1. PFDS 9.3.1
Skew Binary
Random-Access Lists
@rf0444

2. Skew Binary Numbers
重みを 1, 3, 7, 15, 31, 63, ... にする
inc と dec が O(1) でできる

3. Skew Binary Numbers
重みを 1, 3, 7, 15, 31, 63, ... にする
完全二分木のノード数
inc と dec が O(1) でできる
cons, head, tail を O(1) に

4. データ構造
完全二分木のリスト
木のサイズは持っておく
後ろほどサイズが大きくなる
先頭2つは同じサイズでもよい

5. データ構造
サイズ 9 の例
9 8 7
6 3
5 4 2 1

6. cons
先頭2つの木のサイズが同じならくっつける
新しい木のサイズは 1 + 2 w
そうでなければ、単一要素を追加

7. cons 1
[]
1

8. cons 2
1 2 1

9. cons 3
2 1 3
2 1

10. cons 4
3 4 3
2 1 2 1

11. cons 5
4 3 5 4 3
2 1 2 1

12. cons 6
5 4 3 6 3
2 1 5 4 2 1

13. cons 7
6 3 7
5 4 2 1 6 3
5 4 2 1

14. cons 8
7 8 7
6 3 6 3
5 4 2 1 5 4 2 1

15. cons 9
8 7 9 8 7
6 3 6 3
5 4 2 1 5 4 2 1

16. cons 10
9 8 7 10 7
6 3 9 8 6 3
5 4 2 1 5 4 2 1

17. head
先頭木が単一要素なら、その要素
そうでなければ、ルートの要素

18. tail
先頭木が単一要素なら
リストを tail
そうでなければ
ルートの子をリストに追加、自身は削除
子のサイズは floor (w / 2)

19. head, tail
9 8 7 8 7
6 3 6 3
5 4 2 1 5 4 2 1

20. head, tail
10 7 9 8 7
9 8 6 3 6 3
5 4 2 1 5 4 2 1

21. lookup
i が先頭木のサイズ以上なら
先頭木のサイズを引いて次のリストへ
そうでなければ、その木の i 番目

22. lookup
その木の 0 番目の要素は、そのルート
i が子のサイズ以下なら、左側 i - 1 番目
超えていれば、右側 i - 1 - (子のサイズ) 番目

23. lookup
8 8-3=5 <7
10 7 7
9 8 6 3 6 3
5 4 2 1 5 4 2 1

24. lookup
5 5>3
5-1-3=1
7
1
6 3 3
5 4 2 1 2 1

25. lookup
1 1 <= 1
1-1=0
3
0
2 1 2

26. update
lookup と同じように作れる
子を探しにいく → 子を作り直す

27. 計算量
cons O(1)
head O(1)
tail O(1)
lookup O(log n)
update O(log n)