Dokumen tersebut membahas tentang grup siklik, termasuk definisi, contoh, teorema, dan latihan soalnya. Grup siklik dijelaskan sebagai grup yang dibangun oleh satu generator, dan subgrup siklik adalah subgrup yang dibangun oleh satu unsur. Beberapa contoh grup siklik dan subgrup siklik diberikan beserta buktinya.

1. GRUP SIKLIK
OLEH
Nurul Fajriah
Rahmawati Indah Lestari. S
Dosen Pengasuh :
1. Dr. Darmawijaya
2. Dr. Nila Kesumawati

2. 1 CONTOH 1
CONTOH 2
DEFINISI 2
3 CONTOH 3
CONTOH 4
1 CONTOH 5
SIKLIK
2 CONTOH 6
TEOREMA
CONTOH 7
3 CONTOH 8
4 CONTOH 9
LATIHAN
SOAL

3.  Definisi 1 : Grup Siklik (terhadap penjumlahan)
Grup G (G, +) disebut siklik, bila ada elemen
sedemikian sehingga .
Elemen a disebut generator dari grup siklik
tersebut.
(Fadli, 2010 : 55)
MAIN
MENU

4. CONTOH 1 :
Misalkan G = {0, 1, 2, 3} adalah suatu
Grup terhadap penjumlahan (G,+).
Buktikan bahwa G tersebut adalah
grup siklik.
Penyelesaian
Diketahui : G = {0, 1, 2, 3}
Ditanya : Tentukan grup siklik dan
subgrup siklik dari G!
MAIN
MENU

5. G = {0, 1, 2, 3}
= {1.2, 2.2, …}
= {1.0} = {2, 0}
= {0}
= {1.3, 2.3, 3.3, 4.3,…}
= {1.1, 2.1, 3.1, 4.1, …} = {3, 2, 1, 0}
= {1, 2, 3, 0}
Karena G = <1> = <3> = {0, 1, 2, 3}, dengan kata
lain 1 dan 3 adalah generator dari G,
Maka G = {0, 1, 2, 3} merupakan grup siklik.
MAIN
MENU

6.  Definisi 2 : Grup Siklik (terhadap perkalian)
Grup G (G, .) disebut siklik, bila ada elemen
sedemikian sehingga .
Elemen a disebut generator dari grup siklik tersebut.
(Gallian, 2008 : 72)
Suatu grup G dan suatu unsur , jika grup G dapat
dinyatakan sebagai , maka g dikatakan pembangun dari
grup G dan grup G disebut Grup Siklik, biasanya
dinotasikan G = <g>
(Muchlisah, 2005 : 58)
MAIN
MENU

7. CONTOH 2 :
Misalkan G = {-1, 1} adalah suatu Grup
terhadap operasi perkalian (G, .).
Buktikan bahwa G adalah grup siklik.
Penyelesaian :
Diket : G = {-1, 1}
Dit : Buktikan G adalah grup siklik.
MAIN
MENU

8. Jawab :
G = {-1, 1}
<-1> = {(-1)1, (-1)2, …}
= {-1, 1}
<1> = {11, 12, …}
= {1}
Karena G = <-1> = {-1, 1}, dengan kata lain
-1 adalah generator dari G,
maka G = {-1, 1} merupakan grup siklik.
MAIN
MENU

9.  Definisi 3 : Sub Grup Siklik
(G, *) adalah suatu grup dan, maka generator a yang
membangun suatu subgroup <a> dinamakan sub grup siklik
dari (G, *)
(Fadli, 2010 : 55)
 Jadi yang dimaksud dengan Sub Grup Siklik
yaitu suatu subgrup yang dibangkitkan oleh satu
unsur.
MAIN
MENU

10. CONTOH 3 : Bukti
Buktikan bahwa Z8 adalah grup Z8 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
siklik. Kemudian tentukan sub grup
sikliknya!
= {1.0} = {0}
Penyelesaian :
Diketahui :
= {1.1, 2.1, 3.1, 4.1, 5.1, 6.1,
Z8 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} 7.1, 8.1, …}
Ditanya : = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 0}
- apakah Z8 grup siklik?
- tentukan subgrup siklik dari Z8 = {1.2, 2.2, 3.2, 4.2, …}
Jawab : = {2, 4, 6, 0}
= {1.3, 2.3, 3.3, 4.3, 5.3, 6.3, 7.3,
8.3, …}
= {3, 6, 1, 4, 7, 2, 5, 0}
MAIN
MENU

11. Karena terdapat <a> = G
= {1.4, 2.4, …} yaitu 1, 3, 5 dan 7 maka Z8
adalah Grup Siklik.
= {4, 0}
Yang merupakan subgrup
= {1.5, 2.5, 3.5, 4.5, 5.5, 6.5,
sikliknya yaitu
7.5, 8.5, …}
<2> = {2, 4, 6, 0}
= {5, 2, 7, 4, 1, 6, 3, 0}
<4> = {4, 0}
<6> = {6, 4, 2, 0}
= {1.6, 2.6, 3.6, 4.6, …}
= {6, 4, 2, 0}
= {1.7, 2.7, 3.7, 4.7, 5.7, 6.7,
7.7, 8.7, …}
= {7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0}
MAIN
MENU

12. CONTOH 4 :
Buktikan bahwa U(10) adalah grup siklik.
Kemudian tentukan sub grup sikliknya!
Penyelesaian :
Diketahui : U(10) = {1, 3, 7, 9}
Ditanya : - apakah U(10) grup siklik?
- tentukan subgrup siklik dari U(10)
MAIN
MENU

13. Jawab : Bukti
U(10) = {1, 3, 7, 9}
<1> = {11, 12, 10…}
= {1} …………………. <1> ≠ U(10)
<3> = {31, 32, 33, 30, …}
= {3, 9, 7,1} …………. <3> = U(10)
<7> = {71, 72, 73, 70,…}
= {7, 9, 3, 1} ………… <7> = U(10)
<9> = {91, 92, 93, 90,…}
= {9, 1,…} ………….. <9> ≠ U(10)
Karena terdapat <a> = G yaitu 3 dan 7 maka U(10) adalah Grup
Siklik.
Yang merupakan subgrup sikliknya yaitu <1> = {1} dan <9> = {1, 9}
MAIN
MENU

14.  Teorema 1 :  ak =  agcd(n,k)
Let a be an element of order n in a group and let k be a positive
integer.
Then ak = agcd(n,k) and  ak = n/gcd(n,k).
 Akibat 1 : Generator dari finite group siklik
G=<a>adalah group siklik dengan order n, maka G=<ak>jika
dan hanya jika FPB (k,n) =1
 Akibat 2 : Generator Zn
Dengan bilangan bulat k dalam Zn, adalah generator dari Zn jika
dan hanya jika gcd (n, k) = 1
MAIN (Gallian, 2008 : 76)
MENU

15. CONTOH 5 :
Dari acuan teorema 1 akibat 1, tentukan semua generator
dari grup siklik U(50)!
|U(50)| = 20 dan 3 adalah salah satu dari generatornya.
Demikianlah, dalam melihat teorema 1, daftar pelengkap
dari generator-generator untuk U(50) adalah
31 mod 50 = 3 311 mod 50 = 47
33 mod 50 = 27 313 mod 50 = 23
35 mod 50 = 43 37 mod 50 = 37
317 mod 50 = 13 39 mod 50 = 33
319 mod 50 = 17 320 mod 50 = 1
MAIN
MENU

16.  Teorema 2 :Teorema Dasar Grup Siklik
Setiap subgrup pada sebuah grup siklik adalah grup
siklik itu pula. Lebih-lebih jika |<a>|= n, lalu
order pada subgrup <a>adalah sebuah pembagi n
dan atau setiap k pembagi positif pada n, grup
memiliki tepat satu subgrup berorder k, yaitu
(Gallian, 2008 : 77)
MAIN
MENU

17. Contoh 6 :
Jika k adalah pembagi dari 30, subgrup order k adalah
Jadi daftar subgrup dari dan daftar subgrup dari Z30 adalah :
Daftar Subgrup <a> Order
Order 30
Order 15
Order 10
Order 6
Order 5
Order 3
Order 2
Order 1
MAIN
MENU

18.  Akibat Teorema 2 : Subgrup Zn
Untuk setiap pembagi positif k pada n,
himpunan <n/k> adalah subgrup
tunggal pada order k, lebih dari itu,
hanya ada subgrup dalam
MAIN
MENU

19. Contoh 7 :
Berdasarkan dari contoh 6 di atas bahwa daftar
subgrup dari Z30 adalah :
Daftar Subgrup Z30 Order
Order 30
Order 15
Order 10
Order 6
Order 5
Order 3
Order 2
MAIN Order 1
MENU

20.  Teorema 3 : Jumlah pada Unsur Setiap Order
dalam Grup Siklik.
Jika d adalah sebuah pembagi positif pada n,
angka pada unsur dalam order d dalam sebuah
grup siklik pada order n adalah
 Akibat : Jumlah unsur pada elemen order
adalah finite grup
Dalam grup finit, jumlah elemen order d
habis dibagi oleh
(Gallian, 2008 : 80)
MAIN
MENU

21. Contoh 8 :
Tentukan subgrup dari Z12 dan buat diagram lattice
Ambil a= 2 dimana <2> = {0,2,4,6,8,10}.
Berdasarkan teorema 4.2 maka:
21 = 2 24 = 8
22 = 4 25 = 10
23 = 6 26 = 0
Apabila 2 dipangkatkan sampai n dimana n є Z hasilnya tetap
berada pada <2> sehingga tertutup terhadap operasi pada
Z12. Akibatnya <2> merupakan subgrup dari Z12.
Dengan cara serupa ambil a=3 dimana <3> = {0,3,6,9}
sehingga diperoleh:
31 = 3 35 = 3
32 = 6 36 = 6
MAIN 33 = 9 37 = 9
MENU 34 = 0 38 = 0

22. Dari hasil di atas <3> merupakan subgrup dari Z12.
Selanjutnya ambil a=4 dimana <4>={0,4,8}.
Berdasarkan teorema 2 maka:
41=4 44=4
42=8 45=8
43=0 46=0
Apabila 4 dipangkatkan sampai pangkat ke-n, dimana
n є Z hasilnya akan sama dengan order dari <4>
yaitu <4> = {0, 4, 8} sehingga tertutup terhadap
operasi di Z12 akibatnya <4> merupakan subgrup
dari Z12.
MAIN
MENU

23. Ambil a = 6 dimana <6> = {0, 6} dengan cara yang
sama diperoleh:
61=6 63=6
62=0 64=0
Dengan memangkatkan a sampai pangkat ke-n
hasilnya akan sama dengan <6> sehingga <6>
tertutup terhadap operasi di Z12 akibatnya <6>
merupakan subgrup dari Z12.
Dari hasil diatas dapat disimpulkan <2>, <3>,
<4>, dan <6> merupakan subgrup dari Z12
<2>, <3>, <4>, dan <6> merupakan subgrup
sejati nontrivial dari Z12 dan <0> merupakan
subgrup trivial dari Z12.
MAIN
MENU

24.  Diagram lattice Z12
Z12
<3> <2>
<6> <4>
<0>
MAIN
MENU

25.  Teorema 4 :
Setiap Grup Siklik adalah GrupAbelian.
(Muchlisah, 2005 : 59)
Contoh 9 :
Dari Contoh 1, tunjukan bahwa Grup Siklik tersebut
merupakan Grup Komutatif.
MAIN
MENU

26. Penyelesaian : x + y = na + ma
Generator 1 dan 3 = (n + m) a
adalah membangun suatu = 1.3 + 2.3
Grup Siklik dari Grup = (1 + 2).3
G = {0, 1, 2, 3} terhadap = 3.3 = 1
penjumlahan (G,+).
Misal Ambil n = 1 dan m
= 2, dan generator a = 3 y + x = ma + na
= (m + n) a
= 2.3 + 1.3
= (2 + 1).3
= 3.3 = 1
Jadi, Grup Siklik G = {0,
1, 2, 3} merupakan Grup
MAIN Komutatif.
MENU

27. MAIN
MENU