1. Métodos de resolución de sistemas de
ecuaciones lineales
Introducción
Resolver un sistema de ecuaciones lineales es encontrar todas sus soluciones.
Los métodos de igualación, sustitución y reducción consisten en encontrar y resolver,
para cada una de las incognitas, una ecuación con esa incognita y con ninguna otra (
convirtiendo así un problema dificil en uno mas facil, ¿no?).
A estas ecuaciones, con solo una incognita, se llega a traves de una serie de pasos en los
que las ecuaciones intermedias que se van obteniendo tienen menos incognitas que las
ecuaciones previas.
Así, es posible que en uno de estos pasos de eliminación de incognitas se utilize un
método ( el de reducción, por ejemplo ) y que, en el siguiente paso, se utilize otro
método ( el de igualación, por ejemplo ).
Cada vez que se encuentra la solución para una incognita, se sustituye esta incognita por
su solución para obtener asi ecuaciones con menos incognitas.
Los métodos de igualación, sustitución, reducción y Gauss se pueden utilizar para
resolver sistemas de ecuaciones compatibles determinados e indeterminados.
Estos mismos métodos tambien pueden utilizarse para comprobar si un sistema de
ecuaciones es compatible o no. La utilizacion de cualquiera de ellos conduciria, en el
caso de que el sistema fuese incompatible, a una igualdad que es falsa, por ejemplo:

2. El método de la matriz inversa y la regla de Cramer solo se pueden utilizar en el caso de
que el sistema de ecuaciones lineales sea compatible determinado.
[editar] Método de reducción
Consiste en multiplicar ecuaciones por numeros y sumarlas para reducir el número de
incognitas hasta llegar a ecuaciones con solo una incognita.
Multiplicar una ecuación por un número consiste en multiplicar ambos miembros de la
ecuación por dicho número.
Sumar dos ecuaciones consiste en obtener una nueva ecuación cuyo miembro derecho (
izquierdo ) es la suma de los miembros derechos ( izquierdos ) de las ecuaciones que se
suman.
[editar] Ejemplo
Multiplicando la primera ecuación por 3 y la segunda por -5, se obtienen las ecuaciones
El sumar ambas ecuaciones nos da la ecuación
que es una ecuación con una sola incognita y cuya solución es
La elección de los factores 3 y -5 se ha hecho precisamente para que la desaparezca al
sumar ambas ecuaciones.

3. Sutituyendo por uno en la primera ecuación del sistema de ecuaciones de partida, se
obtiene
que es otra ecuación con una sola incognita y cuya solución es
.
Texto en negrita'Texto en cursiva
[editar] Método de igualación
El método de igualación consiste en lo siguiente:
Supongamos que tenemos dos ecuaciones:
donde , , y representan simplemente los miembros de estas ecuaciones ( son
expresiones algebraicas ).
De las dos igualdades anteriores se deduce que
Si resulta que una incognita del sistema de ecuaciones no aparece ni en ni en ,
entonces la ecuación
no contendría dicha incognita.
Este proceso de eliminación de incognitas se puede repetir varias veces hasta llegar a
una ecuación con solo una incognita, digamos .
Una vez que se obtiene la solución de esta ecuación se sustituye por su solución en
otras ecuaciones dode aparezca para reducir el número de incognitas en dichas
ecuaciones.

4. [editar] Ejemplo
El sistema de ecuaciones
es equivalente a este otro
El segundo sistema lo he obtenido pasando los terminos en del miembro de la
izquierda al miembro de la derecha en cada una de las ecuaciones del primer sistema.
Del segundo sistema se deduce que
que es una ecuación con una sola incognita cuya solución es
.
Sustituyendo por 1 en la primera ecuación del sistema de partida se tiene que
que es una ecuación con una sola incognita y cuya solución es
.
[editar] Método de sustitución
Supongamos que un sistema de ecuaciones se puede poner de la forma
Entonces podemos despejar en la segunda ecuación y sustituirla en la primera, para
obtener la ecuación:

5. Lo que se busca es que esta ecuación dependa de menos incognitas que las de partida.
Aqui
y
son expresiones algebraicas de las incognitas del sistema.
[editar] Ejemplo
Intentemos resolver
La primera ecuación se puede reescribir de la forma
Por otra parte, de la segunda ecuación del sistema se deduce que
Sustituyendo
por
en
se tiene que
que es una ecuación con solo una incognita y cuya solución es
.
Sustituyendo por uno en la primera ecuación del sistema de ecuaciones de partida
obtenemos una ecuación de una sola incognita
cuya solución es
.

6. [editar] Método de Gauss
Gauss es uno de los matematicos mas importantes de todos los tiempos. ¡Fue un GENIO!
El método de Gauss consiste en transformar el sistema dado en otro equivalente. Para
ello tomamos la matriz ampliada del sistema y mediante las operaciones elementales
con sus filas la transformamos en una matriz triangular superior ( o inferior ). De esta
forma obtenemos un sistema equivalente al inicial y que es muy facil de resolver.
Es esencialmente el método de reducción. En el método de Gauss se opera con
ecuaciones, como se hace en el método de reducción, pero uno se ahorra el escribir las
incognitas porque al ir los coeficientes de una misma incognita siempre en una misma
columna, uno sabe en todo momento cual es la incognita a la que multiplican.
[editar] Ejemplo
La matriz ampliada del sistema de ecuaciones:

7. es:
Si a la tercera y segunda fila le restamos la primera, obtenemos:
Lo que acabamos de hacer es equivalente a restar a la tercera y segunda ecuación la
primera.
Si ahora intercambiamos la segunda y tercera filas ( ecuaciones ), obtenemos la
siguiente matriz triangular superior:
que es la matriz ampliada del sistema de ecuaciones:
que es equivalente al inicial.

8. Solucionamos la tercera ocuacion para obtener
:
En la primera y segunda ecuación, sustituimos
(
), para obtener:
por la solucion de la tercera ecuación
La segunda ecuación es ahora una ecuación con una sola incognita, , que resolvemos
para obtener
. Sustituimos, en la primera ecuación,
por 1 (
).
Esto nos da una ecuación en
:
que al resolverla termina de darnos la solución del sistema de ecuaciones inicial:
[editar] Método de la matriz inversa
Un sistema de ecuaciones lineales se puede escribir en forma matricial:

9. Si
existe, es decir, si
es una matriz cuadrada de determinante no nulo,
entonces podemos multiplicar toda la igualdad anterior por la izquierda por
, para
obtener:
que es la solución del sistema de ecuaciones lineales de matriz de coeficientes
matriz de terminos independientes
.
y
[editar] Regla de Cramer
Gabriel Cramer nacio Ginebra ( Suiza ) 1704 y murio en 1752. A él le debemos la regla que lleva
su nombre. ¡Gracias Gabriel por tu contribución a las Matemáticas!
Esta regla es un método de resolución de sistemas de ecuaciones lineales que se puede
utilizar cuando la matriz
de coeficientes del sistema es cuadrada y de determinante
no nulo. El que
sea cuadrada significa que el numero de incognitas y el numero de
ecuaciones coincide.
Cuando el sistema de ecuaciones

10. satisface las condiciones arriba mencionadas, su solución viene dada por:
En general
donde
es la matriz que se obtiene sustituyendo la i-esima columna de
matriz de los terminos independientes,
.
[editar] Ejemplo
Consideremos el sistema de ecuaciones:
por la

11. En este sistema de ecuaciones lineales, la matriz
cuadrada y
Cramer para resolverlo:
de los coeficientes es una matriz
. Por lo tanto, podemos aplicar la regla de