaciones posibles.

9. Si lo resolvemos aplicando el teorema del seno, como se diferencian las distintas
situaciones posibles?

10. ¿Cuál de los dos procedimientos crees que es mejor y por qué?

122

Notas:

Se optó por una resolución basada en el teorema del coseno por considera que
así pueden entenderse mejor los diferentes casos que se presentan, especialmente
cuando existen dos soluciones, aunque en la práctica la resolución puede ser más
sencilla utilizando el teorema del seno.

123

Función Afín

Una función afín es un polinomio de primer grado: y = f(x) = m x + b.

1. ¿Cómo varía la gráfica de la función cuando cambia el valor de m?

2. En particular, ¿qué ocurre en los casos m < 0, m = 0 y m > 0?

3. ¿Cómo cambia la gráfica de la función al variar b?

4. ¿Qué representa el valor m?

5. ¿Y el b?

6. ¿La gráfica de la función siempre corta al eje OX?

7. ¿Cuándo no lo hace?

8. Cuando corta al eje OX, ¿en que punto lo hace?

9. ¿Cuándo pasa por el origen de coordenadas? En este caso se habla propiamente de
función lineal, aunque con frecuencia se les llama lineales aunque no pasen por el
origen de coordenadas.

10. ¿Cualquier recta puede ser la gráfica de una función afín? ¿Cuáles no?

124

Función cuadrática

Una función cuadrática es
una función polinómica de
2º grado:
y = f(x) = ax² + bx + c
a ≠0.
Su gráfica es una curva
llamada parábola, simé-trica
respecto a una recta, su eje,
que la corta en el vértice.

1. ¿Cómo cambia la
gráfica de la función
cuando varía el valor
del coeficiente a?

2. ¿Qué ocurre si a < 0,
a = 0 ó a > 0?

3 Sigue cambiando el valor de ‘a’, pero manteniéndolo positivo. ¿Varía la forma de la
gráfica?.

4. Sin cambiar los valores, y por tanto sin cambiar la gráfica, haz zoom para acercar o
alejar, haciendo clic cerca del vértice. ¿Parece que cambia la forma de la gráfica?

En realidad todas las parábolas tienen la misma forma. Parecen más ‘abiertas’ si solo
vemos las proximidades del vértice, y más ‘cerradas’ si vemos zonas más amplias. Al
variar ‘a’, no cambia la forma de la gráfica, solo la escala a la que vemos la curva.

5. ¿Cómo cambia la gráfica cuando cambia b? (activa las casillas ‘Vértice’ y ‘Eje’)

6. ¿Qué ocurre cuando cambia c?

7. Factoriza el polinomio de la figura. ¿Qué relación tienen los factores con los puntos
en que la gráfica corta al eje OX?

8. Modifica los valores de los coeficientes para que la gráfica sea tangente al eje OX.
¿Cómo se factoriza entonces el polinomio?

9. ¿Qué relación hay entre la coordenada x del vértice y los puntos de corte con el eje
OX, cuando los hay?

10. Cuándo no hay puntos de corte con el eje OX, la función es siempre positiva o
siempre negativa. ¿Tiene algo que ver el signo de ‘a’ en ello?

11. ¿En cuantos puntos puede cortar una recta a una parábola?

126

Sistema de ecuaciones lineales

1. Puesto que las soluciones de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas se
corresponden con los puntos en que se cortan las rectas, ¿Cuántas soluciones puede
tener? Modifica los coeficientes de ambas rectas, para tratar de ver todas las
posibilidades.

2. Entonces, hay ____ solución si las rectas son _______

3. No hay soluciones si las rectas son _________

4. Hay ___________ soluciones si las rectas _________

5. ¿Qué condición deben cumplir los coeficientes para que exisata una sola solución?

6. ¿Y para que no haya soluciones?

7. ¿Para que haya más de una solución?

8. ¿Cuántas soluciones hay en este último caso?

9. Para que la única solución sea x = 0, y = 0, ¿cómo tienen que ser los coeficicientes?

10. Si las rectas son casi paralelas, ¿qué ocurre con la solución cuando se varia
ligeramente uno de los coeficientes?

11. ¿Y si las rectas son casi perpendiculares?

128

Distancia entre dos puntos

1. ¿Cuándo valdrá cero la distancia entre dos puntos?

2. ¿Es lo mismo la distancia de A a B qué la distancia de B a A?

3. ¿Cómo se puede hallar la distancia entre dos puntos que están en la misma línea
horizontal o vertical?

4. ¿Cuál es la distancia del punto A(x, y) al origen de coordenadas?

5. Halla las distancias de los puntos A y B de la figura al punto C = (1, 5). ¿Qué es
mayor dAB ó dAC + dBC?

6. ¿Pasa lo mismo para cualquier otro punto?

7. ¿Cuántos puntos de coordenadas enteras puedes localizar que estén exactamente a
una distancia 5 del punto (2, 0)? _______ Márcalos en la figura de arriba.

8. ¿Habrá otros puntos, con coordenadas no enteras, que estén a una distancia 5 del
punto (2, 0)? ¿Q ué figura forman todos ellos?

.

130

Ecuación de la circunferencia

1. Halla la distancia de un punto P(x, y) genérico al punto A(1, 2), e iguálala a 3. Eleva
todo al cuadrado, desarrollando lo paréntesis:

2. Los valores de x e y que cumplen esa ecuación corresponden a puntos que están en
la circunferencia de centro A(1, 2) y radio 3. En general, cual es la ecuación de la
circunferencia con centro en el punto (a, b) y radio r?

3. ¿Cómo cambian los coeficientes de x e y cuando mueves vertical u horizontalmente
el centro? ¿Cuándo valen cero cada uno de ellos?

4. ¿Cambian estos coeficientes cuando varias el radio?

5. ¿Qué relación tienen estos coeficientes con las coordenadas del centro?

6. El término independiente, ¿cuándo es cero, positivo o negativo?

7. ¿Qué relación tiene el término independiente con las el centro y el radio?

8. Sustituye en la ecuación de la circunferencia de arriba, pasando el término
independiente a la izquierda, las coordenadas de dos puntos que estén en el interior
de la circunferencia, otros dos en el exterior y otros dos en la propia circunferencia.
Anota cuanto resulta el lado izquierdo de la ecuación en cada caso. ¿Qué conclusión
obtienes? Intenta justificarla.

9. Marca la casilla ‘Potencia’ y la siguiente, y mueve los puntos B y C. ¿Cuál es la
potencia del centro de la circunferencia?
.

132

Notas:
Inicialmente puede no presentarse correctamente la ecuación de la
circunferencia. Basta con mover ligeramente su centro, aunque se vuelva a dejar en el
mismo punto, para que se corrija el problema.

Lamentablemente, el término independiente de la ecuación general de la
circunferencia aparece sierre en el segundo miembro de la ecuación, en contra de lo
habitual.

Puede cambiarse el tipo de ecuación, de manera que se expliciten el centro y el
radio, haciendo clic derecho sobre la circunferencia, y escogiendo a continuación
“Propiedades”, “Álgebra” y “Ecuación”.

133

Parábola

1. Una parábola es ........
2. Los puntos de la parábola están a la misma distancia del foco que de la directriz.
¿Qué puntos están más cerca de la directriz que del foco, y cuales al contrario?

3. ¿Para que punto o puntos es más corto el radio vector?

4. Marca la 1ª casilla. ¿Por qué coinciden la mediatriz del segmento FQ y la bisectriz
del ángulo <QPF?

5. Marca la segunda casilla y mueve P’ a uno y otro lado de P. ¿Por qué es t la
tangente a la parábola en el punto P?

6. Como sabes, el rayo reflejado forma con la normal, la recta perpendicular a la
tangente, el mismo ángulo que el rayo incidente. Por ello, los rayos que inciden en
la parábola a lo largo de un eje secundario, se reflejan ______________, y los rayos
que provienen del foco, se reflejan según __________________.
7. Marca las restantes casillas. ¿Qué distancia recorren los rayos desde los puntos A1,
A2, ..., A6 hasta alcanzar el foco?

8. ¿Para que puntos de la parábola el radio vector tendrá longitud p?

9. ¿Cuál es la distancia del vértice al foco? ¿Y a la directriz?

10. La ecuación reducida de la parábola, cuando el foco está en el eje OX y el vértice en
el origen, es y^2 = 2px. ¿En ese caso, cuáles son las coordenadas del foco y la
ecuación de la directriz?
11. ¿Qué posiciones relativas pueden adoptar una recta y una parábola?

134

Notas:

En estas tres actividades dedicadas a las cónicas se insiste en sus propiedades
focales, a las que no se les suele dar un tratamiento suficiente pese a su importancia. Y
ello aunque las demostraciones no son complejas.

135

Elipse

1. La elipse es ____________________________________
2. ¿Por qué es simétrica respecto a ep y respecto a es?

3. ¿Entre que puntos hay una distancia a, b y c?

4. ¿A que es igual d + d’

5. ¿Qué relación hay entre a, b y c?

6. ¿Cuántas circunferencias focales tiene una elipse, y cuales son sus centros y radios?

7. Los puntos de la recta t distintos de P, ¿tienen que estar dentro, fuera o sobre la
elipse?
8. Si la recta tangente es la bisectriz de un radio vector y la prolongación del otro, la
recta normal es __________________________________________

9. Si P es un punto de la elipse, ¿Cuánto vale el perímetro del triángulo PFF’?

10. ¿Para que posición de P esa área es máxima y cuanto vale entonces?

11. Si un rayo proviene de un foco y se refleja continuamente en la elipse, ¿qué
trayectoria acaba recorriendo?

.

136

Notas:

En estas tres actividades dedicadas a las cónicas se insiste en sus propiedades
focales, a las que no se les suele dar un tratamiento suficiente pese a su importancia. Y
ello aunque las demostraciones no son complejas.

137

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