Modul ini membahas konsep limit fungsi dan kekontinuan fungsi. Definisi limit fungsi adalah nilai L yang diapropimasi oleh fungsi f(x) ketika x mendekati c. Rumus-rumus limit fungsi seperti teorema penggantian dan teorema apit pun dibahas. Kekontinuan fungsi didefinisikan sebagai limit fungsi sama dengan nilai fungsi di titik tersebut. Contoh fungsi kontinu dan diskontinu disajikan.
2. Konsep Limit
Definisi
(Pengertian limit secara intuisi),
Untuk mengatakan bahwa
limݔ→ܿ ݂ሺݔሻ = ܮ berarti bahwa
bilamana x dekat tetapi berlainan
dari c, maka f(x) dekat ke L.
3. Lanjut...
Contoh :
Tentukan nilai dari lim2→ݔ
ݔ2+6−ݔ
2−ݔ
Penyelesaian :
Nilai ݂ሺݔሻ
ݔ2+6−ݔ
2−ݔ
untuk x mendekati 2 dapat dilihat ditabel berikut :
x 1,75 1,85 1,95 1,97 1,99 1,999 … 2 … 2,001 2,01 2,1 2,2 2,9 3,1
f(x) 3,75 4,85 4,95 4,97 4,99 4,999 …
0
0
… 5,001 5,01 5,1 5,2 5,9 6,1
Dari tabel dapat dilihat jika variabel x = 2, maka ݂ሺ2ሻ =
0
0
, yaitu suatu bentuk
tak-tentu, tapi jika x mendekati 2 dari arah kiri, maka nilai f(x) mendekati 5.
Demikian juga jika x mendekati 2 dari arah kanan, maka nilai f(x) mendekati 5.
7. Lanjut...
(Teorema Penggantian).
Jika f suatu fungsi polinom atau fungsi
rasional, maka :
lim
ܿ→ݔ
݂ሺݔሻ = ݂ሺܿሻ
asalkan dalam kasus fungsi rasional nilai
penyebutnya tidak nol di c.
9. Lanjut...
Teorema Apit
Andaikan f, g, h adalah fungsi-fungsi yang
memenuhi f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) untuk semua x dekat
c, kecuali mungkin di c.
Jika
limݔ→ܿ ݂ሺݔሻ = limܿ→ݔ ℎሺݔሻ = ,ܮ ݉ܽ݇ܽ limܿ→ݔ ݃ሺݔሻ = ܮ
x
y
c
L
f
g
h
10. Kekontinuan Fungsi
x x x
y y
y
f
f
f
c c c
limܿ→ݔ ݂ሺݔሻ tidak ada
limݔ→ܿ ݂ሺݔሻ ada, tetapi
lim
ݔ→ܿ
݂ሺݔሻ ≠ ݂ሺܿሻ
lim
ݔ→ܿ
݂ሺݔሻ = ݂ሺܿሻ
11. Lanjut...
Definisi
(Kekontinuan di satu titik). Kita
katakan bahwa f kontinu di c jika
beberapa selang terbuka di sekitar c
terkandung dalam daerah asal f dan
lim
ܿ→ݔ
݂ሺݔሻ = ݂ሺܿሻ
12. Lanjut...
Dengan definisi ini kita bermaksud
mensyaratkan tiga hal :
1. limܿ→ݔ ݂ሺݔሻ ܽ݀ܽ
2. ݂ሺܿሻ ܽ݀ܽ ሺ,݅݊݇ܽݕ ܿ ܾ݁ܽ݀ܽݎ ݈݀ܽܽ݉ ݀ܽ݁ܽݎℎ ݈ܽܽݏ ݂ሻ
3. limܿ→ݔ ݂ሺݔሻ = ݂ሺܿሻ
Jika salah satu dari ketiga fungsi ini tak terpenuhi, maka
f tak-kontinu (diskontinu) di c.
13. Lanjut...
CONTOH :
݂ሺݔሻ =
1
ݔ − 2
ࢊ࢙࢚࢛ ܽ݀ܽ ݔ = 2,݇ܽܽ݊݁ݎ
1. f(2) tak terdefinisikan
2. lim2→ݔ ݂ሺݔሻ tidak ada
3. lim2→ݔ ݂ሺݔሻ ≠ f(2)
x
y
2
14. Lanjut...
CONTOH :
Tunjukkan bahwa fungsi f(x) = 2x + 1 kontinu di x = 1
Penyelesaian :
1. f(1) = 2(1)+1 = 3 → f(1) terdefinisi
2. limݔ→1 ݂ሺݔሻ = lim1→ݔሺ2ݔ + 1ሻ = 2ሺ1ሻ + 1 = 3 →limݔ→1 ݂ሺݔሻ terdefinisi
3. limݔ→1 ݂ሺݔሻ = f(1)
Ke tiga syarat fungsi disebut kontinu terpenuhi, maka fungsi f(x) = 2x + 1
kontinu di x = 1
-1/2
x
1
1
3
f(x) = 2x + 1