trabajo de conceptos básicos de valor numéricos, conjuntos numero reales,desigualdades

1. MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACION UNIVERSITARIA
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA TERRITORIAL DE LARA
“ANDRÉS ELOY BLANCO”
BARQUISIMETO, EDO. LARA
ESTUDIANTE:
RAFAEL JOSE JIMENEZ
CI:23.495.722
SECCION:
H 0172
Barquisimeto 13 de feb. de 23
MATEMATICA, CONJUNTO NUMEROS,
REALES DESIGUALDADES, VALOR
ADSOLUTO.

2. CONJUNTOS
Un con junto es una colección de elementos. Normalmente están caracterizados
por compartir alguna propiedad. Para que un conjunto esté bien definido debe ser
posible discernir si un elemento arbitrario está o no en él.
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
Además de relacionar los conjuntos a través de la contenencia y la igualdad,
podemos crear unos nuevos a través de las operaciones entre conjuntos. Aquí
aprenderás de que se trata.
UNIÓN DE CONJUNTOS
Supongamos que tenemos los conjuntos y definidos como se muestra en la
siguiente figura:
Podemos crear otro conjunto conformado con los elementos que pertenezcan a
M o a N. A este nuevo conjunto le llamamos unión de M y N, y lo notamos de la
siguiente manera: En la imagen de abajo puedes observar el resultado de unir los
conjuntos M y Y.

3. Al elegir qué elementos estarán en la unión de nuestros conjuntos M y N , debes
preguntarte cuáles están en el conjunto M “o” en el conjunto N. El resultado de la
operación será el conjunto conformado por todos los elementos del conjunto
universal U, que cumplan la condición de estar en uno o en otro. Tenemos en este
caso: 𝑀 ∪ 𝑁 = {𝑎, 𝑐, 𝑏, 𝑔, 𝑒, 1}
:
INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS
Sigamos tomando como ejemplo los conjuntos M y N definidos anteriormente.
Podemos determinar un nuevo conjunto conformado por los elementos que
nuestros conjuntos M y N tienen en común. A este nuevo conjunto le llamamos
intersección de M y N, y lo notamos de la siguiente manera: M ∩ N
.

4. Para determinar qué elementos pertenecen a la intersección de los conjuntos y
te puedes preguntar qué elementos están en M “y” en N. Todos los elementos del
conjunto ∪ que cumplan esta condición deberán estar en el conjunto M ∩ N. En la
figura de la arriba puedes ver la intersección de nuestros conjuntos M y N:
𝑀 ∩ 𝑁 = {𝑏}.
DIFERENCIA DE CONJUNTOS
En este caso se deben seleccionar los elementos de un conjunto que no estén
en el otro. Por ejemplo, si realizas la operación M menos N, debes seleccionar los
elementos de M que no están en N. Representamos la diferencia M menos N así:
MN. Observa que en este caso MN = { a ,c }.
DIFERENCIA SIMÉTRICA DE CONJUNTOS
En esta ocasión se deben escoger los elementos de M que no están en N, y los
elementos de N que no están en M. Puedes ver el resultado de la diferencia
simétrica entre M y N en la figura de abajo. Representamos la diferencia simétrica
a través del símbolo ∆ . En el caso de nuestros conjuntos M y N tenemos:
M ∆ N = { a, b, c, g,1, e }

5. COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO
La última operación que estudiaremos no es entre dos conjuntos. Decimos que el
complemento de M es el conjunto conformado por todos los elementos del
conjunto universal ∪ , que no pertenecen al conjunto M. Es común usar los
símbolos 𝑀𝑐
, 𝑀 𝑜 𝑀´, , o para representar el complemento del conjunto M.
Nosotros usaremos el símbolo 𝑀𝑐
. En nuestro caso tenemos:
𝑀𝑐
= { 𝑗, 𝑓, 𝑔, 1, 𝑒, 𝑖, ℎ } y 𝑁𝑐
= { 𝑖, ℎ, 𝑗, ℎ, 𝑎, 𝑐}

6. NÚMEROS REALES
Se puede definir a los números reales como aquellos números que tienen
expansión decimal periódica o tienen expansión decimal no periódica. Por
1. NUMEROS REALES: N = {0,1,2,3,4 … }
2. NUMEROS ENTEROS: Z = {−3, −2, −1,0,1,2,3 … . }
3. Los números racionales: que son cocientes de la forma p=q donde p 2 Z,
q 2 N, cuyo conjunto representamos por Q.
4. NUMEROS RACIONALES: Q = {
𝑎
𝑏
, 𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑍, 𝑏 ≠ 0 }
5. NÚMEROS IRRACIONALES: También conoces otros números como √2, 𝜋,
o el número e que no son números racionales y que se llaman, con una
expresión no demasiado afortunada, números irracionales.
6. NÚMEROS REALES: El conjunto formado por todos los números racionales
e irracionales se llama conjunto de los números reales y se representa por
R.

7. DESIGULDADES
La desigualdad matemática es aquella proposición que relaciona dos
expresiones algebraicas cuyos valores son distintos. Se trata de una proposición de
relación entre dos elementos diferentes, ya sea por desigualdad mayor, menor,
mayor o igual, o bien menor o igual. Cada una de las distintas tipologías de
desigualdad debe ser expresada con diferente signo (> o <, etcétera) y tendrá una
reacción a operaciones matemáticas diferente según su naturaleza. Por lo tanto, si
queremos explicar cuál es la finalidad de este concepto con el menor número de
palabras posibles diremos que; el objetivo de la desigualdad matemática es mostrar
que dos sujetos matemáticos expresan valores diferentes.
SIGNOS DE DESIGUALDAD MATEMÁTICA
Podemos sintetizar los signos de expresión de todas las desigualdades
matemáticas posibles en los cinco siguientes:
 Desigual a: ≠
 Menor que: <
 Menor o igual que: ≤
 Mayor que: >
 Mayor o igual que: ≥
Cada una de ellas debe relacionar dos elementos matemáticos. De modo que
implicaría que a es menor a b, mientras que “a>b” significa que a es mayor a b. En
el caso de “a≠b”, leeremos la expresión como a es desigual a b, “a≤b”; a es menor
o igual a b, y “a≥b” implica que a es mayor o igual a b.
Es también importante conocer que la expresión de desigualdad matemática “a≠b”
no es excluyente con las expresiones “a” y “a>b”, de modo que, por ejemplo, “a≠b”
y “a>b” pueden ser ciertas al mismo tiempo. Por otro lado, tampoco son excluyentes
entre sí las expresiones “a≥b” y “a>b” o “a≤b” y “a”.

8.  PROPIEDADES
Para operar con desigualdades debemos conocer todas sus propiedades:
 Si los miembros de la expresión son multiplicados por el mismo valor, no
cambia el signo de la desigualdad: 4x – 2 > 9 = 3(4x-2) > 3·9
 Si los miembros de la expresión son divididos por el mismo valor, no cambia
el signo de la desigualdad: 4x – 2 > 9 = (4x-2)/3 > 9/3
 Si los miembros de la expresión son sumados o restados por el mismo valor,
no cambia el signo de la desigualdad: 4x – 2 > 9 = 4x-2 -3 > 9 - 3 / 4x – 2 >
9 = 4x-2 +3 > 9+3
Y también debes saber aquellas propiedades en las que la desigualdad sí que
cambia de sentido:
 Si los miembros de la expresión son multiplicados por un valor negativo, sí
cambia de sentido: 4x – 2 > 9 = -3(4x-2) < -3·9
 Si los miembros de la expresión son divididos por un valor negativo, sí cambia
de sentido: 4x – 2 > 9 = (4x-2) / -3 < 9/-3.
VALOR ABSOLUTO
Básicamente podemos decir que el valor absoluto de un número se refiere al
valor que éste tenga sin importar el signo. A pesar de que en el campo del álgebra
el tamaño, el valor y el signo importan, existen algunos casos en las matemáticas y
la vida diaria en las que ese signo no es de importancia, sino que lo que realmente
importa es el tamaño, éste es el valor absoluto de un número. En su definición, el
concepto nos indica en otras palabras que el valor absoluto que tiene un
determinado número siempre será igual o mayor que 0 pero que nunca podrá ser
negativo. En este caso es importante mencionar que, debido a esto, el valor
absoluto que tienen los números, por ejemplo, 4 y -4 siempre será |4|.

9. Cuando se encuentra en una recta numérica, el valor absoluto se representa
como la distancia que se da desde un determinado punto de origen. En otras
palabras, si se recorren siete unidades a partir del cero hacia el lado izquierdo o
hacia el lado derecho, estaremos llegando en la recta al número 7 o -7, por lo que
el valor absoluto de estos valores siempre será de 7. Un aspecto importante del
valor absoluto es que éste se representa por medio de dos barras conocidas como
barras de valor absoluto. Es muy importante que cuando se trabaje con él, no se
confundan estas barras por paréntesis o corchetes pues en matemáticas, esto
podría cambiar todas las reglas e incluso las definiciones.
 FUNCIÓN
La principal función que tiene el valor absoluto es la de poder representar la
distancia que existe desde el origen o desde el cero de un número en una recta
numérica hasta llegar al número o punto de destino. Esta distancia siempre será
positiva o nula. La función del valor absoluto cuenta con su propia ecuación la cual
es: f(x) = |x|
Esta función, se representa por medio de distancias o intervalos los cuales son
conocidos con el nombre de trozos o tramos y éstos pueden ser calculados si se
siguen los pasos siguientes:
 Se igualará a cero la función, sin tomar el valor absoluto y luego se calculas
las raíces o los valores de x.
 Se crean intervalos con las raíces de los valores de x y luego se evalúa el
signo de cada uno de estos intervalos.
 La función se define entonces en intervalos teniendo siempre en cuenta que
cuando la x es negativa, el signo de la función se cambia.

10. EJEMPLOS DE VALOR ABSOLUTO
 |-107| = 107 (el valor absoluto de -107 es 107)
 |2,34353| = 2,34353 (el valor absoluto de 2,34353 es 2,34353)
 |⅛| = ⅛ (el valor absoluto de ⅛ es ⅛)
 |43| = 43 (el valor absoluto de 43 es 43)
 |-¼| = ¼ (el valor absoluto de -¼ es ¼)
EJEMPLOS DE VALOR ABSOLUTO EN OPERACIONES
 |45 + 17| – 12 = |62| – 12 = 62 – 12 = 50
 |119 – 200| = |-81| = 81
 200 * |-2| = 200 * 2 = 400
 |49 / -7| = |-7| = 7
 356 + |-100| = 356 + 100 = 456

11. DESIGUALDADES DE VALOR ABSOLUTO
Una desigualdad de valor absoluto es una desigualdad que tiene un signo de
valor absoluto con una variable dentro.
Desigualdades de valor absoluto (<):
La desigualdad | x | < 4 significa que la distancia entre x y 0 es menor que 4.
Así, x > -4 Y x < 4. El conjunto solución es.
Cuando se resuelven desigualdes de valor absoluto, hay dos casos a considerar.
 Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva.
 Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa.
La solución es la intersección de las soluciones de estos dos casos. En otras
palabras, para cualesquiera números reales a y b, si | a | < b , entonces a < b Y a >
- b .
EJEMPLO 1:
Resuelva y grafique. | x – 7| < 3
Para resolver este tipo de desigualdad, necesitamos descomponerla en una
desigualdad compuesta.
x – 7 < 3 Y x – 7 > –3
–3 < x – 7 < 3
Sume 7 en cada expresión.
-3 + 7 < x - 7 + 7 < 3 + 7 = 4 < x <10
La gráfica se vería así:

12. Así, x < -4 O x > 4. El conjunto solución es . Cuando se resuelven
desigualdes de valor absoluto, hay dos casos a considerar.
 Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva.
 Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa.
En otras palabras, para cualesquiera números reales a y b , si | a | > b , entonces a
> b O a < - b .
EJEMPLO 2:
Resuelva y grafique.
Separe en dos desigualdades.
Reste 2 de cada lado en cada desigualdad.
La gráfica se vería así:

13. EJERCICIOS
 Clasifica los números
 Valor Absoluto.
Representa en la recta real los números que verifican las siguientes
relaciones:
 Desigualdades.
 Resuelve y grafica la desigualdad 3x−5>13x−5>1.
 Resuelve y grafica la desigualdad 4x+2≥2x+104x+2≥2x+10
 Resuelve la desigualdad 2(3x−3)>4x2(3x−3)>4x.
 Conjuntos

14. SOLUCIÓN
Notemos que es un número irracional, esto es, en donde
, son los números racionales. Se sabe que el producto, división, suma o resta
entre un número irracional y uno racional es un número irracional, por lo tanto,
tenemos que es irracional.
Observemos que podemos resolver esta raíz de manera exacta, esto es,
, en donde y son números enteros, por lo tanto
Todo número que tenga decimal periódico se puede expresar como fracción, esto
significa que todo número con decimal periódico es un número racional. De hecho,
tenemos que, esto comprueba que se trata de un número
racional.
Las raíces de números negativos nunca han pertenecido a los números reales,
estos números pertenecen a una extensión de los números reales conocido como
los números complejos . Dicho lo anterior, este número es un número complejo.

15. Al tener una fracción entre números enteros es claro que tenemos con número
racional, sin embargo, si efectuamos la división, tenemos que esta fracción es
equivalente al número entero. Dicho lo anterior, tenemos que.
Valor absoluto
Notemos que, por definición de valor absoluto, las siguientes igualdades son
equivalentes
En donde la última desigualdad implica que
Notemos que, por definición de valor absoluto, las siguientes igualdades son
equivalentes
En donde la última desigualdad implica que

16. Notemos que por definición de valor absoluto, las siguientes igualdades son
equivalentes.
En donde la última desigualdad implica que o , lo
cual lo podemos expresar en términos de la unión de conjuntos como
.
Notemos que, por definición de valor absoluto, las siguientes igualdades son
equivalentes.
En donde la última desigualdad implica que o , lo cual
lo podemos expresar en términos de la unión de conjuntos como
.
 Desigualdades
 Para despejar la variable, sumamos 5 ambos lados de la desigualdad:
3x−5+5>1+53x−5+5>1+5
 Luego de simplificar, la expresión se reduce a:
3x>63x>6

17.  Para resolver, dividimos ambos lados por 3:
33x>63 33x>36
x>2x>2
 Graficamos la desigualdad con un punto abierto, ya que el 2 no está incluido
en la solución. La solución es todos los números hacia la derecha del 2:
En este caso, tenemos variables en ambos lados. Tenemos que mover las
variables a un solo lado y las constantes al otro. No importa cuál lado contenga las
variables, pero es estándar mover las variables a la izquierda:
 Empezamos con el problema original:
4x+2≥2x+104x+2≥2x+10
 Restamos 2 y 2x de ambos lados para despejar la variable:
4x+2−2−2x≥2x+10−2−2x4x+2−2−2x≥2x+10−2−2x
 Simplificando la desigualdad, tenemos:
2x≥82x≥8
 Dividimos ambos lados por 2 y simplificamos para obtener la respuesta:
22x≥82 22x≥28
x≥4x≥4
 Aquí, el 4 sí es parte de la solución, por lo que usamos un punto cerrado
para indicar esto:

18. En este caso, tenemos paréntesis, por lo que usamos la propiedad distributiva para
eliminar paréntesis y simplificar:
 Escribimos el problema original:
2(3x−3)>4x2(3x−3)>4x
 Aplicamos la propiedad distributiva:
2(3x)+2(−3)>4x2(3x)+2(−3)>4x
6x−6>4x6x−6>4x
 Sumamos 6 de ambos lados y restamos 4x para despejar la variable:
6x−6+6−4x>4x+6−4x6x−6+6−4x>4x+6−4x
 Luego de simplificar, la expresión se reduce a:
2x>62x>6
 Al dividir ambos lados por 2, tenemos:
22x>62 22x>26
x>3x>3

19.  CONJUNTOS
1.
2.

20. Fuente: https://www.ejemplos.co/valor-absoluto/#ixzz7tEcCtYAW
https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topics/absolute-
value-inequalities
https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/aritmetica/reales/ejercicios-
y-problemas-resueltos-de-numeros-reales-i.html
https://www.neurochispas.com/wiki/ejercicios-de-desigualdades/
https://profe-alexz.blogspot.com/2021/06/conjuntos-extension-comprension.html