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人生を豊かにする線形代数学
- 3. 本日の内容一覧 線形代数学について 連立1次方程式の数値解法 連立1次方程式と流体シミュレーション 固有値・固有ベクトル 微分方程式と固有値 固有値と解の安定性
- 4. 線形代数学とは？ もともとは, 連立1次方程式の解法に関する学問分野. この考えを拡張すると, 連立1次方程式を線形変換と捉えた, 線形な変換の理論とも言える. 𝑋 𝑦 = 𝑇𝑥 𝑌 𝑦 𝑥 𝑇: 𝑋 → 𝑌 𝑇: 𝑋 ∋ 𝑥 ⟼ 𝑇𝑥 ∈ 𝑌
- 5. 連立1次方程式 𝑦1 = 𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛 𝑥 𝑛 𝑦2 = 𝑎21 𝑥1 + 𝑎22 𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑛 𝑥 𝑛 ⋮ 𝑦 𝑚 = 𝑎 𝑚1 𝑥1 + 𝑎 𝑚2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎 𝑚𝑛 𝑥 𝑛 のような, 連立1次方程式を解きたい場面は あらゆる分野で登場する. 連立1次方程式の解について学ぼう！
- 6. 連立1次方程式 𝑦1 = 𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛 𝑥 𝑛 𝑦2 = 𝑎21 𝑥1 + 𝑎22 𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑛 𝑥 𝑛 ⋮ 𝑦 𝑚 = 𝑎 𝑚1 𝑥1 + 𝑎 𝑚2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎 𝑚𝑛 𝑥 𝑛 という問題を解きたい！ 𝑦1 𝑦 = ⋮ は既知 𝑦𝑚 𝑥1 𝑥 = ⋮ は未知 𝑥𝑛 𝑦 = 𝐴𝑥と書き換えると, 係数行列𝐴に逆行列があれば, 𝑥 = 𝐴−1 𝑦が解！ この連立方程式はどうやって解くべきか？
- 7. 連立1次方程式の解法 掃き出し法 クラメールの公式 LU分解 SOR法 共役勾配法 etc…
- 8. 連立1次方程式の解法(直接法) 掃き出し法 クラメールの公式 LU分解 𝐴 = 𝐿𝑈と分解する. 𝑦 = 𝐴𝑥 = 𝐿𝑈𝑥 𝑙11 𝑙21 𝑙22 𝐿= ⋮ ⋮ ⋱ 𝑙 𝑛1 𝑙 𝑛2 ⋯ 𝑙 𝑛𝑛 𝑢11 𝑈= 𝑢12 𝑢22 ⋯ ⋯ ⋱ 𝑢1𝑛 𝑢2𝑛 ⋮ 𝑢 𝑛𝑛
- 9. LU分解の続き 𝑈𝑥 = 𝑏とおくと, 𝑦 = 𝐿𝑈𝑥 = 𝐿𝑏という 新しい連立方程式に変形できる. 𝑦1 𝑙11 𝑦2 𝑙 = 21 ⋮ ⋮ 𝑦𝑛 𝑙 𝑛1 𝑙22 ⋮ 𝑙 𝑛2 ⋱ ⋯ 𝑙 𝑛𝑛 𝑏1 𝑏2 ⋮ 𝑏𝑛 上から順番に計算すれば簡単に𝑏が求まる！ 同様に𝑈𝑥 = 𝑏を求めてやればよい(こちらは下から順番に). 𝑢11 𝑏1 𝑏2 = ⋮ 𝑏𝑛 𝑢12 𝑢22 ⋯ ⋯ ⋱ 𝑢1𝑛 𝑢2𝑛 ⋮ 𝑢 𝑛𝑛 𝑥1 𝑥2 ⋮ 𝑥𝑛
- 10. 微分方程式の数値解法 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥)という微分方程式を数値的に解くには？ 差分化 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑦 𝑥+Δ𝑥 −𝑦(𝑥) より, Δ𝑥 Δ𝑥→0 = lim 𝑓 𝑥 ≈ 𝑦 𝑥+Δ𝑥 −𝑦(𝑥) と考えれば, Δ𝑥 𝑦 𝑥 = 𝑦 𝑥 + Δ𝑥 − 𝑓 𝑥 Δ𝑥で近似的に計算できる. 前進差分 𝑦 𝑥 + Δ𝑥 − 𝑦(𝑥) 𝑦 𝑖+1 − 𝑦 𝑖 = Δ𝑥 Δ𝑥 後退差分 𝑦 𝑥 − 𝑦(𝑥 − Δ𝑥) 𝑦 𝑖 − 𝑦 𝑖−1 = Δ𝑥 Δ𝑥 前進差分と後退差分の平均→中心差分 𝑦 𝑥 + Δ𝑥 − 𝑦(𝑥 − Δ𝑥) 𝑦 𝑖+1 − 𝑦 𝑖−1 = 2Δ𝑥 2Δ𝑥
- 11. 非圧縮性流れのシミュレーションについて 2次元非圧縮性流体におけるNavier – Stokes方程式 及び連続の式 𝜕𝑢 𝜕𝑣 + =0 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑢 𝜕𝑢 𝜕𝑢 𝜕𝑝 1 + 𝑢 + 𝑣 =− + 𝜕𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝑅𝑒 𝜕𝑣 𝜕𝑣 𝜕𝑣 𝜕𝑝 1 + 𝑢 + 𝑣 =− + 𝜕𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝑅𝑒 𝜕2 𝑢 + 𝜕𝑥 2 𝜕2 𝑣 + 𝜕𝑥 2 𝜕2 𝑢 𝜕𝑦 2 𝜕2 𝑣 𝜕𝑦 2 SMAC法によって解く 1. 𝑢, 𝑣の暫定値𝑢∗ , 𝑣 ∗を求める(Burgers方程式) 2. 暫定値𝑢∗ , 𝑣 ∗ を用いて圧力の修正量𝛿𝑝を求める(Poisson方程式) 3. 𝛿𝑝を現ステップの圧力値に足して次ステップの圧力値とする 4.暫定値𝑢∗ , 𝑣 ∗ を, 𝛿𝑝を用いて修正する
- 12. ポアソン方程式の数値解法 ポアソン方程式 𝜕2 𝜕2 2 𝑝(𝑥, 𝑦) + 𝜕𝑦 2 𝑝(𝑥, 𝑦) = 𝑠(𝑥, 𝑦) 𝜕𝑥 1,1 1,2 2,1 2,2 … … m,1 m,2 ⋮ ⋮ i,j ⋮ 1,n 2,n … m,n 差分化（中心差分） 𝑝 𝑖−1,𝑗 − 2𝑝 𝑖,𝑗 + 𝑝 𝑖+1,𝑗 𝑝 𝑖,𝑗−1 − 2𝑝 𝑖,𝑗 + 𝑝 𝑖,𝑗+1 + = 𝑠 𝑖,𝑗 2 2 Δ𝑥 Δ𝑦 ∆𝑥 = ∆𝑦 = ℎとすると, (𝑝 𝑖−1,𝑗 − 2𝑝 𝑖,𝑗 + 𝑝 𝑖+1,𝑗 ) + (𝑝 𝑖,𝑗−1 − 2𝑝 𝑖,𝑗 + 𝑝 𝑖,𝑗+1 ) = ℎ2 𝑠 𝑖,𝑗
- 13. ポアソン方程式の数値解法 (𝑝 𝑖−1,𝑗 − 2𝑝 𝑖,𝑗 + 𝑝 𝑖+1,𝑗 ) + (𝑝 𝑖,𝑗−1 − 2𝑝 𝑖,𝑗 + 𝑝 𝑖,𝑗+1 ) = ℎ2 𝑠 𝑖,𝑗 簡単のため, 4×4の領域で考える 1,1 2,1 3,1 4,1 1,2 2,2 3,2 4,2 1,3 2,3 3,3 4,3 1,4 2,4 3,4 4,4 𝑇 𝑇 𝑝 𝑖,1 = 𝑝1,1 𝑝2,1 𝑝3,1 𝑝4,1 とし, 𝑝 = 𝑝 𝑖,1 𝑝 𝑖,2 𝑝 𝑖,3 𝑝 𝑖,4 とおく. 𝑠 𝑖,1 = 𝑇 2 𝑠1,1 𝑠2,1 𝑠3,1 𝑠4,1 とし, ℎ 𝑠 = ℎ 2 𝑇 𝑠 𝑖,1 𝑠 𝑖,2 𝑠 𝑖,3 𝑠 𝑖,4 とおく.
- 14. ポアソン方程式の数値解法 𝑝 𝑖−1,𝑗 + 𝑝 𝑖+1,𝑗 + 𝑝 𝑖,𝑗−1 + 𝑝 𝑖,𝑗+1 − 4𝑝 𝑖,𝑗 = ℎ2 𝑠 𝑖,𝑗 𝑝 = 𝑝 𝑖,1 𝑝 𝑖,2 𝑝 𝑖,3 𝑝 𝑖,4 𝑇 ℎ2 𝑠= ℎ2 𝑠 𝑖,1 𝑠 𝑖,2 𝑠 𝑖,3 𝑠 𝑖,4 𝑇 𝐴𝑝 = ℎ2 𝑠の形とすると, 連立１次方程式となる. 1 1 1 1 1 1 1 1 −4 1 1 −4 𝐴= 1 1 1 1 1 1 1 1 −4 1 1 −4 1 1 1 1 1 1 1 1
- 17. 対角化 行列𝐴を, 𝑃−1 𝐴𝑃 = diag(𝜆1 , 𝜆2 , … , 𝜆 𝑛 )のようにして 対角行列へ変換できるとき, 行列𝐴は対角化可能である. 𝑃 = [ 𝑝1 𝑝2 ⋯ 𝑝 𝑛 ]とすると, 𝐴𝑃 = 𝐴𝑝1 𝐴𝑝2 ⋯ 𝐴𝑝 𝑛 , 𝑃 × diag 𝜆1 , 𝜆2 , … , 𝜆 𝑛 = 𝜆1 𝑝1 𝜆2 𝑝2 ⋯ 𝜆 𝑛 𝑝 𝑛 となる. 𝐴𝑝1 𝐴𝑝2 ⋯ 𝐴𝑝 𝑛 = 𝜆1 𝑝1 𝜆2 𝑝2 ⋯ 𝜆 𝑛 𝑝 𝑛 であることから, 𝑝 𝑖 は固有ベクトル, 𝜆 𝑖 は固有値であるといえる. 固有値･固有ベクトルを用いて, 行列を対角化できる. (固有値が重複しているとダメ）
- 18. 微分方程式と固有値 まずは普通の微分方程式 𝑑𝑥 = 𝑎𝑥 𝑑𝑡 を考える. 解は𝑥(𝑡) = 𝑒 𝑎𝑡 𝑥(0)となる.
- 19. 微分方程式と固有値 連立微分方程式 𝑥1 𝑎11 𝑑 𝑥2 = 𝑑𝑡 ⋮ 𝑥𝑛 𝑎22 解は 𝑥1 𝑒 𝑎11 𝑡 𝑥2 ⋮ = 𝑥𝑛 𝑒 𝑎22 𝑡 ⋱ ⋱ 𝑎 𝑛𝑛 𝑥1 𝑥1 𝑥2 𝑥2 ⋮ = 𝐴 ⋮ 𝑥𝑛 𝑥𝑛 𝑥(0) = 𝑒 𝑒 𝑎 𝑛𝑛 𝑡 𝐴𝑡 𝑥(0)
- 20. 微分方程式と固有値 連立微分方程式 𝑥1 𝑥1 𝑥2 𝑑 𝑥2 = 𝐴 ⋮ を解くには？ 𝑑𝑡 ⋮ 𝑥𝑛 𝑥𝑛 座標変換𝑥 = 𝑇𝑧を行う. (𝑇は固有ベクトルを並べた行列) 𝑑 𝑇𝑧 = 𝐴𝑥 = 𝐴𝑇𝑧 𝑑𝑡 𝑑 つまり, 𝑑𝑡 𝑧 = 𝑇 −1 𝐴𝑇𝑧 = diag 𝜆1 , 𝜆2 , … , 𝜆 𝑛 𝑧となる. −1 この解は𝑧 = 𝑒 𝑇 𝐴𝑇𝑡 𝑧(0)である. −1 𝑇 −1 𝑥 = 𝑒 𝑇 𝐴𝑇𝑡 𝑇 −1 𝑥(0)なので, 𝑇 −1 𝐴𝑇𝑡 −1 𝑥 = 𝑇𝑒 𝑇 𝑥(0) である.
- 21. 固有値と応答 𝑥(𝑡) = 𝑒 𝑎𝑡 𝑥(0)の特性について考えよう. (𝑎は複素数) 𝑎 = 𝛼 + 𝑗𝛽とする. 𝑥 𝑡 = 𝑒 𝛼𝑡 𝑒 𝑗𝛽𝑡 𝑥 0 = 𝑥(0)𝑒 𝛼𝑡 (cos 𝛽𝑡 + 𝑗 sin 𝛽𝑡) 実部のみを考えて 𝑥 𝑡 = 𝑥(0)𝑒 𝛼𝑡 cos 𝛽𝑡 𝑎の実部は収束･発散性, 虚部は振動性に影響する.
- 22. 固有値とモード 座標変換𝑥 = 𝑇𝑧を利用してみよう. 𝒙 𝑡 = 𝑒 𝐴𝑡 𝑒 𝜆1 𝒙 0 = 𝑇 0 ⋮ 0 = 𝒗1 = 𝒗1 𝑒 𝜆1 0 𝑒 𝜆2 ⋮ 0 0 0 ⋱ ⋯ 0 0 𝑇 −1 𝒙 0 ⋮ 𝑒 𝜆𝑛 𝑒 𝜆1 0 0 0 𝑒 𝜆2 0 0 𝒛 0 𝒗2 ⋯ 𝒗 𝑛 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ 𝑒 𝜆𝑛 𝑧1 0 + 𝒗2 𝑒 𝜆2 𝑧2 0 + ⋯ + 𝒗 𝑛 𝑒 𝜆 𝑛 𝑧 𝑛 0 それぞれの固有値ごとの特性を調べれば, 運動の様子が想像できる！ →モード展開
- 24. 線形代数とともに あらんことを…