2. DEFINICIÓN
Un sistema de coordenadas es un método que usa uno o más números, llamados
coordenadas, para establecer inequívocamente la posición de un punto o de un
objeto geométrico en el espacio.
Las coordenadas se expresan en forma de tuplas ordenadas, dos coordenadas
forman una dupla, tres un trío, cuatro una cuádrupla, y así sucesivamente; el que
sean ordenadas significa que el orden en que se escriben las coordenadas es muy
importante, ya que escribirlas con un ordenamiento diferente hará referencia a otra
ubicación, es más, muchas veces se identifica a las coordenadas por su ubicación en
la tupla ordenada.
3. ORIGEN DE COORDENADAS
El origen de coordenadas es el punto de referencia de un sistema de coordenadas.
En este punto, el valor de todas las coordenadas del sistema es nulo. Por ejemplo,
(0,0) en dos dimensiones y (0,0,0) en tres.
Sin embargo, en algunos sistemas de coordenadas no es necesario establecer nulas
todas las coordenadas. Por ejemplo, en un sistema de coordenadas esféricas es
suficiente con establecer el radio nulo (p=0), siendo indiferentes los valores de
latitud y longitud.
En un sistema de coordenadas cartesianas, el origen es el punto en que los ejes del
sistema se cortan.
4. CAMBIOS DE COORDENADAS
En la resolución de problemas físicos y matemáticos es común la estrategia del
cambio de coordenadas. En esencia un cambio de coordenadas supone cambiar las
variables de las que a depende el problema, a otras coordenadas diferentes en las
que el problema puede tener una forma equivalente pero más simple, que permite
encontrar la solución con mayor facilidad.
Más formalmente un cambio de coordenadas puede representarse por
un difeomorfismo o aplicación biyectiva y diferenciable (con inversa también
diferenciable) entre dos conjuntos de Rn.
6. SISTEMA DE COORDENADAS
CARTESIANAS
Las coordenadas cartesianas son las más utilizadas, este tipo de coordenadas se
ubican en un plano cartesiano al que están asociados los ejes ‘x’, ‘y’ y ‘z’.
Todos los ejes coordenados deben estar escalados bajo el mismo criterio y ser
perpendiculares entre sí, estos ejes pueden conformar un sistema bidimensional o
tridimensional dependiendo de si está formado por dos o tres ejes.
Las tuplas ordenadas de este sistema de referencia tendrán la forma de pares
ordenados (x,y) o tríos ordenados (x,y,z), en ambos casos el origen del sistema de
referencia será el punto de intersección entre los dos o tres ejes y será en relación a
éste punto que se medirán las distancias.
7. SISTEMA DE COORDENADAS POLARES
Las coordenadas polares o sistema de coordenadas polares son un sistema de coordenadas
bidimensional en el que cada punto del plano se determina por una distancia y un ángulo.
Este sistema es ampliamente utilizado en física y trigonometría.
De manera más precisa, como sistema de referencia se toma:
a) Un punto O del plano, al que se llama origen o polo.
b) Una recta dirigida (o rayo, o segmento OL) que pasa por O, llamada eje polar
(equivalente al eje x del sistema cartesiano).
Con este sistema de referencia y una unidad de medida métrica (para poder asignar
distancias entre cada par de puntos del plano), todo punto P del plano corresponde a un
par ordenado (r, θ) donde r es la distancia de P al origen y θ es el ángulo formado entre el
eje polar y la recta dirigida OP que va de O a P. El valor θ crece en sentido antihorario y
decrece en sentido horario. La distancia r (r ≥ 0) se conoce como la «coordenada radial» o
«radio vector», mientras que el ángulo es la «coordenada angular» o «ángulo polar».
En el caso del origen, O, el valor de r es cero, pero el valor de θ es indefinido. En ocasiones
se adopta la convención de representar el origen por (0,0º).
8. SISTEMA DE COORDENADAS
ESFÉRICAS
Las coordenadas polares son un sistema de coordenadas tridimensional basado en
la misma idea que las coordenadas polares, en este sistema la ubicación de un
punto en el espacio está determinada por una distancia y dos ángulos.
El sistema de referencia está compuesto por tres ejes perpendiculares entre sí y un
punto “O”, denominado origen, que corresponde al punto de intersección de los
tres ejes. De esta forma un punto “P” queda representado por el trio ordenado (r, θ,
φ), donde “r” es la distancia de “P” al origen, “θ”(colatitud) es el ángulo formado
entre el eje “z” y la recta “OP” y “φ”(azimut) es el ángulo formado entre el eje “x” y la
proyección de la recta “OP” en el plano x-y.
9. SISTEMA DE COORDENADAS
CILÍNDRICAS
Las coordenadas cilíndricas son un sistema de coordenadas tridimensional en el que
la ubicación de un punto en el espacio está determinada por una distancia, una
altura y un ángulo.
El sistema de referencia está compuesto por tres ejes perpendiculares entre sí y un
punto “O”, denominado origen, que corresponde al punto de intersección de los
tres ejes. De esta forma un punto “P” queda representado por el trio ordenado (ρ,
φ, z), donde “ρ”(coordenada radial) es la distancia de “P” al eje “z”, “φ”(coordenada
acimutal)es el ángulo formado entre el eje “x” y “RO” y “z”(coordenada vertical)es la
distancia desde “P” al plano “x”-“y”.
10. COORDENADAS GEOGRÁFICAS
Este tipo de coordenadas cartográficas, subtipo de las coordenadas esféricas, se usa
para definir puntos sobre una superficie esférica. Hay varios tipos de coordenadas
geográficas. El sistema más clásico y conocido es el que emplea la latitud y
la longitud, que pueden mostrase en los siguientes formatos:
• DD --- Decimal Degree (Grados Polares): ej. 49.500-123.500
• DM --- Degree:Minute (Grados:Minutos): ej. 49:30.0-123:30.0
• DMS -- Degree:Minute:Second (Grados:Minutos:Segundos): ej. 49:30:00-123:30:00
También se puede definir las coordenadas de un punto de la superficie de la Tierra,
utilizando una proyección cartográfica. El sistema de coordenadas cartográficas
proyectadas más habitual es el sistema de coordenadas UTM.
11. COORDENADAS CURVILÍNEAS
GENERALES
Un sistema de coordenadas curvilíneos es la forma más general de parametrizar o etiquetar
los puntos de un espacio localmente euclídeo o variedad diferenciable(globalmente el
espacio puede ser euclídeo pero no necesariamente). Si tenemos un espacio localmente
euclídeo M de dimensión m podemos construir un sistema de coordenadas curvilíneo local
en torno a un punto p siempre a partir de cualquier difeomorfismo que cumpla:
• 𝜙 ∶ 𝑀 → Rm 𝑝 ∈ 𝑀 ℃ 𝜙 𝑝 = 0,0, … , 0 ∈ Rm
Para cualquier punto q cercano a p se definen sus coordenadas curvilíneas:
• 𝜙 𝑞 = (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛)
Si el espacio localmente euclídeo tiene la estructura de variedad de Riemann se pueden
clasificar a ciertos sistemas de coordenadas curvilíneas en sistema de coordenadas
ortogonales y cuando es sistema de coordenadas ortonormales. Las coordenadas
cilíndricas y las coordenadas esféricas son casos particulares de sistemas de coordenadas
ortogonales sobre el espacio euclídeo R3.
12. COORDENADAS CURVILÍNEAS
ORTOGONALES
Un sistema de coordenadas curvilíneas se llama ortogonal cuando el tensor
métrico expresado en esas coordenadas tiene una forma diagonal. Cuando eso
sucede muchas de las fórmulas del cálculo vectorial diferencial se pueden escribir de
forma particularmente simple en esas coordenadas, pudiéndose aprovechar ese
hecho cuando existe por ejemplo simetría axial, esférica o de otro tipo fácilmente
representable en esas coordenadas curvilíneas ortogonales.
Las coordenadas esféricas y cilíndricas son casos particulares de coordenadas
curvilíneas ortogonales.
