1. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Interpolação

2. Interpolação
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
• Definição
• Interpolação Linear
• Interpolação Polinomial
• Aplicações
• Interpolação Quadrática

3. Definição
Interpolação
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Interpolar é construir um novo conjunto de dados a partir de
um conjunto discreto de dados pontuais previamente conhecidos.
Consiste em determinar uma função (iremos considerar
polinômios), que assume valores conhecidos em certos pontos (nós
de interpolação).
A classe de funções escolhida para a interpolação é a priori
arbitrária e deve ser adequada às características que pretendemos
que a função possua.

4. Definição
Interpolação
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x
y

5. Definição
Interpolação
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x
y

6. Definição
Interpolação
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Aplicações
• Obtenção de valores intermediários em tabelas (crescimento
de bactérias, consumo de água, energia, etc.);
• Solução de Equações Diferencias Ordinárias (EDO s);
• Integração numérica;
• Cálculo de raízes de equação;

7. Definição
Interpolação
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Aplicações
Em Engenharia, dispõe-se habitualmente de dados pontuais
obtidos a partir de uma amostragem ou de um experimento. Tal
conjunto de dados pontuais (também denominado conjunto
degenerado) não possui continuidade e isto muitas vezes torna
demasiado irreal a representação teórica de um fenômeno real
empiricamente observado.
Através da interpolação, pode-se construir uma função que
aproximadamente se "encaixe" nestes dados pontuais, conferindo-
lhes, então, a continuidade desejada.

8. Definição
Interpolação
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Outra aplicação da interpolação é a aproximação de
funções complexas por funções mais simples. Suponha que
tenhamos uma função, mas que seja complicada demais para que
seja possível avaliá-la de forma eficiente.
Podemos, então, escolher alguns dados pontuais da função
complicada e tentar interpolá-los com uma função mais simples.
Aplicações

9. Definição
Interpolação
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Claramente, quando se utiliza de uma função mais simples
para calcular novos dados, naturalmente não se obtém o mesmo
resultado da função original, porém dependendo do domínio do
problema e do método de interpolação utilizado, o ganho de
simplicidade pode compensar o erro.
A interpolação permite fazer a reconstituição (aproximada)
de uma função, bastando para tanto conhecer apenas algumas
das suas abscissas e respectivas ordenadas.
Aplicações

10. Interpolação
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• Interpolação Linear

11. Interpolação Linear
Interpolação
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O principal problema é que se os pontos forem poucos ou
muito afastados entre si, a representação gráfica para uma
determinada função não seria muito bem representada por tal
método. Neste caso, costuma-se utilizar polinômios de graus mais
elevados ou aplicar outros métodos. Um deles é o Método de
Lagrange, que veremos mais a frente.

12. Interpolação Linear
Interpolação
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Exemplo:

13. Interpolação
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• Interpolação Quadrática

14. Interpolação Quadrática
Interpolação
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15. Interpolação Quadrática
Interpolação
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Exemplo:

16. Interpolação
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• Interpolação Polinomial

17. Interpolação Polinomial.
Interpolação
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Na fase de escolha do processo matemático de interpolação,
frequentemente são escolhidos polinômios. Isto porque os polinômios
apresentam relativa simplicidade e também porque permitem
representar satisfatoriamente a generalidade das funções que surgem
no cotidiano.

18. Interpolação Polinomial
Interpolação
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Exemplo:

19. Diferença entre os métodos de interpolação lineares,
quadráticas e polinomiais (Lagrange)?
Interpolação
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• Linear: Polinômio (função linear) de 1º Grau
• Quadrática: Polinômio (função quadrática) de 2º Grau

20. Interpolação Polinomial: métodos.
Interpolação
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21. Interpolação Polinomial: métodos.
Interpolação
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Os métodos de interpolação polinomial diferem, uns dos
outros, quanto à técnica de determinação do polinômio interpolador.
Os erros de arredondamento diferem em cada caso, pois as
operações aritméticas são conduzidas de formas distintas, em cada
método.
Alguns dos métodos existentes, são:
• Método de Newton;
• Método de Lagrange;
• Método de Gregory;

22. Trabalho
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23. Trabalho
Trabalho
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• Equações Diferenciais Ordinárias:
• Método de Runge-Kutta;
• Método de Adams;
• Resolução de Equações diferenciais de Ordem Superior; e
• Sistemas de Equações Diferenciais de Primeira Ordem.
• Entregar no dia da avaliação. Vale 30% da nota.

24. Referências Bibliográficas
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
ARENALES, S.; DAREZZO, A., Cálculo Numérico: Aprendizagem com
apoio de Software. São Paulo: Cengage Learning. 2007.
BARROSO, L. C., BARROSO, M. M. A., CAMPOS Filho, F. F.. Cálculo
Numérico com aplicações. São Paulo: Harbras 1987.
CHAPA, S. C.; CANALE R. P.. Numerical Methods for Engineers. 2a ed..
Mc. Graw-Hill. 1990.
CLÁUDIO, D. M.; MARINS, J. M. Cálculo Numérico Computacional. 2ª
Ed.. São Paulo: Atlas. 2001.
SANTOS, J. D. .SILVA, Z. C. Métodos Numéricos. Editora Universitária
da UFPE, 2006.

25. 