guia 4

1. Geometría plana y elementos de trigonometría
4.1 Introducción
Las primeras indicaciones del estudio de ecuaciones cuantitativas y formas
espaciales aparecen en tierras de Egipto y Mesopotamia.
Los antiguos egipcios adquirieron una enorme cantidad de conocimientos a
propósito, por ejemplo, de las construcciones de pirámides, la agrimensura del Valle del
Nilo por las inundaciones anuales, y el estudio de la astrología. En el documento
“Instrucciones para el conocimiento de todas las cosas oscuras” 1 (los conocimientos
matemáticos eran un secreto que pertenecía a sacerdotes y a los encargados de las
construcciones de monumentos) escrito hacia 1700 a.n.e. por un sacerdote llamado
Ahmes, están recogidos entre otras cosas, fórmulas y problemas con sus respuestas
de las medidas de figuras planas. Al conjunto de conocimientos que poseían para estos
empeños lo nombraron geometría que significa “medida de la tierra”.
Los antiguos griegos asimilaron estos conocimientos y los continuaron
desarrollando como una rama del saber. Se tiene noticias acerca de esto con Tales de
Mileto
(640 a.n.e.), el cual fue el primero en analizar propiedades y relaciones de manera
general y realizar demostraciones.
En los siglos VI y V a.n.e. se desarrolló la matemática como teoría deductiva en la
escuela de Pitágoras. Notable fue su estudio de las propiedades de polígonos y
cuerpos regulares en lo que respecta a la geometría, pero sobre todo es de destacar su
descubrimiento de la existencia de segmentos inconmensurables, cuya longitud no se
puede expresar como la razón de dos números enteros. Esto constituyó la primera
crisis de los fundamentos de la matemática y condujo a que esta se construyera en lo
adelante sobre bases geométricas.
Continuaron el estudio y desarrollo de la geometría otros ilustres antiguos como
Hipócrates de Quíos, Platón, Aristóteles, Arquímedes, Euclides entre otros. De este
último conocemos su obra en 13 tomos Los elementos, donde se sistematiza
meticulosamente todo este conocimiento, y se sientan las bases del llamado método
axiomático.
Entre los matemáticos que contribuyeron a la obtención de progresos importantes
durante el Renacimiento tenemos al francés Desargues (1593-1662), el cual creó los
fundamentos de la geometría analítica, al introducir los métodos algebraicos en la
geometría. Desde entonces se han desarrollado distintas ramas de la geometría como
la geometría descriptiva, la proyectiva, la diferencial, entre otras.
Para nosotros son muy importantes los conocimientos y habilidades geométricas,
porque nos permiten estimar y determinar cantidades de magnitud en situaciones
prácticas o de otras áreas del conocimiento o la técnica, nos posibilitan esbozar o
construir figuras y cuerpos geométricos que cumplan determinadas condiciones y nos
ayudan a descubrir y demostrar nuevas propiedades y relaciones de gran utilidad para
interpretar y crear modelos y representaciones de objetos y situaciones de la realidad,
contribuyendo con ello también al desarrollo de nuestras capacidades intelectuales.
1
Este documento es el llamado Papiro de Rhind, que se encuentra en el museo británico.
253

2. 4.2 Propiedades y relaciones entre las figuras geométricas elementales
A lo largo de los estudios primarios y secundarios has estudiado las posiciones
relativas entre puntos y rectas y entre rectas, y has adquirido conocimientos sobre las
relaciones que se establecen entre las longitudes de segmentos y las amplitudes de
ángulos de figuras geométricas elementales, como triángulos, cuadriláteros, círculos,
entre otras.
Repasemos algunos de los teoremas estudiados sobre las amplitudes de ángulos
determinados alrededor de un punto o por rectas paralelas cortadas por una secante.
Relaciones entre ángulos
Denominamos ángulos consecutivos a aquellos
que tienen un lado común.
Si observamos la figura 4.1, tenemos siete ángulos que
son consecutivos alrededor del punto O, ¿qué
podemos afirmar sobre estos ángulos? Si medimos las
amplitudes de cada uno de ellos podremos comprobar
que su suma es de 360o, o sea, que la suma de
ángulos consecutivos alrededor de un punto es de
360o.
¿Podemos decir lo mismo sobre los ángulos
consecutivos MON, NOP, POQ y QOR de la figura 4.2,
donde O es un punto de la recta RM?
En este caso estos ángulos consecutivos se
encuentran a un lado de la recta RM, luego la
suma de sus amplitudes es de180o, es decir, que
la suma de las amplitudes de ángulos
consecutivos alrededor de un punto y a un mismo
lado de una recta es de 180o.
Si dos rectas cualesquiera a y b se cortan en
el punto O (Fig. 4.3), ¿se cumplirán las
propiedades enunciadas anteriormente?
Es evidente que ambas propiedades se
cumplen; los ángulos que se forman son
consecutivos alrededor del punto O, por lo que la
suma de sus amplitudes es igual a 360o.
Si consideramos una pareja de tales
ángulos, obtenemos ángulos consecutivos
alrededor de un punto y a un mismo lado de una recta. La suma de las amplitudes de
cada una de estas parejas de ángulos es de 180 o. Dos ángulos consecutivos a un
mismo lado de una recta se llaman ángulos adyacentes y por tanto cumplen la
propiedad de que sus amplitudes suman 180 o.
Las parejas de ángulos que tienen el mismo vértice y sus lados son semirrectas
opuestas, se llaman ángulos opuestos por el vértice.
254

3. Ejemplo 1
Demuestra que los ángulos opuestos por el vértice son iguales.
Resolución
En la figura 4.3 tenemos:
(1) α + β = 180o por ser amplitudes de ángulos adyacentes
(2) β + γ = 180o por ser amplitudes de ángulos adyacentes
Igualando (1) y (2) se tiene: α + β = β + γ
α= γ
De igual forma se demuestra que β = δ. ¡Demuéstralo!
Esta propiedad también se podía demostrar aplicando una rotación de centro O
con un ángulo de 180o (simetría central), dado que dos figuras y en particular dos
ángulos son iguales, si existe un movimiento que transforme uno en otro.
¿Qué sucede si dos rectas cualesquiera a y b son cortadas por una tercera
recta c? (Fig. 4.4 a) ¿Se cumplen todas las propiedades planteadas anteriormente?
Entre las parejas de rectas a y c, b y c se forman ángulos adyacentes y opuestos
por el vértice, pero las tres rectas al cortarse entre sí determinan otras parejas de
ángulos que son:
Ángulos alternos: ∠ 1 y ∠ 8; ∠ 2 y ∠ 7; ∠ 3 y ∠ 6; ∠ 4 y ∠ 5.
Ángulos correspondientes: ∠ 1 y ∠ 5; ∠ 3 y ∠ 7; ∠ 2 y ∠ 6; ∠ 4 y ∠ 8.
Ángulos conjugados: ∠ 1 y ∠ 7; ∠ 3 y ∠ 5; ∠ 2 y ∠ 8; ∠ 4 y ∠ 6.
¿Qué puedes decir de estas parejas de ángulos si las rectas a y b son paralelas?
(figura 4.4 b).
255

4. Si dos rectas paralelas a y b son cortadas por una secante c, los ángulos alternos
(correspondientes) que se forman son iguales y los conjugados son suplementarios.
El recíproco de este teorema es verdadero:
Si al cortarse dos rectas a y b por una secante c los ángulos alternos
(correspondientes) que se forman son iguales o los ángulos conjugados son
suplementarios, entonces las rectas a y b son paralelas.
¿Qué sucede si los lados de los ángulos son respectivamente paralelos? Observa
la figura 4.5.
¿Y si sus lados son respectivamente perpendiculares?
• Si dos ángulos, ambos agudos (o ambos obtusos), tienen sus lados respectivamente
paralelos, entonces sus amplitudes son iguales.
• Si dos ángulos, uno agudo y otro obtuso, tienen sus lados respectivamente paralelos,
entonces sus amplitudes suman 180o.
• Si dos ángulos, ambos agudos (o ambos obtusos), tienen sus lados respectivamente
perpendiculares, entonces sus amplitudes son iguales.
• Y si uno es agudo y el otro es obtuso suman 180 o.
Triángulos
¿Es siempre posible construir un triángulo? ¿Qué condición se ha de cumplir para que
se pueda construir un triángulo?
Un triángulo se puede construir si y solo si la longitud de cada lado es menor que la
suma de las longitudes de los otros dos lados (Desigualdad triangular).
■ Fundamenta utilizando la desigualdad triangular la siguiente afirmación:
Para construir un triángulo es suficiente que la longitud del mayor de los lados sea
menor que la suma de las longitudes de los otros dos lados.
256

5. En todos los triángulos existen ángulos interiores y exteriores (Fig. 4.6). Los exteriores
son los determinados por un lado del triángulo y la prolongación de otro lado, como es
el caso del ángulo de amplitud δ.
Se cumplen las siguientes relaciones:
• La suma de las amplitudes de los ángulos interiores de un triángulo es de 180 o
(α + β + γ = 180o).
• La amplitud de todo ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de las
amplitudes de los ángulos interiores no adyacentes a él (δ = α + γ).
En todo triángulo podemos determinar seis ángulos exteriores, que son iguales 2 a 2
por ser opuestos por el vértice.
Ejemplo 2
Demuestra que la suma de las amplitudes de los ángulos exteriores de un triángulo es
de 360o.
Resolución:
Tracemos un ∆ABC y los ángulos exteriores de
amplitudes δ, θ y ϕ (Fig. 4.7). Entonces:
δ=α+γ
θ=α+β
ϕ=β+γ
Por el teorema que plantea que la amplitud de todo
ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de
las amplitudes de los ángulos interiores no
adyacentes a él.
Sumando miembro a miembro las tres igualdades anteriores tenemos:
δ + θ + ϕ = 2α + 2β + 2γ
δ + θ + ϕ = 2(α + β + γ)
Como los ángulos de amplitudes α, β y γ son los ángulos interiores del ∆ABC, tenemos:
δ + θ + ϕ = 2 · 180o = 360o.
Los triángulos se clasifican según la longitud de sus lados en equiláteros, isósceles o
escalenos, y según la amplitud de sus ángulos en acutángulo, rectángulo u
257

6. obtusángulo. Clasifica los triángulos que aparecen en la figura 4.8 según los datos
dados:
Ejemplo 3
Di si son verdaderas o falsas las siguientes proposiciones. Fundamenta en cada caso
tu respuesta:
a) En todo triángulo isósceles los ángulos bases son iguales.
b) En un triángulo rectángulo pueden existir dos ángulos rectos.
c) En todo triángulo equilátero los tres ángulos interiores son iguales y miden 60 o.
d) En todo triángulo obtusángulo solo puede haber un ángulo obtuso.
e) Las alturas de un triángulo son los segmentos trazados desde los vértices a los
lados opuestos a esos vértices.
f) Las medianas de un triángulo son los segmentos trazados desde los vértices hasta
los puntos medios de los lados opuestos a esos vértices.
g) Las mediatrices de un triángulo son las rectas perpendiculares a cada lado del
triángulo.
h) Las bisectrices de un triángulo son los segmentos de bisectrices de los ángulos
interiores del triángulo, determinados por los vértices y el lado opuesto a cada uno
de ellos.
i) En todo triángulo isósceles la altura relativa a la base es a la vez la mediana
correspondiente a ese lado y bisectriz del ángulo opuesto.
j) En todo triángulo equilátero las alturas, medianas y bisectrices coinciden.
Resolución
258

7. a) Verdadera, pues en todo triángulo a lados iguales se oponen ángulos iguales y
viceversa.
b) Falsa, porque la suma de las amplitudes de los tres ángulos interiores es de 180 o,
luego si existen dos ángulos rectos ya suman 180 o.
c) Verdadera, porque como en el triángulo equilátero los tres lados son iguales, los
ángulos que se oponen a esos lados son también iguales y como la suma de sus
tres amplitudes es de 180o, cada uno debe tener 60o de amplitud.
d) Verdadera, pues un ángulo obtuso tiene una amplitud mayor que 90 o y menor que
180o, luego la suma de las amplitudes de dos ángulos obtusos es ya mayor que
180o.
e) Falsa, las alturas de un triángulo son los segmentos de perpendicular trazados
desde los vértices hasta los lados opuestos a esos vértices.
f) Verdadera, las medianas de un triángulo son los segmentos determinados por los
vértices del triángulo y los puntos medios de los lados opuestos a esos vértices.
g) Falsa, las mediatrices de un triángulo son las rectas perpendiculares a cada lado del
triángulo que pasan por el punto medio de dichos lados.
h) Verdadera, las bisectrices son semirrectas que dividen en dos ángulos iguales a los
ángulos y por estar referidas al triángulo son segmentos de bisectrices trazados
desde los vértices a los lados opuestos.
i) Verdadera, para fundamentarla hagamos la siguiente demostración:
Consideremos un ∆ABC isósceles de base AB y sea AB = h AB la altura relativa al
lado AB (Fig. 4.9).
CD ⊥AB por ser CD = h AB
AC =BC por ser el ∆ABC isósceles de base AB
Luego C es un punto de la mediatriz de AB y la
perpendicular a AB trazada por C es la mediatriz relativa a
ese lado y por esta razón D tiene que ser punto medio de
AB . Por tanto CD es la mediana del triángulo relativa a la
base AB .
En los triángulos ADC y BDC, rectángulos en D, por ser
CD =h AB , tenemos:
∠ A = ∠ B por ser ángulos base del ∆ABC isósceles
∠ ADC = ∠ BDC = 90o por ser CD ⊥ AB
Como dos de los ángulos interiores de estos triángulos son respectivamente
iguales, los terceros ángulos también son iguales, en virtud del teorema sobre la
suma de las amplitudes de los ángulos interiores de un triángulo. Entonces
∠ ACD = ∠ BCD y por tanto CD es bisectriz del ∠ C.
Otra vía para fundamentar esta propiedad de la altura relativa a la base de un
triángulo isósceles es aplicar una reflexión de eje CD, teniendo por tanto que el
∆ADC se transformaría en el ∆CDB o viceversa.
259

8. j) Verdadera, porque el triángulo equilátero se puede considerar tres veces isósceles
por tanto las tres alturas relativas a cada lado coinciden con las medianas y
bisectrices del triángulo.
¿Son siempre las tres alturas de un triángulo segmentos interiores a este? Si
observamos la figura 4.10 podemos apreciar que no siempre todas son segmentos
interiores al triángulo, en el caso del triángulo acutángulo (Fig. 4.10a) son segmentos
interiores en el triángulo; en el triángulo rectángulo (Fig. 4.10b) dos coinciden con los
catetos y solo la relativa a la hipotenusa es interior, y en el triángulo obtusángulo
(Fig. 4.10c), dos son exteriores al triángulo y una interior, pero en todos los casos las
tres se cortan en un único punto llamado ortocentro. (Comprueba en la figura 4.10c
esta afirmación prolongando las alturas.)
El ortocentro puede ser por tanto un punto interior, frontera o exterior al triángulo.
Señala en la figura 4.10 cada caso.
¿Sucederá lo mismo con las medianas de un triángulo?

Comprueba que en el triángulo acutángulo, rectángulo
y obtusángulo las tres medianas son segmentos
interiores a cada triángulo y se intersecan en un punto
empleando el asistente “Geometra”. Este punto recibe
el nombre de baricentro y no es más que el centro de
gravedad del triángulo.
El baricentro cumple otra propiedad y es: la distancia del
baricentro a un vértice es
2
de la longitud de la mediana
3
correspondiente (Fig. 4.11) y su distancia al punto medio del
lado opuesto a dicho vértice es
1
de la longitud de la
3
mediana, es decir, para la mediana AR se cumple:
BR =
2
AR
3
y
AB =
1
AR
3
Plantea para las otras dos medianas ( PC y QD ) esta
relación.
Al igual que sucede con las medianas de un triángulo, las
bisectrices son segmentos interiores al triángulo y se
260

9. intersecan en un punto llamado incentro (Fig. 4.12), por ser el centro de la
circunferencia inscrita en el triángulo (circunferencia interior al triángulo tangente a sus
tres lados).

Comprueba en el caso del triángulo rectángulo y obtusángulo estas afirmaciones
con ayuda del asistente “Geometra”.
En los puntos de tangencia los radios de la circunferencia inscrita son perpendiculares
a los lados del triángulo. Luego el incentro o centro de la circunferencia inscrita
equidista de los lados del triángulo.
Como se analizó en la resolución del ejemplo 3, inciso g), las mediatrices de un
triángulo son las rectas perpendiculares que pasan por el punto medio de cada lado del
triángulo. Las tres mediatrices de un triángulo se cortan en un punto que puede ser
interior, frontera o exterior al triángulo, lo cual puedes apreciar analizando algunos
casos particulares.
El punto donde se cortan las mediatrices de un triángulo se
llama circuncentro y cumple la propiedad de ser el centro
de la circunferencia circunscrita al triángulo
(Fig. 4.13).

Teniendo en cuenta que los puntos de la mediatriz de un segmento equidistan de
los extremos de este, fundamenta esta propiedad del circuncentro.
Las alturas, medianas, bisectrices y mediatrices de un triángulo reciben el nombre de
rectas notables y los puntos ortocentro, baricentro, incentro y circuncentro el de
puntos notables del triángulo.
Cuadriláteros
Ejemplo 1
De la figura 4.14 señala aquellas figuras planas que representan cuadriláteros y
clasifícalos en convexos o no convexos. Fundamenta tu respuesta.
261

10. Resolución
Son cuadriláteros las figuras 4.14b, 4.14d y 4.14f, pues son regiones del plano
limitadas por cuatro rectas que se cortan dos a dos o por líneas poligonales
(quebradas) cerradas de cuatro lados.
Son cuadriláteros convexos las figuras 4.14b y 4.14d, pues todos sus puntos cumplen
que tomados dos a dos los segmentos determinados por ellos están siempre en el
interior de la figura. Este análisis podemos verlo también si trazamos las rectas que
contienen a sus lados, el cuadrilátero queda totalmente en uno de los semiplanos
determinados por esas rectas. Esto no ocurre en el caso de la figura 4.14f, luego se
clasifica como no convexo o cóncavo.
Todo cuadrilátero cumple que la suma de las amplitudes de sus ángulos interiores es
de 360o.
Los cuadriláteros convexos al igual que los triángulos se clasifican atendiendo al
paralelismo de sus lados opuestos.
Completa las siguientes proposiciones:
a) El cuadrilátero con dos pares de lados opuestos paralelos es un
________________ (Fig. 4.15__).
b) El cuadrilátero con ____________ de lados opuestos paralelos es un trapecio
(Fig. 4.15a).
c) El cuadrilátero con ____________ par de lados opuestos paralelos es un trapezoide
(Fig. 4.15__).
262

11. ¿Podemos afirmar que todo paralelogramo es un trapecio? Para que un cuadrilátero
sea un trapecio basta con que tenga un solo par de lados opuestos paralelos; en el
paralelogramo sus dos pares de lados opuestos son paralelos, por lo que podemos dar
como cierta la afirmación anterior, sin embargo, el recíproco no es cierto, o sea, todo
trapecio no es un paralelogramo. Fundamenta esta proposición.
¿Qué propiedades cumple el paralelogramo?
Las propiedades que cumple son:
1.
2.
3.
4.
Las diagonales se cortan _______________________.
Los lados ____________ son iguales.
Los ángulos opuestos __________________.
Los ángulos _________________ son suplementarios.
El rectángulo, el rombo o el cuadrado (Fig. 4.16) son paralelogramos particulares.
¿Qué condiciones adicionales debe cumplir el paralelogramo para ser rectángulo,
rombo o cuadrado?

Enlaza las propiedades de la columna A con el paralelogramo correspondiente en
la columna B.
A
a)
b)
c)
d)
Todos sus ángulos son rectos.
Las diagonales son perpendiculares.
Las diagonales son iguales.
Las diagonales son bisectrices de los
ángulos cuyos vértices unen.
B
___ Rectángulo
___ Rombo
___ Cuadrado
Ejemplo 2
En la figura 4.17 tenemos:
∆EFD: isósceles de base ED
EF =AC
∠ A = ∠ DFB
Prueba que AFDC es un paralelogramo.
263

12. Resolución
Para encontrar la vía de solución es conveniente:
1. Analizar toda la información que nos brindan los datos.
2. Buscar teoremas relacionados con la información de que se dispone o con lo que se
debe demostrar, para verificar si se cumplen las premisas de algunos de ellos.
3. Realizar la demostración.
Veamos ahora cómo proceder para realizar los pasos indicados anteriormente.
¿Qué significa que el ∆EFD sea isósceles de base ED ?
• EF =FD ; ∠ E = ∠ D.
• La altura relativa a la base ED es mediana de la base y bisectriz del ángulo
principal EFD.
Otro dato de que disponemos es que EF =AC . ¿Qué relaciones podemos establecer
con lo analizado hasta ahora?
Si observas, por un lado tenemos que EF =FD y por otro, que EF =AC , por lo que
podemos plantear que: EF =FD =AC , de donde, FD =AC , por propiedad transitiva
de la igualdad de segmentos.
El tercer dato plantea que el ∠ A = ∠ DFB, ¿qué información nos aporta este dato?
Los ángulos A y DFB están en posición de correspondientes entre AC y FD y AB
AC .
secante y como son iguales, se puede afirmar que FD
Hasta aquí el análisis de los datos, ahora analicemos que nos piden demostrar.
Para demostrar que el cuadrilátero AFDC es un paralelogramo debemos probar que:
•
•
•
•
•
los lados opuestos son paralelos, o
los lados opuestos son iguales, o
un par de lados opuestos son iguales y paralelos, o
las diagonales se cortan en su punto medio, o
los ángulos opuestos son iguales.
Según lo analizado anteriormente observamos que se puede demostrar que AFDC es
un paralelogramo utilizando el hecho de que un par de lados opuestos son iguales y
AC .
paralelos, pues según los datos FD =AC y FD
¿Cómo quedaría planteada la demostración?
Demostración:
por ser el ∆EFD isósceles de base ED
por datos
Luego FD =AC por el carácter transitivo de la relación de igualdad.
∠ A = ∠ DFB por datos y como están en posición de correspondientes entre AC y
AC por el recíproco del teorema de los ángulos
FD , y AB secante, entonces FD
correspondientes entre paralelas.
EF =FD
EF =AC
264

13. ∴ AFDC es un paralelogramo por tener un par de lados opuestos paralelos e iguales.
Ejemplo 3
∆ABC: isósceles de base AB
D: punto medio de AC
F: punto medio de BC
BC
DE
∠ AED = ∠ BEF
Prueba que CDEF es un rombo.
Resolución
Realizando los pasos seguidos en el ejemplo 2 para buscar la vía de solución se puede
plantear que una forma de demostrar la tesis es la siguiente:
∠ CDE = ∠ AED + ∠ A por ser ∠ CDE ángulo exterior del ∆AED
∠ CFE = ∠ BEF + ∠ B por ser ∠ CFE ángulo exterior del ∆EBF
∠ AED = ∠ BEF por datos
∠ A = ∠ B por ángulos base del ∆ABC isósceles de base AB
Luego:
(1) ∠ CDE = ∠ CFE por suma de amplitudes de ángulos iguales
DE y FE secante
(2) ∠ CFE + ∠ FED = 180o por ser conjugados entre BC
Sustituyendo (1) en (2) tenemos: ∠ CDE + ∠ FED = 180o.
Entonces como los ángulos CDE y FED son suplementarios y están en posición de
EF por el recíproco
conjugados entre EF y CD , y DE secante, tenemos que CD
del teorema de los ángulos conjugados entre paralelas.
∴ CDEF es un paralelogramo por tener sus lados opuestos paralelos.
por ser el ∆ABC isósceles de base AB , pero como D y F son los puntos
medios de AC y BC respectivamente, entonces DC = CF por ser mitades de
segmentos iguales.
∴ El paralelogramo CDEF es un rombo por tener un par de lados consecutivos
iguales.
AC = BC
En la figura 4.19 se muestra la clasificación y propiedades de los trapecios.
265

14. Hemos analizado que los triángulos y los cuadriláteros son regiones del plano limitadas
por líneas poligonales cerradas de 3 ó 4 lados respectivamente, luego la superficie que
ocupan se puede medir y la llamamos área, y la suma de las longitudes de sus lados se
llama perímetro.

Haz un cuadro resumen con las fórmulas para el cálculo de las áreas y perímetros
de las figuras planas estudiadas. Declara lo que significan las variables utilizadas en
cada caso.
Ejemplo 4
La figura 4.20 muestra la sección transversal de una
pieza que tiene un hueco rectangular de 1 cm de ancho.
CD , halla el área de la sección transversal con
Si BE
los datos que se muestran en la figura, sabiendo que
BE = 4 cm.
Resolución
Para obtener el área de la sección transversal la
descomponemos en figuras planas conocidas. Como
BE
CD el cuadrilátero BCDE es un trapecio por tener
un par de lados opuestos paralelos. Luego, la sección
transversal (sin considerar el hueco) sería el pentágono
ABCDE, el cual estaría formado por el trapecio BCDE y
el triángulo ABE.

Esta sería una forma de descomponer esta figura, hay otras ¡búscalas!
266

15. El área de la sección transversal se calcularía sumando las áreas del triángulo y el
trapecio, y restándole el área del rectángulo que representa el hueco.
Área del ∆ABE
BE
= 4 cm; h = 8 cm
A∆ABE =
BE ⋅ h  4 ⋅ 8 
=
 cm2
2
 2 
= 16 cm2
Área del trapecio BCDE
CD = 6 cm; BE = 4 cm
h = 12 – 8 = 4 cm
ABCDE =
CD + BE
⋅ h
2
Área del rectángulo
b = 1,0 cm; h = 4,0 cm
Ar = b · h = (1 · 4) cm2
= 4 cm2
6+ 4

= 
⋅ 4  cm2
 2

= 20 cm2
Área de la sección transversal: AS = A∆ABE + ABCDE – Ar
= 16 + 20 – 4 = 36 + 4 = 32 cm2
El área de la sección transversal es de 32 cm 2.
Circunferencia y círculo
Al trazar una recta en el plano ésta divide al mismo en dos semiplanos, ¿qué sucede si
trazamos una circunferencia? ¿Cuál es la definición de circunferencia estudiada en
grados anteriores?
Una circunferencia es un conjunto de puntos del plano que equidistan de un punto fijo
llamado centro. La distancia del centro a cualquier punto de la circunferencia se llama
radio (Fig. 4.20a).
Observa en dicha figura que la circunferencia es una línea curva cerrada y que todos
sus puntos están a la misma distancia del punto O, luego divide al plano en dos
267

16. conjuntos de puntos; a uno de ellos pertenecen los puntos interiores de la
circunferencia y al otro los exteriores a ella, los interiores (exteriores) son puntos cuya
distancia al centro es menor (mayor) que el radio, por lo que el centro O es un punto
interior al igual que los puntos que pertenecen al radio OP , excepto el punto P que es
un punto de la circunferencia.
¿Qué es un círculo? Observa la figura 4.21b.
Llamamos círculo al conjunto de puntos formados por los puntos de la circunferencia y
los puntos interiores a ella, es decir, son aquellos puntos cuya distancia al centro es
menor o igual al radio.
Las rectas que tienen exactamente dos puntos comunes con la circunferencia se
denominan secantes y las que tienen un solo punto común con ella se llaman
tangentes a la circunferencia.
En la circunferencia se pueden trazar segmentos y ángulos muy particulares como son:
cuerdas, diámetros, ángulos centrales, ángulos inscritos y semiinscritos.
Ejemplo 1
Explica qué se entiende por cuerda, diámetro, ángulo
central, arco de circunferencia, ángulo inscrito y ángulo
semiinscrito. Identifícalos en la figura 4.22.
Resolución
• Una cuerda es un segmento cuyos extremos son puntos
de la circunferencia.
Por ejemplo, son cuerdas: AG, BF , BC, IJ, e IK .
• Un diámetro es una cuerda que contiene al centro de la circunferencia. Su longitud
es el doble de la longitud del radio, por lo que es la mayor de todas las cuerdas. En
la figura se ha trazado el diámetro BF .
• Un ángulo central es un ángulo cuyo vértice está en el centro de la circunferencia.
Por ejemplo, son ángulos centrales: FOE, EOD, DOB, DOF y BOF.
• La intersección de un ángulo central con la circunferencia determina un arco de
circunferencia.
Algunos de los arcos que aparecen en la figura son: AB, BC, CD, DE, EF, FG, AG,
FD, CE, BD y otros más.
• Un ángulo inscrito es aquel que tiene su vértice en la circunferencia, cuyos lados la
intersecan en otros dos puntos.
En la figura se puede indicar por ejemplo los ángulos JIK y FBC.
268

17. • Un ángulo semiinscrito es aquel ángulo que tiene su vértice en la circunferencia, un
lado está situado sobre una tangente a la misma y el otro la corta en otro punto.
En la figura solo aparece el ángulo semiinscrito HAG. El ángulo inscrito AKG se dice
que es correspondiente con el ángulo semiinscrito HAG, porque H y K están
situados a diferentes lados de la secante AG.
¿Qué relaciones existen entre las cuerdas, los arcos y los ángulos en la circunferencia?
Ejemplo 2
Di si son verdaderas o falsas las siguientes proposiciones. En el caso de las falsas
enuncie la proposición verdadera correspondiente:
a) En toda circunferencia o en circunferencias iguales a ángulos centrales iguales
corresponden cuerdas desiguales y arcos iguales.
b) En toda circunferencia o en circunferencias iguales a arcos iguales corresponden
cuerdas iguales y viceversa.
c) La amplitud de un arco es igual a la amplitud del ángulo central correspondiente.
D) La amplitud de un ángulo inscrito es igual a la amplitud del ángulo central y del
arco correspondiente.
e) En toda circunferencia o en circunferencias iguales algunos de los ángulos
inscritos en un mismo arco son desiguales.
f) Todo ángulo inscrito en un diámetro es de 60 o.
g) Todo radio o diámetro perpendicular a una cuerda biseca a esta y al arco
correspondiente.
h) Toda recta tangente a la circunferencia es perpendicular al radio o diámetro en el
punto de tangencia.
i) Desde un punto exterior a la circunferencia se pueden trazar infinitas tangentes a
la circunferencia.
j) Los segmentos de tangente trazados desde un punto exterior a la circunferencia
son iguales.
Resolución
a) Falsa, en toda circunferencia o en circunferencias iguales a ángulos centrales
iguales corresponden arcos y cuerdas iguales.
b) Verdadera.
c) Verdadera.
d) Falsa, la amplitud de todo ángulo inscrito es igual a la mitad de la amplitud del
ángulo central y del arco correspondiente.
e) Falsa, en toda circunferencia o en circunferencias iguales todos los ángulos inscritos
en un mismo arco o en arcos iguales son iguales y viceversa.
f) Falsa, todo ángulo inscrito en un diámetro es de 90 o (Teorema de Tales).
g) Verdadera.
h) Verdadera.
i) Falsa, desde un punto exterior a una circunferencia se pueden trazar solo dos
rectas tangentes a la circunferencia.
j) Verdadera.
269

18. Ejemplo 3
En la figura 4.23
FH : diámetro
FH
⊥ BC
;
EH
⊥ AC .
FH ∩AC ∩BD ={G}
Prueba que:
a) AB = CD = EF
b) ABCD es un trapecio isósceles.
Resolución
a)
por datos.
por datos.
Luego ∠ EHF = ∠ ACB por tener sus lados respectivamente perpendiculares.
FH ⊥ BC
EH
⊥ AC
Entonces EF = AB (I) por corresponder a ángulos inscritos iguales en una misma
circunferencia.
FH : está situado sobre la mediatriz de BC porque todo radio o diámetro
perpendicular a una cuerda la biseca (la corta en su punto medio).
BG = CG porque todo punto de la mediatriz de un segmento equidista
de sus extremos.
∴ ∆BCG es isósceles de base BC por tener dos lados iguales.
∠ ACB = ∠ CBD por ser ángulos base del ∆BCG isósceles de base
BC
.
Luego AB = CD (II) por corresponder a ángulos inscritos iguales en una misma
circunferencia.
De (I) y (II) tenemos que: EF = AB = CD por el carácter transitivo de la relación de
igualdad.
b) ∠ CAD = ∠ ACB porque a arcos iguales en una misma circunferencia le
corresponden ángulos inscritos iguales.
Como ∠ CAD y ∠ ACB están en posición de alternos entre BC y AD , y AC
secante, y son iguales, entonces:
por el recíproco del teorema de los ángulos alternos entre paralelas.
AB = CD porque a arcos iguales corresponden cuerdas iguales.
∴ ABCD es un trapecio isósceles por tener un par de lados opuestos paralelos y los
lados no paralelos iguales.
BC
AD
Retoma y analiza detenidamente la definición de circunferencia vista al inicio de este
epígrafe y responde: ¿se puede calcular el área de una circunferencia?
Del análisis de la definición puedes concluir que como la circunferencia es una línea
curva no tiene área, sin embargo, podemos calcular su longitud, Lc, a través de la
relación:
270

19. L = 2πr (r: longitud del radio de la circunferencia)
¿Podemos decir lo mismo respecto al círculo? No, pues este es una región del plano
limitada por la circunferencia; podemos calcular su área a través de la relación:
A = π r2
De todo lo anterior se puede inferir que la longitud de la circunferencia es el perímetro
del círculo.
La longitud, s, de un arco de circunferencia de radio r
correspondiente a un ángulo central α , se puede calcular
utilizando la proporción
s
α
α
=
s=
⋅L.
o , de donde
o
L
360
360
La región del círculo limitada por el arco s y los lados del
ángulo central α se llama sector circular. El área As del
As = α
sector circular resulta de la proporción
, de donde
A 360o
As =
α
360
o
⋅ A.
Ejemplo 4
El cuadrado ABCD está inscrito en una circunferencia de centro O y radio
(Fig. 4.24) cuya longitud es de 50 cm. Calcula el área sombreada.
OB
Resolución
¿Cómo obtener el área sombreada As? Esta área se obtiene restando del área del
círculo el área del cuadrado, pero para esto debemos conocer las longitudes del radio
del círculo y el lado del cuadrado ABCD.
¿Cómo obtener la longitud del radio del círculo? Conocemos la longitud de la
circunferencia, luego:
LC = 2πr
L
r = C
2π
50
cm
2 ⋅ 3,14
25 cm
r =
≈ 7,96 cm ≈ 8 cm
3,14
r ≈
¿Cómo determinar la longitud, l, del lado del cuadrado ABCD? Como el cuadrado está
inscrito en la circunferencia entones sus diagonales son diámetros, pero cada una de
ellas es a su vez la hipotenusa de dos triángulos rectángulos en que se descompone el
cuadrado, por tanto, aplicando el Teorema de Pitágoras o la relación d = 2 l (d:
longitud del diámetro de la circunferencia) se obtendrá su valor. Entonces:
271

20. d = BD = 2r ≈ (2 ⋅ 8 ) cm =16 cm
d = 2 l
l =
l =
l=
d
2
2 d
2
2 ⋅ 16
cm = 8 2 cm
2
( )
(
)
2
2
2
2
Luego: As = π r – l ≈ 3,14 8 – 8 2  cm




2
= (3,14 · 64 – 64 · 2) cm
= (200,96 – 128) cm2
= 72,96 cm2
As ≈ 73 cm2

2
Observa en el ejemplo anterior que el cálculo del lado de un cuadrado inscrito en
una circunferencia puede realizarse a través de la relación l = 2r . Fundaméntala.
Algunas construcciones geométricas elementales
El hombre desde los tiempos más remotos ha tenido la necesidad de expresarse, para
ello ha utilizado el lenguaje y el dibujo. A través de su desarrollo se ha auxiliado de
distintos materiales e instrumentos y ha utilizado el dibujo con diversos fines como son:
el ornamental, el topográfico, el arquitectónico, el estructural, el de máquinas, el de
caricaturas, etcétera.
Para muchos de estos fines los conocimientos geométricos resultan particularmente
importantes, por ejemplo, para la realización de planos, diseños de piezas, estructuras
de máquinas, entre otros. Las llamadas construcciones geométricas elementales son
de uso frecuente en el desarrollo de estas tareas.
Veamos algunas construcciones geométricas elementales.
Construcción de la bisectriz de un ángulo
Sea el ángulo ABC (Fig. 4.25).
• Se traza un arco DE haciendo centro en el vértice
B, con un radio cualquiera, que corte a los lados
del ángulo en los puntos D y E.
• Con ese mismo radio y haciendo centro en D y E
se trazan los arcos 1 y 2 respectivamente para
obtener así el punto F, como intersección de
estos arcos.
• Trazando la semirrecta BF obtenemos la bisectriz buscada.
Construcción de la mediatriz de un segmento
272

21. Sea el segmento MN (Fig. 4.26).
• Se hace centro en uno de los extremos del
segmento, digamos M, y con un radio cuya
longitud sea mayor que la mitad de la longitud
del segmento MN se trazan los arcos 1 y 2.
• Con ese mismo radio se hace centro en N y
trazamos los arcos 3 y 4 de modo que corten a
los anteriores (1 y 2), obteniéndose los puntos A
y B.
• Trazamos la recta AB, mediatriz de MN .
Estas construcciones elementales nos permiten realizar otras construcciones.
Ejemplo 1
Sean los puntos A, B y C no alineados. Traza la circunferencia que los contiene.
Resolución
¿Cuándo decimos que una circunferencia está determinada de forma única? Una
circunferencia está determinada de forma única cuando conocemos su centro y su
radio.
Teniendo en cuenta lo dicho anteriormente debemos
encontrar un punto O que equidiste de los puntos A,
B y C, con lo cual los segmentos OA , OB y OC
serían radios de esta circunferencia.
Sabemos que los puntos de la mediatriz de un
segmento equidistan de los extremos del mismo,
luego si trazamos las mediatrices de los segmentos
AB y BC (Fig. 4.27), el punto donde se
intersequen estas mediatrices es el centro O de la
circunferencia que contiene a los puntos A, B y C.
Haciendo centro en O y considerando como radio
cualquiera de los segmentos OA , OB u OC trazamos la circunferencia pedida.
Ejemplo 2
Con los segmentos a, b y c que aparecen en la figura 4.28
construye un triángulo si es posible.
Resolución
273

22. ¿Cuándo es posible construir un triángulo conocida las longitudes de los lados? Esto es
posible si se cumple la desigualdad triangular, es decir, si la longitud de cada lado es
menor que la suma de las longitudes de los otros dos lados. Comprueba a través de la
transportación de segmentos sobre una recta que la longitud de cada segmento dado,
es menor que la suma de las longitudes de los otros dos segmentos.
Para construir el triángulo procedamos de la manera siguiente:
1. Tracemos el segmento AB de longitud c.
2. Haciendo centro en cualquiera de los extremos de este segmento, digamos A,
tracemos el arco de circunferencia 1 con radio de longitud b.
3. Seguidamente, con centro en el extremo B, tracemos el arco de circunferencia 2,
con radio de longitud a que corte al 1 en el punto C (tercer vértice del triángulo).
4. Finalmente tracemos el triángulo ABC bajo las condiciones planteadas.
En el próximo epígrafe demostraremos que podemos construir triángulos de forma
unívoca si conocemos sus tres lados, dos lados y el ángulo comprendido o un lado y
los ángulos adyacentes a ese lado.
Ejercicios del epígrafe 4.2
1. ¿Cuál es la amplitud de los ángulos que se indican en la figura 4.30?
2. Determina la amplitud de los ángulos complementarios que están en la razón 2:7.
3. Dos ángulos suplementarios están en la razón 5:7. Determina las amplitudes de
dichos ángulos.
4. Si ∠ A =
360 º
n
y ∠B =
180 º ( n − 2 )
comprueba que los ángulos A y B son
n
suplementarios.
5. En la figura 4.31 se tiene: a  b, c secante, α = x + 50º, β = 2x + 55º. Calcula las
amplitudes de los ángulos α, β y γ.
6. En la figura 4.32, AB DC ; AH DG ; ∠ A = 35º y ∠ B = 45º. Calcula las
amplitudes de los ángulos α y β.
274
Fig. 4.30
Fig. 4.31
Fig. 4.32

23. 7. En la figura 4.33, CE ⊥AG , BF GΙ y ∠ CGH = ∠ HGΙ = ∠ CGΙ. Calcula la
amplitud del ∠ A.
8. Demuestra que las bisectrices de dos ángulos adyacentes son perpendiculares.
9. Prueba que la recta trazada por el vértice de un ángulo y perpendicular a su
bisectriz, forma ángulos iguales con los lados del ángulo.
10. Si ABCDEF (Fig. 4.34), prueba que ∠ ABD + ∠ DFE = ∠ BDF .
11. Determina si se puede construir un triángulo con tres segmentos que midan
respectivamente:
a) 5; 12 y 4 cm
b) 23; 36 y 50 cm c) 21,4; 8,13 y 7 cm
12. En la figura 4.35,
D∈
AB ;
D no coincide con A ni con B. Demuestra que
AB + BC 〉 AD + DC .
Fig. 4.33
Fig. 4.34
Fig. 4.35
13. En un ∆ABC, α = 3x – 45º; β = 3x – 45º y γ = x + 9º:
a) Calcula las amplitudes de sus ángulos interiores.
b) Clasifícalo según las amplitudes de sus ángulos y las longitudes de sus lados.
14. En la figura 4.36, M, N y P son puntos alineados. Si ∠ QNP = 2θ y ∠ M = θ, prueba
que MN = NQ .
15. En la figura 4.37, ED ⊥ BC , β = 50º, δ = 30º y CA y ED se cortan en F.
Halla α y θ.
BD
BE y AB =BC . Prueba que θ = ϕ.
16. En el ∆ABC de la figura 4.38, A ∈ , C ∈
Fig. 4.36
275
Fig. 4.37
Fig. 4.38

24. 17. Prueba que una paralela a cualquiera de los lados de un triángulo equilátero forma
un triángulo equilátero.
18. Prueba que si uno de los ángulos interiores de un triángulo isósceles mide 60º
entonces dicho triángulo es equilátero.
19.En la figura 4.39, AB  CD , ∠ DAB = 62º , DE: bisectriz del ∠ ADC, AD: bisectriz
del ∠ CAB. Calcula α.
BA
20. En el ∆ABC de la figura 4.40, AC = BC , ∠ C = 30º y M ∈ , M no coincide con
A ni con B.
a) Calcula la amplitud del ∠ A.
b) Prueba que
AC 〉 CM .
21. En la figura 4.41,
Calcula ∠ D y α.
Fig. 4.39
AB
DC, AE
BC, EF ⊥BC
, ∠ DAE = 22º y ∠ BAE = 48º.
Fig. 4.40
Fig. 4.41
22. Sea E el circuncentro del ∆ABC rectángulo en B
(Fig. 4.42), BC =CD . Calcula la amplitud del ∠ BCD
si, ∠ A = 50º.
Fig. 4.42
23. Di si son verdaderas o falsas las siguientes proposiciones:
a) Las amplitudes de los ángulos interiores de un cuadrilátero suman 180º.
b) Las diagonales de un cuadrado son iguales.
c) Las diagonales de un paralelogramo son iguales.
d) El rectángulo es el paralelogramo que tiene sus diagonales perpendiculares.
e) En el rombo sus diagonales son bisectrices de los ángulos opuestos.
276

25. 24. Prueba que las bisectrices de los ángulos consecutivos de un paralelogramo son
perpendiculares.
25. Prueba que si dos rectas son perpendiculares a una de dos rectas paralelas, el
paralelogramo que se forma al cortarse es un rectángulo.
26. Prueba que si los cuatro ángulos de un cuadrilátero son iguales, el cuadrilátero es
un rectángulo.
27. En la figura 4.43 se ha representado la circunferencia de
centro O y diámetro AD , con C y B puntos de la misma.
Además ∠ COD = 60° y BD mediatriz de OC . Marca con
una cruz la proposición verdadera:
___ El triángulo OCD no es isósceles.
___ El triángulo ABD no es rectángulo.
___ La amplitud del ∠ CBD es igual a 30°.
___ La amplitud del ∠ ADB no es igual a la amplitud del
ángulo ∠ BDC.
Fig. 4.43
28. Sea O el centro de una circunferencia de radio A (Fig.
4.44). D y C son puntos de la misma. CD y OA son
rectas que se cortan en B, punto exterior de la
circunferencia, con BC = OC . Calcula la amplitud del
∠ AOD si ∠ B = 40º.
29. CD es una tangente a la circunferencia de centro O en
el punto A y AB es un diámetro. RS es una cuerda paralela
a CD. Prueba que AB biseca a RS .
Fig. 4.44
30. ¿Cuál es el diámetro y el perímetro de un terreno circular cuya área es de
1 000 m2?
31. ¿Cuál es el área de un sector circular correspondiente a un ángulo central de 120º
en una circunferencia dada?
32. Un círculo tiene un radio de longitud igual a 20 dm. Si un sector circular tiene un
área de 30 dm2, ¿cuál es la longitud del arco que determina?
33. En la figura 4.45 BA y BC son tangentes, AD es un diámetro
y ∠ DAC = 20º. ¿Cuál es la amplitud del ángulo B?
Fig. 4.45
34. Prueba que si una tangente y una cuerda son paralelas y
desde el punto de tangencia se trazan las cuerdas que van hasta los extremos de
la cuerda dada, se forma un triángulo isósceles.
35. Prueba que si dos cuerdas iguales se trazan desde uno de los extremos de un
diámetro de una circunferencia, estas forman con el diámetro ángulos iguales.
36. En el triángulo ABC se tiene inscrita una circunferencia (Fig. 4.46). Sean M, N y P
los puntos de tangencia de AB, BC y CA con la circunferencia respectivamente y
sea su incentro:
277

26. a) Calcula el área sombreada si:
BC = 8,1 cm; AC = 7,2 cm; AM = 5,4 cm y ∠B = 53,1o
Fig. 4.46
4.3 Igualdad de triángulos
Para determinar propiedades o relaciones entre los elementos de ciertas figuras o para
construir figuras que satisfagan ciertas condiciones resultan útiles los criterios de
igualdad de triángulos. Recordemos que:
Dos triángulos son iguales si existe un movimiento del plano que transforme uno en
otro (traslación, rotación, reflexión o cualquier composición de ellos). Para esto sus tres
lados y sus tres ángulos deben ser iguales respectivamente.
Para demostrar que dos triángulos son iguales no es necesario demostrar que sus seis
elementos son también iguales respectivamente.
Ejemplo 1
En la figura 4.47 tenemos:
∆ACD: isósceles de base CD
∆ABE: isósceles de base BE
BCDE: trapecio isósceles de bases
CD
y BE .
Demuestra que ∆ABC = ∆ADE.
Resolución
Veamos cómo proceder, analizando primeramente qué
nos piden demostrar.
Debemos demostrar que dos triángulos son iguales.
¿Qué teoremas tienen como tesis que dos triángulos son iguales?, es decir, ¿qué
teoremas nos permiten demostrar que dos triángulos son iguales?
Criterios de igualdad de triángulos
Dos triángulos son iguales si tiene respectivamente iguales:
278

27. • los tres lados (Fig. 4.47a), o
• dos lados y el ángulo comprendido (Fig. 4.47b), o
• un lado y los ángulos adyacentes a ese lado (Fig. 4.47c).
La otra reflexión importante a realizar es: ¿de qué datos disponemos para asegurar
que se cumplen las premisas de alguno de estos criterios?
¿Qué significa que los triángulos ACD y ABE sean isósceles?
∆ACD isósceles de base
CD
∆ABE isósceles de base BE
AC =AD
AB =AE
∠ ACD = ∠ ADC
∠ ABE = ∠ AEB
¿Qué significa que el cuadrilátero BCDE es un trapecio isósceles de bases
? Significa que:
y BE
(lados no paralelos)
∠ EBC = ∠ BED
∠ BCD = ∠ EDC (ángulos adyacentes a las bases)
BE
CD ;
CD
BC = DE
Al analizar los datos de conjunto observamos las siguientes tres igualdades:
, que se establecen entre las longitudes de los lados
de los triángulos cuya igualdad se pretende demostrar, luego podemos utilizar el
AC = CD, AB = AE y BC = DE
279

28. criterio que plantea que para que dos triángulos sean iguales es suficiente que tengan
sus tres lados respectivamente iguales.
¿Cómo quedaría representada la demostración?
Demostración:
(1) AC =CD por ser lados del ∆ACD isósceles de base CD
(2) AB =AE por ser lados del ∆ABE isósceles de base BE
(3) BC = DE por ser BCDE un trapecio isósceles
∴ ∆ABC = ∆ADE por tener respectivamente iguales sus tres lados.

Busca otras vías para la demostración de la igualdad de dichos triángulos.
Ejemplo 2
En la figura 4.49 tenemos:
ABCD: cuadrado,
E: punto medio de DC .
Prueba que ∆ ADE = ∆ BCE
Resolución
Después de realizar una reflexión similar a la realizada en el Ejemplo 1, la
demostración quedaría así:
(1) AD = BC por ser lados del cuadrado ABCD
(2) DE = EC por ser E punto medio de CD
(3) ∠ D = ∠ C por ser ángulos interiores del cuadrado ABCD.
∴ ∆AED = ∆BCE por tener respectivamente iguales dos lados y el ángulo
comprendido.

Busca otras vías para la demostración de la igualdad de dichos triángulos.
Ejemplo 3
Construye un triángulo, sabiendo que la longitud c de un lado es de 9 cm, la altura hc
correspondiente a dicho lado es de 5 cm y que un ángulo adyacente es de 45 o.
Describe y fundamenta tu construcción.
Resolución
Descripción de la construcción:
280

29. 1. Sobre una recta se traza el segmento
AB de longitud c.
2. Se trazan dos rectas paralelas a una
distancia de 5 cm de AB .
3. Se traza por A o por B, digamos por
A, las semirrectas que forman con la
recta AB un ángulo de 45o,
4. Los puntos donde se intersecan las
rectas con las semirrectas serán los
que corresponden a la posición de los
vértices C y C´.
C
5 cm
A
B
5 cm
C´
Fundamentación de la construcción:
Se conocen los vértices A y B del triángulo. Se trata precisamente de determinar la
posición del vértice C. Al intersecarse las rectas que están a una distancia de 5 cm de
o
AB , con las semirrectas que forman un ángulo de 45 con la recta AB, se determina la
posición de este vértice (salvo una reflexión de eje AB). Como se conocen las
longitudes de dos lados, AB y AC , y la amplitud del ángulo comprendido, que es el
∠CAB , podemos construir el triángulo de manera unívoca.
Ejemplo 4
En la figura 4.51, ABCD: trapecio isósceles. DE ⊥ AD , AF ⊥ AD , ∠ BCE = ∠ CBF
Prueba que ∆CDE = ∆BAF.
Resolución
(1)
CD = AB
por lados no paralelos del trapecio isósceles ABCD
∠ BCE = ∠ CBF por datos
∠ DCB = ∠ ABC por ángulos bases del trapecio
isósceles ABCD
∠ BCE – ∠ DCB = ∠ CBF – ∠ ABC por diferencia de ángulos
(2) ∠ ECD = ∠ ABF
∠ EDC + ∠ CDA + ∠ EDA = 360o (I) por suma de ángulos alrededor del punto E
∠ FAB + ∠ DAB + ∠ FAD = 360o (II) por suma de ángulos alrededor del punto A
De (I) y (II) tenemos: ∠ EDC + ∠ CDA + ∠ EDA = ∠ FAB + ∠ DAB + ∠ FAD
∠ CDA = ∠ DAB por ángulos bases del trapecio isósceles ABCD
∠ EDA = ∠ FAD = 1R por ser DE ⊥ AD y AF ⊥ AD
(3) ∠ EDC = ∠ FAB por resta de ángulos iguales
Por tanto ∆CDE = ∆BAF por tener respectivamente iguales un lado y los ángulos
adyacentes a él.
281

30. 
Demuestra que en el ejemplo anterior el cuadrilátero ADEF es un rectángulo y que
BCEF es un trapecio isósceles.
Ejercicios del epígrafe 4.3
1. Construye un triángulo equilátero de 4,5 cm de longitud. Describe y fundamenta tu
construcción.
2. Construye un triángulo, dados un lado y la altura y la mediana correspondiente a
dicho lado. Describe y fundamenta tu construcción.
3. Construye un triángulo ABC, sabiendo que BC =5,0 cm , AC =7,0 cm y que las
mediatrices relativas a estos lados son perpendiculares. Describe y fundamenta tu
construcción.
4. Construye
un
triángulo
ABC
a
partir
de
los
datos
siguientes:
o,
AC = 7 cm, ρ = 2 cm y γ = 80 donde ρ es el radio de la circunferencia circunscrita
del triángulo ABC y γ es la amplitud del ángulo interior ∠ ACB . Describe y
fundamenta tu construcción.
5. En la figura 4.52 ABCD es un paralelogramo, E y F puntos de la diagonal BD ,
∠ EAB = ∠ DCF. Prueba que AE =CF .
6. En el ∆ABC de la figura 4.53, AE y BD se cortan en P, AD = BE y
∠ CAB = ∠ CBA. Prueba que AE = BD .
Fig. 4.52
Fig. 4.53
7. Si en el ∆ABC de la figura 4.53 AE =BD y AD =BE . Prueba que
∠ EBA = ∠ BAD.
8. Prueba que si desde un punto de la mediatriz de un segmento se une ese punto con
los extremos del segmento dado, se cumple que:
a) Los segmentos trazados son iguales.
b) El ángulo formado por esos dos segmentos es bisecado por la mediatriz del
segmento.
9. En la figura 4.54, ABCD: rombo, ∆AEF isósceles de base EF . Prueba que ∆EFC es
isósceles.
10. En el paralelogramo ABCD de la figura 4.55 se tiene que E y F puntos de la
diagonal BD y AF = CE . Prueba que:
a) ∆AED = ∆BCF
b) ∆DEC = ∆ABF
282

31. 11. O es el centro del paralelogramo ABCD (Fig. 4.56), M y N puntos de AB y
respectivamente. Prueba que AM = NC .
Fig. 4.55
CD
Fig. 4.56
Fig. 4.54
MC, P ∈
MC y N ∈
AB , NP ⊥ AB ,
12. En la figura 4.57 BC ‌││ ‌ MN , A ∈
BC ⊥AP y BC = MP . Prueba que AB = NP .
13. B, C, D, E y F son puntos de la circunferencia C(O; OA ) (Fig. 4.58), BE : diámetro
y los arcos BF y EC son iguales. Demuestra que el cuadrilátero GBHE es un
paralelogramo, donde G: punto de intersección de EF con AD y H: punto de
intersección de BC con AD.
Fig. 4.57
Fig. 4.58
14. Prueba que las alturas trazadas desde los vértices de los ángulos base de un
triángulo isósceles son iguales.
15. Prueba que las medianas relativas a los lados iguales de un triángulo isósceles son
iguales.
16. Prueba que las bisectrices de los ángulos base de un triángulo isósceles son
iguales.
17. Los puntos A, B y C pertenecen a la circunferencia de centro O
(Fig. 4.59), OD ⊥ AB ; BC ⊥ OE y OD = OE , con D y E puntos
de AB y BC respectivamente:
a) Prueba que: AB =BC .
b) ¿Qué conclusiones puedes sacar de los datos y del inciso a)?
Fig. 4.59
283

32. 18. Prueba que si desde los extremos de las diagonales de un paralelogramo se trazan
segmentos perpendiculares a la otra diagonal, estos segmentos son iguales.
19. Sean A, B y C tres puntos de una circunferencia de centro O, de modo que no hay
tres puntos alineados incluyendo a O. Si B es el punto medio del arco AC, prueba
que en el cuadrilátero OABC:
a) OB es bisectriz de los ángulos ABC y AOC.
b) ∠ A = ∠ C.
c) OB ⊥ AC .
20. Prueba que si dos triángulos tienen respectivamente iguales dos lados y la mediana
relativa a uno de ellos, son iguales.
21. Prueba que si dos triángulos tienen respectivamente iguales dos lados y la altura
relativa a uno de ellos, son iguales.
22. En la figura 4.60 se han trazado segmentos de
extremos A, B, D y E que concurren en C. Se tiene:
∆BDF isósceles de base BD , FC bisectriz interior
del ∠ ACE; ∠ BFC = ∠DFC y AC = CE . Prueba que
AB = DE .
Fig. 4.60
4.4 Semejanza de figuras geométricas
Teorema de las transversales
En planos, mapas y maquetas encontramos usualmente una escala, como por ejemplo,
1: 90 000 000, que significa que 1 cm en el mapa o el plano equivalen a 900 km. Esta
escala no es más que la razón entre dos segmentos, es decir, la razón entre los
números que expresan sus medidas en la misma unidad de longitud.
La igualdad de dos razones entre segmentos constituye una proporción y hablamos
entonces de segmentos proporcionales.
En símbolos:
AB
CD
=
A1B1
C1D1
Se lee: AB es a CD como A1B 1 es a C1 D1 o, los segmentos AB y CD son
proporcionales a A1B 1 y C1 D1 .
Sean a, b, c, d las medidas, expresadas en la misma unidad, de segmentos dados.
Entonces de
a
c
=
(a y d: extremos; b y c: medios) resulta:
b
d
a · d = b · c Teorema fundamental de la proporciones
a ±c
a ±c
c ±d
a
c
=
=
y a ó b =c o d
b ±d
b
d
Por otra parte, al segmento cuya medida es x, lo denominamos:
284

33. • Cuarto proporcional, si: a : b = c : x.
• Medio proporcional (media geométrica), si: x2 = a · b o a · x = x : b.
• Tercero proporcional, si: a : b = b : x.
Ejemplo 1
Determina la longitud de un segmento GH que sea proporcional a los segmentos
AB = 6,5 cm, CD = 3,9 cm y EF = 7,4 cm .
Resolución
Para encontrar la longitud del segmento
los cuatro segmentos dados:
AB
CD
=
GH
debemos plantear una proporción entre
EF
GH
Sustituyendo las longitudes de los segmentos conocidos podemos encontrar la longitud
del segmento pedido, luego:
6,5 cm
7,4 cm
=
3,9 cm
GH
6,5 cm ⋅GH =3,9 cm ⋅ 7,4 cm
 28,86 
GH = 
 cm
 6,5 
GH =4,44 cm

En el ejemplo anterior se pueden plantear otras proporciones con dichos segmentos
obteniendo así otros valores para GH . ¡Búscalas!
Sean: OB y OD semirrectas, AC y BD rectas paralelas. Se dice que un segmento de
una semirrecta es correspondiente de un segmento de la otra:
• si sus extremos pertenecen a las mismas rectas, o
• si tienen un extremo común y los otros extremos pertenecen a la misma recta.
Son segmentos correspondientes, por ejemplo:
, AC y BD , AB y CD .
OA
y
OC
Con el asistente matemático Geómetra construye la figura
4.61 y con ayuda del puntero varía la posición del origen
común de las semirrectas, comprobando mediante la
medición previa de la longitud de los segmentos que
aparecen en las siguientes proporciones, que se verifican
estas relaciones:
OA
AB
=
OC
CD
,
OA
OB
=
OC
OD
,
AB
OB
=
CD
OD
285

34. Teorema de las transversales
Si dos semirrectas de origen común son cortadas por varias rectas paralelas, entonces
la razón entre dos segmentos de una de ellas es igual a la razón entre los dos
segmentos correspondientes en la otra, es decir, se forman segmentos proporcionales.

Comprueba que también se cumplen las siguientes proporciones:
OA
AC
=
OB
BD
,
OC
AC
=
OD
BD
Ejemplo 2
En la figura 4.62, MC  ND intersecan a las semirrectas
ON y OD, y se cumple que:
OM
MN
MN =12 cm y OD =16 cm .
=
1
4
Calcula
,
OM, OC y CD
.
Resolución
Cálculo de
OM =
OM
MN
:
OM
=
1
4
por datos
1
· MN
4
1
OM =
· 12 cm
4
OM =
OM =3 cm
Cálculo de
OC
:
Para calcular OC , como conocemos que
de las transversales podemos plantear:
OM
ON
=
OC
OD
OD =
16 cm
y MC  ND por el Teorema
(1)
En la proporción (1) falta conocer la longitud de
ON = OM + MN
ON
, pero:
por suma de segmentos
ON =3 cm +12 cm
ON =15 cm
De (1) tenemos:
OC =
OM · OD
ON
286

35.  3 · 16 
OC = 
 cm = 3,2 cm
 15 
Cálculo de
CD :
= OD − OC
CD
por resta de segmentos
CD =16 cm – 3,2 cm
CD = ,8 cm
12

En el ejemplo anterior el cálculo de la longitud de CD lo puedes realizar también
aplicando el Teorema de las transversales. ¡Inténtalo!
Ejemplo 3
En todo triángulo la bisectriz de cualquiera de sus ángulos interiores divide al lado
opuesto en segmentos proporcionales a los otros dos lados del triángulo (Teorema de
la bisectriz).
Resolución
En la premisa se plantea:
∆ABC: cualquiera
CD: bisectriz del ∠ C (Fig. 4.63)
En la tesis se afirma que los segmentos en que la bisectriz divide al lado opuesto a ese
ángulo ( AD y DB ) son proporcionales a los otros dos lados del triángulo ( AC y BC
), o sea, que:
AD
DB
=
AC
BC
(1)
¿Cómo podemos demostrar la proporcionalidad de estos segmentos?
Hasta el momento para demostrar la proporcionalidad de segmentos contamos con el
teorema de las transversales, pero para ello debemos tener dos o más semirrectas de
origen común cortadas por paralelas. ¿Tenemos esa condición en la premisa de este
teorema que queremos demostrar? No, pero ¿podríamos lograrla a través de
construcciones auxiliares? ¿Cómo realizarla?
287

36. Según el teorema de las transversales las paralelas
determinan segmentos proporcionales en las semirrectas
que cortan, es decir, las razones entre los segmentos
determinados en una semirrecta son iguales a las razones
de los segmentos correspondientes en la otra.
Al analizar la proporción (1) debemos tener la razón entre
los segmentos AD y DB , luego, estos deben estar entre
paralelas, por tanto, tracemos por el vértice A una paralela
a la bisectriz CD de forma tal que corte a la prolongación
de BC en un punto E (Fig. 4.64). Entonces tenemos que AE
de las transversales podemos plantear que:
AD
DB
=
EC
BC
CD
y por el teorema
(2)
Al comparar las proporciones (1) y (2) observamos que se diferencian en AC y EC ,
luego para que este teorema se cumpla debemos probar que AC = EC o que el
triángulo ACE es isósceles, para ello tenemos:
CD y AC secante.
∠ DCA = ∠ CAE por ser alternos internos entre AE
CD y BE secante.
∠ BCD = ∠ CEA por ser correspondientes entre AE
Pero ∠ DCA = ∠ BCD por ser CD bisectriz del ∠ ACB.
Luego ∠ CAE = ∠ CEA por carácter transitivo de la relación de igualdad.
Entonces en el ∆ACE se cumple que:
EC = AC
(3) porque en un triángulo a ángulos iguales se oponen lados iguales.
Sustituyendo (3) en (2) tendremos que:
AD
DB
=
AC
BC
.
Observa en el ejemplo anterior que para lograr la demostración hemos realizado una
construcción auxiliar la cual no se ha hecho arbitrariamente, sino que permite
garantizar una condición para poder aplicar el teorema de las transversales y realizar la
demostración.

Formula el recíproco del Teorema de la bisectriz. ¡Demuéstralo!
Semejanza de triángulos
¿Te has detenido a observar tu imagen en un espejo?, ¿y una fotografía tuya?
La imagen del espejo corresponde con tus dimensiones, pero, ¿sucede lo mismo con
tu fotografía?, en este caso, las dimensiones han variado (proporcionalmente), pero se
mantiene la misma forma en la imagen; luego, tu imagen en el espejo es semejante a
la de tu fotografía.
288

37. Teniendo en cuenta lo antes dicho, las figuras que tienen la misma forma y
dimensiones proporcionales se llaman figuras semejantes (Fig. 4.65).
¿Son semejantes los rectángulos ABCD y DEFG representados en la figura 4.66?
Observa que en ambos casos los ángulos entre los lados se mantienen y las
dimensiones han disminuido, pero, en la figura (a) los lados han disminuido de forma
proporcional, el largo y el ancho del rectángulo DEFG son las mitades de sus
correspondientes en el rectángulo ABCD. No sucede así en la figura (b) luego decimos
que los rectángulos en la figura (a) son semejantes y los de la figura (b) no lo son.
¿Cuándo dos triángulos son semejantes?
Dos triángulos son semejantes cuando sus ángulos son respectivamente iguales y
cuando sus lados homólogos, o sea, los que se oponen a ángulos iguales son
respectivamente proporcionales.
Sean los triángulos ABC y A´B´C´ (Fig. 4.67). Si en
ellos se cumple que:
∠ A = ∠ A´
289

38. ∠ B = ∠ B´
∠ C = ∠ C´
AB
BC
CA
=
=
= k
A′B ′
B ′C ′
C ′A′
Decimos que el ∆ABC es semejante al ∆A´B´C´ y lo expresamos simbólicamente como
∆ABC ~ ∆A´B´C´ donde la razón k se llama razón de semejanza.
¿Qué sucede si en un triángulo trazamos una recta paralela a un lado de un triángulo o
a sus prolongaciones? (Fig. 4.68)
Fig. 4.68
Observa que se forman dos triángulos que son el ∆ABC y el ∆CMN que tienen un lado
respectivamente paralelo. En un caso un ángulo es común (Fig. 4.68a) y en el otro
caso un ángulo es opuesto por el vértice (Fig. 4.68b). Se puede demostrar que los
restantes ángulos son iguales dos a dos y que los lados de esos triángulos son
respectivamente proporcionales por el teorema de las transversales, por lo que dichos
triángulos son semejantes.

Demuestra la afirmación anterior.
Este resultado se recoge en el siguiente teorema:
Teorema fundamental de la semejanza de triángulos
Si se traza una recta paralela a un lado de un triángulo de forma tal que corte a los
otros dos lados o a sus prolongaciones, entonces los triángulos que así se forman son
semejantes.

Demuestra que el segmento que une los puntos medios de dos lados de un
triángulo es paralelo al tercero e igual a su mitad.

Formula el recíproco del Teorema fundamental de la semejanza de triángulos.
De igual forma que en la igualdad de triángulos, en la semejanza no es necesario
demostrar que los tres ángulos son respectivamente iguales y los tres segmentos son
respectivamente proporcionales.
Criterios de semejanza de triángulos
Dos triángulos son semejantes si tienen respectivamente:
290

39. • iguales dos ángulos, o
• dos lados proporcionales e igual el ángulo comprendido, o
• proporcionales sus tres lados.
Ejemplo 1
Sea el ∆BCA rectángulo en C (Fig. 4.69),
Demuestra que ∆BCA ∼ ∆ADC ∼ ∆CDB.
CD =h AB
.
Resolución
por ser CD =hAB , luego los ∆ADC y
∆CDB son rectángulos en D.
En ∆BCA y ∆ADC tenemos:
CD ⊥AB
Fig. 4.69
∠ A: común
∠ C = 1R por ser ∆BCA rectángulo en C
∠ ADC = 1R por ser ∆ADC rectángulo en D
Luego ∠ C = ∠ ADC por el carácter transitivo de la relación de igualdad. Entonces
∆ABC ∼ ∆ADC por tener respectivamente iguales dos ángulos.
En ∆ADC y ∆CDB tenemos:
AC ⊥BC
AB ⊥
CD
por ser ∆BCA rectángulo en C
por ser ∆CDB rectángulo en D
Luego ∠ ACD = ∠ CBD por ser ángulos agudos de un triángulo rectángulo que tienen
sus lados respectivamente perpendiculares.
∠ ADC = ∠ CBD = 1R por ser CD ⊥AB
Entonces ∆ADC ∼ ∆CDB por tener respectivamente iguales dos ángulos.
Por tanto ∆BCA ∼ ∆ADC ∼ ∆CDB por el carácter transitivo de la semejanza de
triángulos.

Otra forma de proceder es demostrando primero la semejanza de ∆BCA y ∆CDB.
¡Inténtalo!
Con este ejemplo queda demostrado que si en un triángulo rectángulo se traza la altura
relativa a la hipotenusa, todos los triángulos que se forman son semejantes.
Además, al conocer que dos triángulos son semejantes se puede plantear la
proporcionalidad entre los lados homólogos de estos triángulos, o sea,
Si ∆BCA ∼ ∆ADC, entonces
AC
AB
=
CD
BC
=
AD
AC
.
291

40. 
Plantea la proporcionalidad de los lados homólogos en los restantes triángulos que
son semejantes.
Ejemplo 2
En el triángulo ABC (Fig. 4.70), AE y
triángulo ABC. AE  CD ={G} .
a) Prueba que ∆AGC ∼ ∆DEG.
b) Demuestra que GE =
CD
medianas del
2
2
AE ; CG = CD .
3
3
Resolución
Fig. 4.70
a) Como D y E son puntos medios de AB y BC, DE es
paralela
media
y
por
Teorema fundamental de la semejanza de triángulos ∆AGC ∼ ∆DEG.
b) De la semejanza de ∆AGC y de ∆DEG resulta:
Como DE =
1
AC , resulta k = 2, de donde
2
De AE =AG
demostrar.

AG
GE
=
CG
GD
=k
.
AG =2 GE; CG =2 GD
+GE =3 GE y CD =CG +GD =3 GD
el
.
, resulta lo que se quería
Formula con tus palabras el resultado obtenido en el inciso b) del ejemplo anterior.
Ejemplo 3
En la figura 4.71 CDEF es un rectángulo inscrito en el
∆ABC. Demuestra que ∆AED ∼ ∆BFE.
Resolución
DE
AE
EB
BC y EF
=
Pero
AD
DC
AE
EB
por estar el rectángulo CDEF
inscrito en el ∆ABC
Fig. 4.71
por el Teorema de las transversales
DC =
EF
Luego
AC
=
por lados opuestos del rectángulo CDEF
AD
EF
BE BF
=
por el Teorema de las transversales
EA FC
AE
EB
=
Pero
CF
FB
CF =DE
por lados opuestos del rectángulo CDEF
AE
DE
=
EB
FB
AE
DE
AD
=
=
Entonces
EB
FB
EF
Luego
por el carácter transitivo de la relación de igualdad.
292

41. ∴ ∆AED ∼ ∆BFE por tener respectivamente proporcionales sus tres lados.

La semejanza de los triángulos se puede demostrar aplicando los otros dos
criterios. Realiza la demostración.
Si ∆ABC y ∆A'B'C' son semejantes y sus perímetros son P y P' y sus áreas A y A'
respectivamente, entonces P' = kP y A' = R2A, donde R es la razón entre el lado del
∆A'B'C' y su homólogo en el ∆ABC.
293