Dokumen tersebut membahas tentang logika matematika yang mencakup konsep dasar pernyataan, negasi, pernyataan majemuk, tautologi, kontradiksi dan penarikan kesimpulan. Secara ringkas, dokumen tersebut menjelaskan tentang konsep-konsep dasar logika matematika seperti pernyataan, negasi, hubungan antar pernyataan, serta penarikan kesimpulan melalui berbagai modus.

1. Basic concept :
Jika suatu pernyataan dilambangkan dengan p,
maka negasi dari p dilambangkan dengan ~p .
Jadi negasi dari suatu pernyataan dilambangkan
dengan ~
LOGIKA MATEMATIKA
A. PERNYATAAN DAN KALIMAT
TERBUKA
1. Pernyataan (premis)
Pernyataan adalah kalimat yang mengandung nilai
benar atau salah tetapi tidak sekaligus kedua-
duanya.
Contoh :
(1)Hasil kali 3 dan 4 adalah 12
(2)Semua unggas dapat terbang.
(3)Ada bilangan prima yang genap
soal
(a) contoh (1) adl pernyataan yang bernilai ….…..
(b) contoh (2) adl pernyataan yang bernilai ….…..
(c) contoh (3) adl pernyataan yang bernilai ….…..
Suatu pernyataan dinotasikan dengan huruf kecil
seperti p, q, r dsb.
Misalnya:
P : Semua bilangan prima adalah ganjil
q : Jakarta ibukota Indonesia
2. Kalimat Terbuka
Adalah kalimat yang memuat peubah/variabel dan
belum dapat ditentukan nilai benar atau salahnya.
Contoh kalimat yang bukan pernyataan :
(1)Semoga nanti engkau naik kelas
(2)Tolong tutupkan pintu itu !
(3)Apakah Lina sudah makan ?
B. NEGASI (INGKARAN)
Ingkaran atau negasi dari suatu pernyataan adalah
pernyataan yang mengingkari pernyataan semula.
Contoh:
p : Ayah pergi ke pasar
 p : Ayah tidak pergi ke pasar
Tabel kebenaran negasi atau ingkaran:
P ~ p
B ….
S ….
C. PERNYATAAN BERKUANTOR
Pernyataan berkuantor adalah pernyataan yang
mengandung ukuran kuantitas.
Ada 2 macam kuantor, yaitu :
1. Kuantor Universal
Dalam pernyataan kuantor universal terdapat
ungkapan yang menyatakan semua, setiap.
Kuantor universal dilambangkan dengan 
(dibaca untuk semua atau untuk setiap)
Contoh :
(1) x  R, x2
> 0, dibaca untuk setiap x
anggota bilangan real maka berlaku x2
> 0.
(2) Semua ikan bernafas dengan insang.
2. Kuantor Eksistensial
Dalam pernyataan berkuantor eksistensial
terdapat ungkapan yang menyatakan ada,
beberapa, sebagian, terdapat. Kuantor
Eksistensial dinotasikan dengan  ( dibaca ada,
beberapa, terdapat, sebagian)
Contoh :
(1) x  R, x2
+ x – 6 < 0, dibaca ada x anggota
bilangan real dimana x2
+ x – 6 < 0
(2) Beberapa ikan bernafas dengan paru-paru.
3. Ingkaran dari pernyataan berkuantor
Ingkaran dari pernyataan universal adalah
kuantor eksistensial dan sebaliknya ingkaran
dari pernyataan berkuantor eksistensial adalah
kuantor universal.
Contoh :
p : Semua ikan bernafas dengan insang
~ p : Ada ikan bernafas tidak dengan insang
D. PERNYATAAN MAJEMUK
Pernyataan majemuk adalah gabungan dari
beberapa pernyataan tunggal yang dihubungkan
dengan kata hubung.
Ada 4 macam pernyataan majemuk,yaitu :
1. Konjungsi
Konjungsi adalah pernyataan majemuk dengan
kata hubung “DAN” atau “TETAPI” .
Konjungsi dari pernyataan p dan q dinotasikan
dengan "p q" yang dibaca p dan q.
Tabel kebenarannya :
p q p q
B B ….
B S ….
S B ….
S S ….
Dari tabel tersebut tampak bahwa konjungsi
selalu bernilai benar jika………………………...
…………………………………………………...

2. Soal
p : 34
= 51 bernilai …………….
q : 2 + 5 = 7 bernilai …………….
p q : 34
= 51 dan 2 + 5 = 7 bernilai …………
2. Disjungsi
Disjungsi adalah pernyataan majemuk dengan kata
hubung “ATAU”.
Disjungsi dari pernyataan p dan q dinotasikan
p q dan dibaca p atau q
Tabel kebenarannya :
p q p q
B B ….
B S ….
S B ….
S S ….
Dari tabel tampak bahwa disjungsi hanya bernilai
salah jika ………………………………………….
Soal
(1) p : jumlah dari 3 dan 5 adalah 8
(pernyataan bernilai ……….)
(2) q : Tugu Jogja terletak di Jakarta
(pernyataan bernilai ……….)
(3) p q : Jumlah dari 3 dan 5 adalah 8 atau Tugu
Jogja terletak di Jakarta
(pernyataan bernilai ……….)
3. Implikasi
Implikasi adalah pernyataan majemuk dengan kata
hubung “jika .... maka .......”. Implikasi dari
pernyataan p dan q dinotasikan dengan p q yang
dibaca “jika p maka q” atau “p jika hanya jika q”
atau “p syarat perlu bagi q” atau “q syarat cukup
bagi p”
Dari implikasi p q , p disebut anteseden atau
sebab atau hipotesa q disebut konsekuen atau
kesimpulan atau konklusi.
Tabel kebenarannya :
p q p q
B B ….
B S ….
S B ….
S S ….
Dari tabel tersebut, tampak bahwa implikasi selalu
bernilai salah jika …………………………………
…………………………………………………….
Soal
(1) p : 2 + 4 = 7 (pernyataan …….)
(2) q : Indonesia di benua Afrika (pernyatan ……)
(3) p q : Jika 2 + 4 = 7 maka Indonesia di benua
Afrika (pernyataan …….)
4. Biimplikasi
Biimplikasi adalah pernyataan majemuk dengan
kata hubung “.......jika dan hanya jika............”
dan dilambangkan  .
Biimplikasi dari pernyataan p dan q ditulis p q
yang dibaca p jika dan hanya jika q atau jika p
maka q dan jika q maka p.
Tabel kebenarannya :
p q p q
B B ….
B S ….
S B ….
S S ….
Dari tabel kebenaran tersebut, tampak bahwa
biimplikasi akan bernilai benar jika …………….
…………………………………………………...
Soal
(1) p : 3 + 10 =14 (pernyataan …….)
(2) q : Persegi adalah segitiga (pernyataan …….)
(3) p q : 3 + 10 = 14 jika dan hanya jika persegi
adalah segitiga (pernyataan …….)
E. TAUTOLOGI DAN KONTRADIKSI
Tautologi adalah pernyataan majemuk yang selalu
bernilai benar untuk semua kemungkinan nilai
kebenaran komponen-komponennya.
Kontradiksi adalah pernyataan majemuk yang selalu
bernilai salah untuk semua kemungkinan nilai
kebenaran komponen-komponennya.
F. EKUIVALENSI (PERNYATAAN YANG
SETARA) DAN NEGASI PERNYATAAN
MAJEMUK
Dua pernyataan dikatakan ekuivalen (setara) jika
nilai kebenarannya sama. Ekuivalen dilambangkan
dengan  .
p q ~q ~p  
p q ~p q   negasinya adalah p ~ q
     ~ p q p ~ q q ~p    
Basic concept :
Negasi pernyataan majemuk :
   
   
   
       
1 ~ p q ~p ~ q
2 ~ p q ~p ~ q
3 ~ p q p ~ q
4 ~ p q p ~ q q ~p
  
  
  
    

3. G. INVERS, KONVERS, DAN
KONTRAPOSISI
Basic concept :
Jika suatu implikasi dinyatakan dengan p q ,
maka :
 Invers dari implikasi tersebut : ~p ~ q
(posisi tetap, diingkar)
 Konvers dari implikasi tersebut : q p
(posisi berubah)
 Kontraposisi dari implikasi tersebut :
~ q ~p (posisi berubah, diingkar)
H. PENARIKAN KESIMPULAN
Ada 3 macam penarikan kesimpulan yang terdiri
atas beberapa pernyataan (premis) , meliputi :
 Modus Ponens
Premis 1 : p q
Premis 2 : p
Maka, kesimpulan dua premis tersebut adalah q
 Modus Tollens
Premis 1 : p q
Premis 2 : ~ q
Maka, kesimpulan dua premis tersebut adalah ~p
 Silogisme
Premis 1 : p q
Premis 2 : q r
Maka, kesimpulan dua premis tersebut adalah p r
Soal:
(1) Buatlah tabel kebenaran tiap-tiap modus
tersebut
(2) Tentukan modus modus dari argumentasi
berikut
(i) Premis 1: Jika harimau binatang buas, maka
harimau bukan binatang piaraan
Premis 2: Harimau binatang piaraan
Kesimpulan: Harimau bukan binatang buas
Modus …………….
(ii) Premis 1: Jika saya jujur, maka usaha saya
berhasil
Premis 2: Jika usaha saya berhasil, maka hidup
saya senang
Kesimpulan: Jika saya jujur, maka hidup saya
senang
Modus …………….
(iii) Premis 1: Jika ibu ulang tahun, maka bapak
Memberi hadiah
Premis 2: Ibu ulang tahun
Kesimpulan: Bapak memberi hadiah
Modus …………….
(iv) Premis 1: Jika saya lapar, maka saya makan
Premis 2: Jika saya makan, maka saya kenyang
Kesimpulan: Jika saya lapar, maka saya
kenyang
……….…………….